Как может ломаться метод хорд

II.Метод хорд

Этот метод нахождения простых корней широко применяется при решении конечных уравнений. Другие названия рассматриваемого метода: метод ложного положения, метод линейной аппроксимации, метод пропорциональных частей, метод секущих.

Идея метода хорд состоит в том, что на достаточно малом промежутке дуга кривойy=f(x) заменяется стягивающей ее хордой. В качестве приближенного значения корня принимается точка пересечения хорды с осью Ox, т.е. это точка x=c.

Пусть дано уравнение , где-непрерывная функция, имеющая в интервалепроизводные первого и второго порядков. Корень считается отделенным и находится на отрезке, т.е..

Существуют четыре случая расположения дуги кривой, учитывая значения первой и второй производных:

Рассмотрим случай, когда первая и вторая производные имеют одинаковые знаки, т.е. .

Пусть, например, График функции проходит через точки. Искомый корень уравненияесть абсцисса точки пересечения графика функциис осьюOx. Эта точка нам не известна, но вместо нее возьмем точку с пересечения хорды с осью Ox. Эта точка x₁=c является приближенным значением корня.

Уравнение хорды, проходящей через точки А₀ и В имеет вид:

а абсцисса ее точки пересечения x₁=c с осью Ox (т.е. когда ) определяется формулой:

Очевидно, что точка x₁=c обязательно окажется внутри отрезка , при этом она будет тем ближе к искомому корню, чем меньше кривизна графика функции, а так как кривизна определяется формулой:

Точка x₁=c будет тем ближе к некому корню , чем меньшеи чем большена отрезке.

Замечание Хорда всегда расположена со стороны вогнутости дуги графика и, как видно из приведенных выше рисунков, точки x₁=c всегда ближе точки x₀ к тому концу отрезка , в котором знак функциипротивоположен знаку ее второй производнойf’’(x).

Методом хорд уточнить корень уравнения отделенный на отрезке.

Имеем =,f’(x)=3x 2 -1, f’’(x)=6x. Так как на отрезке , то точкаx₁=c будет левым концом нового отрезка ;

Отметим, что приближенное значение с взято с недостатком, т.к. с<x₀ и при округлении с избытком есть опасность «перешагнуть» через корень x₀. В качестве отрезка для дальнейшего уточнения следует взять [1,1;2].

Если значение приближенного корня x1 не устраивает, его можно уточнить, применяя метод хорд к отрезку . Соединив точкуA₁(x₁,f(x₁)) с точкой B(b,f(b)) находим x₂ – точку пересечения хорды с осью Ox:

Продолжая этот процесс, находим:

и вообще

Процесс продолжается до тех пор, пока не получим приближенный корень с заданной степенью точности.

По приведенным выше формулам вычисляются корни и для случая, когда

Теперь рассмотрим случай, когда первая и вторая производные имеют разные знаки, т.е. .

Пусть, например, В этом случае соединив точки, имеем уравнение хорды, проходящей черезA и B_0:

Найдем x₁ как точку пересечения хорды с осью Ox, полагая y=0:

Корень теперь заключен внутри подотрезка .

Применяя метод хорд к отрезку , получим:

и вообще

По этим же формулам находится приближенное значение корня и для случая, когда

С учетом сделанного выше отметим, что выбор тех или иных формул метода хорд обуславливается правилом – неподвижным концом отрезка является тот, для которого знак функции совпадает со знаком ее второй производной.

Так, если , то неподвижен конецb, а все приближения к корню x₀ лежат со стороны конца a; если же , то неподвижен конецa, а все приближения к корню x₀ лежат со стороны конца b.

При оценке погрешности приближения пользуются формулой:, где— точное значение искомого корня, аи-приближения к нему, полученные на(n-1) и n-м шагах.

Эта формула применима, если выполнено условие где

Методом хорд уточнить до меньший корень уравнения, отделенный на отрезке [-3,-2].

Проверим выполнимость условия , учитывая что,.

Возьмем середину отрезка [-3,-2], т.е. точку x=-2,5, и выберем интервал [-3,-2,5]. Снова проверим условие :

.

Теперь возьмем середину отрезка [-3,-2,5], т.е точку x=-2,75.

На суженном отрезке [-2,75;-2,5] сохраняется условие монотонности функции (условие ). Действительно,f(-2,75)=-2,75 3 +3*2,75 2 -3<0; f(-2,5)=-2,5 3 +3*2,5 2 -3>0;

т.е. 6,189<2*3,75.

Таким образом, для оценки погрешности корня, лежащего на отрезке [-2,75;-2,5], можно пользоваться формулой , т.е. процесс последовательного приближения к корню следует продолжать до тех пор, пока не будет выполнено условие.

Определим знак второй производной f’’(x) и установим, какой конец отрезка будет неподвижным при использовании метода хорд. Находим f’’(x)=6x+6 и . Значит, за неподвижный конец отрезка нужно приниматьx=-2,75, а вычисление вести по формулам: и, гдеa=-2,75; f(a)=-1,1019.

Если последнее выражение представить в виде: , то сразу же можно будет получать разность между двумя последовательными приближениями и производить проверку на окончание вычислений, т.е. проверять выполнение неравенства:

Метод хорд

Пусть необходимо найти корень уравнения вида с точностью , если известно, что корень принадлежит промежутку . Графически это означает, что необходимо найти нули
функции — значения переменной , в которых график пересекает ось , и эти значения по условию должны принадлежать промежутку .

Рассмотрим функцию на отрезке (рис. 46.2). График данной функции обязательно пересекает ось в некоторой точке . Наша задача — найти абсциссу этой точки — значение .

Выполним следующие действия:

1. Проведем хорду . Она пересекает ось в точке с абсциссой .
2. Выберем точку на кривой, абсцисса которой равна — точка .
3. Проведем хорду . Она пересекает ось в точке с абсциссой .
4. Выберем точку на кривой, абсцисса которой равна — точка и т.д.

Будем продолжать этот процесс до тех пор, пока разность между последующим и предыдущим значениями переменной не станет меньше заданной в условии задачи точности , т.е. . Это означает, что , практически не будут отличаться от .

Выведем формулы для нахождения :

1. Выпишем координаты точек и : .

2. Составим уравнение прямой : .

3. Найдем точку пересечения прямой с осью . Она имеет координаты . Заменим в уравнении на , на 0: .

Выразим . По свойству пропорции .

4. Поскольку для нахождения нужно проводить новую прямую через точки и и находить точку ее пересечения с осью , произведем по аналогии следующую замену: роль будет выполнять , роль . Получим, что .

5. Обобщим проведенные рассуждения. Для нахождения будем использовать следующую формулу: .

В рассмотренном нами случае при проводимых преобразованиях точка оставалась неподвижной.

Возможен и другой вариант: неподвижной может быть точка (рис. 46.3). В этом случае будем использовать другую формулу: .

Для удобства формулы (1) и (2) можно объединить в одну: , где — абсцисса неподвижной
точки ( или ), — конец отрезка , не являющийся абсциссой неподвижной точки,

Правило выбора неподвижной точки:

Неподвижной точкой является тот конец отрезка , для которого знак функции в этой точке совпадает со знаком второй производной функции в той же точке.

Пример №46.2.

Найти приближенное решение уравнения на , использую метод хорд с точностью .

Решение:

Составим функцию .

1. Выберем неподвижную точку. Для этого найдем и :

. Найдем знак функции и второй производной на каждом конце отрезка: в точках 0 и 1.

. Видим, что при знак функции совпадает со знаком второй производной. Следовательно, — абсцисса неподвижной точки.

2. Поскольку при решении задачи расчеты получаются достаточно громоздкие, их удобно выполнять с использованием компьютера, например, программы Microsoft Excel.

В качестве шапки таблицы можно предложить следующий вариант:

В столбце будет указываться номер выполняемого шага . Первое значение всегда выбираем равным 0.

В столбце будут располагаться значения и т.д. В качестве в ячейку занесем значение того конца отрезка, который не является абсциссой неподвижной точки. В нашем случае это .

В столбце будут содержаться значения функции в точках и т.д., необходимые для расчета по формуле (3). Для нахождения в ячейку введем формулу. Поскольку , а первое значение находится в ячейке , то формула будет иметь вид: .

В столбце будет осуществляться проверка того, не превосходит ли заданной точности . Эта проверка будет начинаться с , и ячейка не заполняется.

Столбцы и — вспомогательные. Поскольку в формуле (3) используется и , то их можно один раз записать соответственно в ячейках и и в дальнейшем делать на них абсолютные ссылки.

После заполнения второй строки, она будет иметь вид:

Начнем заполнение третьей строки. Номер шага в ячейке будет равен 1.

Для расчета в ячейке применим формулу (3), которая в программе Microsoft Excel примет вид: . Ссылки на ячейки и содержат знак , т.е. являются абсолютными, и при копировании данной формулы меняться нс будут.

Для расчета в ячейке достаточно просто скопировать формулу из ячейки , и она будет иметь вид: .

В ячейку занесем формулу для расчета модуля разности между последующим и предыдущим значением . Произведем проверку: если содержимое этой ячейки больше , то расчеты необходимо продолжить, меньше — закончить.

После заполнения третьей строки, она будет иметь вид:

Достоинства программы Microsoft Excel с том, что нам достаточно ввести только формулы, все расчеты машина произведет сама. Видим, что содержимое ячейки больше заданной точности , следовательно, расчеты следует продолжить.

Все основные формулы уже введены, в дальнейшем будем использовать только возможности автозаполнения. После выполнения следующих шагов таблица будет иметь вид:

Видим, что в ячейке содержимое 0,006932015 стало меньше заданной точности , следовательно, расчеты следует закончить и в качестве приближенного решения уравнения взять
последнее с точностью 2 знака после запятой. В нашем примере это .

Ответ: .

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Как может ломаться метод хорд

Пусть необходимо найти корень уравнения вида с точностью , если известно, что корень принадлежит промежутку . Графически это означает, что необходимо найти нули
функции — значения переменной , в которых график пересекает ось , и эти значения по условию должны принадлежать промежутку .

Рассмотрим функцию на отрезке (рис. 46.2). График данной функции обязательно пересекает ось в некоторой точке . Наша задача — найти абсциссу этой точки — значение .

1. Проведем хорду . Она пересекает ось в точке с абсциссой .
2. Выберем точку на кривой, абсцисса которой равна — точка .
3. Проведем хорду . Она пересекает ось в точке с абсциссой .
4. Выберем точку на кривой, абсцисса которой равна — точка и т.д.

Будем продолжать этот процесс до тех пор, пока разность между последующим и предыдущим значениями переменной не станет меньше заданной в условии задачи точности , т.е. . Это означает, что , практически не будут отличаться от .

1. Выпишем координаты точек и : .

2. Составим уравнение прямой : .

3. Найдем точку пересечения прямой с осью . Она имеет координаты . Заменим в уравнении на , на 0: .

Выразим . По свойству пропорции .

4. Поскольку для нахождения нужно проводить новую прямую через точки и и находить точку ее пересечения с осью , произведем по аналогии следующую замену: роль будет выполнять , роль . Получим, что .

5. Обобщим проведенные рассуждения. Для нахождения будем использовать следующую формулу: .

Возможен и другой вариант: неподвижной может быть точка (рис. 46.3). В этом случае будем использовать другую формулу: .

Для удобства формулы (1) и (2) можно объединить в одну: , где — абсцисса неподвижной
точки ( или ), — конец отрезка , не являющийся абсциссой неподвижной точки,

Пример №46.2.

Найти приближенное решение уравнения на , использую метод хорд с точностью .

1. Выберем неподвижную точку. Для этого найдем и :

. Видим, что при знак функции совпадает со знаком второй производной. Следовательно, — абсцисса неподвижной точки.

В столбце будет указываться номер выполняемого шага . Первое значение всегда выбираем равным 0.

В столбце будут располагаться значения и т.д. В качестве в ячейку занесем значение того конца отрезка, который не является абсциссой неподвижной точки. В нашем случае это .

В столбце будут содержаться значения функции в точках и т.д., необходимые для расчета по формуле (3). Для нахождения в ячейку введем формулу. Поскольку , а первое значение находится в ячейке , то формула будет иметь вид: .

В столбце будет осуществляться проверка того, не превосходит ли заданной точности . Эта проверка будет начинаться с , и ячейка не заполняется.

Столбцы и — вспомогательные. Поскольку в формуле (3) используется и , то их можно один раз записать соответственно в ячейках и и в дальнейшем делать на них абсолютные ссылки.

Для расчета в ячейке применим формулу (3), которая в программе Microsoft Excel примет вид: . Ссылки на ячейки и содержат знак , т.е. являются абсолютными, и при копировании данной формулы меняться нс будут.

Для расчета в ячейке достаточно просто скопировать формулу из ячейки , и она будет иметь вид: .

В ячейку занесем формулу для расчета модуля разности между последующим и предыдущим значением . Произведем проверку: если содержимое этой ячейки больше , то расчеты необходимо продолжить, меньше — закончить.

Достоинства программы Microsoft Excel с том, что нам достаточно ввести только формулы, все расчеты машина произведет сама. Видим, что содержимое ячейки больше заданной точности , следовательно, расчеты следует продолжить.

Видим, что в ячейке содержимое 0,006932015 стало меньше заданной точности , следовательно, расчеты следует закончить и в качестве приближенного решения уравнения взять
последнее с точностью 2 знака после запятой. В нашем примере это .

Метод хорд

Метод хорд (метод секущих) — это численный метод нахождения (одного) решения (с заданной точностью ε) нелинейного уравнения вида f(x) = 0 .

Содержание

Описание метода [ править ]

Суть метода хорд состоит в разбиении отрезка [a; b] (при условии f(a)f(b) < 0 ) на два отрезка с помощью хорды и выборе нового отрезка от точки пересечения хорды с осью абсцисс до неподвижной точки, на котором функция меняет знак и содержит решение, причём подвижная точка приближается к ε-окрестности решения.

Построение хорд продолжается до достижения необходимой точности решения ε.

Метод хорд применим для решения уравнения вида f(x) = 0 на отрезке [a; b] , если ни одна точка отрезка [a; b] не является ни стационарной, ни критической, то есть f’(x) ≠ 0 и f’’(x) ≠ 0 .

Условие начальной точки для метода хорд f(x)f’’(x) < 0 .

Условие неподвижной точки для метода хорд f(x)f’’(x) > 0 .

Сначала находим отрезок [a; b] такой, что функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема и меняет знак на отрезке, то есть f(a)f(b) < 0 .

Далее применяем алгоритм решения.

Алгоритм решения [ править ]

Входные данные: f(x), f’’(x), a, b, ε.

1. Еслиf(a) · f’’(a) > 0 , тоc = a , иначе еслиf(b) · f’’(b) > 0 , тоc = b .
2. Еслиf(a) · f’’(a) < 0 , тоx = a , иначе еслиf(b) · f’’(b) < 0 , тоx = b .
3. Δx = f(x) · (x − c) / (f(x) − f(c)) .
4. x = x — Δx .
5. Если|Δx| > ε , то идти к 3.

Выходные данные: x.

Значение x является решением с заданной точностью ε нелинейного уравнения вида f(x) = 0 .