Как построить куб в изометрии

Построение аксонометрических проекций геометрических фигур. Прямоугольная изометрия. Построение аксонометрического куба.

Для наглядности при определении направлений осей эллипсов и их размеров впишем окружности в грани куба со стороной |d|, параллельные плоскостям проекций.

Т.к. плоскости проекций H, V и W в прямоугольной изометрии одинаково наклонны к картинной плоскости, коэффициенты искажения по осям одинаковы и эллипсы (аксонометрические проекции окружностей, расположенных в плоскостях проекций и им параллельным) будут конгруэнтны.

Для простоты построений ГОСТ 2317-69 предлагает пользоваться приведёнными коэффициентами искажения:

В этом случае получается не натуральная аксонометрическая проекция, а проекция, увеличенная в 1.22 раза.

В 1 случае Б.О.Э.=d; М.О.Э.=d =0.58d

Во 2 случае Б.О.Э.=1.22d; М.О.Э.=0.58*1.22d=0.7d

М.О.Э. по направлению совпадает со свободной аксонометрической осью, а Б.О.Э. ей перпендикулярна. Следовательно, направление осей эллипсов совпадает с направлением диагоналей граней куба.

Кроме точек на осях, отметим ещё 4 точки, принадлежащие эллипсу. Это точки, где вписанная окружность касается рёбер куба. Т.к. касание является инвариантом параллельного проецирования, эллипсы будут касаться куба в этих же точках.

Пример. Дано: Шестигранная пустотелая призма.

Нужно: Построить эту призму с разрезом в прямоугольной изометрии, применив приведённый коэффициент искажения.

Для перевода истинного размера в приведённый (увеличенный) пользуются угловым масштабом.

Прямоугольная диметрия.

В 1 случае p = r = 0.94; q = 0.5p = 0.47

Во 2 случае p = r = 1; q = 0.5 (в соответствии с ГОСТом).

Во втором случае аксонометрическая проекция получается увеличенной по сравнению с натуральной величиной в 1.06 раза.

Тогда: Для 1 случая Б.О.Э.=d; М.О.Э.=0.33d для плоскостей H и W; М.О.Э.=0.88d для плоскости V.

Для 2 случая Б.О.Э.=1.06d; М.О.Э.=0.35d для плоскостей H и W; М.О.Э.=0.95d для плоскости V.

Т.к. p = r, в плоскостях H и W окружности конгруэнтны.

В прямоугольной диметрии грань, параллельная плоскости V, проецируется в виде ромба; грани, параллельные H и W, — в виде параллелограммов.

4. Косоугольная фронтальная диметрия.

p = r = 1; q = 0.5; =45

Б.О.Э.=1.06d; М.О.Э.=0.35d в плоскостях H и W; в плоскости V — окружность. Эллипсы в плоскостях H и W конгруэнтны.

Наряду с прямоугольными аксонометрическими системами на практике применяют некоторые косоугольные системы. Распространено применение аксонометрических проекций, когда аксонометрическая плоскость параллельна какой-либо ортогональной плоскости проекций. В машиностроительном черчении широкое применение получили косоугольные аксонометрии, полученные путём проецирования деталей на аксонометрическую плоскость, параллельную фронтальной плоскости проекций. Такая аксонометрическая система называется косоугольной фронтальной аксонометрией.

Если вращать OO₀A вокруг оси OA, то точка O₀ будет перемещаться по дуге окружности радиусом O₀A.

При повороте треугольника OO₀A вокруг OA коэффициенты искажения не изменяются, а изменяются величины углов и , следовательно, можно подобрать угол, удобный для проецирования.

Перемещая положение точки O₀ в направлении O₀y₀, можно добиться того, что коэффициент искажения q будет равен 1.0 или 0.5. При этом изменяется угол , но углы и остаются постоянными.

Таким образом, подобрав удобные углы = =135 , и выбрав удобный коэффициент искажения по оси y₀ (1.0 или 0.5), мы получим:

косоугольную фронтальную изометрию, если: p = q = r = 1.0; = =135 ; =90 .

косоугольную фронтальную диметрию, если: p = r = 1.0; q = 0.5; = =135 ; =90 ; =56

Этот вид аксонометрии часто применяется в машиностроительном черчении. Раньше его называли также кабинетной проекцией.

Прямоугольная изометрическая проекция

Образование изометрической проекции. Если куб расположить так, чтобы три грани его были наклонены под одинаковым углом к картинной плоскости, и проецировать куб на эту плоскость с помощью лучей, направленных к ней под прямым углом, то образуется изометрическая проекция (рис. 95).

Расположение координатных осей X, У, Z в прямоугольной изометрической проекции показано на рис. 96. Ось Zпроводят вертикально, а оси Xи Y— под углом 30° к горизонтали.

Коэффициент искажения размеров по всем трем осям равен 0,82 (от греч. «изометрия» — равномерность). Для упрощения рекомендуется строить изометрическую проекцию без сокращений по осям координат. Изображение при этом получается больше действительных размеров на 22%, однако построение оказывается более легким.

На рисунке 97 показан способ построения координатных осей с помощью циркуля и линейки. Чтобы построить оси, необходимо выполнить следующие действия.

• 1. Из точки О, как из центра, описать дугу любого радиуса.
• 2. Из точки пересечения этой дуги с осью Z сделать на дуге тем же раствором циркуля две засечки.
• 3. Точку О соединить прямыми линиями с полученными с помощью засечек точками.

Удобно строить оси и выполнять изометрическую проекцию, пользуясь угольниками с углами 30 и 60°.

Примеры построения изометрических проекций.

Построение изометрической проекции правильного шестиугольника (рис. 98).

• 1. Для построения вычерчивают изометрические оси X, У, Z.
• 2. Из точки О_х по оси X откладывают отрезки О_х1_х и О_х4_х, равные размеру отрезков 01 и 04.

• 3. По этой же оси откладывают отрезки 0<7_Х и О_х8_ь равные отрезкам 07 и 08.
• 4. Через полученные точки 7 и 8 проводят параллельно оси У прямые линии.
• 5. На проведенных прямых линиях откладывают отрезки, равные отрезкам 7—2, 8—3 и т.д., получают точки 2_х, З_х, 5_Ь6. Найденные шесть точек последовательно соединяют прямыми.

Построив изометрическую проекцию правильного шестиугольника, нетрудно вычертить и наглядное изображение правильной шестиугольной призмы. Для этого нужно выполнить построения, аналогичные построению фронтальной диметрической проекции треугольной призмы (см. рис. 89):

• • восстановить перпендикуляры из вершин основания (в приведенном примере из точек 7_Ь2_Х, З_и 4_Ь 5_Ь6_х);
• • на одном из них отложить размер, равный высоте призмы;
• • через полученную точку последовательно провести параллельно ребрам нижнего основания ребра верхнего основания.

Порядок построения изометрической проекции призмы со срезом, три вида которой приведены на рис. 88, а, показан на рис. 99.

Построение проведено следующим образом.

• 1. Вычерчены изометрические оси X, У, Z В плоскости XOZ построена передняя грань предмета (рис. 99, а).
• 2. Из всех вершин полученной фигуры проведены прямые, параллельные оси У (рис. 99, б), так как боковые ребра призмы перпендикулярны передней грани.
• 3. По оси У отложен отрезок 60 мм и проведены линии, параллельные ребрам передней грани.

4. После этого обведен видимый контур и проставлены размеры (рис. 99, в).

Построение изометрической проекции окружностей. На рисунке 100 представлено изображение куба с вписанными в его грани окружностями. Как видно из рисунка, окружности на всех гранях куба изображаются в изометрии в виде одинаковых эллипсов. Для построения этих эллипсов достаточно знать направление и размеры их большой и малой осей.

Для упрощения работы эллипсы заменяют овалами, очерчиваемыми дугами окружностей. Построение овала, изображающего в изометрии окружность, перпендикулярную оси Z, представлено на рис. 101. Построение выполняется следующим образом.

1. Вычерчивают ромб, в который должен вписываться овал, изображающий данную окружность в изометрии.

Для этого от точки О на осяхХи ^откладывают в четырех направлениях отрезки, равные радиусу изображаемой окружности (рис. 101, я). Через полученные точки a, b, с, dпроводят прямые, параллельные осям X и Y. Эти прямые образуют ромб, стороны которого равны диаметру изображаемой окружности.

• 2. Из вершин тупых углов (точки Ли В) описывают дуги ab и cd радиусом R, равным длине прямых Ac (Ad) или Ва (ВЬ) соответственно (рис. 101, а).
• 3. Проводят прямые Ва и ВЬ. Точки С и D пересечения прямых Ва и ВЬ с горизонтальной диагональю ромба являются центрами малых дуг, сопрягающих большие (рис. 101,5).
• 4. Описывают малые дуги радиусом R, равным отрезку Са (Db).

Построение изометрических проекций деталей. В качестве примера рассмотрим порядок построения изометрической проекции детали, два вида которой даны на рис. 102, а.

Построение проводят в следующем порядке.

• 1. Сначала вычерчивают исходную форму детали — угольник.
• 2. Затем строят овалы, изображающие полукруг (рис. 102, б) и окружности (рис. 102, в, г).

Для этого на вертикально расположенной плоскости находят точку О — центр окружности и полукруга. Через точку О проводят изометрические оси XylZ. Таким построением получают ромб, в который вписана половина овала (рис. 102, б). Овалы на параллельно расположенных плоскостях строят перенесением центров дуг на отрезок, равный расстоянию между данными плоскостями. Двойными кружочками на рис. 102 показаны центры этих дуг.

На тех же осях X и Z строят ромб со стороной, равной диаметру окружности d. В ромб вписывают овал (рис. 102, в).

Находят центр окружности на горизонтально расположенной грани, проводят изометрические оси, строят ромб, в который вписывают овал (рис. 102, г).

Диметрическая прямоугольная проекция

Расположение осей в прямоугольной диметрической проекции показано на рис. 103. Ось Z проводят вертикально, ось X — под углом 7° 10’ к горизонтали, а ось ^образует с горизонталью угол 4Г25’.

Построить оси диметрической проекции можно с помощью линейки и циркуля, как показано на рис. 104. Для построения из точки О откладывают по горизонтали вправо и влево по восемь равных делений. Из концевых точек последних делений восстанавливают перпендикуляры. Высота их равна: для перпендикуляра к оси X — одному делению, а для перпендикуляра к оси Y — семи делениям. Крайние точки перпендикуляров соединяют с точкой О.

Стандарт рекомендует строить диметрическую проекцию по осям X и Z без искажения, а по оси Y — с учетом коэффициента искажения 0,5 (изображение при этом увеличивается на 6% против реального). При вычерчивании диметрической прямоугольной проекции, как и при построении косоугольной фронтальной диметрической проекции, размеры по оси Yпри построении уменьшают в два раза, а по осям X и Z откладывают натуральную величину.

Построение диметрической прямоугольной проекции окружностей.

Окружности в диметрической проекции изображаются эллипсами.

На рисунке 105 показана диметрическая проекция куба с вписанными в его грани окружностями. Большая ось эллипса (7), расположенного на верхней грани куба, проходит горизонтально. Большая ось эллипса (J), находящегося на боковой грани, составляет с вертикалью угол 7°. Большая и малая оси эллипса (2) проходят по диагоналям ромба.

Построение наглядных изображений в диметрической прямоугольной проекции проводится по общим правилам аналогично рассмотренным выше построениям. Диметрическая прямоугольная проекция по виду получаемого изображения напоминает косоугольную фронтальную диметрическую проекцию (см. рис. 84, а, в).

Изометрия

Изометрией называются аксонометрические проекции в случае, когда коэффициенты искажения по всем трем осям равны. Наиболее распространена прямоугольная изометрия, обладающая высокой наглядностью и довольно простая в построении. Аксонометрические оси в этом случае расположены под углом 120° друг к другу, ось Oz — вертикальна, а коэффициенты искажения равны 0,82. Для прямоугольной изометрии сумма квадратов коэффициентов искажения равна 2: р 2 + q 2 + г 2 = 2. Для простоты построений на практике часто принимают коэффициенты искажения равными единице и параллельные аксонометрическим осям отрезки откладывают в натуральную величину.

Пусть имеется куб, длина ребра которого равна а. Построение прямоугольной изометрии куба производится следующим образом (рис. 6.4):

0 строят аксонометрические оси;

О на этих осях откладывают отрезки, равные по длине а (коэффициенты искажения по всем осям одинаковы и равны для простоты единице), и получают т. А и В на осях Ох и Оу

О из точек А и В параллельно осям Оу и Ох проводят прямые, точку пересечения которых обозначают С. В результате получают ромб АОВС, который является изометрической проекцией нижней грани куба;

О из точек А, В, С и О параллельно оси Oz вертикально вверх проводят отрезки прямых, по длине равные ребру куба а;

О соединяют концы этих отрезков прямыми, параллельными осям Ох и Оу.

Прямоугольная изометрия куба построена. Проекциями ребер куба являются одинаковые ромбы. Если в видимые грани куба вписывают окружности, то их проекции имеют вид эллипсов (или в упрощенном виде — овалов). Как видно из чертежей, в прямоугольной изометрии боковые стороны куба одинаковы, а диагональные ребра (переднее и заднее) сливаются в одну линию, что затрудняет правильное восприятие чертежа.

Прямоугольная изометрия круга строится с помощью сетки (см. § 6.1). Эллипс, получаемый при построении, имеет оси, равные 1,22D (большая ось) и 0,7/) (малая ось), где D — диаметр исходной окружности.

Прямоугольная изометрия правильного шестиугольника, у которого а — сторона шестиугольника, 5 — расстояние между его противоположными сторонами, строится следующим образом (рис. 6.5):

О на оси Ох в обе стороны от т. О откладывают отрезки длиной а (сторона шестиугольника) и получают т. А и D;

О по оси Оу в обе стороны от т. О откладывают отрезки, равные по длине половине расстояния между противоположными сторонами шестиугольника s/2, через концы которых проводят прямые, параллельные оси Ох;

О на каждой из построенных прямых по обе стороны от оси Оу откладывают отрезки, равные по длине половине стороны шестиугольника а/2, и получают точки В, С, Е, F. Построенные точки А, В, С, D, Е, Fявляются изометрическими проекциями вершин шестиугольника;

О соединяют эти точки и получают изометрию шестиугольника.

Прямоугольную изометрию правильной шестиугольной призмы или цилиндра получают следующим образом:

О строят изометрию основания (соответственно правильного шестиугольника или окружности);

О из построенных вершин изометрии шестиугольника или точек эллипса строят вертикали, длина которых равна высоте соответственно призмы или цилиндра;

О концы вертикалей соединяют в соответствии с формой основания. Изометрия построена.

Прямоугольная изометрия относится к стандартным аксонометрическим системам.

Как рисовать изометрию: правила, советы, ошибки

Изометрия — один из самых популярных вариантов отображения игрового мира, особенно на рынке мобильного геймдева. Разбираемся, как с ней работать.

Что такое изометрия и зачем она нужна

Изометрия — этот способ изображать предметы без перспективных искажений. В отличие от классической реальной перспективы, где удаленные от зрителя предметы кажутся меньше, в изометрии предметы на разном расстоянии остаются одинакового размера.

Перспектива (а) и изометрия (б)

Существует несколько видов изометрии: прямоугольная, косоугольная фронтальная, косоугольная горизонтальная. Они различаются положением осей X и Y и углами между ними. От этих параметров зависит изображение предмета. Это хорошо видно на примере с кубиком:

Прямоугольная (а), косоугольная фронтальная (б) и косоугольная горизонтальная (в) изометрические проекции

Чаще всего, говоря об изометрии, подразумевают прямоугольную изометрическую проекцию. В ней ось Z направлена вертикально, а оси XYZ образуют углы в 120°. Выглядит это так:

Кроме изометрии и ее разновидностей, существуют похожие на нее диметрия и триметрия. В изометрии углы между осями XYZ одинаковые и равны 120°, в диметрии равны два из трех углов, в триметрии величина всех углов между осями разная. Все виды этих проекций нашли применение в геймдеве, их привычно называют одним словом — изометрия.

Примеры проекций, используемых в играх. Источник

Например, в игре Invisible, Inc. используется изометрическая проекция с углами 120°:

Игра Transistor — пример использования диметрии в игровой графике:

В игре Simcity 4 используется триметрическая проекция:

На заре становления изометрия позволяла создавать в играх имитацию объемного пространства с помощью плоских спрайтов. Так как объекты не меняют своих размеров в зависимости от расположения на игровом поле, компьютеру не нужно производить сложные вычисления и моделировать постоянно меняющееся окружение.
Примеры первых изометрических игр — это Zaxxon от Sega (1982), Treasure Island (1981), Q*bert (1982).

Первые изометрические игры: Zaxxon и Q*bert. ИсточникИсточник

Сегодня, когда компьютеры с легкостью справляются с воспроизведением сложной графики, изометрия по-прежнему остается актуальной. За последние несколько лет вышли такие изометрические игры как Invisible, Inc, Transistor, Disco Elysium и многие другие.

Стильная ролевая игра Disco Elysium — отличный пример современной игровой изометрии. Источник

Художественный стиль Shadowrun Returns описывают как совмещающий 2D и 3D. Источник

Изометрия остается популярной в RPG и стратегиях и повсеместно встречается в мобильных играх. Она оставляет разработчикам пространство для экспериментов и в создании визуала, и в разработке геймплея.

Mobile Legends: Bang Bang — одна из популярнейших MOBA-игр в мире. Источник

Как рисовать изометрию

Строим изометрическую сетку

В рисовании изометрии главную роль играет сетка, относительно которой художник будет выстраивать все объекты. Это может быть как классическая изометрическая сетка с углами между осями 120°, так и эксклюзивная для определенного проекта — параметры сетки могут определяться техническим заданием или самим художником.

Стандартная изометрическая сетка с углами 120°

Изометрия — отличный вариант для тех, кто не любит ломать голову над перспективными сокращениями. Нарисовав сетку один раз, вы ориентируете все горизонтали в рисунке к параллели с этой сеткой, а вертикали оставляете без изменений.

Небольшая геометрическая композиция, выстроенная по изометрической сетке. Видно, что рёбра лежат параллельно линиям сетки.

Стандартный вариант игровой изометрической сетки — диметрия с соотношением сторон 2:1.

Существует множество способов создания изометрической сетки. Можно отрисовать ее вручную, можно взять шаблон из интернета, можно настроить направляющие в Photoshop.

Один из простых и быстрых способов — строим сетку с углами 90°:

Поворачиваем ее на 45°, нажимаем «применить»:

Затем отключаем привязку высоты к ширине и меняем высоту со 100% на 50%. В итоге получится сетка с соотношением сторон 2:1, часто используемая в изометрических проектах:

Процент высоты можно менять в зависимости от художественной задачи. В результате будет меняться раскрытие сетки

Важно отметить, что, чем больше сетка раскрыта, тем лучше будут видны объекты (одни не будут загораживать другие), но при этом мы можем показать меньше игрового поля. И наоборот, при небольшом раскрытии сетки видно больше игрового пространства, но объекты могут наползать друг на друга. Учитывайте этот нюанс при выборе угла сетки.

Диметрическая сетка и сетка с меньшим углом раскрытия

Строим простые фигуры по сетке

Рисование начинается с построения базовых форм. Изометрия не исключение. Ориентируемся на сетку и строим примитивные фигуры.

Если с квадратами, прямоугольниками треугольниками все понятно — их необходимо просто вписать в необходимое количество плиток, то как быть с кругом?

В случае с кругом нужно следить, чтобы крайние точки окружности с каждой стороны совпадали с углами квадратов как на картинке (отмечены точками):

Если ориентироваться по точкам сложно, можно провести через центр окружности два отрезка — своеобразную крестовину — и, ориентируясь по ней, масштабировать круг до нужных пропорций, чтобы крестовина совпала с сеткой.

Строим объемные фигуры по сетке

Переходим к объемным фигурам. На основе квадрата строим куб. Копируем квадрат в основе на две клетки вверх и соединяем углы вертикалями. С помощью оттенков можно показать объем.

Подобным образом строим параллелепипед на основе прямоугольника.

Пирамиду также довольно легко построить на основе квадрата или прямоугольника. Проводим вертикаль из центра основания на нужную высоту и от вершины проводим прямые к углам — ребра пирамиды.

В основании цилиндра и конуса лежит круг. Копируем круг основания на нужную высоту и соединяем края вертикалями — получится цилиндр.

Проводим из центра вертикаль на нужную высоту, находим вершину и от нее проводим наклонные линии к краям круга. Получится конус.

Освоившись с базой, можно переходить к более сложным формам.

Прежде чем приступать к непосредственно построению в изометрии, пробуйте сначала свободно поскетчить, не ограничивайте воображение. Когда найдете нужную форму — переходите к построению по сетке.

Домик в изометрии

Классический кейс казуальных игр — изометрический домик. Разбиваем концепт на простые формы и отстраиваем по сетке.

Начинаем с болванки параллелепипеда — основания домика. Его довольно легко построить по изометрической сетке.

Переходим к крыше. Проводим вертикали одинаковой длины по центрам меньших граней — получатся центральные оси, относительно которых будем строить крышу. Параллельно сетке проводим между этими осями конёк, а также боковые свесы. Соединяем свесы с коньком, чтобы получить скаты крыши.

Относительно оси строим дверь и окно. На скате крыши также строим центральную ось, опираясь на нее рисуем слуховое окошко. Вертикали остаются вертикальными, горизонтали строим по сетке.

Рисуем толщину стен в оконных проемах, добавляем детали.

Отметим, что в данном примере относительно центральных осей в обе стороны отложено одинаковое расстояние частей домика. На начальных этапах обучения так проще ориентироваться в построении и деталях.

Небольшое отступление: не всегда детали расположены симметрично относительно центральной оси, есть и примеры с асимметрией. Но чаще всего в геймдеве мы встречаем примеры симметричного построения объектов.

Примеры симметричного и асимметричного построения относительно центра

Завершаем лайн, добавляя финальные штрихи и детали, говорящие о характере домика.

Внутреннее убранство домика тоже можно построить примитивами по сетке, а затем дополнить мелочами.

Элементы окружения в виде базовых форм и в конечном итоге. Автор: Sahil Trivedi

Бэкграунд и окружение играют важную роль в изометрических играх — пользователь видит все игровое пространство или бОльшую его часть. Уделите этому особое внимание.

Дерево в изометрии

Органические объекты (деревья, кусты, камни и т.п.) с одной стороны проще нарисовать в изометрии, так как это плавные формы и там почти нет таких строгих построений. Но с другой стороны, в их изображении проще запутаться.

В этом примере в основании ствола дерева — окружности разных размеров.

Простраиваем ствол и ветки. Важно, чтобы дерево вписывалось в 3D-пространство, чтобы ветки и крона вокруг ствола была направлены во все части света почти сферически. Поэтому, чтобы сделать дерево более объемным, направляем ветви вдоль разных линий сетки.

Простыми формами намечаем крону.

Детализируем дерево, дополняем его листьями и корнями, также направляя их в разные стороны.

Завершаем рисунок деталями.

Персонажи в изометрии

Изометрических персонажей тоже рисуют на основании примитивов. В данном случае в основании базовых частей персонажа лежат эллипсы разных размеров.

Важно, чтобы симметричные части фигуры (в данном случае, например, края прически, подол платья) находились на одном уровне. Проверяйте их линиями, параллельными сетке.

Важно следить за соотношением масштабов объектов рисунка: то есть чтобы персонаж помещался в дверь, а не был размером с дом. В этом примере объекты сомасштабны, поэтому выглядят убедительно.