Упр.866 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.
Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.
Нахождение наибольшего значения выражения
Найдите наибольшее значение выражения , если и связаны соотношением .
Решение задачи
В данном уроке рассматривается решение задачи, которое можно использовать в качестве примера при решении задач типа ОГЭ 7 при подготовке к экзамену по математике.
Для решения задачи прежде всего заданное выражение упрощается. Так как дроби имеют одинаковые знаменатели, числители записываются под одной чертой. Далее числитель дроби представляется в виде произведения двучленов и дробь сокращается на общий множитель. В полученное выражение вместо подставляется заданное по условию выражение. После приведения подобных слагаемых полученное выражение представляет собой квадратичную функцию, график которой — парабола. Так как коэффициент перед , то ветви параболы направлены вниз. Таким образом, наибольшее значение функция принимает в ее вершине.
интересная-задача — Как найти наибольшее значение выражения ?
Рассмотрим геометрическую интерпретацию слагаемых. Второе (без учёта множителя) есть расстояние от точки $%(x,y)$% до точки $%(0,-10)$%. Первое — это умноженное на $%5$% расстояние от точки $%(x,y)$% по прямой $%y=\frac<3x>4$%, согласно известной формуле.
Таким образом, сумма расстояний от точки $%(x,y)$% до $%P(0,-10)$% и до указанной прямой равна $%8$%. Нетрудно проверить, согласно той же формуле, что расстояние от точки $%P$% до этой прямой равно $%8$%. Это же можно сделать, опуская перпендикуляр из точки на прямую. Угловой коэффициент перпендикуляра даёт $%-1$% в произведении с $%\frac34$%, а сама прямая имеет уравнение $%y=-\frac43x-10$%. Приравнивая два выражения, получаем координаты точки пересечения: $%x=-\frac<24>5$%, $%y=-\frac<18>5$%. Теперь расстояние до $%P$% находится по формуле, и оно в самом деле равно $%8$%.
Из геометрических соображений теперь очевидно, что сумма расстояний от точки до $%P$% и до прямой $%y=\frac<3x>4$% равна $%8$% тогда и только тогда, когда эта точка лежит на отрезке, соединяющем $%P$% с основанием опущенного перпендикуляра. Максимум выражения $%x+2y$% наблюдается на одном из концов отрезка, и остаётся сравнить. Для точки $%P$% получается $%-20$%, а для основания перпендикуляра будет $%-12$%, то есть больше. Это и есть наибольшее значение.
Наибольшее и наименьшее значения выражения
Доля мальчиков среди учеников классов “А” и “Б” составляет 2/5, а среди учеников классов “Б” и “В” — 3/7. Какой может быть доля мальчиков среди учеников всех трех классов.
Решение:
(№721 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)
Эту задачу можно решить, используя метод оценки.
Согласно с обозначениями условие задачи можно записать в виде следующей системы:
.
Вопрос задачи сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений следующего выражения:
Используя условие, получаем, что
Функция F – дробно-линейная по каждому аргументу, яна возрастает или убывает, наибольшее и наименшее свое значение принимает на концах отрезка.
Рассмотрим действительные наборы значений (x, y, z) из нулей и единиц, учитывая, что x и y, а также y и z не могут одновременно быть нулями или единицами.
Проанализируем различные наборы (x, y, z) с помощью таблицы и подсчитаем соответствующие им значения функции F:
