Какой цифрой оканчивается число 2 2011

Какой цифрой оканчивается число 2 2011

1. Докажите, что

1. Докажите, что

1. Докажите, что число является составным.

оканчивается на цифру 3, так как, основание степени оканчивается на 3, значит, последняя цифра меняется с шагом 4, показатель степени 589:4=148(ост. 1), 3 1 =3. Рассмотрим второе слагаемое , где n – натуральное число, по таблице видим, что все возможные варианты степени числа 7 оканчиваются всегда на нечетную цифру, то есть Значит, будет оканчиваться на четную цифру, будет числом четным, а, значит, являться составным.

решебники и ГДЗ

В МЕНЮ (СЛЕВА) ВЫБЕРИТЕ НУЖНЫЙ ВАМ УЧЕБНИК

Если Вы не нашли свой учебник — пишите нам на почту Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра. и мы обязательно добавим его на наш сайт.

Будем благодарны за предложения и пожелания от Вас по улучшению работы сайта.

На нашем сайте Вы найдете решебники (гдз – готовые домашние задания) по всем предметам школьной программы – математике, русскому языку, истории, литературе, географии, английскому языку и т.д.

В настоящее время представлены решебники по математике Виленкина, Зубаревой, Дорофеева, Бунимовича, Жохова, Чеснокова, Шварцбурда, Мордковича, Петерсона, Кузнецовой, Минаевой.

В ближайшее время мы добавим решебники и гдз по русскому языку.

О том, какие готовые домашние задания нужны в первую очередь – решать только Вам. Напишите нам, и мы в кратчайшие сроки добавим необходимый Вам решебник на наш сайт.

О том, нужны ли решебники споры не утихают ни на миг. У каждой стороны – и противников и сторонников решебников — есть веские аргументы в защиту своего мнения.

Из плюсов можно выделить следующие моменты:

А. Есть возможность проверить правильность своего решения задачи.

Б. Если упражнение не получается решить, непонятно условие задачи или что-то еще подобное – можно посмотреть решебник. Как правило, все задания решены с объяснениями.

В. Решебники (гдз) просто необходимы родителям чтобы помочь своему ребенку в выполнении домашнего задания. Ведь как бы хорошо Вы не учились в школе, со временем какие-то моменты все равно забываются. И с помощью гдз Вы можете восполнить пробелы в своих знаниях, чтобы в доступной форме объяснить своему ребенку непонятный для него материал.

Из существенных минусов можно выделить только один – школьник вместо того, чтобы самому решать задания станет просто списывать из интернета готовые решения задач.

В реальности – все зависит не только от самого школьника, но и в большей степени от родителей, во вред или во благо будут использованы решебники с готовыми домашними заданиями – ГДЗ.

алгебра — Какой цифрой оканчивается число

В такой формулировке задача звучит бессмысленно. Можно спрашивать о том, какой цифрой оно оканчивается, или какими двумя цифрами, и так далее.

2 ответа

Ответ зависит только от последней цифры основания степени, то есть от $%3$%. При возведении $%3$% в степени на конце получаются цифры $%3$%, $%9$%, $%7$%, $%1$%, и далее периодически повторяются с периодом $%4$%. Поскольку показатель степени имеет вид $%4k+1$%, то последняя цифра будет такая же, как и у $%3^1$%, то есть $%3$%.

отвечен 9 Май ’13 17:05

$%3^<4k>=81^k(k\in N)-$% заканчивается на $%1.$%

$%3^<4k+1>=81^k \cdot 3(k\in N)-$% заканчивается на $%3.$%

$%3^<4k+2>=81^k \cdot 9(k\in N)-$% заканчивается на $%9.$%

$%3^<4k+3>=81^k \cdot 27(k\in N)-$% заканчивается на $%7.$%

Отсюда следует, что $%2013^<2013>=2013^<4\cdot 503+1>$% заканчивается на $%3.$%

Какой цифрой оканчивается число 2 2011

Введение

«Математику уже затем учить следует,

что она ум в порядок приводит»

Эти слова раскрывают сущность предмета математика, так как именно она, прежде всего, учит нас мыслить, рассуждать, анализировать, делать выводы, умозаключения и подводить итоги. Математика является одним из основных школьных предметов, потому, что все перечисленные качества необходимы не только математику, но и представителю любой другой науки. Развитием этих качеств занимается, прежде всего, математика. Существуют специальные задачи, которые направлены на формирование названных умений. Готовясь к различным математическим конкурсам, мы столкнулись с таким заданием « Какой будет последняя цифра числа ?» На первый взгляд эта задача может показаться достаточно сложной и я принялся за вычисления…

В ходе решения этой задачи возникла идея исследовать, а какой будет последняя цифра любого натурального числа в любой степени, есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра степени натурального числа?

Составить опорную таблицу «Последние цифры степени», найти закономерности в них, научится вычислять последние цифры степеней.

Актуальность темы исследования обусловлена насущной необходимостью поиска быстрых алгоритмов решения практически важных задач, отработки навыков устного счета.

2. Последняя цифра степени

Выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа , где N , n – натуральные числа, с изменением показателя n. Для этого составим таблицу:

Для наглядности составим таблицу, где будут записаны цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел:

Заполняя столбики получаем такой результат: пятая и девятая и т. д. степень числа оканчивается той же цифрой, что и первая степень числа; шестая, десятая, четырнадцатая степень и т. д степень оканчивается той же цифрой, что и вторая степень числа; седьмая степень числа будет оканчиваться той же цифрой, что и третья степень числа.

3. Закономерности возведения в степень

Результаты в таблице повторяются через каждые четыре столбца.

Про числа 1 и 10 писать не будем, т.к. результат всегда будет 1 или 0 соответственно.

Любая степень чисел 5 и 6 оканчивается соответственно на 5 и на 6.

Последние цифры степеней чисел 4 и 9 повторяются через каждые два шага, при возведении в четную степень последняя цифра не меняется, будет соответственно 4 или 9, при возведении в нечетную степень изменится на 6 или 1 соответственно.

Квадрат любого натурального числа может оканчиваться на 0, 1,4, 5, 6 и 9,

Куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой

Используя полученные результаты попробуем найти последние цифры степени по остатку от деления её показателя на 4

Если остаток равен 0 и основание нечетное, то число будет оканчиваться на 1(кроме чисел оканчивающихся на цифру 5), если основание четное (кроме круглых чисел), то числа будут оканчиваться на цифру 6.

Теперь будем подбирать такие числа, что при делении показателя степени на 4 будут давать остатки 1, 2, 3

45:4=11 (остаток 1)

102:4=25 (остаток 2)

Если остаток равен 1, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи основания степени;

Если остаток равен 2, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи квадрата основания;

Если остаток равен 3, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи куба основания.

Значит чтобы найти последнюю цифру степени натурального числа с натуральным показателем, нужно найти остаток от деления показателя степени на 4.

Последние цифры степеней чисел 2 , 12, 22 и т. д. (3, 13, 23 и т.д.) и т. д. будут совпадать.

4. Последние две цифры степени

Мы видим, что последняя цифра рано или поздно будет повторяться, а как будет обстоять дело с 2-мя и 3-мя последними цифрами ? Вероятно, они тоже будут повторяться. Для наглядности составим таблицу, где будут записаны две цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел:

Глядя на таблицу, замечаем что последние две цифры тоже повторяются, только период повторения увеличивается, кроме того у некоторых чисел 1-е не входит в период, так например:

Но начиная с 21 степени по 40 последние две цифры будут повторяться.

Последние цифры чисел 3,13 и 8 тоже будут повторятся с периодом 20, но последние две цифры чисел 3 и 13 совпадать не будут, не будут совпадать последние две цифры для степеней чисел 4 и 14 и т.д.

Последние цифры чисел 4 и 9 будут повторяться с периодом 10,последние цифры числа 6 будут повторятся с периодом 5, но число 6 не входит в период, последние цифры числа 7 будут повторятся с периодом – 4. Любая степень числа 5 (начиная со 2 –ой) и 25 будет оканчиваться на 25, а число 15 в четной степени будет оканчиваться на 25, а в нечетной на 75. Период чисел 11, тоже будет равен 10, но здесь есть еще одна закономерность:

Для числа 11 в степени – число десятков будет равно показателю степени

Для числа 21 – период равен 4, а число десятков будет равно числу, полученному , если число 2 умножить на показатель степени

5. Заключение

Определить последнюю цифру степени числа не сложно, мы легко составили алгоритм, для двух последних цифр степени числа такой алгоритм уже не составишь, закономерности есть , но их меньше. Считаю, что таблицу с тремя последними цифрами составлять не имеет смысла – не рационально.

Мы провели большую работу: составили таблицы для последней и двух последних цифр степеней и получили интересные с нашей точки зрения выводы. Результаты работы могут быть использованы на занятиях математического кружка и факультативах в 5- 7 классах для развития интереса к математике у учащихся, а так же для индивидуальной работы с теми учениками, кто интересуется математикой. Кроме того, данными выводами можно воспользоваться при подготовке к различным олимпиадам и конкурсам. Кроме того сам процесс проведённого исследования позволил нам ещё раз убедиться в своих возможностях.

6. Задачи

Определите последнюю цифру в записи числа (ответ 8)

Найдите последнюю цифру числа 2017 в степени 4207.(ответ 3)

Найдите последнюю цифру числа 12^39+13^41 .

(8+3=11, последняя цифра 1)

Найдите последнюю цифру суммы степеней числа 2 с показателями, равными 32, 69, 469, 1995, 19951995.

(6+2+2+8+8=26 последняя цифра 6)

В книге рекордов Гиннеса написано, что наибольшее известное простое число равно (− 1). Не опечатка ли это?

(опечатка. Число 23021 337 оканчивается единицей Поэтому последняя цифра числа (23021 337 − 1) равна 0, а значит, это число делится на 10 и потому составное.)

Делится ли число+ на 10 ?

(Число 4730 оканчивается цифрой 9, а число 3950 — цифрой 1 Значит, их сумма оканчивается на 0 и потому делится на 10.)

Найдите последнюю цифру числа . Степени считаются сверху вниз: =

Последние две цифры числа 7 7 образуют число 43 (это можно вычислить непосредственно, отбрасывая при каждом умножении все цифры результата, кроме последних двух). Значит, число 7 7 делится на 4 с остатком 3. Степени семёрки могут оканчиваться на 7, 9, 3 или 1 (в зависимости от того, с каким остатком делится на 4 показатель степени). В нашем случае 43 делится на 4 с остатком 3, значит, и 7 7 делится на 4 с остатком 3 (согласно признаку делимости на 4). А у всех степеней семёрки, показатели которых делятся на 4 с остатком 3, последняя цифра равна 3).

Найдите 2 последние цифры числа 8 1989 .

В таблице 2-х последних цифр, у числа 8 период 20, (1989:20=99 остаток 9 , число 8 в 9 степени оканчивается цифрами 28, последние 2 цифры числа 8 1989 – 28).

На контрольной работе по перекрашиванию юный хамелеон перекрашивается по очереди из красного -> в желтый -> зелёный -> синий -> фиолетовый -> красный -> жёлтый -> зелёный и т.д. перекрасился он 2010 раз и начав с красного он в конце стал синим, но известно что он допустил ошибку, покраснел в тот момент, когда должен был приобрести другой цвет. Какого он был цвета перед этим покраснением?

(Заметим, что здесь период повторения цветов равен 5. Красный цвет будет встречаться на числах оканчивающихся на 0 и 5. Значит и должен он был закончить снова на красном. Поэтому чтобы найти ошибку перейдём сразу к 2005 перекрашиванию. Теперь просто будем считать по очереди меняя цвета до 2010-го. Сразу же смотрим что он сделал ошибку допустим после жёлтого, тогда получается 2005-красный, 2006 – жёлтый 2007- снова красный (это его ошибка), 2008 — жёлтый, 2009 -зелёный, 2010 – синий, перед ошибочным покраснением хамелеон был жёлтым).

Сейчас на часах 10:00. Какое время они будут показывать через 102938475 часов?

(У часов период повторения равен 24, значит число 102938475 разделить на 24 = 4289103,12… 102938475 — (4289103 * 24) = 3. Значит время которое часы будут показывать через 102938475 часов равно 10+3 = 13 часов, через 102938475 часы будут показывать 13:00).

11. Доказать, что число кратно 2.

12. Доказать, что -1 кратно 5 (при натуральном n).

13. Верно ли, что 1,6*( -1 ) – целое число при любом (натуральном) n. 14. Какой цифрой оканчивается произведение всех двузначных чисел, каждое из которых оканчивается на 7?

7. Использованная литература

1. «Все задачи «Кенгуру» 1994-2008- Санкт-Петербург, 2008.

2. «Задачи для подготовки к олимпиадам. Математика 5-8 классы» сост. Н.В. Заболотнева. – Волгоград: Учитель, 2007.- 99с.

3. Лихтарников Л.М. Занимательные логические задачи. (Для учащихся начальной школы) Оформление С. Григорьева — СПб.: Лань, МИК, 1996.- 125с.

4. Л.М.Лоповок 1000 проблемных задач по математике. Книга для учащихся Москва : Просвещение, 1995

5. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Книга для учащихся 7-9 кл. средней школы — М.: Просвещение, 1990.- 224 с.: ил.

6. Чулков П.В. Математика. Школьные олимпиады: методическое пособие. 5- кл./ П.В. Чулков.- М.: Издательство НЦ ЭНАС, 2007.- 88с. (Портфель учителя).

7. Шуба М.Ю. Занимательные задачи в обучении математике: Книга для учителя. — 2-е изд.-М.: Просвещение, 1995.- 22с.