Решение задач по математике онлайн
‘.$_COOKIE[’email’].’ Выход’ ); /*
Калькулятор онлайн.
Выделение квадрата двучлена и разложение на множители квадратного трехчлена.
Т.е. задачи сводятся к нахождению чисел \( p, q \) и \( n, m \)
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного трехчлена, рекомендуем с ними ознакомиться.
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.
Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.
Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x — 3,5x^2
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 — 5&6/5x +1/7x^2
Результат: \( 3\frac<1> <3>— 5\frac<6> <5>x + \frac<1><7>x^2 \)
При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)
Разложение квадратного трёхчлена на множители
Если один (или оба) корня квадратного уравнения целые, то полезным навыком становится разложение на множители «в уме», с помощью теоремы Виета.
Навык этот не простой, и если у вас сразу не получится, не расстраивайтесь.
Рассмотрим следующий трёхчлен: $x^2+8x+15$
Если корни трёхчлена существуют, то их произведение равно 15.
Прикинем «в уме» соответствующие пары натуральных чисел:
В трёхчлене $c \gt 0$, значит корни одного знака, и в построении b участвует сумма этих корней. Из пары (1;15) сумма 8 не выходит, а вот из пары (3;5) — получается.
Для выбранной пары (3;5) запишем разложение, пока без знаков:
Теперь видно, что знаки в скобках – два плюса:
Рассмотрим другой трёхчлен: $x^2+2x-35$
Пары натуральных чисел, дающие произведение 35:
В трёхчлене $c \lt 0$, значит корни разных знаков, и в построении b участвует разность этих корней. Из пары (1;35) разность 2 не выходит, а вот из пары (5;7) — получается.
Для выбранной пары (5;7) запишем разложение, пока без знаков:
Теперь видно, что 7 должно быть с плюсом, а 5 – с минусом:
Обобщим алгоритм разложения по теореме Виета.
На входе: приведенный квадратный трёхчлен $x^2+bx+c$
Задача: разложить трёхчлен на множители при гипотезе, что корни — целочисленные
Шаг 1. Записать все пары натуральных чисел (m;n), дающих в произведении c.
Шаг 2. Если $c \gt 0$, то из всех пар выбрать ту, сумма которой даёт b.
Если $c \lt 0$, то из всех пар выбрать ту, разность которой даёт b.
Если выбрать пару не удаётся, данный алгоритм не подходит, и нужно приступить к разложению с помощью дискриминанта.
Шаг 3. Для выбранной пары записать разложение без знаков в виде:
Сопоставляя левую и правую части, окончательно расставить знаки в скобках.
Шаг 4. Работа завершена.
Предложенный алгоритм позволяет не только раскладывать на линейные множители трёхчлены, но и находить их корни, т.е. решать соответствующие квадратные уравнения.
Не забывайте менять знаки при записи решений уравнения!
Решаем $x^2+8x+15 = 0$. Получаем (x+3)(x+5) = 0. Корни $x_1 = -3, x_2 = -5$.
Решаем $x^2+2x-35 = 0$. Получаем (x-5)(x+7) = 0. Корни $x_1 = 5, x_2 = -7$.
При некотором опыте, можно наловчиться раскладывать не только приведенные трёхчлены, например:
$$ 5x^2-14x-3 = (5x+1)(x-3), 3x^2+13x-10 = (3x-2)(x+5), $$
В этих случаях алгоритм усложняется за счёт дополнительных вариантов расстановки коэффициентов при переменной в скобках.
Примеры
Пример 1. Разложите квадратный трёхчлен с помощью дискриминанта:
$ D = 7^2-4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49+32 = 81 = 9^2 $
$ x = \frac<-7 \pm 9> <4>= \left[ \begin
Получаем: $2x^2+7x-4 = 2(x+4) \left(x- \frac<1> <2>\right)$
Можно также записать: $2x^2+7x-4 = (x+4)(2x-1)$
$ D = 20^2-4 \cdot 3 \cdot (-7) = 400+84 = 484 = 22^2 $
$x = \frac<-20 \pm 22> <6>= \left[ \begin
Получаем: $3x^2+20x-7 = 3(x+7) \left(x-\frac<1> <3>\right)$
Можно также записать: $3x^2+20x-7 = (x+7)(3x-1)$
$D = 19^2-4 \cdot 4 \cdot (-5) = 361+80 = 441 = 21^2$
$ x = \frac<19 \pm 21> <8>= \left[ \begin
Получаем: $4x^2-19x-5 = 4 \left(x+ \frac<1> <4>\right)(x-5)$
Можно также записать: $4x^2-19x-5 = (4x+1)(x-5)$
$ D = (\sqrt<2>)^2-4 \cdot \frac<1> <2>= 2-2 = 0, x = \frac<\sqrt<2>> <2>$
Получаем: $x^2-\sqrt <2>x+ \frac<1> <2>= \left(x- \frac<\sqrt<2>> <2>\right)^2 $
Пример 2*. Разложите трёхчлены на множители подбором по теореме Виета:
Пары множителей: (1;12),(2;6),(3;4)
$c = 12 \gt 0 \Rightarrow$ выбираем из пар ту, что в сумме дает b = 7. Это пара (3;4).
Записываем разложение без знаков: $(x…3)(x…4) = x^2+7x+12$
Расставляем знаки, результат: $x^2+7x+12 = (x+3)(x+4)$
Пары множителей: (1;18),(2;9),(3;6)
$c = -18 \lt 0 \Rightarrow$ выбираем из пар ту, разность которой дает b = 3. Это пара (3;6).
Записываем разложение без знаков: $(x…3)(x…6) = x^2+3x-18$
Расставляем знаки, результат: $x^2+3x-18 = (x-3)(x+6)$
Пары множителей: (1;77),(7;11)
$c = -18 \lt 0 \Rightarrow$ выбираем из пар ту, разность которой дает b=4. Это пара (7;11).
Записываем разложение без знаков: $(x…7)(x…11) = x^2+4x-77$
Расставляем знаки, результат: $x^2+4x-77 = (x-7)(x+11)$
Одна пара множителей (1;3)
Возможные разложения с коэффициентом:
$c = -3 \lt 0$, в скобках разные знаки.
Перебираем четыре возможных варианта и получаем:
$$2x^2-x-3 = (2x+3)(x-1) = 2 \left(x+ \frac<3> <2>\right)(x-1)$$
Пример 3. Сократите дробь.
Разложение на множители проводим по формулам сокращенного умножения, с помощью дискриминанта или по теореме Виета.
Разложение квадратного трехчлена на множители
Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:
a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 )
где a – число, коэффициент перед старшим коэффициентом,
x – переменная (то есть буква),
x 1 и x 2 – числа, корни квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0 , которые найдены через дискриминант.
Если квадратное уравнение имеет только один корень , то разложение выглядит так:
a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 0 ) 2
Примеры разложения квадратного трехчлена на множители:
- − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1, x 2 = 7
− x 2 + 6 x + 7 = ( − 1 ) ⋅ ( x − ( − 1 ) ) ( x − 7 ) = − ( x + 1 ) ( x − 7 ) = ( x + 1 ) ( 7 − x )
- − x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2
− x 2 + 4 x − 4 = ( − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 2 = − ( x − 2 ) 2
Если квадратный трехчлен является неполным ( b = 0 или c = 0 ) , то его можно разложить на множители следующими способами:
- c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x ( a x + b )
- b = 0 ⇒ применить формулу сокращенного умножения для разности квадратов.
Задания для самостоятельного решения
№1. Квадратный трёхчлен разложен на множители: x 2 + 6 x − 27 = ( x + 9 ) ( x − a ) . Найдите a .
Решение:
Для начала необходимо приравнять квадратных трехчлен к нулю, чтобы найти x 1 и x 2 .
x 2 + 6 x − 27 = 0
a = 1, b = 6, c = − 27
D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 27 ) = 36 + 108 = 144
D > 0 – значит будет два различных корня.
x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 144 2 ⋅ 1 = [ − 6 + 12 2 = 6 2 = 3 − 6 − 12 2 = − 18 2 = − 9
Зная корни разложим квадратный трехчлен на множители:
x 2 + 6 x − 27 = ( x − ( − 9 ) ) ( x − 3 ) = ( x + 9 ) ( x − 3 )
№2. Уравнение x 2 + p x + q = 0 имеет корни − 5 ; 7. Найдите q .
Решение:
1 способ: (надо знать, как раскладывается квадратный трехчлен на множители)
Если x 1 и x 2 – корни квадратного трехчлена a x 2 + b x + c , то его можно разложить на множители следующим образом: a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 ) .
Поскольку в заданном квадратном трехчлене старший коэффициент (множитель перед x 2 ) равен единице, то разложение будет следующим:
x 2 + p x + q = ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) = ( x − ( − 5 ) ) ( x − 7 ) = ( x + 5 ) ( x − 7 ) = x 2 − 7 x + 5 x − 35 = x 2 − 2 x − 35
x 2 + p x + q = x 2 − 2 x − 35 ⇒ p = − 2, q = − 35
2 способ: (надо знать теорему Виета)
Теорема Виета:
Сумма корней приведенного квадратного трехчлена x 2 + p x + q равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q .
Метод неопределённых коэффициентов
Метод неопределённых коэффициентов — это «полуолимпиадный» приём, с помощью которого вы сможете раскладывать на множители многочлены, которые не раскладываются, и решать уравнения, которые не решаются.:)
В двух словах этот метод звучит так:
В любой непонятной ситуации вводим новую переменную. А затем думаем, что с этой переменной делать.
Сегодня мы детально изучим метод неопределённых коэффициентов. Мы разберём столько разных задач, что не понять этот приём будет просто невозможно. И да: речь пойдёт не только о многочленах.:)
1. Основная идея
Чтобы понять основную идею метода неопределённых коэффициентов, рассмотрим простую наводящую задачу. Допустим, у нас есть квадратный трёхчлен, разложенный на множители:
\[P\left( x \right)=\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)\]
Если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то получится тот же многочлен, записанный в стандартном виде:
Зная разложение на множители, легко получить стандартный вид многочлена. А вот обратный переход — от стандартного вида к множителям — является вычислительно сложной операцией, но всё ещё возможной: считаем дискриминант, находим корни, вспоминаем теорему Виета и т.д.
Немного усложним задачу. Рассмотрим разложение на множители многочлена четвёртой степени (почему именно четвёртой — см. урок. «Разложение на множители»):
\[P\left( x \right)=\left( <
Раскроем скобки и приведём подобные. Вновь получим многочлен в стандартном виде:
Но как выполнить обратную операцию? Как по стандартному виду многочлена определить, на какие множители его можно разложить? Тут на помощь и приходит метод неопределённых коэффициентов.
Проблема разложения на множители
Рассмотрим задачу в общем виде. Допустим, нам нужно разложить на множители многочлен четвёртой степени:
Теорема о нулевом многочлене
Доказательство я вынесу на отдельную страницу (см. урок «Корни многочлена»). Потому что у этой теоремы много применений, но нас сейчас интересует не сама теорема, а лишь одно-единственное следствие из неё:
Вот тут всё становится на свои места!
Основной алгоритм
Пусть даны два представления одного и того же многочлена. Например, в стандартном виде и разложение на множители:
Тогда для нахождения неизвестных коэффициентов в любом из этих разложений необходимо выполнить три шага:
- Раскрыть все скобки и привести подобные, чтобы получить две записи в стандартном виде;
- Приравнять соответствующие коэффициенты, составить систему уравнений;
- Решить эту систему и правильно интерпретировать ответ.
Вот и вся суть метода. Первые два пункта очевидны. Проблемы возникают лишь на третьем шаге, поскольку зачастую системы уравнений получаются нелинейными. И мы детально разберём, как решать подобные системы.
Но для начала — парочка простых задач.:)
Задача 1.1. Основная идея
Задача. Найдите числа $a$, $b$, $c$, при которых многочлены $P\left( x \right)$ и $Q\left( x \right)$ равны:
\[\begin
P\left( x \right) &=2< ^<4>>+3< ^<3>>-5x-2\\ Q\left( x \right) &=\left( ax+3 \right)\left( < ^<3>>-b \right)-3x+c\\ \end \]
Решение. Согласно Теореме 1, многочлены $P\left( x \right)$ и $Q\left( x \right)$ равны, когда в точности равны их коэффициенты. Поэтому раскроем скобки в многочлене $Q\left( x \right)$ и найдём эти коэффициенты:
Для удобства коэффициенты выделены синим цветом. Сравним их с коэффициентами многочлена $P\left( x \right)$:
Чтобы многочлены были равны, должны выполняться равенства
Получили систему уравнения, которая легко решается:
Задача 1.2. Альтернативный подход
Задача. Найдите числа $a$, $b$, $c$, при которых многочлены $P\left( x \right)$ и $Q\left( x \right)$ равны:
\[\begin
P\left( x \right) &=3< ^<4>>+7< ^<3>>+3< ^<2>>+x+2\\ Q\left( x \right) &=\left( x+1 \right)\left( a< ^<3>>+b< ^<2>>-x+c \right)\\ \end \]
Решение. Решим эту задачу двумя способами: «чистым» методом неопределённых коэффициентов и с привлечением схемы Горнера.
Способ 1. «Чистый» метод неопределённых коэффициентов. Раскрываем скобки в многочлене $Q\left( x \right)$:
Приравниваем многочлены $Q\left( x \right)$ и $P\left( x \right)$:
Получим набор из пяти уравнений:
Решаем систему из этих уравнений и получаем ответ:
Способ 2. Привлечение схемы Горнера. Поскольку многочлен $Q\left( x \right)$ разложен на множители, сделаем то же самое и с многочленом $P\left( x \right)$ — выделим из него множитель-двучлен $x+1$. Для этого заполним таблицу для $x=\color
Получили остаток $r=\color
\[P\left( x \right)=\left( x+1 \right)\left( 3<
Приравняем многочлены $P\left( x \right)$ и $Q\left( x \right)$:
И сразу получаем ответ:
Если вам непонятно, как работает схема Горнера и при чём тут разложение на множители, см. урок «Схема Горнера» — это ещё один универсальный алгоритм. Который, как и метод неопределённых коэффициентов, будет полезен во многих нестандартных задачах.
2. Разложение многочлена на множители
Переходим к серьёзным задачам. Всё, что мы решали выше, сводилось к простым линейным уравнениям, которые решались обычной подстановкой.
Теперь мы разберём многочлены четвёртой степени — те самые, с которых начинали рассуждения. И заодно научимся решать нелинейные системы методом целочисленного перебора.
Задача 2.1. Самая стандартная
Задача. Разложите многочлен на множители методом неопределённых коэффициентов:
\[P\left( x \right)=<
^<4>>+2< ^<3>>+2< ^<2>>+10x+25\]
Этот многочлен вообще не имеет действительных корней, в чём легко убедиться, выделив точные квадраты:
Полученная сумма равна нулю только если $x=-5$ и одновременно $x=0$ или $x=-1$. Что, очевидно, невозможно. Следовательно, линейных множителей в разложении не будет.
Зато квадратные множители точно будут, поэтому используем метод неопределённых коэффициентов. Предположим, что многочлен раскладывается на произведение двух квадратных трёхчленов:
Раскрываем скобки и приводим подобные:
Сравниваем коэффициенты полученного многочлена с коэффициентами исходного:
Получили систему из четырёх нелинейных уравнений. Универсального алгоритма для решения таких систем не существует. Однако здесь хорошо работает метод целочисленного перебора.
Рассмотрим последнее уравнение:
Какие числа нужно перемножить, чтобы в произведении получилось 25? Вот несколько вариантов:
Рассмотрим вариант, когда $\color
Подставим $\color
Последнее уравнение является следствием первого, поэтому система равносильна двум уравнениям:
Эта система имеет два решения, которые легко находятся методом подбора: $\color
Но ведь на самом деле это одно и то же разложение — просто множители поменялись местами. Поэтому мы вправе выбрать любой вариант.
Запишем окончательный ответ:
\[P\left( x \right)=\left( <
Важное замечание. После приведения подобных и сравнения коэффициентов мы получили систему из нескольких нелинейных уравнений, которые затем начали решать методом целочисленного перебора.
Такие уравнения будут преследовать нас постоянно — это основная трудность метода неопределённых коэффициентов.
Чтобы в процессе перебора не упустить из виду какой-нибудь вариант, целесообразно составлять таблицу всех возможных вариантов. Например, для равенства $\color
Обратите внимание: в таблице нет варианта $\color
Тем не менее, в некоторых примерах придётся рассматривать все возможные варианты. Один из таких примеров мы рассмотрим чуть позже, а пока давайте потренируемся на более адекватных задачах.:)
Задача 2.2. Снова стандартная
Задача. Разложите многочлен на множители методом неопределённых коэффициентов:
\[P\left( x \right)=<
^<4>>+5< ^<3>>+5< ^<2>>-4x-2\]
Решение. Запишем искомое разложение:
Нужно найти четыре числа: $\color
Сравниваем коэффициенты этого многочлена с коэффициентами исходного:
Получаем четыре уравнения, которые должны выполняться одновременно:
Произведение коэффициентов $\color
Рассмотрим первый вариант: $\color
Вычтем почленно из последнего уравнения первое и получим
Подставляем $\color
Откуда получаем искомое разложение на множители:
\[P\left( x \right)=\left( <
Важное замечание. К сожалению, в процессе целочисленного перебора далеко не всегда верный вариант будет попадаться сразу, на первом же шаге. Когда я собирал материалы для этого урока, иногда верным оказывался лишь четвёртый вариант из четырёх возможных.:)
Поэтому не переживайте, когда видите несовместную систему. Это нормально и даже неизбежно.
И вообще давайте посмотрим, как это выглядит на практике. Например, рассмотрим второй вариант в только что решённой задаче: $\color
Складываем первое уравнение с последним — и тут же получаем проблему:
Получили дробный коэффициент $\color
Но тогда не выполняется второе равенство. Следовательно, система несовместна.
Задача 2.3. Упрощённые выкладки
Задача. Разложите многочлен на множители методом неопределённых коэффициентов:
\[P\left( x \right)=<
^<4>>+< ^<3>>+3< ^<2>>+32x-10\]
В этот раз распишу всё кратко — только основные выкладки. Разложим многочлен $P\left( x \right)$ на два квадратных трёхчлена:
Раскрываем скобки, приводим подобные:
Сравниваем с исходным многочленом:
Получаем четыре уравнения:
Поскольку $\color
Первые три варианта дают несовместные системы с дробными коэффициентами $\color
Решение системы: $\color
\[P\left( x \right)=\left( <
3. Решение уравнений методом неопределённых коэффициентов
Одно из важнейших приложений метода неопределённых коэффициентов — это решение уравнений высших степеней. В самом деле, зачем мы раскладываем многочлен $P\left( x \right)$ на множители? Обычно по одной из двух причин:
- Решить уравнение $P\left( x \right)=0$. Ведь произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю;
- Сократить рациональную дробь вида $
Про рациональные дроби мы поговорим в отдельном уроке (см. урок «Разложение на простейшие»). А вот уравнения мы разберём сейчас.
Допустим, нужно решить уравнение вида
В левой части равенства стоит стандартный многочлен. И если коэффициенты многочлена целые, то мы уже знаем как минимум два способа решения таких уравнений:
- Теорема Безу для отыскания рациональных корней-кандидатов;
- Схема Горнера для быстрой проверки этих кандидатов.
И эта связка отлично работает, когда многочлен имеет рациональные корни вида $x=<\color
>/<\color>\;$. Вот буквально: мы найдём все такие корни и решим уравнение.
А если корни иррациональны? Безу и Горнер тут бесполезны. Зато полезным оказывается разложение на множители, когда вместо большого и страшного многочлена $P\left( x \right)$ в левой части уравнения появится произведение двух многочленов меньшей степени:
\[H\left( x \right)\cdot Q\left( x \right)=0\]
А дальше всё стандартно: произведение равно нулю, когда $H\left( x \right)=0$ или $Q\left( x \right)=0$. И вот мы свели исходную задачу к двум уравнениям меньших степеней, которые наверняка легко решаются.:)
Задача 3.1. «Нерешаемое» уравнение
Это приведённое целочисленное уравнение, но его нельзя решить по теореме Безу и схеме Горнера. Ведь целые корни этого уравнения являются делителями свободного члена $\color
И все они дают ненулевой остаток в схеме Горнера:
Остаётся только метод неопределённых коэффициентов. Разложим уравнение на произведение двух квадратных трёхчленов:
Раскроем скобки и приведём подобные в правой части равенства:
Вспоминаем коэффициенты многочлена в исходном уравнении:
Получаем уже привычный набор из четырёх уравнений:
Рассмотрим последнее уравнение: $\color
Итого два варианта. Рассмотрим первый вариант: $\color
Вычитая из первого уравнения последнее, получаем $\color
Второй вариант: $\color
Складывая первое и последнее уравнение, получаем $\color
Многочлен в первой скобке не имеет действительных корней, во второй — имеет:
\[D=<<1>^<2>>-4\cdot 1\cdot \left( -1 \right)=1+4=5\]
Корней будет два:
Неудивительно, что эти корни не были обнаружены по теореме Безу. Ведь они являются иррациональными.:)
Задача 3.2. «Нерешаемое» уравнение — 2
Это задание похоже на предыдущее, поэтому распишем всё кратко. Ожидаемое разложение на множители:
Найдём такое разложение методом неопределённых коэффициентов. Раскрываем скобки, приводим подобные:
Сравниваем с коэффициентами исходного многочлена:
Выписываем четыре уравнения:
Поскольку $\color
Перебирая варианты, обнаруживаем, что правильная комбинация — это $\color
Дважды прибавим к последнему уравнению первое — получим
Следовательно, исходное уравнение примет вид
Многочлен в первой скобке корней не имеет (в этом легко убедиться, посчитав дискриминант). Рассмотрим вторую скобку:
Уравнение имеет два корня:
Ответ: $x=1\pm \sqrt<3>$.
Задача 3.3. Более сложное уравнение
Итого шесть неизвестных коэффициентов. Для сравнения: раньше их было всего четыре.
Однако задачу можно существенно упростить, если сделать два допущения:
- Оба старших коэффициента — $\color
$ и $\color $ — являются целыми и положительными. - Положим для определённости, что $\color
\gt \color $.
В этом и состоит ключевая идея метода неопределённых коэффициентов: мы вводим дополнительные ограничения, которые в итоге почти наверняка выполняются. Да, есть небольшой риск «промахнуться» в своих допущениях, но это компенсируется многократным упрощением дальнейших выкладок.
Осталось всего четыре неизвестных коэффициента. Раскроем скобки и приведём подобные:
Сравним с коэффициентами исходного уравнения:
Многочлены в первой и второй скобке не являются взаимозаменяемыми (поскольку у них разные коэффициенты при $<
Рассмотрим каждую комбинацию. В первом случае быстро обнаружится, что система несовместна. А вот второй случай, когда $\color
Складываем первое уравнение с последним — получаем
Итак, система совместна. Получили разложение на множители:
Многочлен в первых скобках принимает только положительные значения, поэтому не имеет корней:
Рассмотрим вторые скобки:
Это квадратное уравнение. Дискриминант положительный:
\[D=<<2>^<2>>-4\cdot 1\cdot \left( -1 \right)=4+4=8\]
Следовательно, уравнение имеет два различных корня:
Это и есть корни исходного уравнения четвёртой степени.
Ответ: $x=1\pm \sqrt<2>$.
4. Деление многочлена на многочлен
Ещё одна задача, где работает метод неопределённых коэффициентов — это деление одного многочлена на другой с остатком. Напомню, что разделить многочлен $P\left( x \right)$ на двучлен $T\left( x \right)$ с остатком — это значит представить его в виде
\[P\left( x \right)=Q\left( x \right)\cdot T\left( x \right)+R\left( x \right)\]
При этом степень остатка $R\left( x \right)$ должна быть меньше степени делителя $T\left( x \right)$. Кроме того,
\[\deg Q\left( x \right)+\deg T\left( x \right)=\deg P\left( x \right)\]
При соблюдении таких ограничений многочлены $Q\left( x \right)$ и $R\left( x \right)$ всегда определяются однозначно. Их коэффициенты мы как раз и будем находить.
Задача 4.1. Деление на двучлен
Задача. Используя метод неопределённых коэффициентов, найдите частное $Q\left( x \right)$ и остаток $R\left( x \right)$ при делении многочлена
\[P\left( x \right)=<
^<3>>-5< ^<2>>+15x-6\] на двучлен $T\left( x \right)=x-3$.
Итак, мы хотим представить многочлен $P\left( x \right)$ в виде
\[P\left( x \right)=Q\left( x \right)\cdot \left( x-3 \right)+R\left( x \right)\]
где $Q\left( x \right)$ — неполное частное. Точнее, $Q\left( x \right)$ — квадратный трёхчлен, потому что
\[\begin
Кроме того, степень делителя $\deg T\left( x \right)=1$, поэтому степень остатка $\deg R\left( x \right)=0$, т.е. $R\left( x \right)$ — это просто число. С учётом этих фактов многочлен $P\left( x \right)$ примет вид
Раскроем скобки, приведём подобные слагаемые:
С другой стороны, изначально тот же многочлен $P\left( x \right)$ имел вид
Приравниваем коэффициенты и получаем четыре равенства:
Это система из четырёх уравнений с четырьмя неизвестными, которая легко решается:
Подставим найденные числа в $Q\left( x \right)$ и $R\left( x \right)$:
Ответ: $Q\left( x \right)=<
Впрочем, такие рассуждения актуальны лишь при делении на двучлен вида $x-\color
Задача 4.2. Многочлен с параметром
Задача. При каких значениях параметров $a$ и $b$ многочлен
\[P\left( x \right)=<
^<3>>+a< ^<2>>-x+b\] делится без остатка на многочлен
\[T\left( x \right)=<
^<2>>+2x+5\]
Решение. Если многочлен $P\left( x \right)$ делится без остатка на многочлен $T\left( x \right)$, то его можно представить в виде
\[P\left( x \right)=Q\left( x \right)\cdot T\left( x \right)\]
Здесь многочлен $Q\left( x \right)$ — это частное, и его степень равна
\[\deg Q\left( x \right)=\deg P\left( x \right)-\deg T\left( x \right)=3-2=1\]
\[P\left( x \right)=\left( \color
Найдём коэффициенты $\color
Сравниваем с коэффициентами исходного многочлена:
Приравниваем соответствующие «красные» и «синие» коэффициенты и получаем четыре равенства:
Итак, у нас четыре линейных уравнения и четыре переменных. Эта система имеет только одно решение:
Впрочем, нас интересуют лишь переменные $\color
Задача 4.3. Квадратный трёхчлен
Задача. Используя метод неопределённых коэффициентов, найдите частное $Q\left( x \right)$ и остаток $R\left( x \right)$ при делении многочлена
\[P\left( x \right)=2<
^<2>>+3x-3\] на двучлен $T\left( x \right)=2x-1$.
Решение. Частное $Q\left( x \right)$ имеет степень
\[\deg Q\left( x \right)=\deg P\left( x \right)-\deg T\left( x \right)=2-1=1\]
Сравним с исходным видом этого же многочлена:
Приравниваем соответствующие коэффициенты — получаем три уравнения:
Эта система легко решается:
Следовательно, неполное частное $Q\left( x \right)=x+2$ и остаток $R\left( x \right)=-1$.
Ответ: $Q\left( x \right)=x+2$, $R\left( x \right)=-1$.
Задача 4.4. Сложный многочлен
Задача. Используя метод неопределённых коэффициентов, найдите частное $Q\left( x \right)$ и остаток $R\left( x \right)$ при делении многочлена
\[P\left( x \right)=<
^<5>>-1\] на квадратный трёхчлен $T\left( x \right)=<
^<2>>+2x-1$.
Решение. На самом деле это несложная задача, но вычислений будет много. Запишем результат деления с остатком:
\[P\left( x \right)=Q\left( x \right)\cdot \left( <
Сразу найдём степени неполного частного и остатка:
\[\begin
Переходим к методу неопределённых коэффициентов. Сначала запишем общий вид многочленов $Q\left( x \right)$ и $R\left( x \right)$:
Пусть вас не пугает большое количество переменных. Это нормально для многочленов высших степеней. Подставим наши выражения в формулу для $P\left( x \right)$:
Раскрываем скобки. Для удобства запишем одночлены одинаковой степени в одном и том же столбце:
Приводим подобные слагаемые:
Сравниваем эту запись с исходным многочленом:
Получаем шесть уравнений, которые последовательно решаются:
Подставим найденные коэффициенты в выражения для $Q\left( x \right)$ и $R\left( x \right)$:
Мы нашли неполное частное и остаток от деления. Это и есть окончательный ответ.
Ответ: $Q\left( x \right)=<
5. Выделение точного квадрата
Ещё одно приложение метода неопределённых коэффициентов — это «сворачивание» многочленов по формулам сокращённого умножения:
Здесь всё как в разложении на множители: раскрывать скобки и привести подобные легко, а вот обратный переход — по коэффициентам «угадать» формулу сокращённого умножения — операция весьма нетривиальная.
Такие «нетривиальные операции» регулярно встречаются в задачах с параметрами и при работе с корнями. Параметрам посвящён отдельный урок, а вот корни мы рассмотрим прямо сейчас.
Задача 5.1. Избавление от корня
Решение. Единственное, что здесь можно упростить — это избавиться от внешнего большого корня. Для этого нужно представить подкоренное выражение в виде точного квадрата:
Почему именно такая конструкция возводится в квадрат? Всё просто: в исходной сумме мы видим одно слагаемое с корнем и одно слагаемое без него. Для получения такой суммы исходные слагаемые тоже должны быть разными: одно с корнем, а другое — без него.
Сравниваем полученное разложение с исходным выражением:
Чтобы эти выражения были гарантированно равны друг другу, достаточно потребовать, чтобы слагаемые без корня совпадали. Как и слагаемые с корнем:
Это нелинейная система с двумя переменными, которая легко решается методом подбора:
Научиться раскладывать целые числа на «правильные» слагаемые и множители — вопрос небольшой практики. Просто попробуйте — и вы поймёте, насколько это быстро и легко.
Нам остаётся лишь записать решение:
Затем подставить найденные числа в исходное выражение:
Когда под модулем стоит иррациональное выражение, его знак следует проверять отдельно. Иначе даже при правильном ответе его можно счесть недостаточно обоснованным.
Если вы забыли, как проверять знаки таких выражений, вернитесь к уроку «Знаки иррациональных выражений». В двух словах: для такой проверки используются либо цепочки неравенств, либо цепочки равносильных преобразований.
В следующем задании мы отработаем оба способа.
Задача 5.2. Предварительные преобразования
Под корнем мы видим ещё один корень: $\sqrt<48>$ — это большое число, с ним сложно работать. Поэтому прежде чем искать точный квадрат, немного упростим выражение:
Теперь представляем подкоренное выражение в виде точного квадрата
Обратите внимание: перед нами квадрат разности. Потому что в исходном подкоренном выражении элементы не складывались, а именно вычитались. Этот факт ещё даст о себе знать, когда будем выяснять знак подмодульного выражения.
Ну а пока всё просто. Сравниваем старую запись и новую:
Получаем систему уравнений:
Второе уравнение перепишем в виде $\color
Получили красивое решение:
Возвращаемся к исходному выражению и извлекаем корень:
Чтобы раскрыть модуль, нужно выяснить знак иррационального числа $5-2\sqrt<3>$. Для этого можно заметить, что $\sqrt <3>\lt 2$, поэтому
\[5-2\sqrt <3>\gt 5-2\cdot 2=1 \gt 0\]
Это и есть цепочка неравенств. Также можно напрямую сравнить число $5-2\sqrt<3>$ с нулём:
Очевидно, что $25 \gt 12$, поэтому мы ещё раз убеждаемся, что исходное число положительное, и модуль раскрывается со знаком «плюс»:
Но всё это были довольно простые примеры с квадратным корнем. Как насчёт корней $n$-й степени?
Задача 5.3. Проблема с корнем
Решение. Для начала вспомним свойства корней $n$-й кратности. Их можно умножать:
А также извлекать корень из корня:
В частности, второй корень из задачи можно переписать так:
Чтобы избавиться от внутреннего квадратного корня, представим подкоренное выражение в виде точного квадрата. Но поскольку $\sqrt<10>=\sqrt<5>\cdot \sqrt<2>$, возможны два варианта:
Однако в исходном выражении (т.е. прямо в условии задачи) есть ещё один $\sqrt<10>$, который пока никак не преобразуется и никуда не денется, поэтому целесообразно рассмотреть лишь первый вариант:
Получаем стандартную систему:
Второе уравнение равносильно $\color
Возвращаемся к исходному заданию:
Наконец, рассмотрим задание, где требуется выделить куб суммы и куб разности. Как вы понимаете, это задание совершенно другого уровня сложности.:)
Задача 5.4. Куб суммы и куб разности
Чтобы «красиво» извлечь корень третьей степени, нужно представить подкоренное выражение в виде точного куба. Начнём с суммы:
Получаем систему с двумя неизвестными:
Возвращаемся к исходному выражению:
6. Избавление от иррациональности в знаменателе
Последний приём, который мы рассмотрим в этом уроке — избавление от иррациональностей в знаменателе с помощью неопределённых коэффициентов.
Из курса алгебры мы помним, как избавлять от простых иррациональностей. Например, домножение на квадратный корень:
Или домножение на сопряжённое:
Но всё это касается лишь самых простых корней — квадратных. Уже в случае с кубическими корнями такой фокус не пройдёт. Тут-то на помощь к нам и приходят коэффициенты-переменные.
Задача 6.1. Корень третьей степени
Поскольку это иррациональное число, то никакие преобразования не избавят нас от корней полностью.
Заметим, что $\sqrt[3]<9>=\sqrt[3]<3>\cdot \sqrt[3]<3>$. Попробуем возвести число $\sqrt[3]<3>$ в разные степени:
Итак, все степени числа $\sqrt[3]<3>$ можно разделить на три типа:
- Целые числа $\color
\in \mathbb $; - Иррациональные выражения вида $\color
\sqrt[3]<3>$ где $\color \in \mathbb $; - Выражения вида $\color
\sqrt[3]<9>$, где $\color \in \mathbb $.
Логично предположить (и это можно доказать), что результат деления на $1+\sqrt[3]<9>$ можно представить в виде комбинации слагаемых этих трёх типов:
И тут к делу подключается метод неопределённых коэффициентов. Преобразуем уравнение так, чтобы найти эти коэффициенты. Для начала умножим обе части на $1+\sqrt[3]<9>$:
Группируем слагаемые относительно одинаковых корней:
С учётом этих двух условий само уравнение примет вид
Получили систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:
Важное замечание. Чтобы избавиться от иррациональности конкретно в этой задаче, достаточно было домножить числитель и знаменатель дроби на недостающую часть куба суммы:
\[\begin
\frac<10><1+\sqrt[3]<9>> &=\frac<10\cdot \left( \color <1-\sqrt[3]<9>+\sqrt[3]<<<9>^<2>>>> \right)> <\left( 1+\sqrt[3]<9>\right)\left( \color <1-\sqrt[3]<9>+\sqrt[3]<<<9>^<2>>>> \right)>= \\ &=\ldots =1+3\sqrt[3]<3>-\sqrt[3] <9>\end \] Однако такой подход не работает, когда в знаменателе стоит конструкция вида $\color
+ \color \sqrt[3]<3>+ \color \sqrt[3]<9>$. А метод неопределённых коэффициентов работает всегда.:)
Попробуем решить ещё одну задачу такого же типа.
Задача 6.2. То же самое, но чуть сложнее
Решение. Найдём несколько степеней числа $\sqrt[3]<2>$:
На будущее: для корня $n$-й степени достаточно рассмотреть первые $n$ степеней. В нашем случае достаточно было выписать $\sqrt[3]<2>$, $\sqrt[3]<4>$ и $\sqrt[3]<8>=2$ — новых иррациональных чисел мы уже не получим.
Итак, решаем задачу методом неопределённых коэффициентов. Попробуем подобрать целые (или рациональные) числа $\color
Умножаем обе части уравнения на $2-3\sqrt[3]<2>$:
Раскрываем скобки, приводим подобные:
Это равенство верно при соблюдении трёх условий:
Это система из трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Её решение:
Следовательно, исходное выражение можно переписать так:
Почему не использовать этот приём всегда? Потому что в следующей задаче он уже не сработает. Там помогут только неопределённые коэффициенты и решение системы уравнений.
Задача 6.3. Когда кубы уже не помогают
Это задание чуть сложнее, потому что здесь не помогут формулы сокращённого умножения. Да и сами вычисления будут чуть сложнее, чем в предыдущих задачах.
Мы уже встречались с числами $\sqrt[3]<3>$ и $\sqrt[3]<9>$, поэтому знаем, что исходное выражение можно представить в виде
Преобразуем выражение, избавившись от дроби:
Раскроем скобки, приведём подобные:
Это равенство возможно при соблюдении трёх условий:
Три линейных уравнения, три переменных. Всё решается легко:
Следовательно, исходное выражение перепишется так:
Как видите, никакие кубы суммы здесь уже не помогут.:)
7. Зачем всё это нужно
В этом уроке мы рассмотрели пять типов задач, которые можно решить методом неопределённых коэффициентов. У внимательного читателя наверняка возник вопрос: зачем вообще нужен этот метод, когда многие из этих задач можно решить проще и быстрее с помощью отдельных специальных приёмов?
- Большинство многочленов отлично раскладываются на множители с помощью теоремы Безу и схемы Горнера — об этом мы говорили в отдельном уроке. Но только при условии, что среди корней есть рациональные.
- То же самое можно сказать и про решение уравнений.
- Делить многочлены друг на друга с остатком вообще лучше столбиком. Это самый быстрый и самый надёжный способ — при условии, что среди коэффициентов нет параметров.
- Точные квадраты зачастую можно подобрать, если немного подумать. Как и дополнительные множители для избавления от иррациональности. Если только это не «тяжёлый» случай, где формулы сокращённого умножения не работают.
Так зачем же нужен метод неопределённых коэффициентов? Всё дело в тех самых оговорках: «при условии», «только если не тяжёлый случай» и т.д.
Основная сила этого метода — в его универсальности. Да, считать придётся чуть больше, чем при использовании более специализированных приёмов. И да: целочисленный перебор не всегда приводит нас к успеху.
Но перед нами прежде всего универсальный алгоритм. Который точно работает — всегда, везде, без всяких оговорок. И если задача не решается методом неопределённых коэффициентов, то «специализированные» приёмы тем более не помогут.
Более того: область применения этого метода намного шире. Например, мы не рассмотрели разложение рациональных дробей в простейшие, а это очень важный приём, например, в интегрировании — и ему тоже нет альтернативы.
Поэтому берите на вооружение всё, что вы сегодня узнали, практикуйтесь — и да прибудут с вами решённые задачи, олимпиады и университетские зачёты и экзамены.:)