Как проверить равнобедренный ли треугольник

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны между собой по длине.

Равнобедренный треугольник (понятие):

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны между собой по длине.

Две равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми, а третья неравная им сторона – основанием.

Рис. 1. Равнобедренный треугольник

АВ = ВС – боковые стороны, АС – основание,

∠ АВС – вершинный угол, ∠ BАC и ∠ BСA – углы при основании

По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник – правильным (равносторонним).

Угол, образованный боковыми сторонами, называется вершинным углом, а углы, одной из сторон которых является основание, называются углами при основании.

Различают следующие виды равнобедренных треугольников:

– остроугольный – все углы острые;

– прямоугольный – угол при вершине прямой, а при основании углы острые;

– тупоугольный – угол при вершине тупой, а при основании углы острые;

– равносторонний (или правильный) – все стороны равны и все углы равны.

Свойства равнобедренного треугольника:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Рис. 2. Равнобедренный треугольник

2. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов равны между собой.

Рис. 3. Равнобедренный треугольник

АН₁ = СН₂ – высота, АМ₁ = СМ₂ – медиана, АL₁ = СL₂ – биссектриса, проведённые из углов при основании

3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Рис. 4. Равнобедренный треугольник

ВD – биссектриса, высота и медиана, проведенные к основанию – это один и тот же отрезок

4. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на медиане (биссектрисе, высоте), проведенной к основанию равнобедренного треугольника.

Рис. 5. Равнобедренный треугольник

R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности

Признаки равнобедренного треугольника:

– если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;

– если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой, то этот треугольник равнобедренный;

– если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой, то этот треугольник равнобедренный;

– если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Формулы равнобедренного треугольника:

Пусть a – длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b – длина основания, h – высота (биссектриса, медиана) равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, α – углы при основании, β – вершинный угол, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6, 7, 8).

Рис. 6. Равнобедренный треугольник

Формулы длины основания (b):

,

,

.

Формулы длины равных сторон (а):

.

Формулы углов:

Рис. 7. Равнобедренный треугольник

,

,

.

Формулы периметра (Р) равнобедренного треугольника:

Рис. 8. Равнобедренный треугольник

,

.

Формулы площади (S) равнобедренного треугольника:

,

,

.

Равнобедренный треугольник в природе, технике и культуре:

Например, молекула сероводорода имеет структуру равнобедренного треугольника с атомом серы S в центре.

Рис. 1. Структура молекулы сероводорода

Длина боковой стороны – связи HS = 133,6 пм, а вершинный угол ∠HSH = 92,1°.

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

Мировая экономика

Справочники

Востребованные технологии

• Концепция инновационного развития общественного производства – осуществления Второй индустриализации России на период 2017-2022 гг. (107 770)
• Экономика Второй индустриализации России (104 769)
• Этилен (этен), получение, свойства, химические реакции (36 769)
• Программа искусственного интеллекта ЭЛИС (31 830)
• Крахмал, свойства, получение и применение (30 628)
• Природный газ, свойства, химический состав, добыча и применение (30 278)
• Метан, получение, свойства, химические реакции (29 963)
• Целлюлоза, свойства, получение и применение (29 096)
• Пропилен (пропен), получение, свойства, химические реакции (28 193)
• Прямоугольный треугольник, свойства, признаки и формулы (27 250)

Поиск технологий

О чём данный сайт?

Настоящий сайт посвящен авторским научным разработкам в области экономики и научной идее осуществления Второй индустриализации России.

Он включает в себя:
– экономику Второй индустриализации России,
– теорию, методологию и инструментарий инновационного развития – осуществления Второй индустриализации России,
– организационный механизм осуществления Второй индустриализации России,
– справочник прорывных технологий.

Мы не продаем товары, технологии и пр. производителей и изобретателей! Необходимо обращаться к ним напрямую!

Мы проводим переговоры с производителями и изобретателями отечественных прорывных технологий и даем рекомендации по их использованию.

О Второй индустриализации

Осуществление Второй индустриализации России базируется на качественно новой научной основе (теории, методологии и инструментарии), разработанной авторами сайта.

Конечным результатом Второй индустриализации России является повышение благосостояния каждого члена общества: рядового человека, предприятия и государства.

Вторая индустриализация России есть совокупность научно-технических и иных инновационных идей, проектов и разработок, имеющих возможность быть широко реализованными в практике хозяйственной деятельности в короткие сроки (3-5 лет), которые обеспечат качественно новое прогрессивное развитие общества в предстоящие 50-75 лет.

Та из стран, которая первой осуществит этот комплексный прорыв – Россия, станет лидером в мировом сообществе и останется недосягаемой для других стран на века.

Равнобедренный треугольник

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$.

Пусть $AD$ – биссектриса этого треугольника.

Треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по первому признаку равенства треугольников $(AB=AC, AD$ – общая, $\angle 1=\angle 2)$.

Следовательно, $\angle B=\angle C$.

Кроме того, $\angle 3=\angle 4$, а поскольку они смежные, то каждый из них является прямым, то есть $AD$ – высота.

Из равенства этих треугольников следует, что $BD=DC$.

Следовательно $AD$ – не только биссектриса и высота, но и медиана.

Признаки равнобедренного треугольника

Доказательство

Рассмотрим треугольник $ABC$.

Докажем первый пункт теоремы

Докажем, что если $\angle B=\angle C$, то $AB=AC$.

Первый способ.

Поскольку $\angle B$ и $\angle C$ острые (иначе сумма углов треугольника $ABC$ была бы больше $180^\circ$), то высота, проведенная из вершины $A$ падает на сторону $BC$.

Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то $\angle 1=180^\circ-90^\circ-\angle B=180^\circ-90^\circ-\angle C=\angle 2$.

Следовательно, треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по второму признаку равенства треугольников $(\angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4, AD$– общая сторона$)$.

Тогда $AB=AC$, то есть треугольник равнобедренный.

Второй способ.

Если предположить, что одна из указанных сторон больше другой, то угол, лежащий против нее, будет больше угла, лежащего против другой стороны, а это противоречит условию (тому, что данные углы равны).

Докажем второй пункт теоремы

Докажем теперь, что если $AD$ – медиана и высота, то треугольник равнобедренный.

Действительно, так как $BD=DC, \angle 3=\angle 4=90^\circ$, a $AD$ – общая сторона, то треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по первому признаку равенства треугольников.

Следовательно, $AB=AC$, то есть треугольник равнобедренный.

Докажем третий пункт теоремы

Докажем, что если $AD$ – биссектриса и высота для $\triangle ABС$, то треугольник равнобедренный.

Действительно, так как $\angle 1 =\angle 2, \angle 3=\angle 4=90^\circ$, a $AD$ – общая сторона, то треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по второму признаку равенства треугольников.

Следовательно, $AB=AC$, то есть треугольник равнобедренный.

Докажем четвертый пункт теоремы

Докажем, что если $AD$ – медиана и биссектриса, то треугольник равнобедренный.

Предположим противное – треугольник $ABC$ не равнобедренный, и, следовательно, $AD$ не высота.

Проведем через точку $D$ прямую $l$ перпендикулярно $AD$.

Обозначим точки пересечения прямой $l$ с прямыми $AB$ и $AC$ как $M$ и $N$ соответственно.

Треугольник $AMN$ – равнобедренный, так как $AD$ – биссектриса и высота этого треугольника.

Тогда $AD$ – медиана треугольника $AMN$, то есть $MD=ND$.

Тогда треугольники $BMD$ и $CND$ равны по первому признаку $(\angle BDM=\angle CDN$ как вертикальные, $BD=DC, MD=ND)$.

Тогда $\angle 4=\angle 5$, и, следовательно, прямые $AB$ и $AC$ параллельны, что невозможно.

Равнобедренный Треугольник — Свойства и Признаки

Равнобедренный треугольник — это треугольник,
в котором две боковые стороны равны.

Боковыми сторонами называются равные стороны, а
третья неравная им сторона — основанием.

Свойства равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике:

1. Углы при основании равны.
2. Две боковые стороны равны.
3. Биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
4. Медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
5. Высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Признаки равнобедренного треугольника

Треугольник равнобедренный, если в нем:

Равнобедренный треугольник — свойства, признаки и формулы

Признаки и свойства равнобедренного треугольника позволяют решать задания разного уровня сложности. Изучают теоремы и доказательства, связанные с ним, в седьмом классе средней школы. Существует своя терминология, которую необходимо знать для составления правильных формул и безошибочного решения задач.

Общие сведения

Замкнутую фигуру, состоящую из трёх пересекающихся прямых и такого же количества внутренних углов, называют треугольником. Отрезки, которые соединяют точки, образующие фигуру, называют сторонами. Для обозначения используют малые латинские буквы. Точка, в которой соединяется 2 стороны, называется вершиной. Её принято подписывать заглавными буквами, например, A, B, C.

Существует несколько видов фигур по типу углов и по длинам сторон:

• разносторонние — все отрезки, образующие многоугольник, имеют различную длину;
• равнобедренные — 2 стороны одинаковы;
• равносторонние — все 3 стороны равны;
• остроугольными — 3 угла многоугольника являются острыми;
• прямоугольными — 2 стороны образуют угол в 90 градусов;
• тупоугольными — размер одного угла превышает 90 градусов.

Отличительная черта фигуры — сумма углов равняется 180 градусов. Это один из самых важных признаков, позволяющих отнести многоугольник к треугольникам. Причём каждая такая фигура имеет замечательные линии и точки.

Прежде всего это медиана — отрезок, построенный из вершины к центру противолежащей стороны, разделяющий фигуру на 2 равных треугольника. Биссектрисой называют линию, построенную к противоположной стороне и разделяющую угол на 2 равные части. Также можно опустить перпендикуляр на любую сторону из вершины. Называют такую линию высотой.

В треугольнике можно провести по 3 любых таких линии. Причём точка пересечения отрезков имеет своё название: 3 высоты встречаются в ортоцентре, а биссектрисы — инцентре. Если в треугольник вписать окружность, её центр совпадёт с местом пересечения медиан. Эта точка является центроидом, центром массы фигуры. Кроме этого, можно описать круг, в центре которого будут пересекаться серединные перпендикуляры.

Признаки равнобедренной фигуры

Существует 4 явления, с помощью которых можно определить принадлежность тела к треугольникам. Все они сгруппированы в 3 теоремы:

Для доказательства первой теоремы нужно использовать признаки равенства треугольников. Если изобразить на чертеже фигуру ABC и из вершины B построить высоту, согласно заданным данным, она будет медианой или биссектрисой. В первом случае противоположная сторона будет разделена на 2 равные части AD и DC. Значит, треугольники ABD и DBC одинаковые. Отсюда следует, что у фигур есть равные стороны: AB = BC., то есть боковые грани имеют одинаковую длину, что и требуется по определению.

В случае с биссектрисой ход рассуждений будет такой же. Отличие заключается лишь в том, что используется второй признак равенства: если грань и 2 прилежащих к ней угла одного треугольника совпадают со стороной и двумя прилежащими к ней углам другого, они равны.

Доказательство второй теоремы следует построить на нахождении равных сторон. Для этого нужно отложить серединный перпендикуляр a и доказать, что линия будет проходить через вершину B. Если она не будет пересекать угол B, она касается AB или BC. Пусть точкой пересечения перпендикуляра будет M. Тогда по первому признаку AKM = CKM, значит, углы MCK и MAK также равны. По условию теоремы MCK = MAB → MAK = MAB, что противоречит аксиоме измерения углов. Отсюда можно утверждать, что серединный перпендикуляр не пересекает BC или AC. Значит, прямая проходит через вершину B.

Третью теорему легко можно доказать, отложив на луче BM равный ему по длине отрезок. Затем, соединив A и D, построить треугольник ADM. Углы ABM и ADM одинаковые. Отсюда AB = AD → AB = BC, что и требовалось доказать.

Свойства треугольника

Равнобедренный треугольник относится к особому виду многоугольника. Равные его стороны называют боковыми, а отличную от них — основанием. Любую фигуру можно охарактеризовать с помощью свойств.

Признаки позволяют определить, является ли фигура равнобедренной. Из сформулированной второй теоремы следует: каждая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, будет равноудалённой от концов боковых отрезков. Из основных свойств равнобедренного треугольника можно выделить:

А также из равенства треугольников следует, что ADB = CDB, а вершина ADC — развёрнутая. Её величина равна 1800. Значения углов, на которые она разбивается лучом DB, будет составлять 900. Таким образом, ADB = CDB = 900. Отрезок D перпендикулярен AC.

Из последнего свойства следует, что медиана является биссектрисой и высотой. Находящиеся при основании углы в равнобедренном треугольнике можно вычислить по формуле: ACB = BCA = 900 — CAB/2, где CAB — вершина, расположенная напротив основания.

Из указанных свойств следует, что точка пересечения любых замечательных линий одновременно является ортоцентром, инцентром и центром тяжести фигуры. Это важное замечание, позволяющее вычислять параметры с помощью окружности, описываемой вокруг треугольника.

Формулы и пример задания

Правильный треугольник, где все 3 стороны равны, является частным случаем равнобедренного, поэтому все формулы для поиска параметров будут одинаковыми. Самым часто используемым выражением, применяемым на уроках, является формула для поиска площади: S = (b * h)/2, где: b – основание, h – высота. Существует и более сложное равенство, позволяющее определить S, зная размеры двух прилежащих сторон: S = (b * √(a2 – (b2 / 4)) / 2.

Кроме поиска площади фигуры, в треугольнике можно вычислить:

Формулы, признаки и свойства равнобедренного треугольника важны для геометрии. Используя их, можно решать сложные задачи, связанные с многогранниками различных видов.

Пусть имеется равнобедренный треугольник ABC, в котором построена медиана BM. Известно, что периметр всего многоугольника 32, а фигуры ABM — 24. Нужно вычислить длину высоты. Следует понимать, что в равнобедренной фигуре медиана является высотой и биссектрисой. Сторону AB можно принять за X. Соответственно, противоположная сторона BC будет тоже равняться X. Из свойств треугольника AC разделяется в точке M на 2 одинаковых отрезка. Пусть каждый из них будет равняться Y.