Что такое комплексное сопротивление

15. Комплексное сопротивление и проводимость

Введение комплексного представления токов и напряжений требует определить и сопротивление элементов электрических цепей в комплексной форме — Z.

Хороши известно, что сопротивление резистора определяется как отношение напряжения на резисторе к току, протекающему через него. Если напряжение и ток представлены в комплексной форме, то

Но на предыдущей лекции было установлено, что . Поэтому

Таким образом видим, что комплексное сопротивление резистора выражается только действительным числом. Оно не вносит фазовых искажений между токами и напряжением. Чтобы подчеркнуть этот факт такое сопротивление часто называют активным.

Комплексное сопротивление емкости определяется отношением

Видим, что комплексное сопротивление емкости переменному току выражается мнимым числом. Мнимая единица -j физически определяет сдвиг фаз между током и напряжением на 90о. Это хорошо согласуется с ее максимальным значением

Поэтому на емкости напряжение отстает от тока на 90о. Это означает, что сначала растет ток, протекающий через конденсатор, затем, с некоторым отставанием увеличивается заряд и напряжение.

Коэффициент 1/ определяет величину сопротивления в Омах. Он обратно пропорционален частоте, называется емкостным сопротивлением и обозначается ХС, т.е.

Комплексное сопротивление индуктивности определяется отношением

И в этом случае сопротивление выражается мнимым числом. Но так как это число положительное, то это означает, что на индуктивности напряжение опережает ток на 90о.

Коэффициент L определяет величину сопротивления в Омах. Он пропорционален частоте, называется индуктивным сопротивлением и обозначается ХL, т.е.

Чтобы подчеркнуть тот факт, что сопротивления емкости и индуктивности выражаются мнимыми числами, их называют реактивными сопротивлениями, а конденсатор и индуктивность — реактивными элементами цепи.

Определим теперь комплексное сопротивление электрической цепи, содержащей активные и реактивне элементы, например последовательно включенные R, L и С элементы (рис.3.1). Такая цепь представляет замкнутый к онтур, поэтому для нее справедлив второй закон Кирхгофа

В последнем выражении проведем замену символов мгновенных напряжений и ЭДС на их комплексные изображения по правилам, определенным в лекции 1.2. Такой прием получил название символического метода. Так как ток протекающий через все элементы последовательной цепи одинаков, то (3.6) приходит к виду

Преобразуем это выражение к виду

По определению выражение в правой части последнего равенства есть ни что иное, как комплексное сопротивление цепи рис.3.1, т.е.

где R — действительная часть или активное сопротивление цепи.

— мнимая часть или реактивное сопротивление цепи.

Выражение (3.7) представляет комплексное сопротивление в алгебраической форме. Соотношения между составляющими комплексного сопротивления находятся в полном соответствии с соотношениями для комплексного представления тока. Но для большей наглядности вводится понятие треугольника сопротивления (рис.3.2).

В треугольнике — гипотенуза определяется модулем комплексного сопротивления Z, причем

Противолежащий катет — реактивным сопротивлением X, причем

Угол определяет сдвиг фаз между током и напряжением, который вносится комплексным сопротивлением цепи, причем

Учитывая выражения (3.8)  (3.11) легко перейти от алгебраической к тригонометрической форме комплексного сопротивления

a применив формулу Эйлера получить показательную форму

Теперь можно записать закон Ома для участка цепи без источника ЭДС в комплексном изображении

Выражение (3.14) показывает, что в цепях переменного тока модуль тока определяется отношением модуля напряжения (его амплитудного значения) к модулю комплексного сопротивления, а фаза тока определяется разностью фаз напряжения и комплексного сопротивления. Отсюда вытекает еще одно полезное для практики выражение

В цепях постоянного тока проводимость резистора определяется отношением тока к напряжению:

Эта величина обратно пропорциональна сопротивлению.

В цепях переменного тока следует пользоваться понятием комплексной проводимости, которая обозначается Y и, в общем случае, содержит действительную G и мнимую В части:

Как и в цепях постоянного тока комплексная проводимость участка цепи обратна комплексному сопротивлению, т.е.

где Y — модуль комплексной проводимости.

Соотношение между составляющими комплексной проводимости аналогичны соотношениям между составляющими комплексного сопротивления.

КОМПЛЕКСНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .

Смотреть что такое «КОМПЛЕКСНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ» в других словарях:

комплексное сопротивление — Комплексная величина, равная отношению комплексного действующего значения синусоидального электрического напряжения на выводах пассивной электрической цепи или ее элемента к комплексному действующему значению синусоидального электрического тока в … Справочник технического переводчика

комплексное сопротивление — kompleksinė varža statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. complex resistance vok. komplexer Widerstand, m rus. комплексное сопротивление, n pranc. résistance complexe, f … Fizikos terminų žodynas

комплексное сопротивление обмотки — Импеданс измерительной обмотки, сочлененной с проводящим контролируемым изделием. [Система неразрушающего контроля. Виды (методы) и технология неразрушающего контроля. Термины и определения (справочное пособие). Москва 2003 г.] Тематики виды… … Справочник технического переводчика

Комплексное сопротивление — Реактивное сопротивление электрическое сопротивление, обусловленное передачей энергии электрическому или магнитному полю (и обратно). Реактивное сопротивление определяет мнимую часть импеданса: Z = R + iX, где Z импеданс, R величина активного… … Википедия

комплексное сопротивление электрической цепи — Комплексная величина, равная отношению комплексного напряжения на зажимах данной цепи к комплексному току в этой цепи … Политехнический терминологический толковый словарь

Сопротивление — Сопротивление: В Викисловаре есть статья «сопротивление» Электрическое сопротивление  физическая величина, характеризующая свойства проводника препятствовать прохождению электрического тока. Сопротивление  разговорное название резистора … Википедия

комплексное полное сопротивление — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN vector impedance … Справочник технического переводчика

сопротивление — 3.93 сопротивление (resistance): Способность конструкции или части конструкции противостоять действию нагрузок. Источник: ГОСТ Р 54382 2011: Нефтяная и газовая промышленность. Подводные трубопроводные системы. Общие технические требования … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

комплексное (электрическое) сопротивление — 154 комплексное (электрическое) сопротивление Комплексная величина, равная отношению комплексного действующего значения синусоидального электрического напряжения на выводах пассивной электрической цепи или ее элемента к комплексному действующему… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

сопротивление короткого замыкания четырехполюсника — 199 сопротивление короткого замыкания четырехполюсника Комплексное или операторное сопротивление пассивного четырехполюсника со стороны одной пары выводов, когда другая пара замкнута накоротко Источник: ГОСТ Р 52002 2003: Электротехника. Термины… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Комплексные сопротивления и проводимости

Комплексные числа. Основные законы электрических цепей в комплексной форме

Комплексное число – это число вида а + сi, где а и с — вещественные числа, а i — мнимая единица, то есть число для которого выполняется равенство i(2) = -1.

Множество комплексных чисел может обозначаться С. Вещественные числа рассматриваются как частный случай комплексных чисел и имеют следующий вид а + 0i. Главное свойство комплексного числа заключается в том, что в нем выполняется основная теорема алгебры, то есть многочлен n-ой степени (n ⩾ 1) имеет n корней. Также доказано, что система комплексных чисел логически непротиворечива.

Основная теорема алгебры представляет собой утверждение, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, то есть любой многочлен, который отличен от константы, с комплексными коэффициентами имеет минимум один корень в поле комплексных чисел. Такое утверждение справедливо для многочленов с вещественными коэффициентами, потому что всякое вещественное число является комплексным с нулевой мнимой частью.

Необходимость применения комплексных чисел появилась в результате решения кубических уравнений, так как в формуле Кардано под квадратным корнем получалось отрицательное число. В изучение комплексных чисел большой вклад внесли такие ученые, как Эйлер, Гаусс и Декарт. Свойства комплексных чисел позволяют использовать их в решении разнообразных задач в области теории упругости, математики, обработке сигналов, теории колебаний, электромагнетизме, теории управления и т.п.

Законы электрических цепей переменного тока в комплексной форме имеют такой же вид, как цепи постоянного электрического тока, с заменой постоянных величин следующим образом:

Рисунок 1. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

К основным законам электроцепей относятся:

1. Закон Ома.
2. Первый закон Кирхгофа.
3. Второй закон Кирхгофа.

В комплексной форме закон Ома будет иметь следующий вид:

Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Первый закон Кирхгофа в применении к узлу в комплексной форме выглядит следующим образом:

Рисунок 3. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Второй закон Кирхгофа, применительно к контуру цепи, в комплексной форме можно записать следующим образом:

Рисунок 4. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Достоинство выражения законов электрических цепей в комплексной форме заключается в том, что в них учитываются связь между действующими значениями напряжения и тока, а также сдвиг фаз между ними.

Комплексное сопротивление. Физический смысл

Комплексное электрическое сопротивление (электрические импеданс) – это комплексное сопротивление между двумя узлами электрической цепи или двухполюсника для гармонического колебания.

Комплексное сопротивление представляет собой отношение комплексной амплитуды напряжение гармонического сигнала, которое прилагается к двухполюснику, к комплексной амплитуде электрического тока, который протекает через двухполюсник при установившемся режиме (то есть по окончании переходных процессов в цепи). Для пассивных линейных цепей, обладающих постоянными параметрами, в установившемся режиме комплексное электрическое сопротивление никак не зависит от времени. В том случае, когда время в математическом выражения для комплексного сопротивления не сокращается, понятие комплексного сопротивления для двухполюсника неприменимо. Сама формула для электрического импеданса выглядит следующим образом:

Рисунок 5. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

где: j — мнимая единица; w — круговая частота; U(w). I(w) — амплитуды напряжения и электрического тока на частоте w; фu(w), фi(w) — фазы напряжения и тока гармонического сигнала на частоте w; U(jw), I(jw) — комплексные амплитуды напряжения и электрического тока гармонического сигнала на частоте w.

Если рассматривать комплексное электрическое сопротивление в алгебраической форме, то его действительная часть соответствует активному сопротивлению, а мнимая реактивному. То есть двухполюсник с импедансом z(jw) представляет собой последовательно соединенные резистор с сопротивлением R (z(jw)) и реактивный элемент с комплексным сопротивлением J(z(jw)).

Когда комплексное сопротивление рассматривается в тригонометрической форме, то его модуль соответствует отношению амплитуд напряжения и тока (сдвиг фаз не учитывается), а аргумент соответствует сдвигу фазы между электрическим током и напряжением.

Для резистора комплексное электрическое сопротивление всегда равно его собственном и при этом никак не зависит от частоты, то есть:

Напряжение и электрический ток в конденсаторе связаны соотношением:

Следовательно, при напряжении

Рисунок 6. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Электрический ток, который протекает через конденсатор, может быть рассчитан следующим образом:

Рисунок 7. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Отсюда комплексное сопротивление конденсатора рассчитывается по формуле:

Аналогично расчету комплексного сопротивления для конденсатора получают формулу расчета для катушки индуктивности:

Комплексная проводимость

Комплексная проводимость какого-либо участка электрической цепи представляет собой отношение комплекса электрического тока к комплексу напряжения рассматриваемого участка, таким образом выражение проводимости в комплексной форме будет иметь следующий вид:

Рисунок 8. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

где: У — полная проводимость (модуль комплексной проводимости; ф — аргумент разности фаз напряжения и тока; j — мнимая единица.

Выразить комплексную проводимость можно в следующих формах:

1. Показательная.
2. Тригонометрическая.
3. Алгебраическая.

Показательная форма комплексной проводимости выглядит следующим образом:

Рисунок 9. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В тригонометрической форме ее можно выразить так:

Рисунок 10. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В алгебраической форме комплексная проводимость имеет следующий вид:

Рисунок 11. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

где: g = Ycosф — активная проводимость; b = Ysinф — реактивная проводимость.

Пример треугольника проводимостей на комплексной плоскости изображен на рисунке ниже.

Рисунок 12. Треугольник проводимостей. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Полную проводимость в данном случае можно рассчитать по формуле:

Рисунок 13. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Формула для расчета аргумента, таким образом, будет иметь следующий вид:

Комплексная проводимость может быть также определена как величина обратная комплексному сопротивлению:

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Комплексное сопротивление — полное сопротивление цепи, обладающей активным и реактивным сопротивлением, выраженное в виде комплексного числа, модуль которого равен полному сопротивлению, а аргумент равен углу сдвига фаз между током и напряжением цепи.  [1]

Комплексное сопротивление или проводимость какого-либо элемента определяют его реакцию на напряжение или ток.  [3]

Комплексное сопротивление может быть получено посредством последовательного го-единшия, а комплексная проводимость — посредством параллельного соединения; поэтому приведенные ф-лы служат для пересчета параллельного включения в последовательное и наоборот.  [5]

Комплексное сопротивление — полное сопротивление ( см.) цепи, которая обладает как активным, так и реактивным сопротивлением.  [6]

Комплексное сопротивление является одной из важных характеристик участка ( пасивного элемента) электрической цепи переменного тока. Следует отметить, что понятие комплексного сопротивления имеет смысл лишь при условии, что в электрической цепи действуют синусоидальные напряжения и токи. Поэтому измерения комплексных сопротивлений и их составляющих должны проводиться с соблюдением этих условий. При несинусоидальных напряжении и токе результат измерения может быть получен лишь для определенных гармоник путем использования специальных избирательных устройств.  [8]

Комплексное сопротивление равно 3 / 5 ом.  [9]

Комплексное сопротивление равно 3 / 5 Ом.  [10]

Комплексное сопротивление Z12 является взаимным сопротивлением для входного и выходного контуров, поскольку по нему протекают одновременно входной и выходной токи.  [11]

Комплексное сопротивление и его вещественная и мнимая составляющие могут быть представлены на комплексной плоскости ( рис. 12 — 6) в виде треугольника сопротивлений.  [12]

Комплексное сопротивление состоит из активной и реактивной составляющих. При этом очень полезно воспользоваться аналогиями из теории электрических цепей.  [13]

Комплексные сопротивления , например входные сопротивления антенн, изменяются в зависимости от частоты. Здесь стрелкой показано направление, в котором увеличивается частота. Только в пределах небольших диапазонов в виде исключения возможно движение в обратном направлении. Эти полученные экспериментально результаты можно подтвердить строгими теоретическими выводами, что, однако, вышло бы за рамки настоящей работы.  [14]