Как сравнить две отрицательные дроби

Сравнение дробей

В этом уроке мы научимся сравнивать дроби между собой. Это очень полезный навык, который необходим для решения целого класса более сложных задач.

Для начала напомню определение равенства дробей:

Дроби a / b и c / d называются ,

1. 5/8 = 15/24, поскольку 5 · 24 = 8 · 15 = 120;
2. 3/2 = 27/18, поскольку 3 · 18 = 2 · 27 = 54.

Во всех остальных случаях дроби являются неравными, и для них справедливо одно из следующих утверждений:

1. Дробь a / b больше, чем дробь c / d ;
2. Дробь a / b меньше, чем дробь c / d .

Дробь a / b называется , чем дробь c / d ,

Дробь x / y называется , чем дробь s / t ,

Обозначение:

Таким образом, сравнение дробей сводится к их вычитанию. Вопрос: как не запутаться с обозначениями «больше» (>) и «меньше» (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

1. Расширяющаяся часть галки всегда направлена к большему числу;
2. Острый нос галки всегда указывает на меньшее число.

Часто в задачах, где требуется сравнить числа, между ними ставят знак «∨». Это — галка носом вниз, что как бы намекает: большее из чисел пока не определено.

Задача. Сравнить числа:

Следуя определению, вычтем дроби друг из друга:

В каждом сравнении нам потребовалось приводить дроби к общему знаменателю. В частности, используя метод «крест-накрест» и поиск наименьшего общего кратного. Я намеренно не акцентировал внимание на этих моментах, но если что-то непонятно, загляните в урок «Сложение и вычитание дробей» — он совсем легкий.

Сравнение десятичных дробей

В случае с десятичными дробями все намного проще. Здесь не надо ничего вычитать — достаточно просто сравнить разряды. Не лишним будет вспомнить, что такое значащая часть числа. Тем, кто забыл, предлагаю повторить урок «Умножение и деление десятичных дробей» — это также займет буквально пару минут.

1. Цифра, стоящая в этом разряде в дроби X , больше соответствующей цифры в дроби Y ;
2. Все разряды старше данного у дробей X и Y совпадают.

1. 12,25 > 12,16. Первые два разряда совпадают (12 = 12), а третий — больше (2 > 1);
2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий — меньше (0 < 1).

Другими словами, мы последовательно просматриваем десятичные разряды и ищем различие. При этом большей цифре соответствует и большая дробь.

Однако это определение требует пояснения. Например, как записывать и сравнивать разряды до десятичной точки? Вспомните: к любому числу, записанному в десятичной форме, можно приписывать слева любое количество нулей. Вот еще пара примеров:

1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 — приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
2. 2300,5 > 0,0025, т.к. 0,0025 = 0000,0025 — приписали три нуля слева. Теперь видно, что различие начинается в первом же разряде: 2 > 0.

Конечно, в приведенных примерах с нулями был явный перебор, но смысл именно такой: заполнить недостающие разряды слева, а затем сравнить.

1. 0,029 ∨ 0,007;
2. 14,045 ∨ 15,5;
3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
4. 1700,1 ∨ 0,99501.

По определению имеем:

1. 0,029 > 0,007. Первые два разряда совпадают (00 = 00), дальше начинается различие (2 > 0);
2. 14,045 < 15,5. Различие — во втором разряде: 4 < 5;
3. 0,00003 > 0,0000099. Здесь надо внимательно считать нули. Первые 5 разрядов в обеих дробях нулевые, но дальше в первой дроби стоит 3, а во второй — 0. Очевидно, 3 > 0;
4. 1700,1 > 0,99501. Перепишем вторую дробь в виде 0000,99501, добавив 3 нуля слева. Теперь все очевидно: 1 > 0 — различие обнаружено в первом же разряде.

К сожалению, приведенная схема сравнения десятичных дробей не универсальна. Этим методом можно сравнивать только положительные числа. В общем же случае алгоритм работы следующий:

1. Положительная дробь всегда больше отрицательной;
2. Две положительные дроби сравниваются по приведенному выше алгоритму;
3. Две отрицательные дроби сравниваются так же, но в конце знак неравенства меняется на противоположный.

Ну как, неслабо? Сейчас рассмотрим конкретные примеры — и все станет понятно.

Как сравнить отрицательные дроби

Хотя сравнение дробей может сбивать с толку, добавление отрицательных знаков не должно усугублять эту путаницу. Дроби на самом деле представляют собой два сложенных целых числа: одно над линией называется числителем, а второе под ним — знаменателем. Числа отрицательные и обозначаются знаком минус или «-», когда они меньше нуля. Отрицательные числа работают наоборот, потому что по мере увеличения числа их значения уменьшаются. Вы можете сравнить значения отрицательных дробей с подобными и непохожими знаменателями через числа, указанные в дробях.

Найдите две отрицательные дроби с одинаковыми знаменателями, например, для целей. В этом примере пусть дроби будут -2/9 и -7/9.

Сравните числители. Числитель, имеющий большее значение, указывает на большую дробь. Завершая этот пример, при сравнении -2 и -7, -2 больше -7, поэтому -2/9 больше -7/9.

Найдите две отрицательные дроби с разными знаменателями для примера. В этом примере пусть дроби будут -3/4 и -7/8.

Умножьте числители каждой дроби на знаменатели других, назначив отрицательный знак каждой дроби ее числителю. В этом примере умножение 8 и -3 равняется -24, а умножение -7 и 4 равняется -28.

Сравните два продукта из предыдущего шага. Если произведение, которое включает числитель первой дроби, больше, чем другое произведение, первая дробь имеет большее значение; если продукт меньше второго, дробь меньше по стоимости; и если они равны, дроби эквивалентны. Завершая этот пример, -24 больше, чем -28; поэтому дробь -3/4 больше, чем -7/8.

Как сравнить отрицательные дроби

Хотя сравнение дробей может быть достаточно запутанным, добавление отрицательных признаков в смесь не должно усиливать эту путаницу. Дроби на самом деле представляют собой два сложенных целых числа: одно над строкой называется числителем, а другое под знаменателем. Числа являются отрицательными — и обозначаются знаком минус или «-» — когда они меньше нуля. Отрицательные числа работают наоборот, так как числа увеличивают свои значения, уменьшаются. Вы можете сравнить значения отрицательных дробей с одинаковыми и непохожими знаменателями по числам, указанным в дробях.

Тот же знаменатель

Найдите две отрицательные дроби с одинаковыми знаменателями для примера. Для этого примера пусть дроби будут -2/9 и -7/9.

Отделите числители от дробей. В этом примере числителями являются -2 и -7.

Сравните числители. Числитель, который имеет большее значение, указывает на большую долю. Завершая этот пример, при сравнении -2 и -7, -2 больше -7, поэтому -2/9 больше -7/9.

Разные знаменатели

Найдите две отрицательные дроби с разными знаменателями для примера. В этом примере пусть дроби будут -3/4 и -7/8.

Умножьте числители каждой дроби на знаменатели других, присваивая отрицательный знак каждой дроби ее числителю. В этом примере умножение 8 и -3 равно -24, а умножение -7 и 4 равно -28.

Сравните два продукта из предыдущего шага. Если продукт, который включает числитель первой фракции, больше, чем другой продукт, первая фракция имеет большую стоимость; если продукт меньше, чем второй, доля меньше в стоимости; и если они равны, фракции эквивалентны. Завершая этот пример, -24 больше -28; фракция -3/4, следовательно, больше, чем -7/8.

Как складывать и вычитать отрицательные дроби

Отрицательные дроби похожи на любую другую дробь, за исключением того, что они имеют предшествующий отрицательный (-) знак. Процесс сложения и вычитания отрицательных дробей может быть простым, если учесть две вещи. Отрицательная дробь, добавленная к другой отрицательной дроби, в результате приведет к отрицательной дроби. А .

Как разделить отрицательные дроби

На первый взгляд деление отрицательных фракций может показаться сложной задачей. Однако процесс деления довольно прост, если вы знакомы с математическими понятиями. Запомнив несколько простых правил, вы сможете разделить любую проблему с отрицательной дробью, с которой вы столкнулись.

Как умножить дроби на отрицательные числа

Когда вы умножаете дробь на другую дробь или дробь на целое число, правила дроби определяют форму ответа. Если хотя бы одно из значений является отрицательным, вы также используете правила для положительных и отрицательных признаков, чтобы определить, является ли результат положительным или отрицательным.

Сравнение рациональных чисел, определения и примеры.

Чтобы выполнить сравнение рациональных чисел или сравнение дробей, необходимо знать простые правила. Как сравнивать рациональные числа? Рассмотрим подробнее.

Сравнение рациональных чисел с одинаковыми знаменателями.

Если у рациональных чисел одинаковый положительный знаменатель, то переходим к сравнению числителей.

1. Если положительные числители у дроби, то та дробь больше у которой числитель больше.
2. Если отрицательные числители у дроби, то та дробь больше у которой числитель по модулю меньше.
3. Если у числителей разные знаки, то та дробь больше у которой положительный знак.

Рассмотрим пример:
Сравните рациональные числа: а) \(\frac<3><20>\) и \(\frac<7><20>\) б) \(\frac<-5><13>\) и \(\frac<-7><13>\) в) \(\frac<4><7>\) и \(\frac<-5><7>\)

Решение:
а) Знаменатели одинаковые, переходим к сравнению числителей. У первого числителя число 3 у второго 7.

б) При одинаковых знаменателях сравниваем числители.
|-7|=7
|-5|=5

7>5 у отрицательных чисел наоборот правее, а значит больше -7<-5

в) С дробями у которых разные знаки все просто, всегда больше положительная дробь

Сравнение рациональных чисел с нулем.

Правила сравнения рациональных чисел с нулем.

1. Если рациональное число положительно, то оно всегда будет больше нуля.
2. Если рациональное число отрицательно, то оно всегда меньше нуля.

Рассмотрим пример:
Сравните с нулем рациональные числа: а) 0 и \(\frac<-1><33>\) б) \(\frac<3><4>\) и 0

Решение:
а) Дробь \(\frac<-1><33>\) отрицательна, поэтому нуль будет больше рационального числа.

б) Дробь положительна \(\frac<3><4>\), поэтому нуль будет меньше рационального числа.

Сравнение рациональных чисел с одинаковыми числителями и разными знаменателями.

Правило сравнение рациональных чисел с одинаковыми числителями:

Если у рациональных чисел одинаковые положительные числители и разные положительные знаменатели, та дробь больше у которой знаменатель меньше.

Разберем пример:
Сравните рациональные числа с одинаковыми числителями \(\frac<1><4>\) и \(\frac<1><16>\).

Решение:
Рассмотрим рисунок.

Видно, что взятая одна часть из четырех больше по размеру, чем взятая одна часть из 16. Поэтому, \(\frac<1> <4>> \frac<1><16>\)

Если у дробей одинаковые отрицательные числители и разные положительные знаменатели, то та дробь больше у которой знаменатель больше.

Рассмотрим тот же пример:
Сравните дроби с одинаковыми отрицательными числителями \(\frac<-1><4>\) и \(\frac<-1><16>\).

Решение:
Из выше решенной задачи на рисунке мы видели, что 1 часть из 16 по размеру меньше, а значит и числовое значение имеет меньше, чем 1 часть из 4. Но в отрицательных числах меньшее отрицательное число на числовой прямой лежит ближе, то есть левее к нулю чем большее число.

Сравнение рациональных чисел с разными знаменателями.

Для начала ознакомимся с алгоритмом сравнения рациональных чисел:

1. Нужно привести дроби к общему положительному знаменателю.
2. Потом сравнить числители дробей по правилам сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим пример:
Выполните сравнение рациональных чисел с разными знаменателями: а) \(\frac<3><7>\) и \(\frac<2><9>\) б) \(\frac<-5><6>\) и \(\frac<-2><3>\) в) \(\frac<1><2>\) и \(\frac<-7><10>\)

Решение:
а) Чтобы сравнить дроби \(\frac<3><7>\) и \(\frac<2><9>\) приведем их к общему знаменателю. Общим знаменателем будет число 63.

Получили две дроби с одинаковыми знаменателями, теперь сравниваем их числители 27>14.

б) Найдем общий знаменатель дробей \(\frac<-5><6>\) и \(\frac<-2><3>\), чтобы сравнить их. Общий знаменатель равен 6.

У отрицательных числителей больше то число, которое по модулю меньше.
|-5|=5
|-4|=4 это число меньше по модулю, поэтому -5<-4

в) Эти дроби \(\frac<1><2>\) и \(\frac<-7><10>\) можно не приводить к общему знаменателю, потому что у них разные знаки. Дробь с положительным знаком всегда больше дроби с отрицательным знаком.

\(\begin\frac<1> <2>> \frac<-7><10>\end\)

Одинаковые рациональные числа.

Рациональные числа равны тогда, когда при одинаковых знаменателях равны их числители. Например: