Показать что функция f x

1. Показать,что функция F(x)=e^2x+x^3-cos x является первообразной для функции f(x)=2e^2x+3x^2+sin x на всей числовой прямой. 2. Для функции f(x)=3x^2+2x-3 найти первообразную,график которой проходит через точку М(1;-2).
3. Найти площадь фигуры ограниченной:
1) параболой y=x^2+x-6 и осью Ох;
2) графиками функций y=x^2+1 и y=10

AssignFile

1. и , x∈R
Проверка будет состоять в нахождении производной F'(x).

Что и требовалось показать.

2. и
Найдём первообразную, подставим туда координаты точки М и найдём константу.

Итак, искомая первообразная такая:

3. 1) Дана парабола и прямая y = 0 (ось Ох).
Найдём точки пересечения параболы с прямой.

Итак, парабола пересекает ось абсцисс в двух точках. А т.к. ветви параболы направлены вверх, то вершина параболы находится ниже оси Ох. Вот нам и надо найти площадь фигуры, ограниченной параболой и осью абсцисс между точками х= -3 и х= 2.

Площадь получилась отрицательной, т.к. фигура находится ниже оси абсцисс.

3. 2) Дана парабола и прямая .
Найдём точки пересечения параболы с прямой.

Вершина параболы в точке (0; 1):

Это означает, что интегрированием параболы от минус 3 до плюс 3 мы найдём площадь под параболой до оси абсцисс. А нам надо найти площадь между заданными функциями. Поэтому находим площадь прямоугольника, ограниченного координатами по иксу от минус трёх до плюс трёх, а по игреку от 0 до 10. Эта площадь равна [3 — (-3)] * 10 = 60.
А затем вычтем из площади прямоугольника площадь фигуры под параболой. Остаётся найти площадь этой фигуры:

1. Показать,что функция F(x)=e^2x+x^3-cos x является первообразной для функции f(x)=2e^2x+3x^2+sin x на всей числовой

F’ (x) = (e 2 x + x 3 — cos x)’ = (e 2 x )’ + (x 3 )’ — (cos x)’ = 2 e 2 x + 3 x 2 + cos x = f(x).

Следовательно, функция F(x) является первообразной для функции f(x).

F(x) = ∫f(x) dx = ∫(3 x 2 + 2 x + 3) dx = ∫3 x 2 dx+ ∫2 x dx + ∫3 dx =

x 3 + x 2 — 3 x + C.

По условию, первообразная проходит через точку М (1;-2):

F(1) = — 2 = 1+ 1 — 3 + C.

F(x) = x 3 + x 2 — 3 x — 1.

Найти площадь фигуры:

1) Найдём точки пересечения параболы с осью х:

f(x) = х 2 + х — 6 = 0;

x = (- 1 ± √(1 + 24)) / 2 = (- 1 ±5) / 2.

f »(x) = (х 2 + х — 6)» = (2 х + 1)’ = 2 > 0;

Следовательно, парабола выпуклостью вниз.

Площадь фигуры есть часть параболы ниже оси х:

-3 ₂∫(х 2 + х — 6) dx = (х 3 /3 + х 2 /2 — 6 х + С)| -3 ₂ =

(- 9 + 9/2 +18 + С) — (8/3 + 2 — 12 + С) = 125/6.

3) y = x 2 + 1 и y = 10.

Найдём точки пересечения параболы с прямой y = 10.

Искомая площадь равна:

площади прямоугольника S_пр. = (х₁ — х₂) * 10 = 60 минус площади под параболой от х₁ до х₂ и ограниченной с низу осью х.

Площадь под параболой:

S_параб. = ∫(x 2 + 1) dx = (x 3 /3 + x) = (9 + 3) — (-9 — 3) = 24.

Первообразная

Найти первообразную для функции $f(x)=2sin⁡x+<4>/—/<3>$.

Чтобы было проще найти первообразную от функции, выделим коэффициенты каждого слагаемого

Далее, воспользовавшись таблицей первообразных, найдем первообразную для каждой функции, входящих в состав $f(x)$

Для $f_1=sin⁡x$ первообразная равна $F_1=-cos⁡x$

Для $f_2=<1>/$ первообразная равна $F_2=ln⁡|x|$

Для $f_2=cos⁡x$ первообразная равна $F_3=sin⁡x$

По первому правилу вычисления первообразных получаем:

Итак, общий вид первообразной для заданной функции

Связь между графиками функции и ее первообразной:

Если график функции $f (x) > 0$ на промежутке, то график ее первообразной $F(x)$ возрастает на этом промежутке.
Если график функции $f (x) < 0$ на промежутке, то график ее первообразной $F(x)$ убывает на этом промежутке.
Если $f(x)=0$, то график ее первообразной $F(x)$ в этой точке меняется с возрастающего на убывающий (или наоборот).

На рисунке изображен график функции $y=F(x)$ – одной из первообразных некоторой функции $f(x)$, определенной на интервале $(-3;5)$. Пользуясь рисунком, определите количество решений $f(x)=0$ на отрезке $(-2;2]$

Если $f(x)=0$, то график ее первообразной $F(x)$ в этой точке меняется с возрастающего на убывающий(или наоборот).

Выделим отрезок $(-2;2]$ и отметим на нем экстремумы.

У нас получилось $6$ таких точек.

Неопределенный интеграл

Если функция $у=f(x)$ имеет на промежутке $Х$ первообразную $у=F(x)$, то множество всех первообразных $у=F(x)+С$, называют неопределенным интегралом функции $у=f(x)$ и записывают:

Определенный интеграл – это интеграл с пределами интегрирования (на отрезке)

$∫_a^bf(x)dx$, где $a,b$ — пределы интегрирования

Площадь криволинейной трапеции или геометрический смысл первообразной

Площадь $S$ фигуры, ограниченной осью $Oх$, прямыми $х=а$ и $х=b$ и графиком неотрицательной функции $у=f(x)$ на отрезке $[a;b]$, находится по формуле

Формула Ньютона — Лейбница

Если функция $у=f(x)$ непрерывна на отрезке $[a;b]$, то справедливо равенство

$∫_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$

На рисунке изображен график некоторой функции $у=f(x)$. Одна из первообразных этой функции равна $F(x)=<2х^3>/<3>-2х^2-1$. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках $1$ и $-2$

Первообразная нам известна, следовательно, осталось только подставить в нее значения и вычислить

Урок 52. Производная и интеграл

Производной функции в данной точке называется предел разностного отношения:

Уравнение касательной к графику данной функции в данной точке y=f(x)+f ‘(x₀)(x-x₀)

Функция у=f(x) возрастает на промежутке (a; b), если для любых х₁, х₂ из этого промежутка, таких, что х₁<х_2, выполняется неравенство у₁<у₂. Иными словами, меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Функция у=f(x) убывает на промежутке (a; b), если для любых х₁, х₂ из этого промежутка, таких что, х₁<х_2, выполняется неравенство у₁>у₂. Иными словами, меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Промежутки возрастания и убывания функции называют промежутками монотонности этой функции. Слова «функция монотонна на данном промежутке» означают, что функция на этом промежутке возрастает или убывает.

Точка х₁ называется точкой максимума функции f, если для всех х из окрестности точки х₁ выполняется неравенство f(x)<f(x₁).

Точка х₂ называется точкой минимума функции f, если для всех х из окрестности точки х₂ выполняется неравенство f(x)>f(x₂).

Для точек максимума и минимума принято общее название – точки экстремума.

Значения функции в этих точках называют соответственно максимумами и минимумами. Их общее название – экстремум функции.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a; b), если f(x)=F'(x) в каждой точке промежутка (a; b).

Дифференциальные уравнения связывают функцию и ее производные различных порядков. В дифференциальном уравнении в качестве неизвестной выступает не число, а функция.

Решением дифференциального уравнения называют любую функцию, при подстановке которой в это уравнение получается тождество.

Фигура, ограниченная графиком неотрицательной функции f(x), заданной на отрезке [a; b], отрезком [a; b] и прямыми x=a и x=b, называется криволинейной трапецией.

Разность значений первообразной F для функции f точках b и a называется определенным интегралом этой функции от a до b.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни– 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики — 4-е изд. — М.: Просвещение, 1995. — 288 с.: ил. — ISBN 5-09-0066565-9, сс. 7-50

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов http://fcior.edu.ru/

Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов http://school-collection.edu.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Определение производной

Напомним, что производной функции в заданной точке называется предел разностного отношения:

Напомним правила вычисления производных:

Найти производную функции:

Ответ: .

2. Решение задач с помощью производной.

Напомним, что геометрический смысл производной — это угловой коэффициент касательной. Те есть значение производной в данной точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в заданной точке: f'(x₀)=k_кас.(x0)

Найдем угол, под которым график функции пересекает ось абсцисс.

Найдем производную данной функции: .

Так как нам нужно узнать угол, под которым график функции пересекает ось абсцисс, нам нужно найти эти точки пересечения. Для этого решим уравнение: .

То есть график данной функции пересекает ось абсцисс в трех точках с найденными абсциссами.

Угол пересечения графика функции оси абсцисс — это угол, под которым касательная, проведенная к графику данной функции в точке с соответствующей абсциссой, пересекает ось абсцисс.

Угловой коэффициент касательной — это тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс. Поэтому нужно найти значение производной данной функции в точках пересечения ее графика с осью абсцисс.

, , угол тупой, функция убывает

, , угол острый, функция возрастает

, угол острый, функция возрастает

Вспомним механический смысл производной.

Производная — это скорость материальной точки, положение которой изменяется по заданному закону.

Движение материальной точки описывается данным уравнением:

x(t) = 4+5t – 6t 2 + 2t 3 .

Найти скорость и ускорение точки в момент времени 3.

Теперь напомним решение задачи на наибольшее и наименьшее значение, которая также решается с помощью производной.

Найти прямоугольник наибольшей площади, вписанный в окружность радиуса R.

Рисунок 1 — Иллюстрация к задаче 3

Исследуем функцию

При

Прямоугольником наибольшей площади, вписанным в круг радиуса R, является квадрат со стороной .

3. Теперь перейдем к повторению первообразной и интеграла.

Все первообразные для данной функции отличаются друг от друга на константу

Покажем, что функция является первообразной для функции .

Найдем производную: .

Преобразуем полученную функцию:

Получили функцию f(x).

4. Решение задач

Найдите первообразную для функции , удовлетворяющую заданным условиям: F(1)=6.

Для функции первообразными является функции вида

Ответ:

Точка движется прямолинейно с ускорением

Найдите закон движения точки, если в момент времени t=1с ее скорость равна 10м/с, а координата равна 12 (единица измерения ускорения 1м/с 2 )

Так как , то v(t) — первообразная для функции a(t).

Так как , то s(t) — первообразная для функции v(t).

Ответ:

Вычислите объем тела, ограниченного плоскостями x=0, x=0,5 , площадь сечения которого плоскостью, параллельной плоскости yOz и отстоящей от нее на расстоянии х, меняется по закону:

(куб.ед)

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками следующих функций.

Рисунок 2 — Иллюстрация к задаче 6.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Найдите аргумент, при котором функция достигает наибольшего значения на отрезке [-3; -1].

Найдем производную данной функции, сначала преобразуем функцию, выделив целую часть: .

Теперь найдем производную:

Полученная производная изменяет свой знак в точках 2 и -2, в точке 0 функция и производная не определены.

Так как задан отрезок [-3; -1], то рассмотрим поведение производной вокруг точки -2.

Так как на данном отрезке функция имеет единственную точку экстремума (максимум), то наибольшее значение она принимает в этой точке.

2. Вычислите массу участка стержня от x_1 до , если его линейная плотность задается формулой .

Масса участка стержня на заданном участке выражается интегралом: .

Для того чтобы найти массу участка стержня от до x_2, если его линейная плотность задается формулой , вычислим интеграл:

Ответ: .

3. Найти путь, пройденный при свободном падении телом за первые 5 секунд (ускорение равно 9,8 м/с 2 )

Скорость в момент времени t равна 9,8t.

Значит, путь, пройденный за промежуток времени [0; 5], выражается определенным интегралом: