Как найти экстремаль функционала

Примеры выполнения заданий Пример 1a

(1.0)

Исследовать полученную экстремаль на достаточные условия экстремума. Построить график решения.

В этом примере подынтегральная функция F(x,y,y) является функцией общего вида, поэтому составим уравнение Эйлера в виде (1.5) и решим его. Затем построим график решения. Попутно исследуем на выполнение достаточных условия экстремума.

Ответ.Уравнение Эйлера после сокращения на –2 будет:

. (1.0)

Его аналитическое решение

. (1.0)

После подстановки значений произвольных постоянных экстремаль функционала (1.6) имеет вид

. (1.0)

График её показан на рис.1.1. Так как F_yy2>0, и это условие выполняется y(x) и y(x), то всоответствии с достаточным условием Лежандра найденная экстремаль доставляет сильный минимум функционалу (1.6).

Найти экстремаль функционала

(1.0)

Исследовать на выполнение достаточных условий экстремума. Построить график решения.

В этом примере подынтегральная функция F(x,y,y) не зависит явно от y. Первый интеграл уравнения Эйлера имеет видF_yC₁. Составим программу для решения этой вариационной задачи. Вначале введём исходные данные.

Ответ. Первый интеграл дифференциального уравнения Эйлера

. (1.0)

Экстремаль функционала (1.11) имеет вид

. (1.0)

График её показан на рис.1.2. Так как F_y’y’2>0, и это выполняется y(x) и y(x), то подостаточному условию Лежандра имеем сильный минимум.

Найти экстремаль функционала

(1.0)

Исследовать на достаточные условия. Построить график решения.

Здесь подынтегральная функция F(x,y,y) не зависит явно от x. Первый интеграл уравнения Эйлера имеет видFyF_yC₁. Составим программу для решения этого примера. Вначале введём исходные данные задачи.

Ответ. Первый интеграл дифференциального уравнения Эйлера

. (1.0)

Экстремаль функционала (1.13) имеет вид

. (1.0)

График её показан на рис.1.3. Так как F_y’y’2y 2 >0, имеем сильный минимум.

Задание

Для своего варианта функционалов a), b), c) найти экстремали, построить их графики и исследовать на выполнение достаточных условий экстремума.

Варианты заданий

a).

b).

c).

a).

b).

c).

a).

b).

c).

a).

b).

c).

a).

b).

c).

a).

b).

c).

a).

b).

c).

a).

b).

c).

a).

b).

c).

a).

b).

c).

a).

b).

c).

a).

b).

c).

a).

b).

c).

a).

b).

c).

a).

b).

c).

a).

b).

c).

a).

b).

c).

a).

b).

c).

a).

b).

c).

a).

b).

c).

a).

b).

c).

a).

b).

c).

a).

b).

c).

a).

b).

c).

a).

b).

c).

a).

b).

c).

a).

b).

c).

a).

b).

c).

a).

b).

c).

a).

b).

c).

Экстремаль функционала, зависящего от нескольких функций Краткие теоретические сведения

Рассмотрим задачу отыскания экстремума функционала, зависящего от нескольких функций одной переменной и их первыхпроизводных:

.(2.0)

Экстремаль функционала должна удовлетворять в общем случае 2nграничным условиям:

(2.0)

Как и ранее (см. глава 1), необходимое условием экстремума такого функционала – равенство нулю его вариации, вычисленной на экстремали <y₁₀(x),y₂₀(x),…,y_n0(x)>. Так как функционал достигает экстремума на множестве варьируемых функций с закреплёнными концами, то он тем более будет достигать экстремума на более узком классе функций: когда варьируется только одна из них, а остальные зафиксированы. Значит, каждая из функцийy_i(x) должна удовлетворять уравнению Эйлера (1.5). Таким образом, для нахожденияэкстремалей мы получаем системуnдифференциальных уравнений Эйлера

(2.0)

дополненную 2nграничными условиями (2.2).

Данную вариационную задачу при n=2 можно интерпретировать геометрически. Обозначим функции черезy(x) иz(x). Тогда задача сводится к отысканию линии, проходящей через заданные две точкиM₁(x₁,y₁,z₁) иM₂(x₂,y₂,z₂), и доставляющей экстремум функционалу (2.1).

Вариационное исчисление: примеры и задачи

Древнейшей из задач на максимум и минимум является задача отыскания среди плоских замкнутных кривых заданной длины такую, которая охватывает наибольшую площадь (5 в до н.э.) — и это классическая изопериметрическая задача вариационного исчисления. Началось же классическое вариационное исчисление с задачи о кривой наискорейшего спуска (брахистохроне) в 1696 г. с публикации Иоганна Бернулли.

Общие принципы и методы решения задач вариационного исчисления были введены в 18 веке Эйлером и Лангранжем, они же установили тесную связь между ВИ и естествознанием. Далее на протяжении более чем двух столетий они разрабатывались, были найдены помимо необходимых условий первого порядка (уравнений Эйлера-Лагранжа) необходимые и достаточные услвоия второго порядка для сильных и слабых экстремумов.

На этой странице мы рассмотрим примеры с подробным решением следующих типов: простейшая задача вариационного исчисления, задача Больца, изопериметрическая задача, задача со старшими производными. А также научимся находить вариацию и допустимые экстремали функционала. Все это относится к классическому вариационному исчислению.

Вариационное исчисление: задачи с решениями

Задача 1. Решить классическую задачу вариационного исчисления:

$$ \int_0^1 \dot^2 dt \to extr, \quad x(0)=1, x(1)=0. $$

Задача 2. Решить задачу Больца

$$ \int_0^1 \dot^2 dt +\alpha x^2(1) \to extr, \quad x(0)=1. $$

Задача 3. Решить изопериметрическую задачу

$$ \int_0^1 \dot^2 dt \to extr, \int_0^1 x^2 dt =3, \quad x(0)=1, x(1)=6. $$

Задача 4. Решить задачу со старшими производными

$$ \int_0^\pi (\ddot^2+4x^2) dt \to extr, \quad x(0) = \dot x(0)=0, \, \dot x(\pi)=sh(\pi). $$

Задача 5. Найти все экстремали функционала $J(y)$, удовлетворяющие указанным граничным условиям

$$ J(y)=\int_0^1 (e^y +xy’)dx, \quad y(0)=0, y(1)=1. $$

Задача 6. Найти все экстремали функционала $J(y)$, удовлетворяющие указанным граничным условиям

$$ J(y)=\int_0^1 e^<-x>\cdot y» ^2 dx, \quad y(0)=0, y'(0)=1, y(1)=e, y'(1)=2e. $$

Задача 7. Для указанной вариационной задачи записать уравнение Эйлера и найти экстремаль, удовлетворяющую условиям $y(0) = 19, y(1)=30$

Задача 8. Найти вариацию функционала

$$\int_0^1 (x+y’)\ln \sin y’ dx.$$

Задача 9. Найти все экстремали функционала $J(y)$, удовлетворяющие указанным граничным условиям

$$ J(y)=\int_0^ <\pi/4>(4y\sin x +y’^2-y^2)dx, \quad y(0)=0, y(\pi/4)=0. $$

Консультации и помощь

Нужно выполнить контрольную работу или задачи по вариационному исчислению и смежным предметам? Нет проблем! Стоимость консультации по решению — от 150 рублей, подробное оформление согласно требованиям методички в Word.

Как найти экстремаль функционала

Алгоритм нахождения экстремума функционала, как и в ситуации с функциями (ССЫЛКА), состоит из двух шагов:
А) необходимое условие экстремума
Б) достаточное условие экстремума.
Вот что на эту тему говорит Лев Эрнестович Эльсгольц (часть таблицы, условия, применяемые наиболее часто):
Пусть дан функционал вида с условиями ,

Слабый минимум	Сильный минимум
1. Необходимое условие. Функционал может достигать своего экстремального значения только на функциях, являющихся решением уравнения Эйлера: . Решения этого уравнения называются допустимыми экстремалями.	1. Необходимое условие. Функционал может достигать своего экстремального значения только на функциях, являющихся решением уравнения Эйлера: .
2. Необходимые условия Если на допустимой экстремали А) выполняется условие Якоби (см. после таблицы), Б) (Условие Лежандра), то на этой экстремали функционал достигает слабого минимума.	2. Необходимые условия Если на допустимой экстремали А) выполняется условие Якоби (см. после таблицы), Б) для точек , близких к точкам на исследуемой экстремали и для произвольных значение . При этом предполагается, что функция трижды дифференцируема по для любых , то на этой экстремали функционал достигает сильного минимума.

Замечание 1: Условия для максимума аналогичны, следует лишь заменить знаки неравенств на противоположные.
Замечание 2:
Уравнение Якоби: ,
где являются известными функциями переменной .
Условие Якоби выполнено, если решение уравнения Якоби обращаются в ноль при и более не обращаются в ноль ни в одной точке отрезка .

Все эти замечательные условия лучше всего понимать на примерах.
Задача: Исследовать функционал на экстремум и вычислить экстремальное значение.

1) Необходимое условие экстремума.

Составим и решим уравнение Эйлера.

Определим константы из условий

Тогда допустимая экстремаль имеет вид:

2) Достаточные условия экстремума
А) Условие Якоби.
Запишем и решим уравнение Якоби для

Пусть решение уравнения при обращается в ноль: , тогда соотношение констант:

и решение уравнения Якоби можно записать в виде: .
На отрезке эта функция в ноль более не обращается, т.е. условие Якоби для этой допустимой экстремали (а так получилось, что она тут и не рассматривалась, т.е. оно выполнилось бы для любой экстремали) выполнено.
Замечание: при составлении уравнения Якоби «ушли» и и оно получилось очень простое. Если они не уходят, то следует поставить вместо функцию допустимой экстремали, мы ж её исследуем.
Б) Условие Лежандра.
, это неравенство не зависит от .
Вывод: на экстремали функционал достигает сильного минимума.

Найдем экстремальное значение функционала:

Ответ: Функционал достигает сильного минимума на экстремали и принимает на ней экстремальное значение

16. Тема 13. Вариационное исчисление

1. Задача о наименьшей площади поверхности вращения. Среди всех плоских гладких кривых, соединяющих точки и , найти ту, которая при вращении вокруг оси абсцисс образует поверхность наименьшей площади.

Решение. Как известно, площадь вращения находится по формуле . Поставленная задача сводится к определению кривой , удовлетворяющей граничным условиям , ,
на которой достигается минимум функционала .

Составим уравнение Эйлера (Л13.12). Подынтегральная функция
не зависит от переменной T явно (пятый случай интегрируемости, см. Л13). Поэтому уравнение Эйлера имеет первый интеграл (Л13.16):

После упрощения получаем .

Найдем общее решение дифференциального уравнения. Полагая , имеем ; ; .

Таким образом, искомая поверхность образуется вращением линии, уравнение которой в параметрической форме имеет вид

Исключая параметр , получаем — семейство цепных линий, от вращения которых образуются поверхности, называемые катеноидами.

Постоянные и находятся из граничных условий:

В зависимости от положения точек A и B может существовать одно, два или не существовать ни одного решения.

2. Найти экстремаль функционала

Удовлетворяющую граничным условиям , .

Решение. Запишем уравнение Эйлера. Так как , , , , то получаем или .

Найдем общее решение уравнения Эйлера. Оно является линейным
с постоянными коэффициентами, поэтому составим характеристическое уравнение . Его корни , — действительные, разные числа. Общее решение уравнения имеет вид

Определим коэффициенты и из граничных условий:

Отсюда . В результате получаем экстремаль .

3. Найти экстремум функционала

Решение. Экстремаль для этого функционала найдена в задаче 2: . Проверим достаточные условия сильного экстремума.

Для проверки условия Якоби составим уравнение Якоби (Л13.17). Так как , , , , то уравнение имеет вид . Отсюда и — общее решение этого линейного дифференциального уравнения. Из условия
получаем и . Так как нетривиальное решение (при ) уравнения Якоби не равно нулю, т. е. при , то условие Якоби выполняется.

Так как функция трижды дифференцируема по ,
то применим условие Лежандра. Поскольку при любых ,
то на кривой достигается сильный минимум. Очевидно, что на этой же кривой достигается и слабый минимум.