Как найти центр масс диска с вырезом

При решении задач данного типа удобно применять следующий прием. Мысленно вырежем еще одно отверстие в диске, симметричное имеющемуся относительно точки О. Получившаяся фигура (диск без двух отверстий) обладает центром симметрии О и, следовательно, ее центр масс также расположен в точке О.

Центр масс мысленно вырезанного круга находится в его центре.

Будем отыскивать центр масс искомой фигуры, полагая, что она состоит из двух тел: круга и диска с двумя отверстиями. Согласно полученным во введении к разделу результатам, эта задача эквивалентна нахождению центра масс двух точечных масс, сосредоточенных в точках О и $O^ $.

Выберем систему координат с началом в точке О.

Согласно определению центра масс:

Обозначим через $\rho$ массу диска, приходящуюся на единицу его площади. Тогда масса круга равна:

а масса диска с двумя отверстиями:

Подставляя (2, 3) в (1) и сокращая на $\rho \pi$, окончательно получаем:

Таким образом, центр масс искомой фигуры расположен на отрезке $OO^ $ на расстоянии $x_ $ от точки О.

Тема 1.5. Центр тяжести тела

§1. Центр тяжести однородного тела.

Рассмотрим твердое тело весом P и объемом V в системе координат Oxyz , где оси x и y связаны с поверхностью земли, а ось z направлена в зенит.

Если разбить тело на элементарные части объемом ∆V_i , то на каждую его часть будет действовать сила притяжения ∆P_i, направленная к центру Земли. Предположим, что размеры тела значительно меньше размеров Земли, тогда систему сил, приложенных к элементарным частям тела можно считать не сходящейся, а параллельной (рис.1), и к ней применимы все выводы предыдущей главы.

Рис.1. Параллельная система сил

Центром тяжести твердого тела называется центр параллельных сил тяжести элементарных частей этого тела.

При определении центра тяжести полезны несколько теорем.

1) Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести его находится в этой

2) Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

3) Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тя­жести тела находится в этой точке.

§2. Способы определения координат центра тяжести.

1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии (рис.2), то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

Рис.2. Центр тяжести тел, имеющих ось симметрии

2. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей (рис.3), для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.

Рис.3. Центр тяжести сплошной

сложной геометрической фигуры

— центр тяжести и площадь первой фигуры;

— центр тяжести и площадь второй фигуры;

— координата центра тяжести сплошной сложной геометрической фигуры по оси x;

— координата центра тяжести сплошной сложной геометрической фигуры по оси y;

3. Метод отрицательных площадей. Частный случай способа разбиения (рис.4). Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Тело в виде пластинки с вырезом представляют комбинацией сплошной пластинки (без выреза) с площадью S₁ и площади вырезанной части S₂ .

Рис.4. Центр тяжести сложной геометрической фигуры,

— центр тяжести и площадь первой фигуры;

— центр тяжести и площадь второй фигуры;

— координата центра тяжести сложной геометрической фигуры по оси x;

— координата центра тяжести сложной геометрической фигуры по оси y;

§3. Координаты центра тяжести некоторых простых фигур.

1. Центр тяжести тре­угольника. Центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан (рис.5). Координаты центра тяжести треугольника представляют собой среднее арифметическое из координат его вершин: x_c =1/3(x₁+x₂+x₃) ; y_c =1/3(y₁+y₂+y₃).

Рис.5. Центр тяжести треугольника

2. Центр тяжести прямоугольника. Центр тяжести прямоугольника лежит в точке пересечения его диагоналей (рис.6). Координаты центра тяжести прямоугольника рассчитываются по формулам: x_c =b/2 ; y_c =h/2.

Рис. 6. Центр тяжести треугольника

3. Центр тяжести полукруга. Центр тяжести полукруга лежит на оси симметрии (рис.7). Координаты центра тяжести полукруга рассчитываются по формулам: x_c =D/2 ; y_c =4R/3π.

Рис. 7. Центр тяжести полукруга

4. Центр тяжести круга. Центр тяжести круга лежит в центре (рис.8). Координаты центра тяжести круга рассчитываются по формулам: x_c =R ; y_c =R.

Рис. 8. Центр тяжести круга

Вопросы для самопроверки:

— Что называется центром параллельных сил?

— Что называется центром тяжести тела?

— Почему силы притяжения Земле, действующие на точку тела, можно принять за систему параллельных сил?

— Запишите формулу для определения положения центра тяжести неоднородных и однородных тел, формулу для определения положения центра тяжести плоских сечений?

— Запишите формулу для определения положения центра тяжести простых геометрических фигур: прямоугольника, квадрата, трапеции и половины круга?

— Как используются свойства симметрии при определении центров тяжести тел?

— В чем состоит сущность способа отрицательных площадей?

— Каким графическим построением можно найти центр тяжести треугольника?

— Запишите формулу, определяющую центр тяжести треугольника.

Найти центр масс окружности

iSopromat.ru

Формулы для расчета координат положения центра тяжести треугольника, дуги окружности и кругового сегмента.

Центр тяжести треугольника

Центр тяжести площади треугольника совпадает с точкой пересечения его медиан (рисунок 1.10, а).

Центр тяжести дуги окружности

Дуга имеет ось симметрии (рисунок 1.10, б). Центр тяжести лежит на этой оси, т.е. y_C = 0.

dl – элемент дуги, dl = Rdφ, R – радиус окружности, x = Rcosφ, L = 2αR,

Центр тяжести кругового сектора

Сектор радиуса R с центральным углом 2α имеет ось симметрии Ox, на которой находится центр тяжести (рисунок 1.10, в).

Разбиваем сектор на элементарные секторы, которые можно считать треугольниками. Центры тяжести элементарных секторов располагаются на дуге окружности радиуса (2/3)R.

Центр тяжести сектора совпадает с центром тяжести дуги AB:

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Тема 1.5. Центр тяжести тела

§1. Центр тяжести однородного тела.

Рассмотрим твердое тело весом P и объемом V в системе координат Oxyz , где оси x и y связаны с поверхностью земли, а ось z направлена в зенит.

Если разбить тело на элементарные части объемом ∆V_i , то на каждую его часть будет действовать сила притяжения ∆P_i, направленная к центру Земли. Предположим, что размеры тела значительно меньше размеров Земли, тогда систему сил, приложенных к элементарным частям тела можно считать не сходящейся, а параллельной (рис.1), и к ней применимы все выводы предыдущей главы.

Рис.1. Параллельная система сил

Центром тяжести твердого тела называется центр параллельных сил тяжести элементарных частей этого тела.

При определении центра тяжести полезны несколько теорем.

1) Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести его находится в этой

2) Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

3) Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тя­жести тела находится в этой точке.

§2. Способы определения координат центра тяжести.

1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии (рис.2), то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

Рис.2. Центр тяжести тел, имеющих ось симметрии

2. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей (рис.3), для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.

Рис.3. Центр тяжести сплошной

сложной геометрической фигуры

— центр тяжести и площадь первой фигуры;

— центр тяжести и площадь второй фигуры;

— координата центра тяжести сплошной сложной геометрической фигуры по оси x;

— координата центра тяжести сплошной сложной геометрической фигуры по оси y;

3. Метод отрицательных площадей. Частный случай способа разбиения (рис.4). Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Тело в виде пластинки с вырезом представляют комбинацией сплошной пластинки (без выреза) с площадью S₁ и площади вырезанной части S₂ .

Рис.4. Центр тяжести сложной геометрической фигуры,

— центр тяжести и площадь первой фигуры;

— центр тяжести и площадь второй фигуры;

— координата центра тяжести сложной геометрической фигуры по оси x;

— координата центра тяжести сложной геометрической фигуры по оси y;

§3. Координаты центра тяжести некоторых простых фигур.

1. Центр тяжести тре­угольника. Центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан (рис.5). Координаты центра тяжести треугольника представляют собой среднее арифметическое из координат его вершин: x_c =1/3(x₁+x₂+x₃) ; y_c =1/3(y₁+y₂+y₃).

Рис.5. Центр тяжести треугольника

2. Центр тяжести прямоугольника. Центр тяжести прямоугольника лежит в точке пересечения его диагоналей (рис.6). Координаты центра тяжести прямоугольника рассчитываются по формулам: x_c =b/2 ; y_c =h/2.

Рис. 6. Центр тяжести треугольника

3. Центр тяжести полукруга. Центр тяжести полукруга лежит на оси симметрии (рис.7). Координаты центра тяжести полукруга рассчитываются по формулам: x_c =D/2 ; y_c =4R/3π.

Рис. 7. Центр тяжести полукруга

4. Центр тяжести круга. Центр тяжести круга лежит в центре (рис.8). Координаты центра тяжести круга рассчитываются по формулам: x_c =R ; y_c =R.

Рис. 8. Центр тяжести круга

Вопросы для самопроверки:

— Что называется центром параллельных сил?

— Что называется центром тяжести тела?

— Почему силы притяжения Земле, действующие на точку тела, можно принять за систему параллельных сил?

— Запишите формулу для определения положения центра тяжести неоднородных и однородных тел, формулу для определения положения центра тяжести плоских сечений?

— Запишите формулу для определения положения центра тяжести простых геометрических фигур: прямоугольника, квадрата, трапеции и половины круга?

— Как используются свойства симметрии при определении центров тяжести тел?

— В чем состоит сущность способа отрицательных площадей?

— Каким графическим построением можно найти центр тяжести треугольника?

— Запишите формулу, определяющую центр тяжести треугольника.

Центр тяжести тела — формулы и примеры нахождения

Общие сведения

Пусть имеется физическое тело, на которое не оказывается влияние, то есть другие объекты не действуют или их силы воздействия скомпенсированы. Рассматриваемое тело будет находиться в состоянии прямолинейного движения или покоя. Для удобства можно принять, что объект неподвижен, например, пусть это будет лодка на поверхности воды.

Если к плавательному средству приложить силу, смещённую к началу лодки F1, судно начнёт поворачиваться в сторону направления воздействия. Если ее переместить в горизонтальной плоскости в другой конец судна, лодка начнёт также поворачиваться, но направление вращения изменится. Отсюда можно сделать вывод, что существует такая точка приложения силы, точнее, линия, при воздействии на которую лодка не изменит своего положения, то есть плавательное средство начнёт двигаться ускоренно поступательно. Допустим, это будет сила F3.

Логично, что можно подобрать и другую силу, вызывающую поступательное прямолинейное перемещение, например, F4.

При этом точку воздействия можно перемещать по линии её направления, так как, согласно правилу, величина действия при этом не изменяется. В итоге получится точка, где пересекутся приложенные силы F3 и F4. Таких моментов можно приложить сколько угодно, при этом они все соединятся в одном месте. Точку пересечения линий действия сил, которые вызывают ускоренное поступательное движение тела, называют центром масс.

На лодку действует ещё одна сила — притяжения. На самом деле она воздействует на каждую частичку объекта, поэтому на тело одновременно оказывает влияние огромное количество моментов. Это множество и принято заменять их равнодействующей — то есть силой, приложенной к центру тяжести. В физике параметр обозначают как mg. Другими словами, это точка приложения равнодействующих сил тяжести.

Существует взаимосвязь между массой и тяжестью. Если тело разбить на кусочки и бросить их, скорость падения будет для всех тел одинаковой, так как ускорение не зависит от массы. При этом падающий объект движется поступательно.

А значит, приложенная сила проходит через центр масс, то есть через центр тяжести, поэтому несмотря на разный принцип определения этих точек, их положение совпадает.

Поиск центра тяжести

Чтобы определить центр тяжести для тела сложной формы, его нужно разделить на простые фигуры и определить точки равновесия для каждой из них. Для простых геометрических объектов используют симметрию. Например, в шаре параметр располагается в центре, в однородном цилиндре — в точке на середине оси. Частным случаем разбиения фигуры при определении является метод отрицательных площадей. Его применяют к телам, которые имеют вырезы, и при этом площадь удалённой части известна.

Вот формулы для вычисления центра в некоторых фигурах:

1. В треугольнике: x = (1/3) * (x1 + x2 + x3); y = (1/3) * (y1 + y2 + y3). Физически центр находится в точке пересечения медиан и представляет собой среднее арифметическое из координат вершин.
2. В прямоугольнике: x = b/2; y = h/2. Центр равновесия располагается в точке пересечения диагональных прямых.
3. В полукруге: x =D/2; y = 4R/3π. Искомая точка лежит на оси симметрии.
4. В круге: x = R; y = R. Точка тяжести находится в центре фигуры.

Стоит отметить, что центр тяжести объёмных тел может находиться и вне фигуры, например, как у кольца. Вообще же для трёхмерного пространства, как учат на уроках физики в 7 классе, центр тяжести тела вычисляют по формулам: x = (ΣΔ m * x) / m; y = (ΣΔ m * y) / m; z = (ΣΔ m * z) / m, где: m — масса тела, x, y, z — координаты искомой точки в пространстве. Уравнение можно переписать и в векторной форме: r = (1 / m) Σm * r, где r — радиус вектор.

Существует и ряд теорем, благодаря которым можно определить точку массы в теле:

1. При рассмотрении однородного тела, имеющего плоскость симметрии, центр массы будет находиться в этой плоскости.
2. Если однородное тело обладает осью симметрии, центр располагается на ней.
3. Центр симметрии однородной фигуры совпадает с центром массы.
4. Центр масс симметричных фигур находится в их геометрическом центре.

Точку равновесия фигуры можно находить и через объём: R = (1 / V) * ∫ ∫ ∫rdV. Для плоских объектов используется формула R = (1 / S) * ∫ ∫ ∫rdS, а однородной линии R = (1 / L) * ∫ ∫ ∫rdL. Стоит отметить, что понятие точки тяжести применимо только к твёрдым объектам. Если это не так, использование понятия не имеет смысла.

Пример задания

Теоретический материал лучше всего усваивается на практических заданиях. Не исключение и понятие о центре тяжести. Тема несложная, но при нахождении параметра желательно фигуру изобразить на рисунке.

Наиболее часто ученикам преподаватель предлагает решить задачу о нахождении центра масс сложного тела, но при этом достаточно симметричного. Например, пусть имеется диск из однородной пластины, в котором вырезан кусок треугольной формы. Необходимо найти центр равновесия оставшегося объекта.

Если нарисовать условие задачи, станет понятно, что треугольник прямоугольный, а центр масс находится на горизонтальной прямой, проходящей через середину диска. Пусть это будет ось x. Чтобы решить задачу, нужно разбить сложную фигуру на несколько частей, в каждой из которых можно найти искомую точку.

Симметрично удалённому треугольнику можно выделить аналогичную часть. В итоге останется круг с вырезанным внутри квадратом. Точка масс диска находится в центре. Для удобства её можно обозначить как x1. Вторая фигура — это треугольник. Точка равновесия у него находится на пересечении медиан. То есть на 1/3 высоты. Обозначить точку можно как x2.

Если масса треугольника равна М2, а круга М1, искомую координату можно определить по формуле: x = (m1x1 + m2x2) / m1 + m2. Далее, нужно найти, чему равняется сторона вырезанного треугольника. Из рисунка можно понять, что это расстояние будет r * √2, где r — радиус диска.

Теперь можно найти, чему будут равны x1 и x2. x1 будет равняться нулю, так как эту точку можно принять за начало координат. x2 же будет равняться 1/3 длины медианы. Высота фигуры совпадает с радиусом диска, значит: x2 = R/3.

В таких задачах самое сложное — это найти массы. Первую можно определить исходя из того, что она будет равняться массе диска минус значение квадрата. Так как фигура однородная, масса прямо пропорциональна площади. Тогда для первого участка m1 = σ * S = σ * (Sкруга — Sквадрата) = σ * (pR2 — 2R2) = σR2 * (p — 2), где: σ — поверхностная площадь. Соответственно, m2 = σ * Sтреугольника = σ * R2. Все найденные величины нужно подставить в формулу и найти ответ: x = ((r * σ * R 2 /3)) / (σ * R2 * (p — 2) + σ * R2) = (r / 3 (p — 1)). Это и будет искомая координата.

Простая задачка

Пусть имеются 2 шара. Они расположены так, что соприкасаются друг с другом. Сделаны тела из одного материала, но при этом радиусы у них отличаются вдвое. Значение первого равняется r = 20 см, а второго 40, то есть 2r. Найти, где находится точка равновесия такого объекта. Такого рода задачи обычно любят демонстрировать на презентациях, касающихся темы. Задача простая, но между тем помогает понять принцип нахождения центра равновесия.

Итак, при решении нужно будет воспользоваться формулой: x = (m1x1 + m2x2) / m1 + m2. Так как по условию радиусы шаров отличаются вдвое, их массы будут отличаться в 8 раз. Объём всегда пропорционален кубу линейных размеров.

Массу первого шара можно обозначить как m, а второго — 8m. Начало координат для удобства лучше поместить в центр меньшей фигуры. В результате середина большого шара будет иметь координату 3r. Значит, искомая координата равняется: x = ((m* 0 + 8m * 3r)) / (m + 8m) = (8 * 3r) / 9 = 8r/3.

То есть нужная точка находится на расстоянии 1/3 радиуса ближе к маленькому шару (если отсчитывать от середины большого).

Задачи с курса Физика на тему 9, Центр масс, центр тяжести (10 задач)

40 Задачи с курса Физика на тему 9, Центр масс, центр тяжести (10 задач) 09.11.2018 20:44

Задача 9.1

Рис. 9.1 — Из однородной круглой пластины радиусом R вырезали квадрат

Из однородной круглой пластины радиусом R вырезали квадрат, диагональ которого располагается на диаметре и равнаR/2. Найти положение центра масс полученной пластины.

Задача 9.2

Рис. 9.2 — В однородном круглом диске радиуса R вырезано отверстие

В однородном круглом диске радиуса R вырезано отверстие в форме прямоугольника со сторонами а и b. Ближайшая к центру диска сторона b находится на расстоянии а/2 от вертикального диаметра диска. Определить положение центра масс диска с вырезом.

Задача 9.3

Рис. 9.3 — Определить положение центра масс диска

Определить положение центра масс диска, в котором сделаны два круговых выреза, как показано на рисунке. Радиусы вырезов равны соответственно половине и четверти радиуса R диска.

Задача 9.4

Рис. 9.4 — Определить положение центра масс системы

Определить положение центра масс системы, состоящей из 4-х шаров, массы которых равны соответственно m, 2m, 3m, 4m, в следующих случаях (см. рисунок): а) шары расположены на одной прямой; б) шары расположены по вершинам квадрата; в) шары расположены по четырем смежным вершинам куба.

Задача 9.5

Определить положение центра масс половины круглого диска радиусом R, считая его однородным.

Задача 9.6

Рис. 9.5 — Определить координаты центра масс системы

Определить координаты центра масс системы, состоящей из четырех шаров массами 2m, 3m, 4m и m, которые расположены в вершинах и в центре равностороннего треугольника со стороной а = 20 см (см. рисунок). Направление координатных осей указано на рисунке.

Задача 9.7

Два шара радиусами R₁ = 15 см и R₂ = 20 см и массами соответственно m₁ = 10 кг и m₂ = 50 кг скреплены друг с другом стержнем длиной l = 1 м и массой m = 5 кг. Определить центр тяжести системы.

Задача 9.8

Рис. 9.6 — B однородной квадратной пластине со стороной b вырезано круглое отверстие

B однородной квадратной пластине со стороной b вырезано круглое отверстие, как показано на рисунке. Найдите положение центра тяжести такой пластинки с вырезом.

Задача 9.9

Рис. 9.7 — Однородная пластинка имеет форму круга радиусом R

Однородная пластинка имеет форму круга радиусом R, из которого вырезан круг вдвое меньшего радиуса, касающийся первого круга, как показано на рисунке. Определите положение центра тяжести пластинки с вырезом.

Задача 9.10

Рис. 9.8 — Определите центр тяжести однородного куба

Определите центр тяжести однородного куба, из которого удален кубик с ребром, равным (а/2), как показано на рисунке.

Центр тяжести

Отыскание центра тяжести — частный случай решения задачи о равнодействующей системы параллельных сил.

Координаты центра параллельных сил (точки приложения равнодействующей) определяются формулами

?(±ад ?(±^л)

Здесь хь уZk — координаты приложения сил F_k, к = 1, 2. п, знаки плюс или минус выбираются в соответствии с тем, как проектируются силы на оси системы координат. Положение центра параллельных сил не меняется всей системы сил на один и тот же угол.

Силы тяжести можно с достаточной для практических целей точностью считать параллельными, хотя на самом деле они сходятся в центре Земли. Так, для двух точек, отстоящих друг от друга на 31 м, угол между силами тяжести составляет одну угловую секунду.

Формулы для координат центра тяжести системы материальных точек имеют точно такой же вид, что и (*), только можно считать знаки одинаковыми. Тогда для центра тяжести системы материальных точек

Здесь Р_к — масса ?-той точки, Р — сумма масс всех точек.

В случае, когда рассматривается твердое тело, можно разделить его на достаточно малые части, центры тяжести которых можно считать совпадающими с их геометрическими центрами. Для однородного тела масса пропорциональна объему, и тогда

с V с V с V

Здесь Vk — объем к -той частицы, V — объем всего тела.

Аналогичные формулы можно записать для плоской фигуры и пространственной линии. В случае непрерывных распределений масс по объему, по поверхности или вдоль линии следует использовать формулы вида:

’ Zc= ?J L L L

В этих формулах dv — элемент объема тела, ds — элемент плоской поверхности, dl — элемент пространственной линии, интегрирование ведется соответственно в (1) по объему тела, в (2) — по поверхности, в (3) — вдоль линии.

При нахождении центра тяжести реального тела используется следующий прием. Тело разбивается на отдельные части, для каждой из которых легко определяется положение центра тяжести, а затем используются формулы типа (*). Для отдельных частей тела определение центра тяжести проводится либо из соображений симметрии, либо на основании известных зависимостей для положения центров тяжести линий, фигур или тел.

Для фигур простейшей формы положение центров тяжести определяется следующими правилами.

Центр тяжести прямоугольника располагается в точке пересечения его диагоналей.

Центр тяжести однородного треугольника находится в точке пересечения его медиан.

Центр тяжести однородной дуги окружности радиуса г и раствора 2 а находится на оси симметрии, а его координаты

Центр тяжести площади однородного кругового сектора с такими же геометрическими характеристиками, что и для дуги, расположен на оси симметрии в точке с координатами

Центр тяжести однородной призмы находится в средине отрезка, соединяющего центры тяжести верхнего и нижнего оснований призмы.

Центр тяжести пирамиды находится на отрезке, соединяющем вершину пирамиды с центром тяжести основания, на расстоянии У* от основания.

Центр тяжести однородного кругового конуса лежит на его оси на расстоянии 1 А от основания конуса.

Центр тяжести полушара радиуса г располагается на оси симметрии на расстоянии 3/8*г от основания полушара (поперечного сечения шара, проходящего через его центр).

Рассмотрим примеры решения некоторых характерных задач.

Пример 1.18

Определить положение центра тяжести однородной плоской фигуры, представляющей собой круглый диск с круглым отверстием. Размеры диска, отверстия и положения отверстия показаны на рисунке.

Решение. Воспользуемся тем, что положение центра тяжести диска без выреза известно — это его центр (9р Соответственно центр тяжести выреза (плоской фигуры) — это точка (9₂. Будем рассматривать диск с вырезом как наложение двух плоских фигур — обычного сплошного диска радиуса ц (без выреза) и диска радиуса г₂ с «отрицательной» массой. Массы обоих дисков пропорциональны их площадям и равны яг 2 и лг₂ 2 . Используем формулу (*), причем из соображений симметрии ясно, что искать нужно лишь координату х (на горизонтальной оси, проходящей от точки (91 через (9₂).

ЯГ 2 * 0 — ЯГ 2 * — 2

с яг 2 — яг 2 2(г 2 — г 2 )

Для диска радиуса г₂ (выреза) его масса принимается отрицательной, поэтому и выбраны в формуле (*) соответствующие знаки.

Пример 1.19

Как нужно провести линию отреза DE в прямоугольнике ABCD, чтобы при подвешивании в точке Е линия AD = а оставалась горизонтальной?

Решение. Линия AD останется горизонтальной в том случае, когда центр тяжести оставшейся после отрезания фигуры (трапеции ABED) будет находиться под точкой Е. Обозначим расстояние BE = х и определим положение центра тяжести трапеции, потребовав затем, чтобы координата

центра тяжести трапеции совпала с координатой точки ?, равной х (будем направлять ось х влево — отсчет от линии АВ).

Обозначим высоту прямоугольника АВ = Ь, тогда площадь всей трапеции будет

• S =——Ь.
• 2

Чтобы найти центр тяжести трапеции, мысленно разобьем его на прямоугольник и треугольник линией, параллельной АВ, проходящей через точку Е. Тогда для этих фигур площади и координаты центров тяжести (нас интересует лишь положение центров тяжести вдоль оси х) будут соответственно

Подставляем это в формулу (*) для определения положения х_с и приравняем х, так как по условию задачи центр тяжести должен быть под точкой Е, т.е. иметь такую же координату, как и точка Е. В результате получаем соотношение

, . х Ь(а -х) .2х + а

• 2 2 3
• 2

Один из корней получающегося квадратного уравнения (положительный) дает результат х = 0.366а. Как видим, при решении и в ответе несущественна высота прямоугольника Ь, которую мы вводили. Результат справедлив для прямоугольника любой высоты.

Пример 1.20

Найти предельную высоту h цилиндра, при которой тело, составленное из полушара и цилиндра одинаковой плотности, будет терять равновесие на плоскости при малейшем наклоне.

Решение. Используем тот факт, что положение центра тяжести полушара (Э| относительно его основания (плоскости сечения) известно и равно 3/8г. Если тело просто представляет собой полушар, то оно будет в равновесии только тогда, когда его плоское сечение параллельно плоскости, на которой находится полушар. Это видно из рисунка: точка опоры всегда находится под центром полушара (9, а сила тяжести Р, которую можно считать приложенной в центре тяжести O_h при любом наклоне полушара будет создавать с реакцией N опоры пару, которая поворачивает полушар в исходное положение. Попробуйте сделать такой эксперимент с половинкой яблока, арбуза — и быстро убедитесь в справедливости этого утверждения.

Если теперь на плоскость среза поставить цилиндр, то общий центр тяжести полученного тела будет смещаться в сторону плоскости среза (вверх в положении равновесия), а точка опоры по-прежнему останется на месте. Видимо, предельное положение, когда тело будет устойчиво, соответствует случаю, когда положение центра тяжести совпадет с точкой О —в центре среза. В этом случае момент пары сил, возвращающий полушар (и все тело) из наклонного положения в исходное, исчезает, так как плечо пары обращается в ноль.

Итак, найдем высоту цилиндра h из условия, что центр тяжести полученного тела будет находиться на высоте г от плоскости CD.

Поскольку плотность постоянная, вместо веса тела и его частей можно оперировать объемами. Направив ось х вверх от плоскости опирания, получим объем и положение центра тяжести (центра объема) полушара соответственно

Для цилиндра, стоящего на полушаре, объем и положение центра объема определяются формулами

В однородном диске радиусом R=106 см вырезан квадрат. Центр тяжести диска с вырезом будет расположен от его центра на расстоянии x равном. см.
Помогите пожалуйста))

Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.

1. Дано действительное число – цена 1 кг конфет. Вывести стоимость 0,5; 1; 1,5 … 10 кг конфет. (Подсказка – используем цикл WHILE).

Программа должна иметь следующий вид:

Компьютер запрашивает стоимость одного килограмма конфет.

Пользователь вводит стоимость одного килограмма конфет, и компьютер выводит на экран: