Большая Энциклопедия Нефти и Газа
Искомая точка принадлежит геометрическому месту точек — биссектрисе того угла, от сторон которого она одинаково удалена. Кроме того, искомая точка лежит на третьей стороне треугольника, а поэтому она является точкой пересечения этой стороны с биссектрисой противолежащего угла. [6]
Искомая точка находится на расстоянии х 2 / з1 от основания столба. [7]
Искомая точка находится на расстоянии х 2 / 31 от основания столба. [8]
Искомая точка лежит на пересечении этих дуг. [9]
Искомые точки заключены среди его решений. [10]
Искомая точка находится на расстоянии х 2 / 3 / от основания столба. [11]
Искомая точка с на вторичной проекции аЪ определяется с помощью прямой fc-i, так как прямые bbi и сс являются перспективами параллельных прямых, лежащих на предметной плоскости. [12]
Искомая точка является точкой пересечения с данной прямой перпендикуляра, восстановленного к отрезку, соединяющему данные точки, в его середине. [13]
Искомая точка 0 отстоит от вершины прямого угла С на расстоянии, равном У СА-СВ. [14]
Искомая точка М есть точка пересечения обоих построенных геометрических мест. [15]
искомая точка
Метод эллипсоидов — алгоритм нахождения точки, лежащей в пересечении выпуклых множеств. Описание алгоритма В начале выбирается большой шар, содержащий пересечение выпуклых множеств. Способ построения этого шара зависит от задачи. Далее на каждом шаге имеется элл … Википедия
Трилатерация — (от лат. trilaterus трёхсторонний) метод определения положения геодезических пунктов путём построения на местности системы смежных треугольников, в которых измеряются длины их сторон[1]. Является одним из методов определения… … Википедия
Теория волн Эллиотта — (Elliott Wave Theory) Теория волн Эллиотта это математическая теория об изменении поведения общества или финансовых рынков Все о волновой теории Эллиотта: видео, книги, статьи о теории волн, информация о советниках и индикаторах волн Эллиотта… … Энциклопедия инвестора
Вселенная — Крупномасштабная структура Вселенной как она выглядит в инфракрасных лучах с длиной волны 2,2 мкм 1 600 000 галактик, зарегистри … Википедия
Диаграмма Вороного — случайного множества точек на плоскости Диаграмма Вороного конечного множества точек S на плоскости представляет такое разбиение плоскости, при котором ка … Википедия
Засечка геодезическая — способ определения положения точки (опорного пункта в геодезии, орудия или цели в артиллерии) путём измерения длин отрезков, соединяющих эту точку с некоторыми заданными точками, или углов между направлениями этих отрезков. В зависимости… … Большая советская энциклопедия
Практическая астрономия — раздел астрометрии (См. Астрометрия), посвященный учению об астрономических инструментах и способах определения из астрономических наблюдений времени, географических координат и азимутов направлений. В зависимости от условий, в которых… … Большая советская энциклопедия
Анализ математический — как самостоятельная система есть алгебра в обширном смысле этого слова, которая рассматривает все величины как неизвестные числа, употребляя буквы вместо арифметических знаков цифр. Включая в математический А. учение о равенствах, составляющее… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Засечка геодезическая — (a. crossbearing, intersection; н. Einschnitt, Einschneiden; ф. intersection geodesique; и. interseccion de marcaciones geodesicas) определение планового положения точек местности путём измерения горизонтальных углов, расстояний или углов … Геологическая энциклопедия
Задача о ранце в криптографии — (англ. Knapsack problem) это задача, на основе которой американские криптографы Ральф Меркл (англ.) и Мартин Хеллман разработали первый алгоритм шифрования с открытым ключом. Он носит название криптосистема Меркла Хеллмана. Для… … Википедия
МЕТОД НЬЮТОНА — вычислительный алгоритм решения широкого класса экстремальных задач (на отыскание безусловного минимума функции), использующий вторые частные производные минимизируемой функции. Обладает сравнительно быстрой сходимостью (искомая точка достигается … Большой экономический словарь
Геометрическое место точек параллельные прямые
Геометрические места точек
Геометрическим местом точек называют множество точек, заданное условием, являющимся и свойством, и признаком.
Другими словами, все точки из рассматриваемого геометрического места точек, и только они, удовлетворяют заданному условию.
Примеры геометрических мест точек (сокращённо ГМТ ) на плоскости представлены в следующей таблице, причём геометрические места точек изображаются в таблице красным цветом .
Метод геометрических мест точек
Одним из методов решения задач на построение является метод геометрических мест. Понятие геометрического места является одним из важнейших в геометрии. Термин «геометрическое место точек» был введен еще древнегреческим ученым и философом Аристотелем (384-222 гг. до новой эры), который представлял себе линию, как некоторое «место», где могут быть размещены точки. Понятие линии как следа движущей точки или совокупность точек, возникли значительно позже.
Геометрическим местом точек (сокращенно ГМТ), обладающих определенным свойством, называется множество всех точек, которые обладают этим свойством.
Сущность метода состоит в следующем. Пусть, решая задачу на построение, нам надо найти точку X , удовлетворяющую двум условиям. ГМТ, удовлетворяющих первому условию, есть некоторая фигура A, а ГМТ, удовлетворяющих второму условию, есть некоторая фигура B. Искомая точка X принадлежит A и B, т.е. является их точкой пересечения.
При решении задач этим методом надо знать основные геометрические места точек на плоскости:
1. ГМТ, равноудаленных от двух данных точек.
2. ГМТ, находящихся на данном расстоянии oт данной точки.
3. ГМТ, удаленных на расстояние d oт данной прямой.
4. ГМТ, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.
5. ГМТ, равноудаленных от сторон угла.
6. ГМТ, из которых данный отрезок виден под данным углом.
Некоторые геометрические места точек, часто используемые
Рассмотрим построение основных ГМТ, перечисленных в предыдущем пункте.
1. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных
точек, является серединный перпендикуляр к отрезку с концами в этих
2. Геометрическим местом точек, находящихся на данном расстоянии
oт данной точки, является окружность с центром в данной точке и радиусом, равном данному отрезку.
3. Геометрическим местом точек, удаленных на расстояние d oт
данной прямой в выбранной полуплоскости, является прямая
параллельная данной и находящаяся на расстоянии d от нее.
А выбираем произвольно.
4. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных
параллельных прямых, является прямая, находящаяся на одинаковом
расстоянии от данных прямых (ось симметрии этих прямых).
5. Геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла,
является биссектриса этого угла. (См. построение 4).
6. Геометрическим местом точек, из которых данный отрезок виден под
данным углом, является дуга окружности, опирающейся на этот отрезок.
I случай:
— данный угол,
АВ – данный отрезок.
Действительно, ∟АМВ, как угол, вписанный в окружность, измеряется
половиной малой дуги АВ, так как центральный угол ∟АОВ = 2α, то
При этом заметим, что центр окружности О и вершина М угла лежат по
одну сторону от данного отрезка
II случай: 
1. О – середина АВ.
Полуокружность 
(Любой угол, опирающийся на диаметр –
прямой).
III случай: 
Действительно, ∟АОВ = 2( 90 0 – (α — 90 0 )) = 2(180 0 — α). Тогда большая дуга
АВ равна 360 0 – 2(180 0 — α) = 2α и угол АМВ, опирающийся на большую дугу АВ, измеряется половиной этой дуги, т.е. равен α.
Геометрическое место точек
Геометрическое место точек (ГМТ) — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, удовлетворяющих определённому условию.
Чтобы выяснить, что собой представляет некоторая фигура F — геометрическое место точек, удовлетворяющих заданному условию P, нужно доказать:
1) если определённая точка принадлежит фигуре F, то она удовлетворяет заданному условию P;
2) если определённая точка удовлетворяет заданному условию P, то она принадлежит фигуре F.
(то есть требуется доказать прямую теорему — свойство P точек, принадлежащих фигуре F, и обратную теорему — признак фигуры F: если точка удовлетворяет условию P, то она принадлежит F).
Геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки — окружность.
Это следует непосредственно из определения окружности.
Некоторые теоремы о ГМТ
1) Геометрическим местом точек, равноудалённых от двух данных точек, является серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.
2) Геометрическим местом точек, равноудалённых от сторон неразвёрнутого угла, является биссектриса этого угла.
3) Геометрическим местом точек, удалённых от данной прямой на расстояние h, состоит из двух прямых, параллельных данной прямой и отстоящих от неё на h.
4) Геометрическим местом точек, равноудалённых от двух параллельных прямых, является прямая, параллельная этим прямым и проходящая через середину их общего перпендикуляра.
Геометрия 7 класс.
Точка, прямая и отрезок
Казалось бы, что таким простым понятиям, как «точка» или «прямая», которые мы повседневно используем в жизни, крайне просто дать определения. Но на практике оказалось, что это не так.
Существует множество определений, которые давали знаменитые математики терминам «точка» и «прямая». За многие века ученые так и не пришли к единому определению.
Мы не будем приводить все определения точки и прямой. Остановимся на объяснениях, которые, на наш взгляд, наиболее простым образом их описывают.
Запомните! 
Точка — элементарная фигура, не имеющая частей.
Прямая состоит из множества точек и простирается бесконечно в обе стороны.
На рисунке изображена прямая a и точки D, F, G и H . Точки F и G лежат на прямой a . Точки D и H не лежат на прямой a .
В тексте точку обозначают символом « (·)» . Принадлежность и непринадлежность точки прямой обозначают символами « ∈ » и « ∉ ». Знак принадлежности можно запомнить как зеркальное отображение буквы « Э » или как знак евро « € » .
То есть выражаясь геометрическими обозначениями, информацию о расположении прямой и точек на рисунке выше можно записать так:
- (·)F ∈ a — точка F принадлежит прямой a (другими словами, точка F лежит на прямой a );
- (·)G ∈ a — точка G принадлежит прямой a ;
- (·)D ∉ a — точка D не принадлежит прямой a (другими словами, точка D не лежит на прямой a );
- (·)H ∉ a — точка H не принадлежит прямой a .
Как обозначить прямую
Прямую обычно обозначают одной маленькой латинской буквой.
Прямую, на которой отмечены две точки, иногда обозначают по названиям этих точек большими латинскими точками.
-
На рисунке изображены:
- Прямая a
- Прямая f
- Прямая CH
- Прямая DK
Точки D, E и F — лежат на одной прямой, поэтому: прямая DE , прямая EF и прямая DF — это три разных имени одной и той же прямой.
Разбор примера
Проведите прямую, обозначьте её буквой a и отметьте точки A и B , лежащие на этой прямой, и точки P, Q и R , не лежащие на ней. Опишите взаимное расположение точек A, B, P, Q, R и прямой a , используя символы ∈ и ∉ .
Решение задачи
Обозначим её буквой a .
Отметим точки (·)A и (·)B , лежащие на прямой a .
Отметим точки (·)P, (·)Q и (·)R , не лежащие на прямой a .
Опишем взаимное расположение точек и прямой.
- (·)A ∈ a
- (·)B ∈ a
- (·)P ∉ a
- (·)Q ∉ a
- (·)R ∉ a
Как обозначается пересечение прямых
На рисунке прямые a и b не пересекаются . Прямые b и c пересекаются .
Хотя на чертеже не видно, но прямые a и c тоже пересекаются (это становится ясно, если мысленно продолжить вниз прямые a и с ).
В тексте пересечение прямых обозначают символом ∩ . Информацию на рисунке выше можно записать следующим образом:
- b ∩ c — прямые b и с пересекаются;
- a ∩ c — прямые a и с пересекаются.
Прямые e и g имеют общую точку M . Другими словами, прямые пересекаются в точке M . Геометрическими обозначениями пересечение прямых в точке записывается так:
e ∩ g = (·)M
Прямые e и f не имеют общей точки — т.е. они не пересекаются.
Взаимное расположение прямой и точек
Запомните!
Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну .
Через одну точку (·)A можно провести сколько угодно прямых.
Через две точки (·)A и (·)B можно провести только одну прямую.
Сколько общих точек имеют две прямые
Запомните!
Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.
Докажем утверждение выше. Для этого рассмотрим все возможные случаи расположения двух прямых.
Первый случай расположения прямых
На рисунке выше мы видим, что у прямых f и e нет общих точек, т.к. эти прямые не пересекаются.
Второй случай расположения прямых
Возможен вариант, что прямые f и e пересекаются и, значит, имеют одну общую точку (·)M .
Третий случай расположения прямых
Предположим, что прямые f и e имеют две или больше общих точек. Например, точки (·)A и (·)B .
Но мы знаем, что через две точки можно провести только одну прямую. Значит, прямые f и e совпадают и наше предположение, что у двух прямых может быть две или более общих точек неверно .
Вывод: две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.
Разбор примера
Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.
Решение задачи
Проведём две прямые a и b так, чтобы эти две прямые пересекались, и обозначим точку пересечения.
Как мы видим, точка пересечения только одна. Мы можем провести третью прямую так, чтобы она тоже проходила через эту точку пересечения.
Теперь прямая a пересекается с прямой b , прямая b пересекается с прямой c и прямая c пересекается с прямой a .
В этом случае у нас только одна точка пересечения всех прямых — точка (·)D .
Но возможен и другой вариант. Мы можем провести третью прямую c так, чтобы она не проходила через точку (·)D . Тогда получится три точки пересечения — (·)D, (·)E и (·)F .
Прямая a пересекается с прямой b в точке (·)D , прямая b пересекается с прямой c в точке (·)F и прямая c пересекается с прямой a в точке (·)E . Условие задачи выполнено.
Мы убедились, что возможны оба варианта. Поэтому в ответе запишем их оба.
Ответ: точек пересечения получается одна или три.
Что такое отрезок
Запомните!
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками.
Две точки, ограничивающие отрезок, называются концами отрезка. У отрезка на рисунке выше концы называются S и T .
Сам отрезок можно назвать ST или TS . Когда изображают отрезок, оставшиеся от прямой хвосты можно не рисовать.
В отличии от прямой любой отрезок можно измерить. Т.е. каждый отрезок имеет длину.