Догадайся какие числа в нижнем ряду:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
a b c d e f
a-
b-
c-
d-
e
f-
Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.
Сколькими способами можно разделить 15 одинаковых монет между 7 нумизматами так, чтобы каждому досталось хотя бы по монете
Человек массой 70 кг прыгает горизонтально с тележки массой 120 кг со скоростью 3 м/с, совершая при этом работу А. Тележка после прыжка проходит до остановки расстояние 2 м. Найти работу А и силу трения Fтр. Пожалуйста, с объяснением!
Как по числам, расположенным в (n-1)- й строке треугольника Паскаля , вычислить числа, расположенные в n-й строке?
Мы отправили письмо со ссылкой на смену пароля на username@mail.ru.
Если письма нет, проверь папку «Спам».
Чтобы вопрос опубликовался, войди или зарегистрируйся
Нужна регистрация на Учи.ру
«Ваш урок» теперь называется Учи.Ответы. Чтобы зайти на сайт, используй логин и пароль от Учи.ру. Если у тебя их нет, зарегистрируйся на платформе.
догадайся какие числа в нижнем ряду
Каждый из нас с раннего детства прекрасно знаком с такой простой и, на первый взгляд, понятной фигурой, как треугольник. Однако не все знают, что существует еще и совершенно удивительный треугольник, не похожий на все, что нам доводилось видеть раньше, — треугольник Паскаля, названный так в честь великого французского математика и философа Блеза Паскаля, описавшего его в 1653 году в своем «Трактате об арифметическом треугольнике». Несмотря на то, что первые сведения о треугольнике Паскаля относятся к незапамятным временам (Омар Хайам, занимавшийся не только философией, но и математикой, описал его в начале XII века со ссылкой на заимствование из источников, датированных более ранним временем), именно Б. Паскаль был первым, кто смог научно описать его свойства.
Треугольник Паскаля — иными словами, бесконечная числовая таблица, выполненная в форме треугольника, — прост, изящен и велик, как все гениальное: каждое число его равно сумме двух чисел, которые расположены над ним. Нетрудно догадаться, что этот треугольник может быть каким угодно большим — его можно продолжать беспредельно.
Первый ряд чисел (если считать своеобразные «диагонали» от вершины) — это единицы, второй ряд содержит натуральные числа, соответствующие номеру строки расположения числа. Все числа третьего ряда — 1, 3, 6, 10, 15, 21,28, 36, 45 и т.д. представляют собой треугольные числа, которые показывают, какое именно количество предметов (подобно шарам в бильярде) могут в совокупности образовать треугольник. Этот ряд замечателен еще и тем, что каждое его число является суммой натурального ряда чисел, например: 45 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 или 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 и т.д. Четвертый ряд чисел треугольника Паскаля (1, 4, 10, 20, 35, 56 и т.д.) содержит тетраэдрические (пирамидальные) числа, которые участвуют в воображаемом «строительстве» тетраэдра: на три уже имеющихся шара кладется еще один шар и получается — 4 и т.д. Пятый ряд треугольника, образованный гипертетраэдрическими числами 1, 5, 15, 35, 70 и т.д., поможет получить в воображении (поскольку возможен только в четырехмерном пространстве) гипертетраэдр: один шар объединяется с четырьмя, а те — с десятью и т.д. Еще более невообразимый пятимерный тетраэдр «выстраивается» с помощью чисел шестого ряда треугольника Паскаля: 1, 6, 21, 56, 126 и т.д.
Что касается горизонтальных линий, то все числа этих строк являются биномиальными коэффициентами, имеющими бесценное значение для комбинаторики, теории вероятностей, родоначальником которой в «соавторстве» с Ферма стал Б. Паскаль, и иных математических областей.
Одним из загадочных свойств треугольника Паскаля является быстрота нахождения суммы чисел ряда от начала до нужного нам числа. Для этого необходимо, найдя последнее слагаемое, обратить внимание на число, которое записано снизу и слева (если нумеровать ряды с правой стороны) или справа (если нумеровать ряды с левой стороны) от последнего слагаемого. Например, чтобы узнать, что в сумме дадут нам все числа четвертого ряда от 1 до 56, достаточно, найдя 56, взглянуть, что написано слева внизу: это число 126. Удивительно верно!
Кроме того, не догадываясь о собственном открытии (это было обнаружено только в XIX веке), Паскаль «зашифровал» в треугольнике известные числа последовательности Фибоначчи: 1, 6, 10, 4; 1, 5, 6, 1 и т.д.
Основные сведения о треугольнике Паскаля — применение в математике
В рамках курса алгебры знакомство с теорией вероятности начинается с изучения комбинаторики — науке о комбинациях и сочетаниях элементов внутри множества.
Предположим, имеется множество, состоящее из n элементов. Из множества необходимо выбрать k элементов без учета их порядка. Такое сочетание принято обозначать C n k . Формула для нахождения сочетания C n k имеет вид:
C n k = n ! k ! · ( n — k ) !
Существует простой метод упорядочить запись чисел C n k — треугольник Паскаля, названный так в честь французского ученого XVII века — Блеза Паскаля. Фактически треугольник был описан задолго до жизни Б. Паскаля, но именно он представил самое полное описание треугольника в своем труде «Трактат об арифметическом треугольнике». Поэтому такую форму записи и назвали в его честь.
Дадим определение треугольнику Паскаля.
Треугольник Паскаля — форма записи биномиальных коэффициентов в виде бесконечной треугольной таблицы. Элементы массива обозначаются C n k , где n — номер строки, k — порядковый номер элемента в строке. Нумерацию строк начинают с нулевой, при этом нулевая строка — это вершина, то есть число 1. Нумерацию чисел в строке также начинают с нуля и с левого края.
Приведем алгоритм построения треугольника:
- в вершине массива и на боковых сторонах помещают число 1;
- затем в каждую строку, начиная с левой стороны, помещают число, равное сумме двух стоящих наверху элементов.
Основная формула для расчета каждого числа в треугольнике имеет вид:
C n k = C n — 1 k — C n — 1 k — 1
Приведем пример использования треугольника в решении задач комбинаторики.
Сколько существует вариантов выбора 3 шаров из бочки, если общее количество шаров в ней 8.
Решение. По условию нам не важен порядок выбора шаров. В треугольнике находим элемент, который находится на пересечении 3-ей диагонали и 8-ой строки.
Получим, что существует 56 вариантов выбора.
Отличительные черты треугольника Паскаля
Треугольник Паскаля имеет ряд отличительных особенностей:
- в вершине и на боковых сторонах располагаются единицы;
- строки симметричны относительно вертикальной оси;
- диагональ, идущая сразу после единичной боковой стороны, содержит только натуральные числа. Утверждение справедливо как для диагонали правой стороны, так и левой стороны. Чтобы доказать это, достаточно обратиться к свойству симметричности строк;
- если треугольник выравнять по левому краю, то сумма чисел, расположенных на диагоналях, равна числу Фибоначчи. Диагонали направляют слева направо и снизу вверх.
Последовательность Фибоначчи — последовательность чисел, в которой каждый элемент является суммой двух предыдущих.
Закономерности треугольника Паскаля
Интересны числовые закономерности, которые можно наблюдать в треугольнике:
- Возведем каждый элемент n-ой строки в квадрат, а потом найдем их сумму. Тогда полученная сумма равна элементу, который находится в центре строки с номером 2n.
- Сумма чисел в n-ой строке больше суммы чисел в предыдущей в два раза.
- Если первая после единичных ребер диагональ представляет собой последовательность натуральных чисел, то следующая за ней диагональ – последовательность треугольных чисел. После диагонали идет диагональ тетраэдральных чисел и так далее. Треугольные числа показывают, какое количество шаров одинакового диаметра нужно, чтобы построить равносторонний треугольник, тетраэдральные — количество шаров для построения правильного тетраэдра.
Свойства треугольника Паскаля и их применение в решении задач
Треугольник Паскаля имеет важное практическое применение. Рассмотрим свойства треугольника и приведем примеры задач, где используется треугольник Паскаля.
Свойство 1
Степень числа 2. Сумма элементов n-ой строки равна 2 n . То есть по треугольнику Паскаля можно вычислять степень числа 2.
Не используя операции умножения и возведения в степень, найдите значение выражения 2 7 — 4 .
Решение. По условию операции умножения и возведения в степень запрещены. Тогда воспользуемся треугольником Паскаля. Находим 7-ую строку и суммируем ее элементы: 1+7+21+35+35+21+7+1=128. Получим, что значение выражения равно 124.
Свойство 2
Степень числа 11. Если числа в n-ой строке записать по порядку в виде одного числа, то получим значение 11 n . Это утверждение справедливо для всех n, однако, чтобы получить значение 11 n для n≥5 необходимо перенести десятки на предыдущий элемент.
Не используя операции возведения в степень и умножения, вычислить, какое число должно получится в результате 11 7 — 5 .
Решение. Воспользуемся треугольником Паскаля, выпишем 7-ую строку: 1 7 21 35 35 21 7 1. Так как n≥5, необходимо править строку и переносить попадающиеся десятки на предыдущий элемент.
Тогда 11 7 — 5 = 19487166 .
Свойство 3
Элементы в строках треугольника являются коэффициентами разложения бинома Ньютона.
( a + b ) n = a n + C n 1 a n — 1 b + C n 2 a n — 2 b 2 + . . . + C n k a n — k b k + . . . + C n n — 1 a b n — 1 + b n
Биномом называют сумму или разность одночленов. Само слово «бином» дословно переводится как «две части».
В качестве доказательства этого свойства выпишем в строки разложение ( a + b ) n , где n меняется от 0 до 3.
Коэффициенты при множителях a и b совпадают с числами треугольника Паскаля в соответствующей строке.
Выполнить разложение ( x + y ) 6 .
Решение. Элементы 6-ой строки будут коэффициентами при x и y: 1; 6; 15; 20; 15; 6; 1. Показатели степени получим из формулы для бинома Ньютона. Получим:
( x + y ) 6 = x 6 + 6 x 5 y + 15 x 4 y 2 + 20 x 3 y 3 + 15 x 2 y 4 + 6 x y 5 + y 6