Как делить отрицательные числа на положительные

Деление отрицательных чисел: правило и примеры

В данной статье дадим определение деления отрицательного числа на отрицательное, сформулируем и обоснуем правило, приведем примеры деления отрицательных чисел и разберем ход их решения.

Деление отрицательных чисел. Правило

Напомним, в чем суть операции деления. Данное действие представляет собой нахождение неизвестного множителя по известному произведению и известному другому множителю. Число с называется частным от деления чисел a и b , если верно произведение c · b = a . При этом, a ÷ b = c .

Правило деления отрицательных чисел

Частное ои деления одного отрицательного числа на другое отрицательное число равно частному от деления модулей этих чисел.

Пусть a и b — отрицательные числа. Тогда

Данное правило сводит деление двух отрицательных чисел к делению положительных чисел. Оно справедливо не только для целых чисел, но также для рациональных и действительных чисел. Результат деления отрицательного числа на отрицательное есть всегда положительное число.

Приведем еще одну формулировку данного правила, подходящую для рациональных и действительных чисел. Она дается с помощью взаимно-обратных чисел и гласит: для деления отрицательного числа a на число undefined умножить на число b — 1 , обратное числу b .

Это же правило, сводящее деление к умножению, можно применять также и для деления чисел с разными знаками.

Равенство a ÷ b = a · b — 1 можно доказать, используя свойство умножения действительных чисел и определение взаимно обратных чисел. Запишем равенства:

a · b — 1 · b = a · b — 1 · b = a · 1 = a .

В силу определения операции деления, данное равенство доказывает, что есть частное от деления числа на число b.
Перейдем к рассмотрению примеров.

Деление отрицательных чисел. Примеры

Начнем с простых случаяв, переходя к более сложным.

Пример 1. Как делить отрицательные числа

Разделим — 18 на — 3 .
Модули делителя и делимого соответственно равны 3 и 18 . Запишем:

— 18 ÷ — 3 = — 18 ÷ — 3 = 18 ÷ 3 = 6 .

Разделим — 5 на — 2 .
Аналогично, записываем по правилу:

— 5 ÷ — 2 = — 5 ÷ — 2 = 5 ÷ 2 = 5 2 = 2 1 2 .

Такой же результат получится, если использовать вторую формурировку правила с обратным числом.

— 5 ÷ — 2 = — 5 · — 1 2 = 5 · 1 2 = 5 2 = 2 1 2 .

Деля дробные рациональные числа удобнее всего представлять их в виде обыкновенных дробей. Однако, можно делить и конечные десятичные дроби.

Пример 3. Как делить отрицательные числа

Разделим — 0 , 004 на — 0 , 25 .

Сначала записываем модули этих чисел: 0 , 004 и 0 , 25 .

Теперь можно выбрать один из двух способов:

1. Разделить десятичные дроби столбиком.
2. Перейти к обыкновенным дробям и выполнить деление.

Разберем оба способа.

1. Выполняя деление десятичных дробей столбиком, перенесем запятую на две цифры вправо.

Ответ: — 0 , 004 ÷ 0 , 25 = 0 , 016

2. Теперь приведем решение с переводом десятичных дробей в обыкновенные.

0 , 004 = 4 1000 ; 0 , 25 = 25 100 0 , 004 ÷ 0 , 25 = 4 1000 ÷ 25 100 = 4 1000 · 100 25 = 4 250 = 0 , 016

Полученные результаты совпадают.

В заключение отметим, что если делимое и делитель являются иррациональными числами и задаются в виже корней, степеней, логарифмов и т.д., результат деления записывается в виде числового выражения, приблизительное значение которого вычисляется в случае необходимости.

Деление отрицательных чисел

Как выполнять деление отрицательных чисел легко понять, вспомнив, что деление — это действие, обратное умножению.

Если « a » и « b » положительные числа, то разделить число « a » на число « b », значит найти такое число « с », которое при умножении на « b » даёт число « a ».

Данное определение деления действует для любых рациональных чисел, если делители отличны от нуля.

Поэтому, например, разделить число « −15 » на число 5 — значит, найти такое число, которое при умножении на число 5 даёт число « −15 ». Таким числом будет « −3 », так как

Примеры деления рациональных чисел.

1. 10 : 5 = 2 , так как 12 · 5 = 10
2. (−4) : (−2) = 2 , так как 2 · (−2) = −4
3. (−18) : 3 = −6 , так как (−6) · 3 = −18
4. 12 : (−4) = −3 , так как (−3) · (−4) = 12

Из примеров видно, что частное двух чисел с одинаковыми знаками — число положительное (примеры 1, 2), а частное двух чисел с разными знаками— число отрицательное (примеры 3, 4).

Правила деления отрицательных чисел

Чтобы найти модуль частного, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.

Итак, чтобы разделить два числа с одинаковыми знаками, надо:

• модуль делимого разделить на модуль делителя;
• перед результатом поставить знак « + ».

Примеры деления чисел с одинаковыми знаками:

• (−9) : (−3) = +3
• 6 : 3 = 2

Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо:

• модуль делимого разделить на модуль делителя;
• перед результатом поставить знак « − ».

Примеры деления чисел с разными знаками:

• (−5) : 2 = −2,5
• 28 : (−2) = −14

Для определения знака частного можно также пользоваться следующей таблицей.

Правило знаков при делении

При вычислении «длинных» выражений, в которых фигурируют только умножение и деление, пользоваться правилом знаков очень удобно. Например, для вычисления дроби

Можно обратить внимание, что в числителе два знака «минус», которые при умножении дадут «плюс». Также в знаменателе три знака «минус», которые при умножении дадут «минус». Поэтому в конце результат получится со знаком «минус».

Сокращение дроби (дальнейшие действия с модулями чисел) выполняется также, как и раньше:

Запомните!

Частное от деления нуля на число, отличное от нуля, равно нулю.

Делить на ноль НЕЛЬЗЯ !

Все известные ранее правила деления на единицу действуют и на множество рациональных чисел.

• а : 1 = a
• а : (−1) = −a
• а : a = 1

Зависимости между результатами умножения и деления, известные для положительных чисел, сохраняются и для всех рациональных чисел (кроме числа нуль):

• если a · b = с; a = с : b; b = с : a;
• если a : b = с; a = с · b; b = a : c

Данные зависимости используются для нахождения неизвестного множителя, делимого и делителя (при решении уравнений), а также для проверки результатов умножения и деления.

Пример нахождения неизвестного.

Знак «минус» в дробях

Разделим число « −5 » на « 6 » и число « 5 » на « −6 ».

Напоминаем, что черта в записи обыкновенной дроби — это тот же знак деления, поэтому можно записать частное каждого из этих действий в виде отрицательной дроби.

Таким образом знак «минус» в дроби может находиться:

• перед дробью;
• в числителе;
• в знаменателе.

Запомните!

При записи отрицательных дробей знак «минус» можно ставить перед дробью, переносить его из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель.

Это часто используется при выполнении действий с дробями, облегчая вычисления.

Пример. Обратите внимание, что после вынесения знака «минуса» перед скобкой мы из большего модуля вычитаем меньший по правилам сложения чисел с разными знаками.

Используя описанное свойство переноса знака в дроби, можно действовать, не выясняя, модуль какого из данных дробных чисел больше.

Деление

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Деление»

Деление отрицательных чисел имеет тот же смысл, что и деление положительных чисел. Напомним, что деление – это действие, обратное умножению.

Как известно, разделить число на а на число b – это значит найти такое число с, которое при умножении на b даёт а.

Например

Разделим число –8 на число –2. Т.е. надо найти такое число х, которое при умножении на –2 даст число –8.

Сделаем вывод:

Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя.

Задание

Найдите частное чисел: 1) -70 и -14; 2) -9,8 и -1,4; 3) и .

Запомните! Частное двух отрицательных чисел – это положительное число.

Делить отрицательные числа мы научились. Рассуждая аналогичным образом, давайте разберёмся, как делят числа с разными знаками.

Пример

Сделаем вывод:

Чтобы разделить числа с разными знаками, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя и перед полученным числом поставить знак «минус».

Задание

Найдите частное чисел: 1) -240 : 15; 2) 46,5 : (-1,5); 3) .

Обратите внимание, что не имеет значение перед делимым или делителем стоит знак «минус». Частное двух чисел с разными знаками – это отрицательное число.

Рассмотрим ещё, как ведут себя числа, если один из компонентов деления 1, -1 или 0.

Вам хорошо известны свойства числа 1, записанные следующими формулами:

Эти свойства сохраняются и когда а – отрицательное число. Убедимся в этом.

Запомните! Если делитель равен -1, то частное равно числу, противоположному делимому.

Если делимое равно -1, то частное противоположно числу, обратному делителю, и обратно числу, противоположному делителю.

Если делимое равно 0, а делитель – любое число, отличное от 0, то частное равно 0.

Не забывайте, что на 0 делить нельзя!

Модуль частного двух чисел равен частному их модулей.

А знак частного зависит от знаков делимого и делителя: если делимое и делитель имеют одинаковые знаки (т.е. оба положительны или оба отрицательны), то частное положительно, а если разные – отрицательно.

Рассмотрим таблицу, которая наглядно показывает зависимость знака частного от знаков делимого и делителя:

Запомнить эту таблицу очень легко. Смотрите, при делении чисел с одинаковыми знаками получается положительное число, а при делении чисел с разными знаками – отрицательное.

Упражнение: определите знак произведения и частного.

Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя.

Частное двух отрицательных чисел – это положительное число.

Чтобы разделить числа с разными знаками, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя и перед полученным числом поставить знак «минус».

Ребят объясните пожалуйста новую тему! «Деление отрицательных и положительных чисел» Пожалуйста помогите!
Я подпишусь на вас!
Если будет неверный ответ, то я отмечу нарушение.
Объясните поподробнее!
20 баллов

Ответ:деление отрицательных чисел. Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное нужно разделить модуль слагаемого на модуль делителя. С делением чисел с разными знаками тоже самое, но в ответе поставить знам — перед числом

Пошаговое объяснение:

Деление чисел с разными знаками

Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо:

•разделить модуль делимого на модуль делителя;

•перед полученным числом поставить знак « − ».

Деление чисел с одинаковыми знаками

Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное (два отрицательных числа), надо разделить модуль делимого на модуль делителя.