Как найти эквивалентную функцию

§ 7. Эквивалентные функции

Пусть α(х) и β(х) — бесконечно малые приха. Их частное может и не быть бесконечно малым. Более того, предел отношения двух бесконечно малых величин является неопределенной величиной. В зависимости от того, какие конкретные бесконечно малые рассматриваются, этот символ может быть равен произвольному числу, или символу бесконечности.

Опр. 1.Если отношениедвух бесконечно малых величин само бесконечно мало, то α(х) называетсявеличиной более высокого порядка малости, чем β(х); при этом β(х) называется величиной более низкого порядка малости, чем α(х).

Если отношение двух бесконечно малых величин стремится к конечному пределу, не равному нулю, то α(х) и β(х) называютсябесконечно малыми одного порядка малости. В частности, если отношениедвух бесконечно малых величин стремится к 1, то α(х) и β(х) называютсяэквивалентными. В этом случае пишут α(х)

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций.Пусть α(х) — бесконечно малая прих0. Тогда

Принцип замены эквивалентных.Если функции α(х) и β(х) являются бесконечно малыми прихаи если α(х)

(x), β (х)

(x), то

§ 8. Односторонние пределы

Опр. 1. Если любая последовательность х_n→а, х_n<а (а–число или символ -∞) при любом , то говорят, что функцияf(x) при х→а-0 (слева) имеет левый односторонний предел Говорят, что функцияf(x) при х_n→а+0 (справа) имеет правый односторонний предел если функцияf(х) была определена правее точки а, и любая последовательность х_n→а, х_n>а (а–число или символ +∞) при любом .

Если f(х) имеет в точке а (а – число) односторонние пределы f(a-0) и f(a+0) и f(a-0)=f(a+0)=b (b – число или один из символов — ∞ или + ∞), тогда f(x) имеет в точке а обычный (двусторонний) предел Если односторонние пределы различны, т.е.f(a-0)≠f(a+0), то не существует предела функции при х→а.

§ 9. Непрерывность функции

Опр. 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если функция имеет конечный предел в точке а и этот предел совпадает со значением функции в этой точке, т. е.

Опр. 2. Функция называется непрерывной на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Теорема 1. Основные элементарные функции непрерывны в областях их определения.

§ 10. Точки разрыва функции

Пусть функция b₁ – левосторонний предел функции f(x) в точке х=а, b₂ – правосторонний предел функции f(x) в точке х=а. Рассмотрим функцию у=f(x), определенную на интервале X, кроме, быть может, точки . Точкаа называется точкой разрыва данной функции, если в ней функция определена, но не является непрерывной, или не определена в этой точке.

В зависимости от характера поведения функции в окрестности точки разрыва различают три основных вида разрывов.

Опр. 1. Точка а называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если существует конечный , но либо функция не определена в точкеа, либо

Опр. 2. Разрыв I рода – в этом случае существуют конечные пределыи, ноВеличина |b₂–b₁| называется скачком.

Опр. 3. Разрыв II рода — в этом случае хотя бы один из пределов ине существует или бесконечен.

Как найти эквивалентную функцию

Будем говорить, что функции и ЭКВИВАЛЕНТНЫ в окрестности предельной точки (конечной или бесконечной), если найдется такая функция в окрестности этой предельной точки, что

,

Теорема. Для эквивалентности функций и при достаточно, чтобы предел их отношения при был равен единице:

То в качестве функции, эквивалентной данной при , может быть взята

Действительно .

Найдем, для каких x эквивалентная функция будет отличаться от данной менее чем на :

(9. 35)

Положим, к примеру, что . Тогда

Это означает, что для x > 2,43 и x < –2,43 данная функция будет отличаться по абсолютной величине от функции менее чем на 0,002.

Она действительно проще, чем . Однако при той же абсолютной погрешности E, заменив более сложную функцию на такую простую функцию как , мы получим, что неравенство

Если принять то же значение , то для и значения данной функции можно полагать равными нулю. Как видим, при заданной абсолютной погрешности диапазон допустимых значений меняется. Выигрывая в простоте эквивалентной функции, мы, вместе с тем, теряем часть промежутка, на котором осуществляется упрощение.

Найдем функцию, эквивалентную данной, в окрестности предельной точки . Для этого представим иначе данную функцию:

Определим, при каких x, близких к нулю, функция отличается от данной по абсолютной величине менее, чем на E :

Будет ли лучше для отыскания необходимых значений х другая оценка

При той же погрешности вычислений получим

Рис. 9.22. Функция и ей эквивалентные.

На рис. 9.22 изображены данная функция и эквивалентные ей. Мы видим, что на весьма значительной части области определения функции при абсолютной погрешности расчета можно использовать на практике более простые функциональные зависимости.

Как несложно установить, при имеет эквивалентную:

,

При получаем , то есть или .

Если же данную функцию непосредственно табулировать с использованием вычислительных средств, то переполнение порядка на ЭВМ для практически неизбежно, однако эта функция ведет себя, как эквивалентная ей . Отметим также, что отыскание путем вычислительного эксперимента допустимых x, упрощающих при заданной абсолютной погрешности вычисления, едва ли осуществимо в полной мере, так как этому могут воспрепятствовать вычислительные возможности ЭВМ. Следовательно, полученная аналитически оценка более значима.

Эквивалентные бесконечно малые функции. Таблица эквивалентных б.м. функций

Обозначают: $\alpha(x) \sim \beta(x)$ при $x \rightarrow a$.

Задание. Проверить, являются ли функции $\alpha(x) = 5(x^2-5x+6)$ и $\beta(x) = x^2-x-6$ эквивалентными бесконечно малыми при $x \rightarrow 3$.

Решение. Проверим вначале, что данные функции являются бесконечно малыми функциями в точке $x=3$:

Найдем предел отношения этих функций:

Ответ. Заданные функции $\alpha(x) = 5(x^2-5x+6)$ и $\beta(x) = x^2-x-6$ являются эквивалентными бесконечно малыми.

Таблица эквивалентных б.м. функций

Таблица эквивалентных б.м. функций при $x \rightarrow 0$

Предельные равенства для эквивалентных б.м. функций

Предел отношения двух б.м. функций $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ при $x \rightarrow a$ равен пределу отношения эквивалентных им б.м. функций $\alpha^<*>(x)$ и $\beta^<*>(x)$ при $x \rightarrow a$, то есть верны предельные равенства:

Задание. Найти предел $\lim _ \frac<3 x+7 x^<2>><\sin 2 x>$

Решение. При $x \rightarrow 0$: $\sin 2 x \sim 2 x$

Разность двух эквивалентных б.м. функций есть б.м. функция более высокого порядка, чем каждая из них.

Верно и обратное утверждение.

Сумма конечного числа б.м. функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Слагаемое, которое эквивалентно сумме б.м. функций, называется главной частью указанной суммы.

Замена суммы б.м. функций ее главной частью называется отбрасыванием б.м. высшего порядка.

Решение. При $x \rightarrow 0$: $5 x-6 x^ <3>\sim 5 x,$ tg $3 x \sim 3 x$

Эквивалентные функции — формулы, свойства и примеры решений

В данной статье речь пойдет об основных понятиях эквивалентных функций, с помощью которых можно найти значение пределов. Понятие эквивалентности поменяется не только в высшей математике, но и в логике, психологии, при переводах с иностранных языков. Оно означает «равнозначность», «равносильность», «равенство».

Определение эквивалентных функций

Эквивалентные функции — это функции, имеющие одинаковое значение. Они могут представлять собой бесконечность малых и больших величин.

Функция может иметь такое понятие лишь при наличии предела. Следует понимать, что одна и та же функция принимает значение малой или большой до бесконечности лишь в единственной точке.

Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного

Если при x₁, стремящимся к x₂, f(x)

g₁(x) существует предел:

то существует и предел:

Доказательство

Допустим, что следствие этой теоремы часто применяемое. Если мы имеем частное, являющееся результатом произведения функций:

в этом случае, при нахождении предела, можно сделать замену этих функций на эквивалентные:

Выражения равны друг другу, это значит, что при существовании одного из таких пределов, применимо существование выражения, равного первому. Соответственно, если не существует такой предел, то не может существовать и второй.

Следует отметить, что можно делать замену как одной величины функции, так и нескольких одновременно.

Таблица эквивалентных функций

Ниже приведена таблица равнозначных функций и формул при t → 0. В данном случае величина t может представлять собой как переменную, так и до бесконечности малую функцию t = t(x) при x → x₀:

Эквивалентность при t → 0

Равенство при t → 0

a t – 1 = t ln a + 0(t)

(1 + t) b — 1 = bt + 0(t)

Всегда ли можно сделать замену функций эквивалентными?

Свойства замены функций равносильными доступны для дробных выражений с перемножаемыми величинами и произведений, где необходимо найти предел.

В этом случае величины в числителе или знаменателе допускается заменить равнозначными функциями. Если математическое выражение представляет собой сумму чисел, замену сделать нельзя.

Примеры решения пределов с помощью эквивалентных функций

Для сравнения рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

Начнём решение, учитывая, что tg2x

3x при x → 0, тогда

Пример 2

Пусть arcsin x = t, тогда x = sin t и t → 0 при x → 0. Исходя из этого:

Значит, arcsin x

Пример 3

Решение: если sin (15x)

Для решения пределов можно использовать онлайн калькуляторы, размещенные на ресурсах в свободном доступе.