Как начертить круг по трем отрезкам

1

Как начертить круг по трем отрезкам

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 71aa51913aeb9052 • Your IP : 82.102.23.104 • Performance & security by Cloudflare

Как начертить круг по трем отрезкам

Авторизуясь в LiveJournal с помощью стороннего сервиса вы принимаете условия Пользовательского соглашения LiveJournal

Как разделить окружность на три равные части без измерительных инструментов?
Меня всегда интересовало, как нарисовать фирменный знак Мерседес не имея циркуля или транспортира. Ведь он делит окружность на три равные части: три луча сходятся в центре под углом сто двадцать градусов.

В предыдущей статье было рассказано о том как определить центр окружности. Определив, таким образом, центр, мы так же сразу же получаем радиус окружности. И использовав отрезок веревки или палки можно измерить его.

Один из способов его определения заключался в том, что в окружность вписывался равносторонний треугольник. Здесь достаточно из каждого угла провести медиану/высоту и продолжить её до соприкосновения с окружностью. Этим действием находится как центр окружности, так и одновременно получаем три линии делящие окружность на равные части.

Но что делать если вы не можете начертить такой треугольник? Ведь полной уверенности в том, что все его углы равны 60 градусам нет. Хотя, отложив на окружности треугольник с равными сторонами автоматически получаем искомое.
Три луча, делящие круг на три равные части, на три дуги в 120 градусов можно получить зная радиус окружности. Для этого откладываем на окружности две хорды каждая из которых равна радиусу, так, чтобы они одним своим концом сходились на точке окружности. А две крайние точки соединяем с центром окружности. Получаем угол равный сто двадцати градусам.
Дело в том, что таким образом мы получаем два равносторонних треугольника (каждая сторона которых равна радиусу) одной сторон соприкасающихся друг с другом. И соответственно все вершины, которые у таких треугольников равны 60 градусам в сумме дают 120 градусов. А именно такой угол нам и надо было получить.
Окружность соответственно поделена на две части: 120 и 240 градусов. Затем из точки соприкосновения отложенных хорд проводим линию через центр окружности и далее к противоположному краю. Так оставшиеся 240 градусов мы поделили ровно по полам по 120 градусов. Все, результат получен.

Окружность и круг — определение и вычисление с примерами решения

Пусть в природе не существовало бы ни одного круга или треугольника, и все-таки истины, доказанные Евклидом, навсегда сохранили бы свою достоверность и очевидность.

Раньше вы знакомились с основными геометрическими фигурами, устанавливали особенности этих фигур и их взаимное расположение. Но на практике довольно часто приходится решать «обратную» задачу — по определенным особенностям находить фигуру, имеющую их. Именно таково содержание задач на построение, которые будут рассматриваться в этом разделе.

Еще в работах древнегреческих математиков описаны задачи на построение и методы их решения.

Многие из этих задач составляют классику евклидовой геометрии. Кроме практической ценности, такие задачи представляют значительный исследовательский интерес, поскольку в ходе их решения определяются новые особенности построенных фигур.

Окружность и круг:

Определение. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, которая называется центром окружности.

Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности (или длина этого отрезка).

Хордой окружности называется отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметром окружности называется хорда, проходящая через центр окружности.

Дугой окружности называется часть окружности, ограниченная двумя точками.

На рисунке 48 точка О — центр, отрезок ОС — радиус окружности. Радиус обозначают буквой R (или

На рисунке 49 изображены: хорда ЕН, дуга КМ (обозначается: ), диаметр АВ. Диаметр состоит из двух радиусов. Поэтому диаметры окружности равны между собой. Диаметр АВ состоит из радиусов OA и ОВ, откуда Диаметр обозначают буквой D (или d). Тогда

Любые две точки окружности разбивают ее на две дуги, которые дополняют друг друга до окружности. Эти дуги так и называются — дополнительными. Чтобы различать такие дуги, их иногда обозначают тремя буквами. На рисунке 49 дуги АКМ и АНМ — дополнительные.

Определение. Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью.

Точки окружности также принадлежат кругу (рис. 50). Поэтому центр, радиус, хорда и диаметр у круга те же, что и у его окружности.

Часть круга, заключенная между двумя радиусами, называется сектором. Часть круга, заключенная между дугой окружности и хордой, соединяющей концы дуги, называется сегментом (рис. 51). Два радиуса разбивают круг на два сектора, хорда разбивает круг на два сегмента.

Полуокружностью называется дуга окружности, концы которой являются концами диаметра. Полукругом называется часть круга, ограниченная полуокружностью и диаметром, соединяющим концы полуокружности. На рисунке 49 дуга АКВ — полуокружность, сегмент АКВ — полукруг.

Угол, вершина которого находится в центре окружности, называется центральным углом. На рисунке 51 — центральный угол.

Окружности (круги) равны, если равны их радиусы.

Две окружности могут не иметь общих точек, могут пересекаться в двух точках или касаться друг друга в одной точке. Окружности разного радиуса с общим центром называются концентрическими. Часть плоскости между двумя концентрическими окружностями называется кольцом (рис. 52).

Определение окружности и круга

Окружность — это замкнутая линия на плоскости, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки — центра окружности.

Круг — это внутренняя часть плоскости, ограниченная окружностью.

Размеры окружности и круга определяются их радиусом — отрезком, который соединяет центр с точкой на окружности (рис. 3).

В математике «окружность» и «круг» — два различных, хотя и связанных между собой, понятия. Окружность, например, является моделью обруча, а круг — моделью крышки люка.

Определение окружности и ее элементов

Пусть на плоскости отмечена точка О. Очевидно, что от точки О можно отложить бесконечное множество отрезков длиной R (рис. 162). Концы всех таких отрезков на плоскости образуют окружность — фигуру, уже известную из курса математики. Определение Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, удаленных от данной точки (центра окружности) на одинаковое расстояние. Иначе говорят, что все точки окружности равноудалены от ее центра. Определение Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и содержащая ее центр. Иначе говоря, круг состоит из всех точек плоскости, удаленных от данной точки (центра круга) на расстояние, не превышающее заданного. На рисунке 163 заштрихованная часть плоскости — круг, ограниченный окружностью с тем же центром. Центр окружности и круга является точкой круга, но не является точкой окружности.

Определение Радиусом окружности (круга) называется расстояние от центра окружности до любой ее точки. Радиусом также называется любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром. На рисунке 162 — радиусы окружности с центром О. Как правило, радиус обозначается буквой R (или r ).

Радиус — от латинского «радиус» — луч, спица

Хорда — от греческого «хорда» — струна, тетива

Диаметр — от греческого «диа» — насквозь и «метрео» — измеряющий насквозь; другое значение этого слова — поперечник

Радиусом также называется любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром. На рисунке 162 — радиусы окружности с центром О. Как правило, радиус обозначается буквой R (или r ).

Определение:

Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметром называется хорда, проходящая через центр окружности.

На рисунке 164 изображены две хорды окружности, одна из которых является ее диаметром. Обычно диаметр обозначают буквой d. Очевидно, что диаметр вдвое больше радиуса, то есть d = 2R.

Построение окружности выполняют с помощью циркуля.

Что такое окружность и круг

Окружность — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудален ных от данной точки. Эту точку называют центром окружности.

Отрезок, соединяющий любую точку окружности с ее центром, называют ради усом. Отрезок, соединяющий две против вольные точки окружности, — хорда окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, — диаметр (рис. 200). Каждый диаметр окружности состоит’ из двух радиусов, поэтому его длина вдвое больше длины радиуса. Длина хорды, не проходящей через центр окружности, меньше длины диаметра, (Почему?)

Окружность на бумаге описывают МА и MB — перпендикуляры на ОА и ОВ (см. рис. 216), то (по гипотенузе и острому углу). Поэтом МА = MB, следовательно, точка М равноудалена от сторон данного угла.

Геометрическим местом точек угла, равноудаленных от его сторон, является биссектриса этого угла.

Здесь имеются в виду углы меньше развернутого.

Верно ли, что геометрическим местом точек, равноудален-ных от сторон угла, является биссектриса этого угла? Нет. Когда в планиметрии говорят о геометрическом месте точек, не уточняя, о каких именно точках идет речь, то имеют в виду точки плоскости, которой принадлежит данная фигура. При таком условии геометрическим местом точек, равноудаленных от ф сторон угла, является объединение биссектрисы I данного угле g и всех точек некоего другого угла, показанного на рисунке 217,

Ведь каждая точка угла КОР также равноудалена от сторон донного угла АО В (речь идет об углах меньше развернутого).

Когда мы говорим, что геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка, является серединный перпендикуляр этого отрезка, то мы имеем в виду, что речь идет о геометрическом месте точек плоскости, на которой лежит отрезок.

А геометрическим местом точек пространства, равноудаленных от концов отрезка, является некая плоскость (мал. 218).

Подумайте, как расположена эта плоскость относительно денного отрезка.

Геометрические места точек пространства изучают в старших классах.

Пример №3

Докажите, что серединные перпендикуляры двух сторон треугольника пересекаются.

Решение:

Пусть n и m— серединные перпендикуляры сторон ВС и АВ треугольника (рис. 219). Докажем, что они не могут быть параллельны. Доказывать будем от противного. Допустим, что n || m. Тогда прямая, перпендикулярная к п, должна быть перпендикулярной и к m, то есть . Но по условию А две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны. Таким образом, из допущения, что п || т, следует параллельность сторон АВ и ВС треугольника. А этого не может быть. Поэтому прямые ли т не могут быть параллельными. Они пересекаются.

Окружность и треугольник

Окружность и треугольник могут не иметь общих точек или иметь 1, 2, 3, 4, 5, 6 общих точек (соответствующие рисунки выполните самостоятельно). Заслуживаем внимания случаи, когда окружность проходит через все три вершины треугольника или когда она касается всех и сторон треугольника. Рассмотрим такие случаи подробнее.

Описанная окружность

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все вершины треугольника (рис. 223).

Теорема: Около каждого треугольника можно описать только одну окружность. Ее центром является точка пересечения серединных перпендикуляров двух сторон треугольника.

Пусть ABC — произвольный треугольник (рис. 224). Найдем точку, равноудаленную от вершин А, В и С.’ Метрическое место точек, равноудаленных от А и В, — серединный перпендикуляр m отрезка АВ; геометрическое место точек, равноудаленна от В и С, — серединный перпендикуляр n отрезка ВС. Эти два серединных перпендикуляра не могут быть параллельными, они пересекаются в точке О. А она равноудалена от Н и С. Следовательно, ОА = ОВ = ОС, поэтому О — центр окружности, описанной около ABC.

Для каждого отрезка АВ существует серединный перпендикуляр, и только один, а для ВС — серединный перпендикуляр и только один. И точка их пересечения существует всегда, только одна. Таким образом, около каждого треугольника можно описать одну окружность, и только одну.

• Серединные перпендикуляры всех трех сторон произвольного треугольника проходят через одну и ту же точку.
• Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и только одну.

Из доказанной теоремы следует cnocof построения окружности, описанной около треугольника. Чтобы описать около треугольника ABC окружность, достаточно:

1. построить серединные перпендикуляры двух сторон данного треугольника;
2. определить точку О, в которой эти серединные перпендикуляры пересекаются;
3. ) из центра О провести окружность радиуса ОА.

Центр окружности, описанной около треугольника, может лежать во внутренней или внешней области данного треугольника либо на его сторон (рис. 225).

Вписанная окружность

Окружность называется вписанной в треугольник если она касается всех сторон треугольника (рис. 226). Центр окружности, вписанной в треугольник, лежим’ и внутренней области этого треугольник.

Теорема: В каждый треугольник можно вписан только одну окружность. Ее центром является точка пересечения двух биссектрис треугольника.

Доказательство:

Пусть ABC — произвольный треугольник. Определим точи О, равноудаленную от всех его сторон (рис. 227). Геометрическое место точек, лежащих внутри угла А и равноудаленных второй АВ и АС, — биссектриса l угла А. Гtjметрическое место точек, равноудаленных от сторон АВ и ВС и лежащих внутри угла В, — биссектриса t угла B. Эти две биссектрисы обязательно Пересекаются (докажите это!). Точка U, в которой пересекаются биссектрисы l и t, равноудалена от всех трех сторон данного треугольника. Следовательно, точка О — центр окружности, Вписанной в треугольник АВС.

В каждом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Из доказанной теоремы следует способ построения окружности, вписанной в треугольник. Чтобы вписать в данный треугольник окружность, достаточно:

1. провести две его биссектрисы;
2. из точки их пересечения О опустить перпендикуляр OL на произвольную сторону треугольника;
3. из центра О радиуса OL описать окружность. Она касается каждой стороны треугольника, следовательно, является вписанной в данный треугольник.

Теорема: Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина его гипотенузы.

Пусть ABC — произвольный треугольник с прямым углом С, t— серединный перпендикуляр катета АС, пересекающий гипотенузу АВ в точке О (рис. 228).

Поскольку точка О лежит на серединном перпендикуляре отрезка АС, то .

точка О—середина гипотенузы АВ, равноудаленная от всех вершин треугольника. Таким образом, окружность с центром О и радиусом ОА проходит через все вершины данного треугольника.

Диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен его гипотенузе.

Теорема: Из любой точки окружности ее Диаметр, не выходящий из этой точки, виден под прямым углом.

Доказательство:

Пусть АВ — произвольный диаметр окружности с центром О, а С— произвольная точка окружности, отличная от А и В (рис. 229). Покажем, чтоПоскольку

Геометрическим местом точек плоскости, из которых отрезок АВ виден под прямым углом, является окружность диаметра АВ. На самом деле этому ГМТ точки А и В не принадлежат. Подробнее об этом вы узнаете в старших классах.

Пример №4

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с гипотенузой 6 см.

Решение:

Диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является его гипотенузой. Радиус вдвое меньше: 3 см.

Пример №5

Докажите, что диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а и Ь и гипотенузой с, равен a + b — c.

Решение:

Пусть в угол С прямой, а К, Р, Т — точки касания вписанной в треугольник окружности (рис. 230). Поскольку АР =АТ и ВК = ВТ, то АС + ВС — АВ = PC + СК = 2r, или 2r = a + b- с.

Геометрические построения

Пользуясь линейкой’ и циркулем, моле но выполнить много геометрических построений, то есть начертить геометрические фигуры. Рассмотрим сначала, как выполняются самые простые геометрические построения.

Пример №6

Постройте треугольник по данным сторонам.

Решение:

Пусть даны три отрезки а, b и с (рис. 232). Нужно построить, треугольник, стороны которого были бы равны этим отрезкам. С помощью линейки проводим произвольную прямую, обозначаем на ней произвольную точку В и циркулем откладываем на этой прямой отрезок ВС = а. Раствором циркуля, равным с описываем дугу окружности с центром В. С той же стороны от прямой СВ описываем дугу окружности радиуса b с центром С. Точку пересечения А этих дуг соединяем отрезками с С и В. Треугольник ABC — именно тот, который требовалось построить, так как его стороны ВС, АС и АВ равны данным отрезкам.

Если построенные дуги не пересекаются, требуемый треугольник построить невозможно. Это бывшие в том случае, когда один из данных отрезков больше суммы двух других или равен их сумме.

Пример №7

Постройте угол, равный данному углу.

Решение:

Пусть дан угол АОВ и требуется построить угол КРТ, равный (рис. 233). Проводим луч РТ и дуг* равных радиусов с центрами О и Р. Пусть одна из этих д\ пересекает стороны угла АОВ в точках А и В, а другая луч РТ в точке Т. Дальше раствором циркуля, равным А/ описываем третью дугу с центром Т. Если она пересекает другую дугу в точке К, проводим луч РК. Угол КРТ — то 1 Будем считать, что линейка без делений.

который требовалось построить. Ведь треугольники КРТ и АОВ равны (по трем сторонам), поэтому

Пример №8

Постройте биссектрису данного угла.

Решение:

Пусть АОВ — данный угол (рис. 234). Произвольным раствором циркуля опишем дугу с центром О. Пусть А и В — точки пересечения этой дуги с лучами О А и ОВ. Из центров А и В опишем дуги такими же радиусами. Если D — точка пересечения этих дуг, то луч OD — биссектриса угла АОВ.

Действительно, (по трем сторонам). Поэтому

Пример №9

Разделите данный отрезок пополам.

Решение:

Пусть АВ — данный отрезок (рис. 235). Из точек А и В радиусом АВ описываем дуги. Они пересекутся в неких точках С и D.

Прямая CD точкой М разделит данный отрезок пополам.

Действительно, по трем сторонам , поэтому По первому признаку равенства треугольников . Итак, AM = ВМ.

Пример №10

Через данную точку Р проведите прямую, перпендикулярную и данной прямой а.

Решение:

В зависимости от того, лежит или не лежит точка Р на прямой а, задачу можно решить, как показа но на рисунках 236 и 237. Опишите и аргументируйте эти построения самостоятельно.

Пример №11

Через точку Р, не лежащую на прямой АВ, проведите прямую, параллельную прямой АВ.

Решение:

Через точку Р и про из вольную точку А прямой АВ проводим прямую АТ (рис. 238). Строим угол ТРМ, равный углу РАВ, так, что бы эти углы стали соответственны ми при прямых РК, АВ и секущей АР. Построенная таким образом пря мая РК удовлетворяет задачу: она проходит через данную точку Р и параллельна прямой АВ, поскольку

Геометрическими построениями часто приходилось заниматься многим людям. Еще в доисторические времена мастера, изготавливающие колеса к колесницам, умели делить окружность на несколько равных частей. В наше время выполнять такие построения приходится специалистам, проектирующим или изготавливающим шестеренки, дисковые пилы (рис. 239), турбины и различные роторные механизмы. Как бы вы разделили окружность, например, на 5, 6 или 7 равных частей?

Основные чертежные инструменты — линейка и циркуль — были известны еще несколько тысячелетий назад.

Слово линейка происходит от слова линия, которое на латинском языке сначала означало «льняная нитка», «черта, проведенная ниткой, бечевкой» (производное от лат. Плит — лен). Слово циркуль тоже латинского происхождения, первоначально слово циркулюс означало «окружность, круг», а потом стало означать инструмент, с помощью которого проводят окружности.

В Древней Греции линейку и циркуль признавали единственными приборами геометрических построений. Задачу на построение считали решенной, если все построения в ней выполнялись только с помощью линейки и циркуля. Сейчас специалисты при выполнении построений пользуются угольником, транспортиром, рейсмусом, рейсшиной и другими чертежными приспособлениями.

Пример №12

Разделите данную дугу окружности на две равные части.

Решение:

Пусть дана дуга АВ окружности с центром О (рис. 240). Представим угол АОВ и проведем его биссектрису ОК. Треугольники АОК и КОВ равны, поэтому и дуги АК и КВ равны.

Пример №13

Постройте угол вдвое больше данною.

Решение:

Пусть АОВ — данный угол (рис. 241) Опишем дугу окружности с центром О Если она пересечет стороны данного угла в точках А и В, из В как из центра сделаем засечку ВС = ВА и проведем луч ОС. Угол АОС вдвое больше

Задачи на построение

С геометрическими построениями имеют дело различные специалисты. Геометрические построении выполняют чертежники, архитекторы, конструкторы, топографы, геодезисты, штурманы. Разные геометрические фигуры строят также: слесарь — на жести, столяр — на доске, портной— на ткани, садовник — на земле.

В задаче на построение требуется построить геометрическую фигуру, которая должна удовлетворять определенные условия. В геометрии построения выполняют чаще всего с помощь к линейки и циркуля. Условимся: если в задаче не сказано, какими инструментами следует выполнить построение, то имеются в виду только линейка (без делений) и циркуль.

Более сложные задачи на построение часто решают методом геометрических мест. Пусть, например, в задаче требуете!’ найти точку X, удовлетворяющую два условия. Если первое условие удовлетворяют точки фигуры К, а второе — точки фигуры Р, то X должна принадлежать каждой из этих фигур. Тс есть X — точка пересечения фигур К и Р.

Пример №14

Постройте прямоугольный треугольник по да» ному катету а и гипотенузе с (рис. 243).

Решение:

Строим прямой угол АСВ, на его стороне откладываем отрезок СВ = а. Точки С и В — две вершины треугольника, который требуется построить. Третья верши» должна лежать, во-первых, на луче СА, во-вторых, на pfti стоянии с от В, то есть на окружности радиуса с с центр В. Если эту окружность пересекает луч СА в точке А, 1 треугольник ABC — именно тот, который требовалось не строить. Ведь его угол С прямой, ВС = а, ВА = с.

Второй способ (рис. 244). Откладываем отрезок АВ = с и проводим окружность диаметра АВ — ГМТ, из которых АВ виден под прямым углом. Дальше строим полуокружность радиуса а с центром В — ГМТ, удаленных от В на расстояние а и лежащих по одну сторону от прямой АВ. Если два ГМТ пересекаются в точке С, то треугольник ABC — именно тот, который требовалось построить.

Составные части решения задачи на построение — анализ, построение, доказательство и исследование. В анализе ищут способ решения задачи, в построении выполняется само построение, в доказательстве обосновывается правильность выполненного построения, в исследовании выясняется, сколько решений имеет задача.

Пример №15

Постройте треугольник по данной стороне, прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон (рис. 245).

Решение:

Анализ. Допустим, что требуемый треугольник ABC построен. Его сторона с и угол А = а — даны. Дан также отрезок, равный сумме сторон а и b. По данным отрезкам с и а + b и углу А между ними можно построить A ABD. Вершиной С искомого треугольника будет такая точка отрезка AD, для которой CD = СВ. Следовательно, точка С должна лежать и на серединном перпендикуляре отрезка BD.

Построение. По двум данным отрезкам и углу между ними строим , после чего проводим серединный перпендикуляр I отрезка BD. Пусть прямая I пересекает отрезок АВ в точке С. Проводим отрезок СВ. Треугольник ABC — такой, который требовалось построить.

Доказательство:

В треугольнике по построению. АС + СВ — АС + CD — а + b. Следовательно, удовлетворяет все условия задачи.

Исследование. Задача имеет решение только при условии, что а + b > с.

Если задача несложная и способ ее решения известен, анализ можно не описывать. А в решении не обязательно выделять анализ, построение, доказательство и исследование.

В математике чаще всего имеют дело с задачами: на вычисление, на доказательство, на построение, на преобразование и на исследование. Геометрическими задачами на построение активно интересовались античные геометры. Допуская лишь классические построения (выполняемые только линейкой и циркулем), они исследовали, какие из построений можно вы-полнить, а какие невозможно. В частности, выясняли:

1. можно ли любой угол разделить на три равные части;
2. можно ли построить квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга;
3. можно ли построить ребро такого куба, объем которого был бы в 2 раза больше объема данного куба.

Много столетий выдающиеся геометры пытались решить эти задачи и не смогли. Эти три классические задачи древности получили специальные названия:

1. трисекция угла,
2. 2квадратура круга,
3. удвоение куба.

Последнюю задачу называют еще делосской задачей, связывая ее с древнегреческой легендой. согласно которой оракул бога Аполлона согласился спасти жителей острова Делос от чумы, если кубический жертовник в делосском храме заменят на жертовник такой же формы, но вдвое большего объема. Только почти через 2000 лет ученые убедились, что ни одну из этих трех задач с помощью лишь линейки и циркуля решить невозможно.

В настоящее время специалисты, которым приходится выполнять геометрические построения, пользуются не только линейкой и циркулем. С точки зрения классических методов такие построения приближенные. Но для практических нужд точности, которую обеспечивают приближенные методы, вполне достаточно

Пример №16

Найдите центр данной окружности.

Решение:

Обозначим на данной окружности три производные точки А, В и С (рис. 246).

Представим хорды АВ, ВС и проведем их серединные перпендикуляры n и m. Точка О, в которой пересекаются прямые n и m., — центр данной окружности. Ведь ОА = ОВ = ОС.

Пример №17

Через данную точку проведите касательную к данной окружности.

Решение:

Если данная точка А лежит на окружности центра О (рис. 247, а), проводим луч ОА, потом — прямую АК, перпендикулярную к ОА. Прямая АК — касательная, которую и требовалось построить.

Если точка А лежит вне данной окружности центра О (рис. 247, б), то на диаметре ОА описываем окружность. Она пересечется с данной окружностью в двух точках К и Р. Прямые АК и АР — искомые касательные, поскольку (Из точек К и Р вспомогательной окружности ее диаметр ОМ виден под прямыми углами АКО и АРО.) В этом случае задача имеет два решения.

Свойство диаметра, перпендикулярного хорде

Диаметр, перпендикулярный хорде, проходит через ее середину. Докажите.

Решение

Пусть СО — диаметр окружности с центром О, АВ — хорда этой окружности, Докажем, что М — точка пересечения отрезков АВ и СD— середина отрезка АВ.

В случае, когда хорда АВ сама является диаметром, точка М совпадает с центром О и утверждение задачи очевидно. Пусть хорда АВ не является диаметром (рис. 165). Проведем радиусы OA и ОВ. Тогда в равнобедренном треугольнике АОВ высота ОМ является медианой. Итак, AM = ВМ, что и требовалось доказать.

Докажите самостоятельно еще одно утверждение (опорное): диаметр окружности, проведенной через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде.

Касательная к окружности

Определение и свойство касательной

Любая прямая, проходящая через точки окружности, называется секущей; ее отрезок, лежащий внутри окружности, является хордой. На рисунке 167 хорда CD — отрезок секущей b . Рассмотрим теперь прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку.

Определение:

Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку. Общая точка касательной и окружности называется точкой касания.

На рисунке 167 прямая а является касательной к окружности с центром О. Иначе говоря, прямая а касается окружности с центром О в точке А .

Определим взаимное расположение касательной и радиуса окружности, проведенного в точку касания.

Теорема (свойство касательной)

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Доказательство:

Пусть прямая а касается окружности с центром О в точке А (рис. 168). Докажем, что Применим метод доказательства от противного.

Пусть отрезок OA не является перпендикуляром к прямой а. Тогда, по теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой, из точки О можно провести перпендикуляр ОB к прямой а . На луче АВ от точки В отложим отрезок ВС, равный АВ , и соединим точки О и С . Поскольку по построению отрезок ОВ — медиана и высота треугольника АОС, то этот треугольник равнобедренный с основанием АС, то есть OA = ОС . Таким образом, расстояние между точками О и С равно радиусу окружности, и, по определению радиуса, точка С должна лежать на данной окружности. Но это противоречит определению касательной, поскольку А — единственная общая точка окружности с прямой а. Из этого противоречия следует, что наше предположение неверно, то есть OA . Теорема доказана.

Признак касательной

Докажем теорему, обратную предыдущей.

Теорема: (признак касательной)

Если прямая проходит через точку окружности перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку, то она является касательной к окружности.

Доказательство:

Пусть прямая а проходит через точку А, лежащую на окружности с центром О, причем . Докажем, что а — касательная к окружности. Согласно определению касательной, нам необходимо доказать, что окружность имеет с прямой а единственную общую точку. Применим метод доказательства от противного.

Пусть прямая а имеет с окружностью общую точку В , отличную от А (рис. 169). Тогда из определения окружности ОА = ОВ как радиусы, то есть треугольник АОВ равнобедренный с основанием АВ. По свойству углов равнобедренного треугольника , что противоречит теореме о сумме углов треугольника.

Следовательно, точка А — единственная общая точка окружности и прямой а, значит, прямая а — касательная к окружности.

Свойство отрезков касательных

Пусть даны окружность с центром О и точка А, не принадлежащая кругу, ограниченному данной окружностью (рис. 170).

Через точку А можно провести две касательные к данной окружности. Отрезки, соединяющие данную точку А с точками касания, называют отрезками касательных, проведенных из точки А к данной окружности. На рисунке 170 АВ и АС — отрезки касательных, проведенных к окружности из точки А .

Опорная задача

Отрезки касательных, проведенных из данной точки к окружности, равны. Докажите.

Решение

Пусть АВ и АС — отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О из точки А (рис. 170). Рассмотрим треугольники АОВ и АОС. По свойству касательной то есть эти треугольники являются прямоугольными с общей гипотенузой АО и равными катетами ОВ = ОС как радиусы окружности). Следовательно, по гипотенузе и катету, откуда АВ = АС.

Касание двух окружностей

Определение:

Две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в ней общую касательную.

Общая точка двух окружностей в таком случае называется точкой касания окружностей.

Различают два вида касания окружностей: внутреннее и внешнее.

Касание окружностей называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от общей касательной, проведенной через точку касания (рис. 171, а);

Касание окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от общей касательной, проведенной через точку касания (рис. 171, б).

Рис. 171 Касание двух окружностей. 1. внутреннее; 2. внешнее.

По свойству касательной радиусы данных окружностей, проведенные в точку касания, перпендикулярны общей касательной. Из теоремы о существовании и единственности прямой, перпендикулярной данной, следует, что центры касающихся окружностей и точка касания окружнос тей лежат на одной прямой.

Касающиеся окружности имеют единствен ную общую точку — точку касания.

Если данные окружности имеют радиусы R и r (R > r), то расстояние между центрами окружностей равно R-r в случае внутреннего касания и R+r в случае внешнего касания.

Задачи на построение

Что такое задачи на построение?

Задачи на построение представляют собой отдельный класс геометрических задач, решение которых подчиняется определенным правилам. Цель решения этих задач — построение геометрических фигур с заданными свойствами с помощью чертежных инструментов. Если в условии задачи нет специальных примечаний, то имеются в виду построения с помощью циркуля и линейки. С помощью линейки можно провести:

• произвольную прямую;
• прямую, проходящую через данную точку;
• прямую, проходящую через две данные точки.

Заметим, что никаких других построений линейкой выполнять нельзя. В частности, с помощью линейки нельзя откладывать отрезки заданной длины.

Циркуль — от латинского «циркулус» — окружность, круг.

С помощью циркуля можно:

• провести окружность (часть окружности) произвольного или заданного радиуса с произвольным или заданным центром;
• отложить от начала данного луча отрезок заданной длины.

Кроме того, можно отмечать на плоскости точки и находить точки пересечения прямых и окружностей.

Все перечисленные операции называют элементарными построениями, а решить задачу на построение — это значит найти последовательность элементарных построений, после выполнения которых искомая фигура считается построенной, и доказать, что именно эта фигура удовлетворяет условию задачи.

Итак, решение задач на построение заключается не столько в самом построении фигуры, сколько в нахождении способа построения и доказательстве того, что полученная фигура искомая.

Основные задачи на построение

Если каждый шаг построений описывать полностью, решение некоторых задач может оказаться довольно громоздким. С целью упрощения работы выделяют несколько важнейших задач, которые считаются основными и не детализируются каждый раз при решении более сложных задач.

Пусть даны отрезки длиной а , b и с . Построим треугольник со сторонами, b и с.

Проведем произвольный луч и отметим на нем точку А . Раствором циркуля, равным а , построим окружность с центром А . Пусть В — точка пересечения этой окружности с лучом.

Раствором циркуля, равным b , опишем окружность с центром А , а раствором циркуля, равным с ,— окружность с центром В . Пусть С — точка пересечения этих окружностей.

Проведем отрезки АС и ВС. По построению треугольник ABC имеет стороны длиной а , b и с, то есть треугольник ABC искомый 1 .

1 По данным задачи можно построить четыре разных треугольника с общей стороной АВ. По третьему признаку эти треугольники равны, то есть совмещаются наложением. В таких случаях решением задачи считают любой из этих равных треугольников.

Отметим, что эта задача имеет решение при условии, что длины отрезков а , b и с удовлетворяют неравенству треугольника.

С помощью описанных операций несложно решить задачу о построении угла, равного данному неразвернутому углу А. Для этого достаточно отложить на сторонах данного угла А отрезки АВ и АС и построить треугольник, равный треугольнику ABC.

“Окружность касательная к элементу с центром в указанной точке”

“Окружность касательная к двум элементам”

“Окружность касательная к трем элементам”

Тип линий и штриховки необходимо выбрать перед началом построения элемента. Чтобы получить дополнительные сведения о типах линий и штриховки, смотрите раздел «Типы линий и штриховки».

Чтобы построить окружность:

Нажмите кнопку Окружность на панели инструментов 2D Элементы.

Укажите центр окружности.

Укажите узел на окружности. Чтобы получить дополнительные сведения о способах точного позиционирования курсора, смотрите раздел «Точные построения».

Чтобы построить окружность заданного диаметра по двум точкам:

Нажмите кнопку Окружность на панели инструментов 2D Элементы и, удерживая ее, выберите Окружность по двум точкам из выпадающего меню.

В поле «Диаметр» введите значение диаметра окружности и нажмите клавишу Enter. Затем укажите две точки на окружности и положение центра. Чтобы получить дополнительные сведения о способах точного позиционирования курсора, смотрите раздел «Точные построения».

Чтобы построить окружность по трем точкам:

Нажмите кнопку Окружность на панели инструментов 2D Элементы и, удерживая ее, выберите Окружность по трем точкам из выпадающего меню.

Укажите три узла на окружности. Чтобы получить дополнительные сведения о способах точного позиционирования курсора, смотрите раздел «Точные построения».

Чтобы построить окружность с осями симметрии:

1. Нажмите кнопку Окружность на панели инструментов 2D Элементы и, удерживая ее, выберите Окружность с осями симметрии из выпадающего меню.

2. Укажите центр окружности.

3. Укажите узел на окружности. Чтобы получить дополнительные сведения о способах точного позиционирования курсора, смотрите раздел «Точные построения».

Чтобы построить окружность заданного диаметра:

1. Нажмите кнопку Окружность на панели инструментов 2D Элементы и, удерживая ее, выберите Окружность заданного диаметра из выпадающего меню.

В поле «Диаметр» введите значение диаметра окружности и нажмите клавишу Enter.

2. Укажите центр окружности. Чтобы получить дополнительные сведения о способах точного позиционирования курсора, смотрите раздел «Точные построения».

Чтобы построить окружность заданного диаметра с осями симметрии:

Нажмите кнопку Окружность на панели инструментов 2D Элементы и, удерживая ее, выберите команду Окружность заданного диаметра с осями симметрии из выпадающего меню. В поле «Диаметр» введите значение диаметра окружности и нажмите клавишу Enter. Укажите центр окружности.

Чтобы построить окружность касательную к элементу и проходящую через заданную точку:

Нажмите кнопку Окружность на панели инструментов 2D Элементы и, удерживая ее, выберите Окружность касательная к элементу и проходящая через заданную точку из выпадающего меню.

Укажите ребро элемента, к которому будет строиться касательная окружность.

Укажите точку, через которую будет проходить окружность.

Укажите положение центра окружности.

В поле «R » введите значение радиуса окружности. Нажмите кнопку ОК или клавишу Enter.

Чтобы построить окружность касательную к элементу с центром в указанной точке:

Нажмите кнопку Окружность на панели инструментов 2D Элементы и, удерживая ее, выберите Окружность касательная к элементу из выпадающего меню.

Укажите ребро элемента, к которому будет строиться касательная окружность.

Укажите центр окружности.

Чтобы построить окружность касательную к двум элементам:

Нажмите кнопку Окружность на панели инструментов 2D Элементы и, удерживая ее, выберите Окружность касательная к двум элементам из выпадающего меню.

1.Укажите первое ребро.

2.Укажите второе ребро.

3.Укажите положение центра окружности.

В поле «R =» введите значение радиуса окружности. Нажмите кнопку ОК или клавишу Enter.

Чтобы построить окружность касательная к трем элементам:

Нажмите кнопку Окружность на панели инструментов 2D Элементы и, удерживая ее, выберите Окружность касательная к трем элементам из выпадающего меню.

1.Укажите первое ребро.

2.Укажите второе ребро.

3.Укажите третье ребро.

4.5. Построение эллипса

Нажмите и удерживайте кнопку Окружность на панели 2D Объекты. Выберите кнопку Эллипс .

1.Укажите центр эллипса

2.Укажите первый узел эллипса.

Укажите второй узел эллипса

4.6. Построение дуг

ADEM позволяет строить дуги тремя способами:

По трем узлам (начало дуги, центр и узел, определяющий угол раствора дуги)

По трем узлам на дуге

Дуга по трем узлам с осями симметрии

Чтобы построить дугу через центр:

1. Нажмите кнопку Дуга Центр на панели инструментов 2D Элементы.

2. Укажите начало дуги, центр и узел, определяющий угол раствора дуги. Чтобы получить дополнительные сведения о способах точного позиционирования курсора, смотрите раздел «Точные построения».

Чтобы построить дугу с осями симметрии:

1. Нажмите кнопку Дуга Центр на панели инструментов 2D Элементы и, удерживая ее, выберите кнопку Дуга с осями в выпадающем меню.

2. Укажите начало дуги, центр и узел, определяющий угол раствора дуги. Чтобы получить дополнительные сведения о способах точного позиционирования курсора, смотрите раздел «Точные построения».

Чтобы построить дугу по трем узлам:

1. Нажмите кнопку Дуга Центр на панели инструментов 2D Элементы и, удерживая ее, выберите кнопку Дуга по трем точкам в выпадающем меню.

2. Укажите три узла на дуге. Чтобы получить дополнительные сведения о способах точного позиционирования курсора, смотрите раздел «Точные построения».

4.7. Построение ломаной линии и замкнутого контура

ADEM позволяет строить ломаные линии и замкнутые контура с произвольным числом узлов, а также правильные многоугольники с заданным числом сторон.

Чтобы построить ломаную линию:

1. Нажмите кнопку Ломаная линия на панели инструментов 2D Объекты

2. Последовательно укажите все узлы ломаной линии. Чтобы получить дополнительные сведения о способах точного позиционирования курсора, смотрите раздел «Точные построения».

3. Нажмите среднюю кнопку мыши или клавишу Esc для завершения построения.

Чтобы построить замкнутый контур:

1. Нажмите кнопку Замкнутый контур на панели инструментов 2D Объекты.

2. Укажите последовательно все узлы замкнутого контура. Чтобы получить дополнительные сведения о способах точного позиционирования курсора, смотрите раздел «Точные построения».

3. Нажмите среднюю кнопку мыши или клавишу Esc для завершения построения. Начальный и конечный узлы контура будут соединены прямолинейным сегментом.

Чтобы построить правильный многоугольник:

1. Нажмите кнопку Многоугольник с осями симметрии на панели инструментов 2D Объекты.

2. Задайте число сторон многоугольника в поле Число сторон и нажмите кнопку OK.

3. Укажите центр и точку на окружности. Будет построен вписанный или описанный многоугольник и одна из его осей симметрии будет проходить через указанные точки. Чтобы получить дополнительные сведения о способах точного позиционирования курсора, смотрите раздел «Точные построения».

4.8. Построение сплайнов

Сплайн представляет собой гладкую кривую, проходящую через заданный набор точек (узлов). ADEM позволяет строить сплайны и контуры сплайном. Контур сплайном — это сплайн, начальный и конечный узлы которого соединены прямолинейным сегментом.

Перед построением сплайна или контура сплайном Вы можете выбрать граничные условия сплайна:

Чтобы построить сплайн:

1. Нажмите кнопку Сплайн на панели инструментов 2D Объекты и, удерживая ее, выберите граничные условия сплайна из дополнительного меню.

2. Для сплайна “NURBS” введите степень – число в диапазоне от 1 до 99 в соответствующее поле ввода.

3. Последовательно укажите определяющие точки сплайна. Чтобы получить дополнительные сведения о способах точного позиционирования курсора, смотрите раздел «Точные построения».

4. Нажмите среднюю кнопку мыши или клавишу Esc для завершения построения.

Чтобы построить контур сплайном:

1. Нажмите кнопку Контур сплайном на панели инструментов 2D Объекты и, удерживая ее, выберите граничные условия сплайна из дополнительного меню.

2. Для контура сплайном “NURBS” введите степень – число в диапазоне от 1 до 99 в соответствующее поле ввода.

3. Последовательно укажите определяющие точки сплайна. Чтобы получить дополнительные сведения о способах точного позиционирования курсора, смотрите раздел «Точные построения».

Нажмите среднюю кнопку мыши или клавишу Esc для завершения построения. Начальный и конечный узлы сплайна будут соединены прямолинейным сегментом.

5. ЧЕРТЕЖНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

В система ADEM есть необходимые инструменты для нанесения чертежных символов. Любой из символов может быть отредактирован как плоский элемент. Любой символ, предоставляемый ADEM является комплексом и вы можете работать с ним как с одним элементом. Подробнее см. Работа с комплексами.

Все команды создания символов расположены на панели инструментов Символы.

5.1. Обозначения шероховатости

Команды простановки обозначений шероховатости расположены на панели инструментов Символы. Для простановки обозначения шероховатости необходимо указать две точки. Первая точка определяет положение обозначения на чертеже, вторая — угол разворота, который соответствует углу отклонения отрезка между первой и второй точками и горизонталью. Чтобы не задавать угол разворота, нажмите среднюю кнопку мыши или клавишу Esc вместо указания второго узла.

Для простановки обозначения шероховатости по последним требованиям ГОСТ:

1. Нажмите соответствующую кнопку на панели инструментов Символы.

2. Из командной строки удалите численное значение шероховатости.

3. Укажите точку привязки или элемент, к которому будет привязан данный символ.

4. Укажите вторую точку, определяющую угол разворота. Чтобы не задавать угол разворота, нажмите среднюю кнопку мыши или клавишу Esc.

5. Выполните верхнюю полку у значка обозначения шероховатости с помощью команды Отрезок сплошной тонкой линией.

6. С помощью команды Текстовая строка проставить численное значение параметров шероховатости под полкой значка. См. раздел 8.

6. ТИПЫ ЛИНИЙ И ШТРИХОВОК

Каждый базовый элемент имеет свои атрибуты — тип линии и тип штриховки, которые могут быть изменены в любой момент. Типы линий и типы штриховок расположены на панелях Типы линий и Типы штриховок внизу окна ADEM.

Система ADEM позволяет выполнять:

Присваивание атрибутов штриховки замкнутым контурам

Элементу присваиваются тип линии и тип штриховки, которые являются текущими (выбраны на панели инструментов) на момент его создания. По умолчанию текущими являются тип линии Основная и тип штриховки Пустая прозрачная .

Если элемент является замкнутым (окружность, прямоугольник, замкнутый контур или контур сплайном), то он создается сразу заштрихованным (заполненным). Штриховка может быть прозрачной и непрозрачной. Элемент с непрозрачной штриховкой скрывает объекты (или их части), расположенные под ним, что позволяет создавать многосвязные области и скрывать часть изображения без потери первоначальной информации. При редактировании штриховка автоматически отслеживает изменения в геометрии элемента.

6.1. Выбор типа линии и штриховки

При создании элементу присваиваются атрибуты, которые являются текущими (выбраны на панели инструментов) на момент его создания. По умолчанию, текущими являются тип линии Основная и тип штриховки Пустая прозрачная .

Если Вы хотите, чтобы тип линии и штриховки элемента отличались от текущих, необходимо установить нужные атрибуты перед построением элемента.

Чтобы выбрать атрибуты создаваемого элемента:

1. Выберите нужный тип линии, нажав соответствующую кнопку на панели инструментов Типы линий.

2. Выберите нужный тип штриховки, нажав соответствующую кнопку на панели инструментов Типы штриховок.

3. На панели Типы штриховок нажмите кнопку Прозрачность , чтобы штриховка была прозрачной. Если Вы хотите создать элемент с непрозрачной штриховкой, кнопка Прозрачность должна быть отжата.

Изменение атрибутов элемента

Команды Изменение типа линий и Изменение штриховки позволяют изменять атрибуты ранее созданных элементов.

Чтобы изменить тип линий элементов необходимо:

1. Нажать на кнопку Тип линий на панели инструментов Типы линий, и, удерживая нажатой левую клавишу мыши, выбрать нужный тип линий

2. Указать элементы, если они предварительно не были взяты в группу.

3. Нажать кнопку Изменение типа линий на панели инструментов

Чтобы изменить тип штриховки замкнутого контура необходимо:

1. Нажать на кнопку Тип штриховки на панели инструментов Штриховки, и, удерживая нажатой левую клавишу мыши, выбрать нужный тип штриховки.

2. Выбрать атрибут прозрачности (прозрачный/непрозрачный), нажав на кнопку Прозрачность на панели инструментов Штриховки.

3. Нажать кнопку Изменение штриховки на панели инструментов Штриховки.

4. Указать границу заштрихованной области, у которой необходимо изменить тип штриховки.

6.2. Штриховка области

Команда Штриховка области позволяет создавать штриховку внутри областей, ограниченных различными элементами. Команда позволяет заштриховать области ограниченные только основными линиями и области ограниченные различными линиями. Для штриховки области, ограниченной основными линиями, в дополнительном меню необходимо выбрать Основные. Для штриховки области ограниченной различными типами линий необходимо выбрать Все типы.

Чтобы произвести штриховку области ограниченной основными линиями необходимо:

1. Выбрать нужный тип штриховки, нажав на кнопку Тип штриховки на панели инструментов Штриховки, и, удерживая нажатой левую клавишу мыши,

2. Нажать и удерживать кнопку Штриховка области на панели инструментов Штриховки, выбрать команду Основные.

3. Указать точку находящуюся внутри штрихуемой области.

Чтобы изменить тип штриховки области необходимо:

1. Нажать на кнопку Тип штриховки на панели инструментов Штриховки, и, удерживая нажатой левую клавишу мыши, выбрать нужный тип штриховки.

2. Выбрать атрибут прозрачности (прозрачный/непрозрачный), нажав на кнопку Прозрачность на панели инструментов Штриховки.

3. Нажать кнопку Изменение штриховки на панели инструментов Штриховки.

4. Указать заштрихованную область, у которой необходимо изменить тип штриховки.

7. СОЗДАНИЕ ОБЪЕМНЫХ ТЕЛ.

В системе ADEM реализовано множество различных методов создания объемных тел. Большинство объемных тел создается на основе профилей, например, смещением или вращением профиля. Также при создании объемных тел могут использоваться уже созданные тела, например, при построении тела перехода между указанными гранями двух тел.

Команды построения 3D элементов на основе профилей находятся на панели инструментов 3D Объекты 1 :

Команды построения 3D элементов на основе уже существующих 3D тел находятся на панели инструментов 3D Объекты 2 :

7.1. Создание профилей

Профиль — это элемент, использующийся для построения объемного тела. Профиль определяет форму тела и его положение по отношению к остальным элементам объемной модели. В качестве профилей для создания объемного тела могут быть использованы любые плоские элементы, кроме некоторых элементов оформления, таких как размеры или стрелка сварки, а также ребра и грани объемной модели..

Создание объемных тел на основе профилей

Команды построения 3D тел на основе профилей находятся на панели инструментов 3D объекты 1. В ADEM возможно построение следующих объемных элементов : Сфера, Проволока, Труба, Спираль, Движение, Вращение, Пространственная пирамида, Смещение.

Для создания объемного тела любого типа необходимо выполнить следующие действия:

1. Выбрать профиль(и).

2. Задать параметры объемного тела.

7.2. Сфера

Команда Сфера позволяет построить сферу, используя в качестве профиля окружность или дугу. Радиус окружности или дуги определяет радиус сферы.

Чтобы создать сферу:

1. Нажмите кнопку Сфера на панели инструментов 3D Объекты 1. Появится подсказка Профиль

2. Выберите профиль(и) и нажмите среднюю кнопку мыши или клавишу Esc для завершения выбора. Профили отличные от полной окружности или ее части игнорируются.

7.3. Проволока

Команда Проволока используется для создания криволинейных цилиндров. Объемное тело создается методом перемещения окружности заданного диаметра по указанной направляющей. Направляющая может быть замкнута или разомкнута.

Если контур направляющей незамкнут, Вы можете задать коэффициент масштабирования, определяющий отношение конечного и начального диаметров проволоки. По умолчанию, коэффициент масштабирования равен

Чтобы создать тело Проволока:

1. Нажмите кнопку Проволока на панели инструментов 3D Объекты появится подсказка Направляющая

2. Выберите профиль(и) для направляющей кривой. После того, как все необходимые профили выбраны, нажмите среднюю кнопку мыши или клавишу Esc для завершения выбора. Внизу экрана появится строка ввода параметров.

3. В поле Диаметр введите диаметр проволоки.

4. В поле Масштабный фактор введите коэффициент масштабирования, определяющий отношение конечного и начального диаметров.

5. Нажмите кнопку ОК в строке ввода параметров или клавишу Enter на клавиатуре.

7.4. Труба

Команда Труба позволяет построить трубу заданного диаметра с заданной толщиной стенок по указанной направляющей. Направляющая может быть замкнута или разомкнута.

Если направляющий контур незамкнут, Вы можете задать коэффициент масштабирования, определяющий отношение конечного и начального диаметров трубы. По умолчанию, коэффициент масштабирования равен 1.

Чтобы построить трубу:

1. Нажмите кнопку Труба на панели инструментов 3D Объекты 1.Появится подсказка Направляющая?

2. Выберите профиль(и) для направляющей кривой. После того, как все необходимые профили выбраны, нажмите среднюю кнопку мыши или клавишу Esc для завершения выбора. Внизу экрана появится строка ввода параметров.

3. В поле Диаметр введите диаметр трубы.

4. В поле Толщина стенки введите толщину стенок трубы.

5. В поле Масштабный фактор введите коэффициент масштабирования, определяющий отношение конечного и начального диаметров.

6. Нажмите кнопку ОК в строке ввода параметров или клавишу Enter на клавиатуре.

7.5. Движение

Команда Движение позволяет создавать объемные тела движением профиля (сечения) по направляющей кривой (траектории). Для построения тела необходимо два профиля: сечение и направляющая. Оба профиля могут быть как замкнутыми, так и разомкнутыми.

Если в качестве профиля выбрана грань объемного тела, то в результате выполнения операции будет добавлен материал к телу, которому она принадлежит.

После указания профилей можно указать точку привязки сечения, которая будет совмещена с начальной точкой направляющей при создании тела.

Если точка привязки не задана (нажата клавиша Esc или средняя клавиша мышки), то тело строится с учетом реального положения сечения и направляющей.

Чтобы построить тело движением профиля по траектории:

1. Нажмите кнопку Движение на панели инструментов 3D Объекты 1. Появится подсказка Профиль?

2. Выберите элементы (плоские элементы, ребра или грань), составляющие профиль сечения и нажмите среднюю кнопку мыши или клавишу Esc для завершения выбора.

3. В строке «Подсказка» появится запрос Направляющая?.Выберите элементы (плоские элементы, ребра или грань), составляющие профиль направляющей и нажмите среднюю кнопку мыши или клавишу Esc для завершения выбора. В строке «Подсказка» появится запрос Точка привязки?.

Укажите точку привязки сечения, которая будет совмещена с начальной точкой направляющей при создании тела или нажмите среднюю кнопку мыши или клавишу Esc, чтобы пропустить этот шаг. Вы можете использовать различные способы задания точки.

Команда Вращение позволяет создавать объемные тела вращением профиля вокруг заданной оси на заданный угол. Профиль может быть замкнутым или разомкнутым. При вращении незамкнутого профиля на угол не равный 360 градусам будет создана открытая оболочка

Чтобы создать тело вращением профиля:

1. Нажмите кнопку Вращение на панели инструментов 3D Объекты 1. Появится подсказка Профиль?

2. Выберите элементы (плоские элементы, ребра или грань), составляющие профиль сечения и нажмите среднюю кнопку мыши или клавишу Esc для завершения выбора.

3. В поле Угол введите угол вращения. Значение может быть как положительным, так и отрицательным.

4. Нажмите кнопку ОК в строке ввода параметров или клавишу Enter на клавиатуре. В строке «Подсказка» появится запрос Точка оси?.

5. Укажите две точки, определяющие ось спирали. Вы можете использовать различные способы задания точек оси.

7.7. Смещение

Команда Смещение позволяет создавать объемные тела смещением профиля в направлении оси Z текущей системы координат на заданную высоту с заданным углом стенок. В качестве профиля могут быть выбраны плоские элементы, ребра или грани объемных тел.

При задании положительного угла стенки наклоняются внутрь создаваемого тела, при задании отрицательного — наружу. По умолчанию угол равен 0.

Чтобы создать тело смещением профиля:

1. Нажмите кнопку Смещение на панели инструментов 3D Объекты 1. Появится подсказка Профиль ?

2. Выберите элементы (плоские элементы, ребра или грань), составляющие профиль сечения и нажмите среднюю кнопку мыши или клавишу Esc для завершения выбора.

3. В поле Высота задайте величину смещения в положительном направлении оси Z текущей системы координат. Значение может быть как положительным, так и отрицательным.

4. В поле Глубина задайте величину смещения в отрицательном направлении оси Z текущей системы координат. Значение может быть как положительным, так и отрицательным.

5. В поле Угол задайте угол наклона боковых граней тела. Значение может быть как положительным, так и отрицательным.

6. В поле Угол отв. задайте угол наклона отверстий. Значение может быть как положительным, так и отрицательным.

7. Нажмите кнопку ОК в строке ввода параметров или клавишу Enter на клавиатуре.

7.8. Построения 3D тел на основе созданных тел

Команды построения объемных тел, при создании которых используются уже созданные тела, расположены на панели инструментов 3D Объекты 2. Возможны следующие команды: Сквозное отверстие, Отверстие, Добавить/Удалить материал, Добавление материала смещением до тела, Смещение до тела, Затяжка, Эквидистанта и т. д.

Большинство построений на основе имеющихся тел основаны на одной и той же последовательности действий:

Окружности

Построение окружностей в AutoCAD осуществляется командой Circle, которая также может быть вызвана при помощи кнопки Circle (Окружность),расположенной в инструментальной группе Draw (Рисование) вкладки Ноте (Главная).

По умолчанию окружность строится по центру и радиусу либо диаметру. Вычертить окружность можно также с использованием одного из дополнительных параметров, указанных сразу после ввода команды Circle в командную строку:

Command: Circle
Specify center point for circle or [3P/2P/Ttr (tan tan radius)]: , где задаются такие способы построения:

• ЗР – по координатам трех точек, лежащих на окружности;
• 2Р – по координатам двух точек, лежащих на окружности;
• Ttr (tan tan radius) – по двум касательным к окружности объектам и радиусу.

ПОСТРОЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ ПО ЦЕНТРУ И РАДИУСУ

Если в ответ на запрос уточняющего параметра указать щелчком мыши точку на чертеже, то она автоматически становится центром будущей окружности. Затем система AutoCAD выполнит запрос (Specify radius of circle or [Diameter]), в ответ на который необходимо ввести либо радиус окружности, либо диаметр, предварительно выбрав опцию D. При этом характерные точки можно указывать в графической зоне с использованием мыши либо вводя числовые значения их координат в командную строку.

Command: Circle
Specify center point for circle or [3P/2P/Ttr (tan tan radius)]:
Specify radius of circle or [Diameter] : D Specify diameter of circle :

ПОСТРОЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ ПО ТРЕМ ТОЧКАМ

Если вместо центра окружности на вопрос Specify center point for circle or [3P/2P/Ttr (tan tan radius)] выбрать опцию ЗР, то AutoCAD построит окружность по трем точкам, расположенным в плоскости экрана. При этом координаты точек задаются поочередно в произвольном порядке. Указывать их можно либо в графической зоне с использованием мыши, либо вводом числовых значений в командную строку:

Command: Circle
Specify center point for circle or [3P/2P/Ttr(tan tan radius)]: 3P
Specify first point on circle:
Specify second point on circle: сОбозначение координат второй точки>
Specify third point on circle: сОбозначение координат третьей точки>

ПОСТРОЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ ПО ДВУМ ТОЧКАМ

Если вместо центра окружности на вопрос Specify center point for circle or [3P/2P/Ttr (tan tan radius)] выбрать опцию 2P, то AutoCAD построит окружность по двум точкам, являющимся конечными точками диаметра этой окружности. Как и ранее, в данном случае координаты точек можно задавать поочередно, указывать их либо в графической зоне с использованием мыши, либо посредством ввода числовых значений в командную строку.

Specify center point for circle or [3P/2P/Ttr (tan tan radius)]: 2P
Specify first end point of circle’s diameter:
Specify second end point of circle’s diameter:

ПОСТРОЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ ПО ДВУМ КАСАТЕЛЬНЫМ И РАДИУСУ

Если вместо центра окружности на вопрос Specify center point for circle or [3P/2P/Ttr (tan tan radius)] выбрать опцию T, то AutoCAD построит окружность по двум касательным к ней объектам и радиусу.

Под касательным к окружности объектом понимается объект, который имеет с окружностью одну общую точку. Таким объектом может быть другая окружность, отрезок или дуга. Для построения таким способом окружности указываются две точки на объектах, выбранных в качестве касательных к окружности, и ее радиус.

Specify center point for circle or [3P/2P/Ttr (tan tan radius)]: T
Specify point on object for first tangent of circle: с Обозначение точки, расположенной на первом объекте>
Specify point on object for second tangent of circle:с Обозначение точки, расположенной на втором объекте>
Specify radius of circle : с Нажатие клавиши Enter для принятия установленного по умолчанию радиуса или ввод другого его значения>

Следует отметить, что радиус можно задать числом или двумя точками, расстояние между которыми и станет его величиной. В большинстве случаев существует несколько вариантов решения задачи построения окружности, касающейся двух объектов и имеющей заданный радиус (например, для двух пересекающихся отрезков). В таком случае из всех возможных решений AutoCAD выбирает ближайшее к тем точкам, в которых пользователь пометил объекты для касания. Поэтому к указанию точек при выборе объектов следует подходить очень внимательно.

Примечание. Если задается слишком маленькое или слишком большое значение радиуса, то появляется сообщение Circle does not exist (Окружность с выбранными параметрами не может быть нарисована).

Построение окружности с заданным радиусом касательно к другой окружности и отрезку

В задании необходимо построить окружность и отрезок с заданным положением и размерами, а затем привязать к ним в точках касания другую окружность с заданным радиусом (рис. 5.3).

Порядок выполнения задания следующий (см. листинг 5.3):

1. Сначала осуществляется построение окружности, для чего следует вызвать команду Circle и ввести на соответствующие вопросы координаты центра (100,120) и значение радиуса окружности (40).
2. Затем следует ввести команду Line и последовательно задать координаты начала отрезка (160,50) и конца (260,160).
3. Используя режим объектной привязки Nearest (Ближайшая) и мышь, нужно расположить в соответствии с рис. 5.3 на окружности и отрезке две точки, с которыми впоследствии будут совмещаться точки касания.
4. Далее нужно ввести в командную строку команду Circle и выбрать уточняющий параметр Т.
5. Затем на первый вопрос команды следует совместить курсор с первой точкой, расположенной на окружности, и нажать правую кнопку мыши.
6. После этого на второй вопрос нужно выполнить аналогичные действия применительно к отрезку.
7. На заключительный вопрос команды следует ввести значение радиуса окружности (40).

Построение окружности с заданным радиусом касательно к другой окружности и отрезку

Command: Circle
Specify center point for circle or [3P/2P/Ttr (tan tan radius)]:
100,120
Specify radius of circle or [Diameter]: 40
Command: Line
Specify first point: 160,50
Specify next point or [Undo]: 260,160
Specify next point or [Undo]: J
Command: Point
Current point modes: PDMODE=2 PDSIZE=10 Specify a point: Command: Point
Current point modes: PDMODE=2 PDSIZE=10 Specify a point: Command: Circle
Specify center point for circle or [ЗР/2Р/ Ttr (tan tan radius)]: T Specify point on object for first tangent of circle:
Specify point on object for second tangent of circle:
Specify radius of circle : 40

ПОСТРОЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ ПО ТРЕМ КАСАТЕЛЬНЫМ ОБЪЕКТАМ

Способ построения окружности по трем касательным объектам (рис. 5.4) задается с помощью команды Tan, Tan, Tan (Три касательных) в раскрывающемся списке рядом с кнопкой Circle (Окружность), расположенной в инструментальной группе Draw (Рисование) вкладки Ноте (Главная).

Для обозначения положения точек на трех указанных объектах, которых должна касаться окружность, AutoCAD использует объектную привязку. Например, на рис. 5.4 показана окружность, построенная касательно к дуге, окружности и отрезку.

Последовательность действий, выполненная при этом, представлена ниже.

Command: Circle
Specify center point for circle or [3P/2P/Ttr (tan tan radius)]:
_3p Specify first point on circle: _tan to
Specify second point on circle: _tan to
Specify third point on circle: _tan to

Касательная к окружности

О чем эта статья:

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

• окружность с центральной точкой А;
• прямая а — касательная к ней;
• радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

Окружности

Построение окружностей в AutoCAD осуществляется командой Circle, которая также может быть вызвана при помощи кнопки Circle (Окружность),расположенной в инструментальной группе Draw (Рисование) вкладки Ноте (Главная).

По умолчанию окружность строится по центру и радиусу либо диаметру. Вычертить окружность можно также с использованием одного из дополнительных параметров, указанных сразу после ввода команды Circle в командную строку:

Command: Circle
Specify center point for circle or [3P/2P/Ttr (tan tan radius)]: , где задаются такие способы построения:

• ЗР – по координатам трех точек, лежащих на окружности;
• 2Р – по координатам двух точек, лежащих на окружности;
• Ttr (tan tan radius) – по двум касательным к окружности объектам и радиусу.

ПОСТРОЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ ПО ЦЕНТРУ И РАДИУСУ

Если в ответ на запрос уточняющего параметра указать щелчком мыши точку на чертеже, то она автоматически становится центром будущей окружности. Затем система AutoCAD выполнит запрос (Specify radius of circle or [Diameter]), в ответ на который необходимо ввести либо радиус окружности, либо диаметр, предварительно выбрав опцию D. При этом характерные точки можно указывать в графической зоне с использованием мыши либо вводя числовые значения их координат в командную строку.

Command: Circle
Specify center point for circle or [3P/2P/Ttr (tan tan radius)]:
Specify radius of circle or [Diameter] : D Specify diameter of circle :

ПОСТРОЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ ПО ТРЕМ ТОЧКАМ

Если вместо центра окружности на вопрос Specify center point for circle or [3P/2P/Ttr (tan tan radius)] выбрать опцию ЗР, то AutoCAD построит окружность по трем точкам, расположенным в плоскости экрана. При этом координаты точек задаются поочередно в произвольном порядке. Указывать их можно либо в графической зоне с использованием мыши, либо вводом числовых значений в командную строку:

Command: Circle
Specify center point for circle or [3P/2P/Ttr(tan tan radius)]: 3P
Specify first point on circle:
Specify second point on circle: сОбозначение координат второй точки>
Specify third point on circle: сОбозначение координат третьей точки>

ПОСТРОЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ ПО ДВУМ ТОЧКАМ

Если вместо центра окружности на вопрос Specify center point for circle or [3P/2P/Ttr (tan tan radius)] выбрать опцию 2P, то AutoCAD построит окружность по двум точкам, являющимся конечными точками диаметра этой окружности. Как и ранее, в данном случае координаты точек можно задавать поочередно, указывать их либо в графической зоне с использованием мыши, либо посредством ввода числовых значений в командную строку.

Specify center point for circle or [3P/2P/Ttr (tan tan radius)]: 2P
Specify first end point of circle’s diameter:
Specify second end point of circle’s diameter:

ПОСТРОЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ ПО ДВУМ КАСАТЕЛЬНЫМ И РАДИУСУ

Если вместо центра окружности на вопрос Specify center point for circle or [3P/2P/Ttr (tan tan radius)] выбрать опцию T, то AutoCAD построит окружность по двум касательным к ней объектам и радиусу.

Под касательным к окружности объектом понимается объект, который имеет с окружностью одну общую точку. Таким объектом может быть другая окружность, отрезок или дуга. Для построения таким способом окружности указываются две точки на объектах, выбранных в качестве касательных к окружности, и ее радиус.

Specify center point for circle or [3P/2P/Ttr (tan tan radius)]: T
Specify point on object for first tangent of circle: с Обозначение точки, расположенной на первом объекте>
Specify point on object for second tangent of circle:с Обозначение точки, расположенной на втором объекте>
Specify radius of circle : с Нажатие клавиши Enter для принятия установленного по умолчанию радиуса или ввод другого его значения>

Следует отметить, что радиус можно задать числом или двумя точками, расстояние между которыми и станет его величиной. В большинстве случаев существует несколько вариантов решения задачи построения окружности, касающейся двух объектов и имеющей заданный радиус (например, для двух пересекающихся отрезков). В таком случае из всех возможных решений AutoCAD выбирает ближайшее к тем точкам, в которых пользователь пометил объекты для касания. Поэтому к указанию точек при выборе объектов следует подходить очень внимательно.

Примечание. Если задается слишком маленькое или слишком большое значение радиуса, то появляется сообщение Circle does not exist (Окружность с выбранными параметрами не может быть нарисована).

Построение окружности с заданным радиусом касательно к другой окружности и отрезку

В задании необходимо построить окружность и отрезок с заданным положением и размерами, а затем привязать к ним в точках касания другую окружность с заданным радиусом (рис. 5.3).

Порядок выполнения задания следующий (см. листинг 5.3):

1. Сначала осуществляется построение окружности, для чего следует вызвать команду Circle и ввести на соответствующие вопросы координаты центра (100,120) и значение радиуса окружности (40).
2. Затем следует ввести команду Line и последовательно задать координаты начала отрезка (160,50) и конца (260,160).
3. Используя режим объектной привязки Nearest (Ближайшая) и мышь, нужно расположить в соответствии с рис. 5.3 на окружности и отрезке две точки, с которыми впоследствии будут совмещаться точки касания.
4. Далее нужно ввести в командную строку команду Circle и выбрать уточняющий параметр Т.
5. Затем на первый вопрос команды следует совместить курсор с первой точкой, расположенной на окружности, и нажать правую кнопку мыши.
6. После этого на второй вопрос нужно выполнить аналогичные действия применительно к отрезку.
7. На заключительный вопрос команды следует ввести значение радиуса окружности (40).

Построение окружности с заданным радиусом касательно к другой окружности и отрезку

Command: Circle
Specify center point for circle or [3P/2P/Ttr (tan tan radius)]:
100,120
Specify radius of circle or [Diameter]: 40
Command: Line
Specify first point: 160,50
Specify next point or [Undo]: 260,160
Specify next point or [Undo]: J
Command: Point
Current point modes: PDMODE=2 PDSIZE=10 Specify a point: Command: Point
Current point modes: PDMODE=2 PDSIZE=10 Specify a point: Command: Circle
Specify center point for circle or [ЗР/2Р/ Ttr (tan tan radius)]: T Specify point on object for first tangent of circle:
Specify point on object for second tangent of circle:
Specify radius of circle : 40

ПОСТРОЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ ПО ТРЕМ КАСАТЕЛЬНЫМ ОБЪЕКТАМ

Способ построения окружности по трем касательным объектам (рис. 5.4) задается с помощью команды Tan, Tan, Tan (Три касательных) в раскрывающемся списке рядом с кнопкой Circle (Окружность), расположенной в инструментальной группе Draw (Рисование) вкладки Ноте (Главная).

Для обозначения положения точек на трех указанных объектах, которых должна касаться окружность, AutoCAD использует объектную привязку. Например, на рис. 5.4 показана окружность, построенная касательно к дуге, окружности и отрезку.

Последовательность действий, выполненная при этом, представлена ниже.

Command: Circle
Specify center point for circle or [3P/2P/Ttr (tan tan radius)]:
_3p Specify first point on circle: _tan to
Specify second point on circle: _tan to
Specify third point on circle: _tan to