Как разложить в ряд фурье кусочно заданную функцию

1.5. Разложение в ряд Фурье функции f(X), определённой на отрезке [0, l]

Функцию f(x), определëнную на отрезке [0, l] и являющуюся на этом отрезке кусочно-монотонной и ограниченной, можно разложить в ряд Фурье двумя способами. Для этого достаточно представить продолжение функции на промежуток [–l, 0]. Если продол­жение f(x) на [–l, 0] чётное (симметричное относительно оси ординат), то ряд Фурье можно записать по формулам (1.12–1.13), то есть по косинусам. Если продолжить функцию f(x) на [–l, 0] нечётным образом, то разложение функции в ряд Фурье будет представлено формулами (1.14–1.15), то есть по синусам. При этом оба ряда будут иметь в интервале (0, l) одну и ту же сумму.

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию y = x, заданную на промежутке [0, 1] (см. рис.1.4).

a). Разложение в ряд по косинусам. Строим чётное продолжение функции в соседний промежуток [–1, 0]. График функции вместе с её чётным продолжением на [–1, 0 ] и последующим продолжением (по периоду T = 2) на всю ось 0x показан на рис.1.5.

Так как l = 1, то ряд Фурье для данной функции при чётном разложе­нии будет иметь вид

(1.18)

,

.

В результате получим при

. (1.19)

На всей оси 0x ряд сходится к функции, изображенной на рис.1.4.

2). Разложение в ряд по синусам. Строим нечётное продолжение функции в соседний промежуток [–1, 0]. График функции вместе с её нечётным продолжением на [–1, 0] и последующим периодическим продолжением на всю числовую ось 0x показан на рис.1.6.

При нечëтном разложении

, (1.20)

.

Поэтому ряд Фурье по синусам для данной функции при будет иметь вид

. (1.21)

В точке сумма ряда будет равна нулю, хотя исходная функция равна 1. Это обусловлено тем, что при таком периодическом продолжении точкаx = 1 становится точкой разрыва.

Из сравнения выражений (1.19) и (1.21) следует, что скорость сходимости ряда (1.19) выше, чем ряда (1.21): она определяется в первом случае множителем , а во втором случае множителем ­1/n. Поэтому разложение в ряд по косинусам в данном случае пред­почтительнее.

В общем случае можно показать, что если функция f(x) не обращается в нуль хотя бы на одном из концов промежутка [0, l], то предпочтительнее еë разложение в ряд по косинусам. Это обусловлено тем, что при чётном продолжении в соседний промежуток функция будет непрерывной (см. рис.1.5), и скорость сходимости получающегося ряда будет выше, чем ряда по синусам. Если функция, заданная на [0,l], обращается в нуль на обоих концах интервала, то предпочти­тельнее её разложение в ряд по синусам, так как при этом будет непрерывной не только сама функция f(x), но и её первая произ­водная.

1.6. Обобщённый ряд Фурье

Функции и(n, m = 1, 2, 3,…) называются ортогональными на отрезке [a, b], если при n ≠ m

. (1.22)

При этом предполагается, что

и .

Рассмотрим разложение функции f(x), которая определена на отрезке [a, b], в ряд по системе ортогональных функций

, (1.23)

где коэффициенты (i = 0,1,2. ) являются постоянными числами.

Для определения коэффициентов разложения умножим равенство (1.23) на и проинтегрируем почленно на отрезке [a, b]. Получим равенство

В силу ортогональности функций все интегралы в правой части равенства будут равны нулю, кроме одного (при). Отсюда следует, что

(1.24)

Ряд (1.23) по системе ортогональных функций, коэффициенты которого определяются по формуле (1.24), называется обобщённым рядом Фурье для функции f(x).

Для упрощения формул для коэффициентов применяют, так называемое, нормирование функций. Система функций φ₀(x), φ₁(x),…, φ_n(x),… называется нор­ми­рованной на промежутке [a, b], если

. (1.25)

Справедлива теорема: всякую ортогональную систему функ­­ций можно нормировать. Это означает, что можно подобрать постоянные числа μ₀, μ₁,…, μ_n,… так, чтобы система функций μ₀φ₀(x), μ₁φ₁(x),…, μ_nφ_n(x),… была не только ортогональной, но и нормированной. Действительно, из условия

.

называется нормой функции и обозначается через .

Если система функций нормирована, то, очевидно, . Последовательность функцийφ₀(x), φ₁(x),…, φ_n(x),…, опреде­лённых на отрезке [a, b], является ортонормированной на этом отрезке, если все функции нормированы и взаимно ортогональны на [a, b].

Для ортонормированной системы функций коэффициенты обобщённого ряда Фурье равны

. (1.26)

Пример. Разложить функцию y = 2 – 3x на отрезке в обобщëнный ряд Фурье по системе ортогональных на этом отрезке функций, в качестве которых взять собственные функции задачи на собственные значения

,

предварительно проверив их на квадратичную интегрируемость и ортогональность.

Замечание. Говорят, что функция , заданная на отрезке, есть функция с интегрируемым квадратом, если она сама и еë квадрат интегрируемы на, то есть, если существуют интегралыи.

Решение. Сначала решаем задачу на собственные значения. Общее решение уравнения этой задачи будет

,

а его производная запишется в виде

.

Поэтому из граничных условий следует:

Для существования нетривиального решения необходимо принять

,

откуда следует Поэтому собственные значения параметра равны

,

а соответствующие им собственные функции с точностью до множителя будут

. (1.27)

Проверим полученные собственные функции на ортогональность на отрезке [0, 3/2]:

так как при целых.При этом

.

Следовательно, найденные собственные функции ортогональны на отрезке [0, 3/2].

Разложим заданную функцию в обобщëнный ряд Фурье по системе ортогональных собственных функций (1.27):

, (1.28)

коэффициенты которого вычисляются по (1.24):

. (1.29)

Подставляя (129) в (1.28), окончательно получим

.

Ряды Фурье. Примеры решений

До сих пор мы раскладывали различные функции в степенные ряды, которые уже порядком поднадоели. И я чувствую, что настал момент, когда из стратегических запасов теории пора извлечь новые консервы. Нельзя ли разложить функцию в ряд как-нибудь по-другому? Например, выразить отрезок прямой линии через синусы и косинусы? Кажется невероятным, но такие, казалось бы, далекие друг от друга функции поддаются
«воссоединению». Помимо примелькавшихся степеней в теории и практике существуют и другие подходы к разложению функции в ряд.

На данном уроке мы познакомимся с тригонометрическим рядом Фурье, коснёмся вопроса его сходимости и суммы и, конечно же, разберём многочисленные примеры на разложение функций в ряд Фурье. Искренне хотелось назвать статью «Ряды Фурье для чайников», но это было бы лукавством, поскольку для решения задач потребуются знания других разделов математического анализа и некоторый практический опыт. Поэтому преамбула будет напоминать подготовку космонавтов =)

Во-первых, к изучению материалов страницы следует подойти в отличной форме. Выспавшимися, отдохнувшими и трезвыми. Без сильных эмоций по поводу сломанной лапы хомячка и навязчивых мыслей о тяготах жизни аквариумных рыбок. Ряд Фурье не сложен с точки зрения понимания, однако практические задания требуют просто повышенной концентрации внимания – в идеале следует полностью отрешиться от внешних раздражителей. Ситуация усугубляется тем, что не существует лёгкого способа проверки решения и ответа. Таким образом, если ваше самочувствие ниже среднего, то лучше заняться чем-нибудь попроще. Правда.

Во-вторых, перед полётом в космос необходимо изучить приборную панель космического корабля. Начнём со значений функций, которые должны щёлкаться на автомате:

При любом натуральном значении :

1) . И в самом деле, синусоида «прошивает» ось абсцисс через каждое «пи»:
. В случае отрицательных значений аргумента результат, само собой, будет таким же: .

2) . А вот это знали не все. Косинус «пи эн» представляет собой эквивалент «мигалки»:

Отрицательный аргумент дела не меняет: .

И, в-третьих, уважаемый отряд космонавтов, необходимо уметь… интегрировать.
В частности, уверенно подводить функцию под знак дифференциала, интегрировать по частям и быть в ладах с формулой Ньютона-Лейбница. Начнём важные предполётные упражнения. Категорически не рекомендую пропускать, чтобы потом не плющило в невесомости:

Вычислить определённые интегралы

где принимает натуральные значения.

Решение: интегрирование проводится по переменной «икс» и на данном этапе дискретная переменная «эн» считается константой. Во всех интегралах подводим функцию под знак дифференциала:

Перед применением формулы Ньютона-Лейбница полезно мысленно либо на черновике выполнить проверку. Используя правило дифференцирования сложной функции и не забывая, что – это константа, находим производную от первообразной:
– получена исходная подынтегральная функция, как оно и должно быть.

После интегрирования константа сразу выносится за скобки, и стандартная подстановка проходит без её участия: сначала в вместо «икс» подставляем верхний предел (ноль), затем нижний предел («минус пи»). Синус нуля равен нулю, и как только что отмечалось, при любом натуральном «эн».

Кстати, результат тут виден сразу – интеграл от нечётной функции по симметричному относительно нуля отрезку равен нулю.

Не забываем о промежуточной проверке первообразной:

И на завершающем этапе даже лучше не проводить замены ,
а воспользоваться чётностью косинуса:

Крайне желательно научиться выполнять некоторые действия в уме и записывать решение сокращённо:

Желательно потому, что в рядах Фурье и без этого гелевый стержень опустеет.

Следующие два пункта отличаются усложнённой константой:

Подстановку распишу очень подробно:

Здесь на последнем этапе внесли «минус» в скобку и сделали ответ более компактным, возьмите на заметку этот приём. Также обратите внимание, что в результате применения формулы Ньютона-Лейбница, получено не число, а числовая последовательность.

Короткая версия решения, к которой хорошо бы пристреляться, выглядит так:

Четыре оставшихся пункта самостоятельно. Постарайтесь добросовестно отнестись к заданию и оформить интегралы коротким способом. Образцы решений в конце урока.

После КАЧЕСТВЕННОГО выполнения упражнений надеваем скафандры
и готовимся к старту!

Разложение функции в ряд Фурье на промежутке

Рассмотрим некоторую функцию , которая определена по крайне мере на промежутке (а, возможно, и на бОльшем промежутке). Если данная функция интегрируема на отрезке , то её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье:
, где – так называемые коэффициенты Фурье.

При этом число называют периодом разложения, а число – полупериодом разложения.

Очевидно, что в общем случае ряд Фурье состоит из синусов и косинусов:

Действительно, распишем его подробно:

Нулевой член ряда принято записывать в виде .

Коэффициенты Фурье рассчитываются по следующим формулам:

Прекрасно понимаю, что начинающим изучать тему пока малопонятны новые термины: период разложения, полупериод, коэффициенты Фурье и др. Без паники, это не сравнимо с волнением перед выходом в открытый космос. Во всём разберёмся в ближайшем примере, перед выполнением которого логично задаться насущными практическими вопросами:

Что нужно сделать в нижеследующих заданиях?

Разложить функцию в ряд Фурье. Дополнительно нередко требуется изобразить график функции , график суммы ряда , частичной суммы и в случае изощрённых профессорский фантазий – сделать что-нибудь ещё.

Как разложить функцию в ряд Фурье?

По существу, нужно найти коэффициенты Фурье , то есть, составить и вычислить три определённых интеграла.

Пожалуйста, перепишите общий вид ряда Фурье и три рабочие формулы к себе в тетрадь. Я очень рад, что у некоторых посетителей сайта прямо на моих глазах осуществляется детская мечта стать космонавтом =)

Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке . Построить график , график суммы ряда и частичной суммы .

Решение: первая часть задания состоит в разложении функции в ряд Фурье.

Начало стандартное, обязательно записываем, что:

В данной задаче период разложения , полупериод .

Разложим функцию в ряд Фурье на промежутке :

Используя соответствующие формулы, найдём коэффициенты Фурье. Теперь нужно составить и вычислить три определённых интеграла. Для удобства я буду нумеровать пункты:

1) Первый интеграл самый простой, однако и он уже требует глаз да глаз:

2) Используем вторую формулу:

Данный интеграл хорошо знаком и берётся он по частям:

В рассматриваемом задании сподручнее сразу использовать формулу интегрирования по частям в определённом интеграле :

Пара технических замечаний. Во-первых, после применения формулы всё выражение нужно заключить в большие скобки, так как перед исходным интегралом находится константа . Не теряем её! Скобки можно раскрыть на любом дальнейшем шаге, я это сделал в самую последнюю очередь. В первом «куске» проявляем крайнюю аккуратность в подстановке, как видите, константа не при делах, и пределы интегрирования подставляются в произведение . Данное действие выделено квадратными скобками. Ну а интеграл второго «куска» формулы вам хорошо знаком из тренировочного задания 😉

И самое главное – предельная концентрация внимания!

3) Ищем третий коэффициент Фурье:

Получен родственник предыдущего интеграла, который тоже интегрируется по частям:

Этот экземпляр чуть сложнее, закомментирую дальнейшие действия пошагово:

(1) Выражение полностью заключаем в большие скобки. Не хотел показаться занудой, слишком уж часто теряют константу .

(2) В данном случае я немедленно раскрыл эти большие скобки. Особое внимание уделяем первому «куску»: константа курит в сторонке и не участвует в подстановке пределов интегрирования ( и ) в произведение . Ввиду загромождённости записи это действие снова целесообразно выделить квадратными скобками. Со вторым «куском» всё проще: здесь дробь появилась после раскрытия больших скобок, а константа – в результате интегрирования знакомого интеграла 😉

(3) В квадратных скобках проводим преобразования , а в правом интеграле – подстановку пределов интегрирования.

(4) Выносим «мигалку» из квадратных скобок: , после чего раскрываем внутренние скобки: .

(5) Взаимоуничтожаем 1 и –1 в скобках и проводим окончательные упрощения.

Наконец-то найдены все три коэффициента Фурье:

Подставим их в формулу :

При этом не забываем разделить пополам. На последнем шаге константа («минус два»), не зависящая от «эн», вынесена за пределы суммы.

Таким образом, мы получили разложение функции в ряд Фурье на промежутке :

Изучим вопрос сходимости ряда Фурье. Я объясню теорию, в частности теорему Дирихле, буквально «на пальцах», поэтому если вам необходимы строгие формулировки, пожалуйста, обратитесь к учебнику по математическому анализу (например, 2-й том Бохана; или 3-й том Фихтенгольца, но в нём труднее).

Во второй части задачи требуется изобразить график , график суммы ряда и график частичной суммы .

График функции представляет собой обычную прямую на плоскости, которая проведена чёрным пунктиром:

Разбираемся с суммой ряда . Как вы знаете, функциональные ряды сходятся к функциям. В нашем случае построенный ряд Фурье при любом значении «икс» сойдётся к функции , которая изображена красным цветом. Данная функция терпит разрывы 1-го рода в точках , но определена и в них (красные точки на чертеже)

Таким образом: . Легко видеть, что заметно отличается от исходной функции , именно поэтому в записи ставится значок «тильда», а не знак равенства.

Изучим алгоритм, по которому удобно строить сумму ряда.

На центральном интервале ряд Фурье сходится к самой функции (центральный красный отрезок совпадает с чёрным пунктиром линейной функции).

Теперь немного порассуждаем о природе рассматриваемого тригонометрического разложения. В ряд Фурье входят только периодические функции (константа, синусы и косинусы), поэтому сумма ряда тоже представляет собой периодическую функцию.

Что это значит в нашем конкретном примере? А это обозначает то, что сумма ряда – непременно периодична и красный отрезок интервала обязан бесконечно повторяться слева и справа.

Думаю, сейчас окончательно прояснился смысл фразы «период разложения ». Упрощённо говоря, через каждые ситуация вновь и вновь повторяется.

На практике обычно достаточно изобразить три периода разложения, как это сделано на чертеже. Ну и ещё «обрубки» соседних периодов – чтобы было понятно, что график продолжается.

Особый интерес представляют точки разрыва 1-го рода. В таких точках ряд Фурье сходится к изолированным значениям, которые расположены ровнёхонько посередине «скачка» разрыва (красные точки на чертеже). Как узнать ординату этих точек? Сначала найдём ординату «верхнего этажа»: для этого вычислим значение функции в крайней правой точке центрального периода разложения: . Чтобы вычислить ординату «нижнего этажа» проще всего взять крайнее левое значение этого же периода: . Ордината среднего значения – это среднее арифметическое суммы «верха и низа»: . Приятным является тот факт, что при построении чертежа вы сразу увидите, правильно или неправильно вычислена середина.

Построим частичную сумму ряда и заодно повторим смысл термина «сходимость». Мотив известен ещё из урока о сумме числового ряда. Распишем наше богатство подробно:

Чтобы составить частичную сумму необходимо записать нулевой + ещё два члена ряда. То есть,

На чертеже график функции изображен зелёным цветом, и, как видите, он достаточно плотно «обвивает» полную сумму . Если рассмотреть частичную сумму из пяти членов ряда , то график этой функции будет ещё точнее приближать красные линии, если сто членов – то «зелёный змий» фактически полностью сольётся с красными отрезками и т.д. Таким образом, ряд Фурье сходится к своей сумме .

Интересно отметить, что любая частичная сумма – это непрерывная функция, однако полная сумма ряда всё же разрывна.

На практике не так уж редко требуется построить и график частичной суммы. Как это сделать? В нашем случае необходимо рассмотреть функцию на отрезке , вычислить её значения на концах отрезка и в промежуточных точках (чем больше точек рассмотрите – тем точнее будет график). Затем следует отметить данные точки на чертеже и аккуратно изобразить график на периоде , после чего «растиражировать» его на соседние промежутки. А как иначе? Ведь приближение – это тоже периодическая функция… …чем-то мне её график напоминает ровный ритм сердца на дисплее медицинского прибора.

Выполнять построение, конечно, не сильно удобно, так как и приходится проявлять сверхаккуратность, выдерживая точность не меньше, чем до половины миллиметра. Впрочем, читателей, которые не в ладах с черчением, обрадую – в «реальной» задаче выполнять чертёж нужно далеко не всегда, где-то в 50% случаев требуется разложить функцию в ряд Фурье и всё.

После выполнения чертежа завершаем задание:

Ответ:

Во многих задачах функция терпит разрыв 1-го рода прямо на периоде разложения:

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на отрезке . Начертить график функции и полной суммы ряда.

Предложенная функция задана кусочным образом (причём, заметьте, только на отрезке ) и терпит разрыв 1-го рода в точке . Можно ли вычислить коэффициенты Фурье? Без проблем. И левая и правая части функции интегрируемы на своих промежутках, поэтому интегралы в каждой из трёх формул следует представить в виде суммы двух интегралов. Посмотрим, например, как это делается у нулевого коэффициента:

Второй интеграл оказался равным нулю, что убавило работы, но так бывает далеко не всегда.

Аналогично расписываются два других коэффициента Фурье.

Как изобразить сумму ряда? На левом интервале чертим отрезок прямой , а на интервале – отрезок прямой (жирно-жирно выделяем участок оси ). То есть, на промежутке разложения сумма ряда совпадает с функцией везде, кроме трёх «нехороших» точек. В точке разрыва функции ряд Фурье сойдётся к изолированному значению, которое располагается ровно посередине «скачка» разрыва. Его нетрудно увидеть и устно: левосторонний предел: , правосторонний предел: и, очевидно, что ордината средней точки равна 0,5.

В силу периодичности суммы , картинку необходимо «размножить» на соседние периоды, в частности изобразить то же самое на интервалах и . При этом, в точках ряд Фурье сойдётся к срединным значениям.

По сути-то ничего нового здесь нет.

Постарайтесь самостоятельно справиться с данной задачей. Примерный образец чистового оформления и чертёж в конце урока.

Далее возникает закономерный вопрос: если схема работает на отрезке , то почему бы её не применить к разложению функций в ряд Фурье на промежутках или на каком-нибудь другом периоде?

Разложение функции в ряд Фурье на произвольном периоде

Для произвольного периода разложения , где «эль» – любое положительное число, формулы ряда Фурье и коэффициентов Фурье отличаются немного усложнённым аргументом синуса и косинуса:

Если , то получаются формулы промежутка , с которых мы начинали.

Алгоритм и принципы решения задачи полностью сохраняются, но возрастает техническая сложность вычислений:

Разложить функцию в ряд Фурье и построить график суммы.

Решение: фактически аналог Примера № 3 с разрывом 1-го рода в точке . В данной задаче период разложения , полупериод . Функция определена только на полуинтервале , но это не меняет дела – важно, что оба куска функции интегрируемы.

Разложим функцию в ряд Фурье:

Поскольку функция разрывна в начале координат, то каждый коэффициент Фурье очевидным образом следует записать в виде суммы двух интегралов:

1) Первый интеграл распишу максимально подробно:

2) Тщательным образом вглядываемся в поверхность Луны:

Второй интеграл берём по частям:

На что следует обратить пристальное внимание, после того, как мы звёздочкой открываем продолжение решения?

Во-первых, не теряем первый интеграл , где сразу же выполняем подведение под знак дифференциала. Во-вторых, не забываем злополучную константу перед большими скобками и не путаемся в знаках при использовании формулы . Большие скобки, всё-таки удобнее раскрывать сразу же на следующем шаге.

Остальное дело техники, затруднения может вызвать только недостаточный опыт решения интегралов.

Да, не зря именитые коллеги французского математика Фурье возмущались – как это тот посмел раскладывать функции в тригонометрические ряды?! =) К слову, наверное, всем интересен практический смысл рассматриваемого задания. Сам Фурье работал над математической моделью теплопроводности, а впоследствии ряд, названный его именем стал применяться для исследования многих периодических процессов, коих в окружающем мире видимо-невидимо. Сейчас, кстати, поймал себя на мысли, что не случайно сравнил график второго примера с периодическим ритмом сердца. Желающие могут ознакомиться с практическим применением преобразования Фурье в сторонних источниках. …Хотя лучше не надо – будет вспоминаться, как Первая Любовь =)

3) Учитывая неоднократно упоминавшиеся слабые звенья, разбираемся с третьим коэффициентом:

Интегрируем по частям:

Подставим найдённые коэффициенты Фурье в формулу , не забывая поделить нулевой коэффициент пополам:

Построим график суммы ряда. Кратко повторим порядок действий: на интервале строим прямую , а на интервале – прямую . При нулевом значении «икс» ставим точку посередине «скачка» разрыва и «тиражируем» график на соседние периоды:

На «стыках» периодов сумма также будет равна серединам «скачка» разрыва .

Готово. Напоминаю, что сама функция по условию определена только на полуинтервале и, очевидно, совпадает с суммой ряда на интервалах

Ответ:

Иногда кусочно-заданная функция бывает и непрерывна на периоде разложения. Простейший образец: . Решение (см. 2-й том Бохана) такое же, как и двух предыдущих примерах: несмотря на непрерывность функции в точке , каждый коэффициент Фурье выражается суммой двух интегралов.

На промежутке разложения точек разрыва 1-го рода и/или точек «стыка» графика может быть и больше (две, три и вообще любое конечное количество). Если функция интегрируема на каждой части, то она также разложима в ряд Фурье. Но из практического опыта такую жесть что-то не припоминаю. Тем не менее, встречаются более трудные задания, чем только что рассмотренное, и в конце статьи для всех желающих есть ссылки на ряды Фурье повышенной сложности.

А пока расслабимся, откинувшись в креслах и созерцая бескрайние звёздные просторы:

Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке и построить график суммы ряда.

В данной задаче функция непрерывна на полуинтервале разложения, что упрощает решение. Всё очень похоже на Пример № 2. С космического корабля никуда не деться – придётся решать =) Примерный образец оформления в конце урока, график прилагается.

Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций

С чётными и нечётными функциями процесс решения задачи заметно упрощается. И вот почему. Вернёмся к разложению функции в ряд Фурье на периоде «два пи» и произвольном периоде «два эль» .

Предположим, что наша функция чётна. Общий же член ряда, как вы видите, содержит чётные косинусы и нечётные синусы. А если мы раскладываем ЧЁТНУЮ функцию, то зачем нам нечётные синусы?! Давайте обнулим ненужный коэффициент: .

Таким образом, чётная функция раскладывается в ряд Фурье только по косинусам:

Поскольку интегралы от чётных функций по симметричному относительно нуля отрезку интегрирования можно удваивать, то упрощаются и остальные коэффициенты Фурье.

Для произвольного промежутка:

К хрестоматийным примерам, которые есть практически в любом учебнике по матанализу, относятся разложения чётных функций . Кроме того, они неоднократно встречались и в моей личной практике:

Дана функция . Требуется:

1) разложить функцию в ряд Фурье с периодом , где – произвольное положительное число;

2) записать разложение на промежутке , построить функцию и график полной суммы ряда .

Решение: в первом пункте предлагается решить задачу в общем виде, и это очень удобно! Появится надобность – просто подставьте своё значение.

1) В данной задаче период разложения , полупериод . В ходе дальнейших действий, в частности при интегрировании, «эль» считается константой

Функция является чётной, а значит, раскладывается в ряд Фурье только по косинусам: .

Коэффициенты Фурье ищем по формулам . Обратите внимание на их безусловные преимущества. Во-первых, интегрирование проводится по положительному отрезку разложения, а значит, мы благополучно избавляемся от модуля , рассматривая из двух кусков только «икс». И, во-вторых, заметно упрощается интегрирование.

Интегрируем по частям:

Таким образом:
, при этом константу , которая не зависит от «эн», выносим за пределы суммы.

Ответ:

2) Запишем разложение на промежутке , для этого в общую формулу подставляем нужное значение полупериода :

В данном случае сумма ряда непрерывна, и, разумеется, чётна. Построение графика вряд ли нуждается в комментариях:

Хотел ещё построить частичную сумму , но её график практически совпал с «красной пилой» – настолько хорошо уже такое малое количество слагаемых приближает полную сумму.

Ответ:

Думаю, все представили, как «водят хороводы» параболы при разложении функции . И, чтобы никому не было обидно, я прикреплю этот пример к дополнительным материалам.

Если – нечётная функция, то в разложениях Фурье , оказываются лишними чётные косинусы, из чего следует равенство . Более того, коэффициент тоже равен нулю, в чём легко убедиться аналитически: интеграл от нечётной функции по симметричному относительно нуля отрезку равен нулю: .

Таким образом, нечётная функция раскладывается в ряд Фурье только по синусам:
на промежутке или на произвольном периоде.

При этом необходимо вычислить единственный коэффициент Фурье:
или соответственно.

Небольшая миниатюра для самостоятельного решения:

Разложить функцию в ряд Фурье и построить график суммы ряда не менее чем на трёх периодах

Решение и ответ в конце урока.

Разложение чётной функции часто маскируют типовой формулировкой, пример:

Разложить функцию в ряд Фурье по косинусам на промежутке .

Если по условию не нужно чертежа, тихой сапой применяем формулы и даём ответ в виде . Про чётность можно скромно умолчать 😉

Но если дополнительно требуется построить график суммы, то необходимо понимать следующее: разложение по косинусам отобразит отрезок прямой (чёрная линия) чётным образом (симметрично относительно оси ) на интервал (зелёная линия), и, очевидно, функция будет иметь непрерывный пилообразный график:

В ряде случаев симметричное продолжение функции надо записать аналитически. Начинающим рекомендую графический метод: сначала на промежутке чертим отрезок прямой , затем, симметрично относительно оси ординат – его «зелёного» коллегу. Находим уравнение прямой , которая содержит зелёный отрезок (устно, или, например, по двум точкам).

Таким образом, эта же задача может быть сформулирована по-другому:
Разложить функцию в ряд Фурье.

Кстати, эта интерпретация вообще коварно умалчивает о чётности функции и может наказать двойным объёмом работы по общим формулам 😉 Поэтому в случае подозрительной похожести кусков функции (а чайникам – в любом случае!) имеет смысл сразу же изобразить её на чертеже.

Условие чётности нетрудно проверить и аналитически. В левую часть функции подставляем «минус икс»: – в результате чего «на выходе» получаем правую часть.

Решение данного примера есть в соответствующем архиве (Папка Ряды_7), который можно бесплатно закачать на странице Готовые задачи по высшей математике.

Аналогично вуалируется нечётность:

Разложить функцию в ряд Фурье по синусам на промежутке .

Если чертёж не нужен, ищем коэффициент и записываем ответ в виде . О нечётности снова молчок 😉 Однако в любом случае полезно знать следующее: разложение по синусам отобразит отрезок прямой (чёрная линия) нечётным образом (симметрично относительно начала координат) на интервал (зелёная линия). И внимательный читатель статьи без труда изобразит график суммы ряда:

Составим уравнение «зелёного» продолжения (например, по предложенному в предыдущем пункте алгоритму) и перепишем задачу в эквивалентной формулировке:
Разложить функцию в ряд Фурье.

Выглядит опять провокационно, и если вам встретилось похожее условие, то сначала постройте график функции и изучите его на предмет симметрии – чтобы не пришлось использовать общие формулы разложения.

Проверим условие нечётности аналитически, для этого в левый кусок функции подставляем «минус икс»: – в результате чего «на выходе» получается правый кусок с противоположным знаком.

Вот, пожалуй, и все основные сведения о рядах Фурье, которых должно хватить для решения многих практических примеров. Надо сказать, что материал был непростой, причём изложить его доступно тоже было далеко не просто. Но вроде получилось неплохо.

Наш полёт подошёл к концу, и есть такое подозрение, что немалая часть экипажа хочет отправиться в экспедицию на Марс =) Дополнительные задачи с решениями можно закачать в Банке готовых работ, причём среди них есть и более редкие задания по теме – нахождение спектра амплитуд, суммы ряда в различных точках и т.д. Кроме того, я создал дополнительную pdf-ку, в которую включил примеры, не вошедшие в статью (всё-таки нужно соблюдать разумные рамки), а также ряды Фурье повышенной сложности, в своё время решённые на заказ студентам солидного технического ВУЗа.

Удачного путешествия – и обязательно возвращайтесь!

Решения и ответы:

Пример 1: Решение:

Пример 3: Решение: В данной задаче период разложения , полупериод . Разложим функцию в ряд Фурье: .
Используя соответствующие формулы, вычислим коэффициенты Фурье:

Интегрируем по частям:

Интегрируем по частям:

Искомое разложение имеет вид:

В данном случае:

Изобразим на чертеже исходную функцию (чёрный пунктир/точки) и график суммы ряда:

Ответ:

Пример 5: Решение: в данной задаче период разложения , полупериод .
Разложим функцию в ряд Фурье:

Используя соответствующие формулы, вычислим коэффициенты Фурье:

Интегрируем по частям:

Интегрируем по частям:

Таким образом:

Изобразим на чертеже сумму ряда:

Ответ:

Пример 7: Решение: в данной задаче период разложения , полупериод . Функция является нечётной, а значит, раскладывается в ряд Фурье только по синусам: .
Вычислим коэффициент Фурье:

Таким образом:
Построим график суммы ряда:

Ответ:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Contented.ru – онлайн школа дизайна

SkillFactory – получи востребованную IT профессию!

Практическое применение преобразования Фурье для анализа сигналов. Введение для начинающих

Во многих случаях задача получения (вычисления) спектра сигнала выглядит следующим образом. Имеется АЦП, который с частотой дискретизации Fd преобразует непрерывный сигнал, поступающий на его вход в течение времени Т, в цифровые отсчеты — N штук. Далее массив отсчетов подается в некую программку, которая выдает N/2 каких-то числовых значений (программист, который утянул из инета написал программку, уверяет, что она делает преобразование Фурье).

Чтобы проверить, правильно ли работает программа, сформируем массив отсчетов как сумму двух синусоид sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) и подсунем программке. Программа нарисовала следующее:

рис.1 График временной функции сигнала

рис.2 График спектра сигнала

На графике спектра имеется две палки (гармоники) 5 Гц с амплитудой 0.5 В и 10 Гц — с амплитудой 1 В, все как в формуле исходного сигнала. Все отлично, программист молодец! Программа работает правильно.

Это значит, что если мы подадим на вход АЦП реальный сигнал из смеси двух синусоид, то мы получим аналогичный спектр, состоящий из двух гармоник.

Итого, наш реальный измеренный сигнал, длительностью 5 сек, оцифрованный АЦП, то есть представленный дискретными отсчетами, имеет дискретный непериодический спектр.

Теперь начальство решило мы решили, что 5 секунд — это слишком долго, давай измерять сигнал за 0.5 сек.

рис.3 График функции sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) на периоде измерения 0.5 сек

рис.4 Спектр функции

Что-то как бы не то! Гармоника 10 Гц рисуется нормально, а вместо палки на 5 Гц появилось несколько каких-то непонятных гармоник. Смотрим в интернетах, что да как…

Во, говорят, что в конец выборки надо добавить нули и спектр будет рисоваться нормальный.

рис.5 Добили нулей до 5 сек

рис.6 Получили спектр

Все равно не то, что было на 5 секундах. Придется разбираться с теорией. Идем в Википедию — источник знаний.

2. Непрерывная функция и представление её рядом Фурье

Математически наш сигнал длительностью T секунд является некоторой функцией f(x), заданной на отрезке <0, T>(X в данном случае — время). Такую функцию всегда можно представить в виде суммы гармонических функций (синусоид или косинусоид) вида:

(1), где:

k — номер тригонометрической функции ( номер гармонической составляющей, номер гармоники)
T — отрезок, где функция определена (длительность сигнала)
Ak — амплитуда k-ой гармонической составляющей,
θk- начальная фаза k-ой гармонической составляющей

Что значит «представить функцию в виде суммы ряда»? Это значит, что, сложив в каждой точке значения гармонических составляющих ряда Фурье, мы получим значение нашей функции в этой точке.

(Более строго, среднеквадратичное отклонение ряда от функции f(x) будет стремиться к нулю, но несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно. См. https://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Фурье.)

Этот ряд может быть также записан в виде:

(2),
где , k-я комплексная амплитуда.

(3)

Связь между коэффициентами (1) и (3) выражается следующими формулами:

Отметим, что все эти три представления ряда Фурье совершенно равнозначны. Иногда при работе с рядами Фурье бывает удобнее использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента, то есть использовать преобразование Фурье в комплексной форме. Но нам удобно использовать формулу (1), где ряд Фурье представлен в виде суммы косинусоид с соответствующими амплитудами и фазами. В любом случае неправильно говорить, что результатом преобразования Фурье действительного сигнала будут комплексные амплитуды гармоник. Как правильно говорится в Вики «Преобразование Фурье (ℱ) — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию, также вещественной переменной.»

Итого:
Математической основой спектрального анализа сигналов является преобразование Фурье.

Преобразование Фурье позволяет представить непрерывную функцию f(x) (сигнал), определенную на отрезке <0, T>в виде суммы бесконечного числа (бесконечного ряда) тригонометрических функций (синусоид и\или косинусоид) с определёнными амплитудами и фазами, также рассматриваемых на отрезке <0, T>. Такой ряд называется рядом Фурье.

Отметим еще некоторые моменты, понимание которых требуется для правильного применения преобразования Фурье к анализу сигналов. Если рассмотреть ряд Фурье (сумму синусоид) на всей оси Х, то можно увидеть, что вне отрезка <0, T>функция представленная рядом Фурье будет будет периодически повторять нашу функцию.

Например, на графике рис.7 исходная функция определена на отрезке <-T\2, +T\2>, а ряд Фурье представляет периодическую функцию, определенную на всей оси х.

Это происходит потому, что синусоиды сами являются периодическими функциями, соответственно и их сумма будет периодической функцией.

рис.7 Представление непериодической исходной функции рядом Фурье

Наша исходная функция — непрерывная, непериодическая, определена на некотором отрезке длиной T.
Спектр этой функции — дискретный, то есть представлен в виде бесконечного ряда гармонических составляющих — ряда Фурье.
По факту, рядом Фурье определяется некоторая периодическая функция, совпадающая с нашей на отрезке <0, T>, но для нас эта периодичность не существенна.

Периоды гармонических составляющих кратны величине отрезка <0, T>, на котором определена исходная функция f(x). Другими словами, периоды гармоник кратны длительности измерения сигнала. Например, период первой гармоники ряда Фурье равен интервалу Т, на котором определена функция f(x). Период второй гармоники ряда Фурье равен интервалу Т/2. И так далее (см. рис. 8).

рис.8 Периоды (частоты) гармонических составляющих ряда Фурье (здесь Т=2π)

Соответственно, частоты гармонических составляющих кратны величине 1/Т. То есть частоты гармонических составляющих Fk равны Fk= к\Т, где к пробегает значения от 0 до ∞, например к=0 F0=0; к=1 F1=1\T; к=2 F2=2\T; к=3 F3=3\T;… Fk= к\Т (при нулевой частоте — постоянная составляющая).

Пусть наша исходная функция, представляет собой сигнал, записанный в течение Т=1 сек. Тогда период первой гармоники будет равен длительности нашего сигнала Т1=Т=1 сек и частота гармоники равна 1 Гц. Период второй гармоники будет равен длительности сигнала, деленной на 2 (Т2=Т/2=0,5 сек) и частота равна 2 Гц. Для третьей гармоники Т3=Т/3 сек и частота равна 3 Гц. И так далее.

Шаг между гармониками в этом случае равен 1 Гц.

Таким образом сигнал длительностью 1 сек можно разложить на гармонические составляющие (получить спектр) с разрешением по частоте 1 Гц.
Чтобы увеличить разрешение в 2 раза до 0,5 Гц — надо увеличить длительность измерения в 2 раза — до 2 сек. Сигнал длительностью 10 сек можно разложить на гармонические составляющие (получить спектр) с разрешением по частоте 0,1 Гц. Других способов увеличить разрешение по частоте нет.

Существует способ искусственного увеличения длительности сигнала путем добавления нулей к массиву отсчетов. Но реальную разрешающую способность по частоте он не увеличивает.

3. Дискретные сигналы и дискретное преобразование Фурье

С развитием цифровой техники изменились и способы хранения данных измерений (сигналов). Если раньше сигнал мог записываться на магнитофон и храниться на ленте в аналоговом виде, то сейчас сигналы оцифровываются и хранятся в файлах в памяти компьютера в виде набора чисел (отсчетов).

Обычная схема измерения и оцифровки сигнала выглядит следующим образом.

рис.9 Схема измерительного канала

Сигнал с измерительного преобразователя поступает на АЦП в течение периода времени Т. Полученные за время Т отсчеты сигнала (выборка) передаются в компьютер и сохраняются в памяти.

рис.10 Оцифрованный сигнал — N отсчетов полученных за время Т

Какие требования выдвигаются к параметрам оцифровки сигнала? Устройство, преобразующее входной аналоговый сигнал в дискретный код (цифровой сигнал) называется аналого-цифровой преобразователь (АЦП, англ. Analog-to-digital converter, ADC) ( Wiki).

Одним из основных параметров АЦП является максимальная частота дискретизации (или частота семплирования, англ. sample rate) — частота взятия отсчетов непрерывного во времени сигнала при его дискретизации. Измеряется в герцах. (( Wiki))

Согласно теореме Котельникова, если непрерывный сигнал имеет спектр, ограниченный частотой Fмакс, то он может быть полностью и однозначно восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым через интервалы времени , т.е. с частотой Fd ≥ 2*Fмакс, где Fd — частота дискретизации; Fмакс — максимальная частота спектра сигнала. Другими слова частота оцифровки сигнала (частота дискретизации АЦП) должна как минимум в 2 раза превышать максимальную частоту сигнала, который мы хотим измерить.

А что будет, если мы будем брать отсчеты с меньшей частотой, чем требуется по теореме Котельникова?

В этом случае возникает эффект «алиасинга» (он же стробоскопический эффект, муаровый эффект), при котором сигнал высокой частоты после оцифровки превращается в сигнал низкой частоты, которого на самом деле не существует. На рис. 11 красная синусоида высокой частоты — это реальный сигнал. Синяя синусоида более низкой частоты — фиктивный сигнал, возникающий вследствие того, за время взятия отсчета успевает пройти больше, чем пол-периода высокочастотного сигнала.

Рис. 11. Появление ложного сигнала низкой частоты при недостаточно высокой частоте дискретизации

Чтобы избежать эффекта алиасинга перед АЦП ставят специальный антиалиасинговый фильтр — ФНЧ (фильтр нижних частот), который пропускает частоты ниже половины частоты дискретизации АЦП, а более высокие частоты зарезает.

Для того, чтобы вычислить спектр сигнала по его дискретным отсчетам используется дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Отметим еще раз, что спектр дискретного сигнала «по определению» ограничен частотой Fмакс, меньшей половине частоты дискретизации Fd. Поэтому спектр дискретного сигнала может быть представлен суммой конечного числа гармоник, в отличие от бесконечной суммы для ряда Фурье непрерывного сигнала, спектр которого может быть неограничен. Согласно теореме Котельникова максимальная частота гармоники должна быть такой, чтобы на нее приходилось как минимум два отсчета, поэтому число гармоник равно половине числа отсчетов дискретного сигнала. То есть если в выборке имеется N отсчетов, то число гармоник в спектре будет равно N/2.

Рассмотрим теперь дискретное преобразование Фурье (ДПФ).

Сравнивая с рядом Фурье

видим, что они совпадают, за исключением того, что время в ДПФ имеет дискретный характер и число гармоник ограничено величиной N/2 — половиной числа отсчетов.

Формулы ДПФ записываются в безразмерных целых переменных k, s, где k – номера отсчетов сигнала, s – номера спектральных составляющих.
Величина s показывает количество полных колебаний гармоники на периоде Т (длительности измерения сигнала). Дискретное преобразование Фурье используется для нахождения амплитуд и фаз гармоник численным методом, т.е. «на компьютере»

Возвращаясь к результатам, полученным в начале. Как уже было сказано выше, при разложении в ряд Фурье непериодической функции (нашего сигнала), полученный ряд Фурье фактически соответствует периодической функции с периодом Т. (рис.12).

рис.12 Периодическая функция f(x) с периодом Т0, с периодом измерения Т>T0

Как видно на рис.12 функция f(x) периодическая с периодом Т0. Однако из-за того, что длительность измерительной выборки Т не совпадает с периодом функции Т0, функция, получаемая как ряд Фурье, имеет разрыв в точке Т. В результате спектр данной функции будет содержать большое количество высокочастотных гармоник. Если бы длительность измерительной выборки Т совпадала с периодом функции Т0, то в полученном после преобразования Фурье спектре присутствовала бы только первая гармоника (синусоида с периодом равным длительности выборки), поскольку функция f(x) представляет собой синусоиду.

Другими словами, программа ДПФ «не знает», что наш сигнал представляет собой «кусок синусоиды», а пытается представить в виде ряда периодическую функцию, которая имеет разрыв из-за нестыковки отдельных кусков синусоиды.

В результате в спектре появляются гармоники, которые должны в сумме изобразить форму функции, включая этот разрыв.

Таким образом, чтобы получить «правильный» спектр сигнала, являющегося суммой нескольких синусоид с разными периодами, необходимо чтобы на периоде измерения сигнала укладывалось целое число периодов каждой синусоиды. На практике это условие можно выполнить при достаточно большой длительности измерения сигнала.

Рис.13 Пример функции и спектра сигнала кинематической погрешности редуктора

При меньшей длительности картина будет выглядеть «хуже»:

Рис.14 Пример функции и спектра сигнала вибрации ротора

На практике бывает сложно понять, где «реальные составляющие», а где «артефакты», вызванные некратностью периодов составляющих и длительности выборки сигнала или «скачками и разрывами» формы сигнала. Конечно слова «реальные составляющие» и «артефакты» не зря взяты в кавычки. Наличие на графике спектра множества гармоник не означает, что наш сигнал в реальности из них «состоит». Это все равно что считать, будто число 7 «состоит» из чисел 3 и 4. Число 7 можно представить в виде суммы чисел 3 и 4 — это правильно.

Так и наш сигнал… а вернее даже не «наш сигнал», а периодическую функцию, составленную путем повторения нашего сигнала (выборки) можно представить в виде суммы гармоник (синусоид) с определенными амплитудами и фазами. Но во многих важных для практики случаях (см. рисунки выше) действительно можно связать полученные в спектре гармоники и с реальными процессами, имеющими циклический характер и вносящими значительный вклад в форму сигнала.

Некоторые итоги

1. Реальный измеренный сигнал, длительностью T сек, оцифрованный АЦП, то есть представленный набором дискретных отсчетов (N штук), имеет дискретный непериодический спектр, представленный набором гармоник (N/2 штук).

2. Сигнал представлен набором действительных значений и его спектр представлен набором действительных значений. Частоты гармоник положительны. То, что математикам бывает удобнее представить спектр в комплексной форме с использованием отрицательных частот не значит, что «так правильно» и «так всегда надо делать».

3. Сигнал, измеренный на отрезке времени Т определен только на отрезке времени Т. Что было до того, как мы начали измерять сигнал, и что будет после того — науке это неизвестно. И в нашем случае — неинтересно. ДПФ ограниченного во времени сигнала дает его «настоящий» спектр, в том смысле, что при определенных условиях позволяет вычислить амплитуду и частоту его составляющих.

Разложение в ряд Фурье функций

Разложения функции в ряд Фурье

Существует несколько теорем, содержанием которых является перечень достаточных условий разложения функции в ряд Фурье.

В вузовском курсе математики чаше других используется теорема Дирихле.

Теорема Дирихле. Пусть периодическая с периодом функция удовлетворяет на промежутке условиям:

• 1. Функция непрерывна на
• 2. кусочно-монотонна на промежутке

Тогда ряд Фурье функции сходится на всей числовой оси. При этом сумма ряда Фурье равна:

1) значению в точках непрерывности функции

2) если в точке функция терпит разрыв;

Заметим, что требование кусочной монотонности на промежутке означает, что эта функция может иметь на промежутке лишь конечное число точек экстремума.

Очевидно, периодическая с периодом функция.

Из теоремы Дирихле следует, что класс функций, которые разлагаются в ряд Фурье, довольно широк.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Примеры с решением

Пример 1.

Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом функцию, значения которой на промежутке совпадают со значениями функции

Решение:

Применяя метод интегрирования по частям, получим:

По теореме Дирихле в точках непрерывной функции , в частности, на интервале будем иметь

В точках сумма ряда будет равна:

Это же значение будет принимать функция во всех других точках разрыва функции, которая является периодическим продолжением функции на всю числовую ось. График функции изображен на рис. 1.

Рисунок иллюстрирует, что функция имеет только точки разрыва 1-го рода и кусочно-монотонна, это означает, что применение теоремы Дирихле было возможно.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

В частном случае при будем иметь

Так как получим

Заметим, что ряды Фурье часто используются при суммировании числовых рядов. И еще одно замечание. В данном примере функция была задана на с помощью двух аналитических выражений. В математике и се приложениях таким образом заданные функции встречаются довольно часто. Разложение их в ряд Фурье является универсальным средством представления таких функций единым аналитическим выражением.

Можно ли пользоваться теоремой Дирихле, если функция удовлетворяет условиям теоремы на промежутке и является периодическои? Как в этом случае вычисляются коэффициенты ряда Фурье?

Так как интеграл от периодической функции по любому промежутку, длина которого равна периоду, всегда имеет одно и то же значение (это очевидно даже из геометрических соображений), это означает, что периодическую с периодом функцию можно разлагать в ряд Фурье но любому промежутку длины если на этом промежутке выполнены условия теоремы Дирихле. В случае промежутка вычислительные формулы для коэффициентов Фурье будут иметь вид:

Какой особенностью обладают ряды Фурье для четных и нечетных функции?

Напомним, что если четная функция, то

если функция нечетная. тогда

Если функция четная, тогда четная функция, а функция нечетная. Если же нечетная функция, тогда нечетная, четная функция. Отсюда следует:

1. Коэффициенты ряда Фурье четной функции будут вычисляться по формулам

Таким образом, ряд Фурье четной функции содержит только косинусы и имеет вид:

2. Если же функция нечетная,

Следовательно, ряд Фурье нечетной функции содержит только синусы, т. е. только нечетные функции.

Можно ли разложить в ряд Фурье функцию, заданную на промежутке

Можно. С этой целью заданную функцию произвольным образом доопределяют на промежутке таким образом, чтобы для этой функции были выполнены условия теоремы Дирихле. Далее разлагают в ряд функцию, которая является периодическим продолжением на всю числовую ось функции

В частных случаях, если доопределить функцию так, чтобы оказалась четной функцией (рис. 2), получим ряд, содержащий только косинусы, если продолжить функцию на промежуток нечетным образом (рис. 3), получим ряд Фурье, содержащий только синусы.

Очевидно, существует бесконечно много способов доопределения функции . Соответственно будем получать ряды, которые на промежутке будут вести себя по-разному, но при этом в любой точке из интервала значение суммы ряда будет одним и тем же при любой функции Очевидно, это значение будет определяться только поведением функции на интервале

Пример 2.

Периодическую с периодом функцию, значения которой на вычисляются по формуле разложить в ряд Фурье на промежутке доопределив функцию на отрезке двумя способами (рис. 4, рис. 5):

Во втором случае функция доопределена нечетным образом.

Решение:

Разложение в ряд функции было получено при решении примера 1. Следовательно, разложение в ряд функции на будет иметь вид:

Получим разложение в ряд функции Так как функция нечетная,

(интегрировали методом по частям).

Разложение на будет иметь вид:

В первом случае (см. пример 1), во втором случае

Полученные для одной и той же функции разложения в ряд на различны. Посмотрим, как ведут себя полученные разложения, например, в точке Так как все слагаемые разложения функции содержащие косинусы. при равны нулю, будем иметь

Так как получим

Во втором случае

будем иметь

Таким образом, используя два различных разложения в ряд Фурье функции па промежутке полагая в них . мы получили один и тот же результат.

Напомним, что в теории степенных рядов было получено разложение в ряд Тейлора функции

Так как будем иметь тог же результат, который мы получили, используя разложение совсем другой функции в ряд Фурье:

Можно ли разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом (отличным от )?

Да, можно. Пусть функция задана на промежутке Введем переменную по формуле Тогда функция будет периодической функцией аргумента с периодом Если эта функция разлагается в ряд Фурье на промежутке то этот ряд будет иметь вид:

где

Возвращаясь к прежней переменной полагая

будем иметь

И тогда ряд Фурье функции с периодом 21 будет иметь вид:

Заметим, что вся изложенная выше теория рядов Фурье для периодических функций с периодом имеет место и для периодических функций с периодом

Пример 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом совпадающую на интервале с функцией

и равную 0 в точках разрыва (рис. 6).

Решение:

Заданная функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, следовательно, разлагается в ряд Фурье, который сходится на всей числовой оси. Функция нечетная, поэтому

Сумма ряда Фурье будет иметь вид:

Значения будут совпадать со значениями периодической функции, изображенной на рис. 6 во всех точках числовой оси.

На рис. 7 показано, как частичные суммы ряда с увеличением все точнее и точнее представляют функцию

Пример 4.

Функцию разложить в ряд Фурье на интервале (0,2п). Пользуясь полученным разложением, найти суммы рядов

Решение:

Функция не является периодической. Введем вспомогательную функцию с периодом которая на интервале будет совпадать с а на остальной части оси будет ее периодическим продолжением. В точках разрыва функцию примем равной полусумме ее односторонних пределов, т. е. График схематично изображен на рис. 8.

Функция удовлетворяет всем условиям теоремы Дирихле. Найдем ее разложение в ряд Фурье

Дважды используя метод интегрирования по частям, получим:

Аналогично, дважды интегрируя по частям, найдем

Полагая в первом разложении и получим соответственно

Заметим, что так как можно было подставить и в разложение функции Складывая почленно два полученных сходящихся ряда, получим еще один интересный результат:

Пример 5.

Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом функцию, совпадающую на промежутке с функцией

Решение:

В данной задаче функция имеет период где Очевидно, что данная функция нечетная, так как

Функция удовлетворяет условиям Дирихле, следовательно, разлагается в сходящийся на всей оси ряд Фурье. В данном случае коэффициенты Фурье будут вычисляться по формулам

При будем иметь:

Интегрируя два раза по частям, получим:

Так как окончательно будем иметь

для В точках , согласно теореме Дирихле будем иметь

Это же значение сумма (рис. 9) полученного ряда будет принимать во всех остальных точках разрыва заданной периодической функции.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.