Как умножить 3 матрицы между собой

Правило умножения матриц: примеры с решением

Мы помним, что матрицы – это таблицы взаимосвязанных элементов, которые позволяют упростить математические вычисления и систематизировать определённую информацию. Их можно складывать, вычитать, умножать между собой. В этой статье подробнее остановимся на последнем алгоритме – матричном произведении.

Умножение матриц — определение

Матричное умножение – это одна из основных операций, которая проводится исключительно с согласованными матрицами.

При произведении матриц A и B получается новая матрица C. В математическом виде формула будет выглядеть так:

Но для начала разберёмся, что такое согласованные матрицы.

Согласованные матрицы

Согласованными матрицами называют матрицы вида A = [m ☓ n] и B = [n ☓ k], где количество столбцов А равно количеству строк В.

Индексы показывают координаты равных элементов.

Матрица 2

Для того, чтобы умножить А и В, нужно взять строку в первой матрице и столбец во второй, перемножить одинаковые элементы и сложить полученные произведения.

Основные свойства матричного произведения

Размеры, то есть количество строк (m) и столбцов (n), влияют на особенности матричного произведения. Следовательно, для двух главных видов – квадратных и прямоугольных – действуют разные свойства произведения. Однако умножение любого вида всегда некоммуникативное. Это означает, что матрицы нельзя менять местами (АВ ≠ ВА).

Умножение квадратных матриц

Для квадратных матриц существует единичная матрица Е. В ней элементы по главной диагонали равны единице, а оставшиеся – нулю. Произведение любой квадратной матрицы на неё не влияет на результат.

В математическом виде это выглядит так: ЕА = АЕ = А

Также существует обратная матрица А (-1), при умножении на которую исходная A = [m ☓ n] даёт в результате единичную матрицу E.

Следовательно, формула такова: АА(-1) = Е

Умножение прямоугольных матриц

Существуют четыре основных свойства умножения:

Сочетательное свойство, или ассоциативность: (AB)C = A(BC)
Распределительное свойство, или дистрибутивность: А(В+С) = АВ + АС / (А+В)С = АС + ВС
Умножение на единичную матрицу: ЕА = А
Умножение на нулевую матрицу: 0А = 0

Напомним, что у нулевой матрицы все элементы равны нулю.

Произведение трех матриц

Произведение АВС можно получить двумя альтернативными способами:

Найти АВ и умножить на С
Найти ВС и умножить на А

Данное свойство называется ассоциативностью матричного умножения и действует на все виды согласованных матриц. Сами они не переставляются, меняется только порядок их умножения.

Умножение матрицы на число

Для умножения на число необходимо умножить каждый матричный элемент на это число:

Дроби вносить не нужно, поскольку они могут затруднить дальнейшие операции.

Умножение матрицы на вектор

Здесь работает правило «строка на столбец».

При умножении на вектор-столбец важно, чтобы количество столбцов в матрице совпадало с количеством строк в векторе-столбце. Результатом произведения будет вектор-столбец.

При умножении на вектор-строку матрица должна быть только вектором-столбцом. Важно, чтобы количество строк в векторе-столбце совпадало с количеством столбцов в векторе-строке. Результатом произведения будет квадратная матрица.

Примеры задач на умножение матриц

Задача №1: выполнить умножение и найти С, если A = [m ☓ n] и B = [n ☓ k] равны.

Задача №2: вычислить С, если А = [m ☓ n] и вектор-столбец В равны.

Изучение матричных операций очень увлекательное, но сложное занятие. Если у вас нет времени на учёбу, ФениксХэлп может помочь в решении контрольных и самостоятельных работ, написании статей и диссертаций.

Как перемножить 3 матрицы – ?

Как находить произведение матриц. Умножение матриц. Скалярное произведение матриц. Произведение трех матриц

С матрицами (таблицами с числовыми элементами) могут проводиться различные вычислительные действия. Одни из них – умножение на число, вектор, другую матрицу, несколько матриц. Произведение иногда получается неверным. Ошибочный результат – итог незнания правил выполнения вычислительных действий. Давайте разберемся, как следует осуществлять умножение.

Матрица и число

Начнем с самого простого – с умножения таблицы с числами на конкретную величину. Например, мы имеем матрицу A с элементами a_ij (i – это номера строк, а j – это номера столбцов) и число e. Произведением матрицы на число e будет матрица B с элементами b_ij, которые находятся по формуле:

Т. е. для получения элемента b₁₁ нужно взять элемент a₁₁ и умножить его на нужное число, для получения b₁₂ требуется найти произведение элемента a₁₂ и числа e и т. д.

Решим задачу № 1, представленную на картинке. Для получения матрицы B просто умножим элементы из A на 3:

a₁₁ × 3 = 18. Это значение записываем в матрицу B в то место, где пересекаются столбец № 1 и строка № 1.
a₂₁ × 3 = 15. Мы получили элемент b₂₁.
a₁₂ × 3 = –6. Мы получили элемент b₁₂. Записываем его в матрицу B в место, где пересекаются столбец № 2 и строка № 1.
a₂₂ × 3 = 9. Данный результат – это элемент b₂₂.
a₁₃ × 3 = 12. Данное число вносим в матрицу на место элемента b₁₃.
a₂₃ × 3 = –3. Последнее полученное число – это элемент b₂₃.

Таким образом, мы получили прямоугольный массив с числовыми элементами.

Векторы и условие существования произведения матриц

В математических дисциплинах существует такое понятие, как «вектор». Под этим термином понимается упорядоченный набор величин от a₁ до a_n. Они называются координатами векторного пространства и записываются в виде столбца. Еще есть термин «транспонированный вектор». Его компоненты располагаются в виде строки.

Векторы можно называть матрицами:

вектор-столбец – это матрица, построенная из одного столбца;
вектор-строчка – это матрица, которая включает в себя только одну строку.

При выполнении над матрицами операций умножения важно помнить о том, что есть условие существования произведения. Вычислительное действие A × B может быть выполнено только тогда, когда число столбцов в таблице A равно числу строчек в таблице B. Итоговая матрица, получаемая в результате вычисления, всегда имеет число строк таблицы A и число столбцов таблицы B.

При умножении не рекомендуется переставлять местами матрицы (множители). Их произведение обычно не соответствует коммутативному (переместительному) закону умножения, т. е. результат операции A × B не равен результату операции B × A. Такая особенность именуется некоммутативностью произведения матриц. В некоторых случаях результат умножения A × B равен результату умножения B × A, т. е. произведение коммутативно. Матрицы, при которых равенство A × B = B × A выполняется, называются перестановочными. С примерами таких таблиц можно ознакомиться ниже.

Умножение на вектор-столбец

При выполнении умножения матрицы на вектор-столбец обязательно учитываем условие существования произведения. Число столбцов (n) в таблице должно совпадать с количеством координат, из которых составлен вектор. Результат вычисления – преобразованный вектор. Его количество координат равно числу строчек (m) из таблицы.

Как вычисляются координаты вектора y, если есть матрица A и вектор x? Для расчетов созданы формулы:

где x₁, …, x_n – координаты из x-вектора, m – число строк в матрице и количество координат в новом y-векторе, n – число столбцов в матрице и количество координат в x-векторе, a₁₁, a₁₂, …, a_mn – элементы матрицы A.

Таким образом, для получения i-й компоненты нового вектора выполняется скалярное произведение. Из матрицы A берется i-я вектор-строка, и она умножается на имеющийся вектор x.

Решим задачу № 2. Произведение матрицы на вектор найти можно, ведь A имеет 3 столбца, и x состоит из 3 координат. В результате мы должны получить вектор-столбец с 4 координатами. Воспользуемся вышеуказанными формулами:

Вычислим y₁. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Итоговое значение равно 2.
Вычислим y₂. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). При расчете получим 0.
Вычислим y₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Сумма произведений указанных множителей равна 6.
Вычислим y₄. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Координата равна –8.

Умножение вектор-строки на матрицу

Нельзя умножить матрицу, состоящую из нескольких столбцов, на вектор-строку. В таких случаях не выполняется условие существования произведения. А вот умножение вектор-строки на матрицу возможно. Эта вычислительная операция выполняется при совпадении количества координат в векторе и числа строк в таблице. Результат произведения вектора на матрицу – новая вектор-строка. Ее количество координат должно равняться числу столбцов в матрице.

Вычисление первой координаты нового вектора подразумевает умножение вектор-строки и первого вектор-столбца из таблицы. Аналогичным способом производится расчет второй координаты, но вместо первого вектор-столбца берется уже второй вектор-столбец. Вот общая формула для вычисления координат:

где y_k – координата из y-вектора, (k находится в промежутке от 1 до n), m – число строк в матрице и количество координат в x-векторе, n – число столбцов в матрице и количество координат в y-векторе, a с буквенно-цифровыми индексами – элементы матрицы A.

Произведение прямоугольных матриц

Это вычислительное действие может показаться сложным. Однако умножение легко выполняется. Начнем с определения. Произведение матрицы A с m строками и n столбцами и матрицы B с n строками и p столбцами – это матрица C с m строками и p столбцами, в которой элемент c_ij представляет собой сумму произведений элементов i-й строки из таблицы A и j-го столбца из таблицы B. Если говорить более простым языком, то элемент c_ij – это скалярное произведение i-й вектор-строчки из таблицы A и j-го вектор-столбца из таблицы B.

Теперь разберемся на практике в том, как находить произведение матриц прямоугольного вида. Решим для этого задачу № 3. Условие существования произведения выполняется. Приступим к расчету элементов c_ij:

Матрица C будет состоять из 2 строк и 3 столбцов.
Рассчитаем элемент c₁₁. Для этого выполним скалярное произведение строки № 1 из матрицы A и столбца № 1 из матрицы B. c₁₁ = 0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1 = 16. Далее поступаем аналогичным образом, меняя только строки, столбцы (в зависимости от индекса элемента).
c₁₂ = 12.
c₁₃ = 9.
c₂₁ = 31.
c₂₂ = 18.
c₂₃ = 36.

Элементы рассчитаны. Теперь осталось только составить прямоугольный блок из полученных чисел.

Умножение трех матриц: теоретическая часть

Можно ли найти произведение трех матриц? Эта вычислительная операция выполнима. Результат можно получить несколькими способами. Например, есть 3 квадратных таблицы (одного порядка) – A, B и C. Чтобы вычислить произведение, можно:

Умножить сначала A и B. Результат затем умножить на C.
Найти сначала произведение B и C. Далее матрицу A умножить на полученный результат.

Если требуется перемножить матрицы прямоугольного вида, то сначала нужно удостовериться в том, что данная вычислительная операция возможна. Должны существовать произведения A × B и B × C.

Поэтапное умножение не является ошибкой. Есть такое понятие, как «ассоциативность умножения матриц». Под этим термином понимается равенство (A × B) × C = A × (B × C).

Умножение трех матриц: практика

Квадратные матрицы

Начнем с умножения небольших квадратных матриц. Ниже на рисунке представлена задача № 4, которую нам предстоит решить.

Будем пользоваться свойством ассоциативности. Перемножим сперва либо A и B, либо B и C. Помним только одно: нельзя переставлять местами множители, т. е. нельзя умножать B × A или C × B. При таком умножении мы получим ошибочный результат.

Шаг первый. Для нахождения общего произведения умножим сначала A на B. При умножении двух матриц будем руководствоваться теми правилами, которые были изложены выше. Итак, результатом умножения A и B будет матрица D с 2 строчками и 2 столбцами, т. е. прямоугольный массив будет включать в себя 4 элемента. Найдем их, выполнив расчет:

d₁₁ = 0 × 1 + 5 × 6 = 30;
d₁₂ = 0 × 4 + 5 × 2 = 10;
d₂₁ = 3 × 1 + 2 × 6 = 15;
d₂₂ = 3 × 4 + 2 × 2 = 16.

Промежуточный результат готов.

Шаг второй. Теперь умножим матрицу D на матрицу C. Результатом должна быть квадратная матрица G с 2 строками и 2 столбцами. Рассчитаем элементы:

g₁₁ = 30 × 8 + 10 × 1 = 250;
g₁₂ = 30 × 5 + 10 × 3 = 180;
g₂₁ = 15 × 8 + 16 × 1 = 136;
g₂₂ = 15 × 5 + 16 × 3 = 123.

Таким образом, результатом произведения квадратных матриц является таблица G с вычисленными элементами.

Прямоугольные матрицы

Ниже на рисунке представлена задача № 5. Требуется перемножить прямоугольные матрицы и найти решение.

Проверим, выполняется ли условие существования произведений A × B и B × C. Порядки указанных матриц позволяют нам выполнять умножение. Приступим к решению задачи.

Шаг первый. Умножим B на C для получения D. Матрица B содержит 3 строчки и 4 столбца, а матрица C – 4 строчки и 2 столбца. Это значит, что матрица D у нас получится с 3 строчками и 2 столбцами. Рассчитаем элементы. Вот 2 примера вычислений:

d₁₁ = 3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1 = 0;
d₁₂ = 3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6 = 7.

Продолжаем решать задачу. В результате дальнейших вычислений мы находим значения d₂₁, d₂₂, d₃₁ и d₃₂. Эти элементы равны 0, 19, 1 и 11 соответственно. Запишем найденные значения в прямоугольный массив.

Шаг второй. Умножим A на D, чтобы получить итоговую матрицу F. В ней будет 2 строчки и 2 столбца. Рассчитаем элементы:

f₁₁ = 2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1 = 1;
f₁₂ = 2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11 = 139;
f₂₁ = 0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1 = 3;
f₂₂ = 0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11 = 52.

Составим прямоугольный массив, являющийся конечным результатом умножения трех матриц.

Знакомство с прямым произведением

Достаточно сложным для понимания материалом является кронекеровское произведение матриц. У него есть еще дополнительное название – прямое произведение. Что же понимается под этим термином? Допустим, у нас есть таблица A порядка m × n и таблица B порядка p × q. Прямым произведением матрицы A на матрицу B является матрица порядка mp × nq.

У нас есть 2 квадратные матрицы A, B, которые представлены на картинке. Первая из них состоит из 2 столбцов и 2 строк, а вторая – из 3 столбцов и 3 строк. Мы видим, что матрица, полученная в результате прямого произведения, состоит из 6 строк и точно такого же количества столбцов.

Как при прямом произведении вычисляют элементы новой матрицы? Найти ответ на этот вопрос очень легко, если проанализировать рисунок. Сначала заполняют первую строку. Берут первый элемент из верхней строчки таблицы A и последовательно умножают на элементы первой строки из таблицы B. Далее берут второй элемент первой строчки таблицы A и последовательно умножают на элементы первой строки таблицы B. Для заполнения второй строки снова берут первый элемент из первой строки таблицы A и умножают его на элементы второй строки таблицы B.

Итоговую матрицу, получаемую прямым произведением, называют блочной. Если вновь проанализировать рисунок, то можно заметить, что наш результат состоит из 4 блоков. Все они включают элементы матрицы B. Дополнительно элемент каждого блока умножен на конкретный элемент матрицы A. В первом блоке все элементы умножены на a₁₁, во втором – на a₁₂, в третьем – на a₂₁, в четвертом – на a₂₂.

Определитель произведения

При рассмотрении темы, касающейся умножения матриц, стоит еще рассмотреть такой термин, как «определитель произведения матриц». Что такое определитель? Это важная характеристика квадратной матрицы, определенное значение, которое ставится в соответствие этой матрице. Буквенное обозначение определителя – det.

Для матрицы A, состоящей из двух столбцов и двух строчек, определитель легко найти. Существует небольшая формула, представляющая собой разность произведений конкретных элементов:

Рассмотрим пример вычисления определителя для таблицы второго порядка. Существует матрица A, в которой a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 5 и a₂₂ = 1. Для вычисления определителя воспользуемся формулой:

det A = 2 × 1 – 3 × 5 = 2 – 15 = –13.

У матриц 3 × 3 определитель вычисляется по более сложной формуле. Она представлена ниже для матрицы A:

Для запоминания формулы придумали правило треугольника, которое проиллюстрировано на картинке. Сначала умножаются элементы главной диагонали. К полученному значению прибавляются произведения тех элементов, на которые указывают углы треугольников с красными сторонами. Далее отнимается произведение элементов побочной диагонали и отнимаются произведения тех элементов, на которые указывают углы треугольников с синими сторонами.

Теперь поговорим об определителе произведения матриц. Существует теорема, которая гласит, что данный показатель равен произведению определителей таблиц-сомножителей. Убедимся в этом на примере. У нас есть матрица A с элементами a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 1 и a₂₂ = 1 и матрица B с элементами b₁₁ = 4, b₁₂ = 5, b₂₁ = 1 и b₂₂ = 2. Найдем определители для матриц A и B, произведение A × B и определитель этого произведения.

Читать:

Как подключить rex c100

Шаг первый. Вычислим определитель для A: det A = 2 × 1 – 3 × 1 = –1. Далее вычислим определитель для B: det B = 4 × 2 – 5 × 1 = 3.

Шаг второй. Найдем произведение A × B. Новую матрицу обозначим буквой C. Вычислим ее элементы:

c₁₁ = 2 × 4 + 3 × 1 = 11;
c₁₂ = 2 × 5 + 3 × 2 = 16;
c₂₁ = 1 × 4 + 1 × 1 = 5;
c₂₂ = 1 × 5 + 1 × 2 = 7.

Шаг третий. Вычислим определитель для C: det C = 11 × 7 – 16 × 5 = –3. Сравним со значением, которое могло бы получиться при умножении определителей исходных матриц. Числа одинаковые. Вышеуказанная теорема верна.

Ранг произведения

Ранг матрицы – это характеристика, отражающая максимальное количество линейно независимых строк или столбцов. Для вычисления ранга выполняют элементарные преобразования матрицы:

перестановку местами двух параллельно лежащих рядов;
умножение всех элементов определенного ряда из таблицы на число, не равняющееся нулю;
прибавление к элементам одного ряда элементов из другого ряда, умноженных на конкретное число.

После элементарных преобразований смотрят на количество ненулевых строк. Их число – это и есть ранг матрицы. Рассмотрим предыдущий пример. В нем было представлено 2 матрицы: A с элементами a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 1 и a₂₂ = 1 и B с элементами b₁₁ = 4, b₁₂ = 5, b₂₁ = 1 и b₂₂ = 2. Также будем использовать матрицу C, полученную в результате умножения. Если мы выполним элементарные преобразования, то в упрощенных матрицах нулевых строк не будет. Это значит, что и ранг таблицы A, и ранг таблицы B, и ранг таблицы C равен 2.

Теперь особое внимание уделим рангу произведения матриц. Существует теорема, которая гласит, что ранг произведения таблиц, содержащих числовые элементы, не превышает ранга любого из сомножителей. Это можно доказать. Пусть A – это матрица размера k × s, а B – это матрица размера s × m. Произведение A и B равно C.

Изучим рисунок, представленный выше. На нем изображен первый столбец матрицы C и его упрощенная запись. Этот столбец – линейная комбинация столбцов, входящих в матрицу A. Аналогичным образом можно сказать о любом другом столбце из прямоугольного массива C. Таким образом, подпространство, образованное векторами-столбцами таблицы C, имеется в подпространстве, образованном векторами-столбцами таблицы A. По этой причине размерность подпространства № 1 не превосходит размерности подпространства № 2. Отсюда следует вывод, что ранг по столбцам таблицы C не превышает ранга по столбцам таблицы A, т. е. r(C) ≤ r(A). Если рассуждать аналогичным образом, то можно убедиться в том, что строчки матрицы C – это линейные комбинации строчек матрицы B. Из этого следует неравенство r(C) ≤ r(B).

Как находить произведение матриц – достаточно сложная тема. Ее можно легко освоить, но для достижения такого результата придется уделить немало времени заучиванию всех существующих правил и теорем.

Умножение квадратной матрицы на матрицу-столбец — Мегаобучалка

Пример решения системы методом Гаусса

Пусть требуется решить систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Будем последовательно “исключать” неизвестные. Для этого первое уравнение системы оставим без изменений, а второе и третье преобразуем:

1) ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на –2, и приведем его к виду –3x₂ –2x₃ = –2;

2) к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на – 4, и приведем его к виду –3x₂ – 4x₃ = 2.

В результате из второго и третьего уравнений будет исключено неизвестное x₁ и система примет вид

Второе и третье уравнения системы умножим на –1, получим

Коэффициент 1 в первом уравнении при первом неизвестном х₁называется ведущим элементом первого шага исключения.

На втором шаге первое и второе уравнения остаются без изменений, а к третьему уравнению применим тот же способ исключения переменной x₂. Ведущим элементом второго шага является коэффициент 3. К третьему уравнению прибавим второе, умноженное на –1, тогда система преобразуется к виду

Процесс приведения системы (1.1) к виду (1.2) называются прямым ходом метода Гаусса.

Порядок действий решения системы (1.2) называется обратным ходом. Из последнего уравнения получим х₃= –2. Подставляя это значение во второе уравнение, получим х₂ = 2. После этого первое уравнение дает х₁ = 1. Таким образом, — решение системы (1.1).

Понятие матрицы

Рассмотрим величины, входящие в систему (1.1). Набор из девяти числовых коэффициентов, стоящих в уравнениях перед неизвестными, образует таблицу чисел, которая называется

А = .

(1.3)

Числа таблицы называются элементами матрицы. Элементы образуют строки и столбцы матрицы. Количество строк и количество столбцов образуют размерность матрицы. Матрица А имеет размерность 3´3 (“три на три”), причем первое число указывает количество строк, а второе – столбцов. Часто матрицу обозначают, указывая ее размерность А₍₃_´₃₎. Так как число строк и столбцов в матрице А одинаково, матрица называется квадратной. Количество строк (и столбцов) в квадратной матрице называется ее порядком, поэтому А – матрица третьего порядка.

Правые части уравнений, также образуют таблицу чисел, т.е. матрицу:

B₍₃_´ ₁₎= .

(1.4)

Каждая строка этой матрицы образована единственным элементом, поэтому B₍₃_´₁₎называется матрицей–столбцом, ее размерность 3´1. Набор неизвестных также можно представить как матрицу-столбец:

Х₍₃_´₁₎= .

(1.5)

Умножение квадратной матрицы на матрицу-столбец

С матрицами можно производить различные операции, которые будут подробно рассмотрены в дальнейшем. Здесь же разберем только правило умножения квадратной матрицы на матрицу-столбец. По определению, результатом умножения матрицы А₍₃_´₃₎ на столбец В₍₃_´₁₎ является столбец D₍₃_´₁₎, элементы которого равны суммам произведений элементов строк матрицы

Таким образом, по определению:

1) первый элемент столбца D равен сумме произведений элементов первой строки матрицы А на элементы столбца В:

2)второй элемент столбца D равен сумме произведений элементов второй строки матрицы А на элементы столбца В:

3) третий элемент столбца D равен сумме произведений элементов третьей строки матрицы А на элементы столбца В:

Из приведенных формул видно, что умножить матрицу на столбец В можно только в случае, если число столбцов матрицы А равно числу элементов в столбце В.

Рассмотрим еще два числовых примера умножения матрицы ₍₃_´3) на столбец ₍₃_´1):

Пример 1.1

Пример 1.2

Как умножить три матрицы?

Прежде всего, ЧТО должно получиться в результате умножения трёх матриц ? Кошка не родит мышку. Если матричное умножение осуществимо, то в итоге тоже получится матрица. М-да, хорошо мой преподаватель по алгебре не видит, как я объясняю замкнутость алгебраической структуры относительно её элементов =)

Произведение трёх матриц можно вычислить двумя способами:

1) найти , а затем домножить на матрицу «цэ»: ;

2) либо сначала найти , потом выполнить умножение .

Результаты обязательно совпадут, и в теории

Перемножить матрицы двумя способами

Алгоритм решения двухшаговый: находим произведение двух матриц, затем снова находим произведение двух матриц.

1) Используем формулу

2) Используем формулу

Ответ:

Более привычен и стандартен, конечно же, первый способ решения, там «как бы всё по порядку». Кстати, по поводу порядка. В рассматриваемом задании часто возникает иллюзия, что речь идёт о каких-то перестановках матриц. Их здесь нет. Снова напоминаю, что в общем случае ПЕРЕСТАВЛЯТЬ МАТРИЦЫ НЕЛЬЗЯ. Так, во втором пункте на втором шаге выполняем умножение , но ни в коем случае не . С обычными числами такой бы номер прошёл, а с матрицами – нет.

Свойство ассоциативности умножения справедливо не только для квадратных, но и для произвольных матриц – лишь бы они умножались:

Найти произведение трёх матриц

Это пример для самостоятельного решения. В образце решения вычисления проведены двумя способами, проанализируйте, какой путь выгоднее и короче.

Свойство ассоциативности матричного умножения имеет место быть и для бОльшего количества множителей.

Теперь самое время вернуться к степеням матриц. Квадрат матрицы рассмотрен в самом начале и повестке дня вопрос:

Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 70 | Нарушение авторских прав

Свойства определителя | При транспонировании матрицы величина её определителя не меняется | Если две строки (или два столбца) определителя поменять местами, то определитель сменит знак | Из строки (столбца) определителя можно вынести общий множитель | Если две строки (столбца) определителя пропорциональны (как частный случай – одинаковы), то данный определитель равен нулю | К строке определителя можно прибавить другую строку, умноженную на ненулевое число. При этом величина определителя не изменится | К столбцу определителя можно прибавить другой столбец, умноженный на ненулевое число. При этом величина определителя не изменится | Можно ли к матрице прибавить число? | Как возвести матрицу в квадрат? | Немного о некоммутативности матричного умножения и единичной матрице |

Как умножить матрицу? Как умножить матрицу 2 на 3?

Можно умножить матрицу В на А. Первый столбец матрицы А почленно умножается на первую строку, затем полученные фрагменты складываются — получается первый элемент первого столбца результирующей матрицы. Затем первый столбец матрицы А почленно умножается на вторую строку матрицы В, полученные фрагменты складываются — получается второй элемент первого столбца результирующей матрицы. Затем 1 столбец А * на 3 строку В (почленно, затем складываем) — получим 3 элемент первого столбца результирующей матрицы. Потом повторяем все эти действия, только вместо первого столбца матрицы А используем второй — получим второй столбец результирующей матрицы.

Умножение матриц: примеры, алгоритм действий, свойства произведения

Произведение матриц (С= АВ) — операция только для согласованных матриц А и В, у которых число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:

C ⏟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n

A = a ( i j ) размеров m × n ;
B = b ( i j ) размеров p × n

Матрицу C , элементы c i j которой вычисляются по следующей формуле:

c i j = a i 1 × b 1 j + a i 2 × b 2 j + . . . + a i p × b p j , i = 1 , . . . m , j = 1 , . . . m

Вычислим произведения АВ=ВА:

А = 1 2 1 0 1 2 , В = 1 0 0 1 1 1

Решение, используя правило умножения матриц:

А ⏟ 2 × 3 × В ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2

В ⏟ 3 × 2 × А ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3 × 3

Произведение А В и В А найдены, но являются матрицами разных размеров: А В не равна В А .

Свойства умножения матриц

Свойства умножения матриц:

( А В ) С = А ( В С ) — ассоциативность умножения матриц;
А ( В + С ) = А В + А С — дистрибутивность умножения;
( А + В ) С = А С + В С — дистрибутивность умножения;
λ ( А В ) = ( λ А ) В

Проверяем свойство №1: ( А В ) С = А ( В С ) :

( А × В ) × А = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100 ,

А ( В × С ) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100 .

Проверяем свойство №2: А ( В + С ) = А В + А С :

А × ( В + С ) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58 ,

А В + А С = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 + 1 4 3 8 = 20 26 46 58 .