КПД цикла Карно (графики цикла в координатах p-V и T-S)).
Карно рассмотрел цикл из двух изотерм и двух адиабат (рис. **).
При изотермическом расширении 1-2 газ находится в контакте с нагревателем (Т1) . Пусть при этом газ получает тепло Q1 . На изотерме 3-4 газ отдает тепло Q2 холодильнику Т2.
Данный цикл является обратимым (если его проводить бесконечно медленно). Он может быть проведен в обратном направлении, и при этом газ совершает отрицательную работу, нагреватель получает обратно тепло Q1 , холодильник отдает газу тепло Q2 , которое он получил в прямом цикле.
Именно так в принципе работает любой бытовой холодильник. Дальнейшие рассуждения проще всего провести, изобразив цикл Карно не на диаграмме р, V , а на диаграмме S, Т (энтропия — температура) . На этой диа- грамме цикл Карно имеет вид прямоугольника (рис. ***).
Изотермы изображаются прямыми 1-2 и 3-4 , адиабаты — прямыми 2-3 и 4-1 . Полученное тепло Q1=T1(S2-S1) и равно площади под отрезком 1-2 . Отданное холодильнику тепло Q2=T2(S2-S1) и равно площади под отрезком 4-3 . При этом площадь прямоугольника, т.е. равна работе А , совершаемой двигателем за цикл. Подставив выражения Q1 и Q2 в формулу, получим, что КПД цикла Карно:
При выводе этой формулы не делалось никаких предположений о свойствах рабочего вещества и устройстве теплового двигателя. Отсюда следует знаменитая теорема Карно: КПД обратимых двигателей, работающих по циклу Карно, зависит только от температур T1 и T2 — нагревателя и холодильника, но не зависит ни от устройства двигателя, ни от рода рабочего вещества,
Пример. Выясним, в каком случае КПД цикла Карно повышается больше: при увеличении температуры нагревателя на ΔТ или при уменьшении температуры холодильника на такую же величину. С этой целью возьмем частные производные по Т1 и Т2 выражения для КПД: ,   Так как T2<T1 , то . Значит, при уменьшении температуры холодильника КПД цикла повышается больше. Заметим, что этот вопрос можно решить и с помощью диаграммы Т, S. Можно показать (мы опускаем доказательство), что КПД любого необратимого теплового двигателя, работающего с теми же нагревателем и холодильником, всегда меньше, чем у двигателя, работающего по обратимому циклу Карно: .
Задачи на тепловой цикл Карно.
В ходе работы идеальной тепловой машины в окружающую среду ушло \(Q_х=10000 \ Дж \) тепла, а всего нагревателем было выделено \(Q_н = 15000 \ Дж . \)
Найти КПД этой тепловой машины.
Показать ответ Показать решение Видеорешение
Задача 3. (КПД теплового двигателя, КПД цикла Карно)
Оказалось, что тепловая машина за цикл отдает холодильнику \(70 \% \) тепла, выделенного нагревателем.
Вычислить КПД этой тепловой машины.
Показать ответ Показать решение Видеорешение
Задача 4. (КПД теплового двигателя, КПД цикла Карно)
Оказалось, что тепловой двигатель за цикл работы отдает в окружающую среду половину тепла, выделенного нагревателем.
Вычислить КПД этого двигателя.
Показать ответ Показать решение Видеорешение
Задача 5. (КПД теплового двигателя, КПД цикла Карно)
Известно, что в тепловой машине четвертая часть тепла, выработанная нагревателем, была отдана холодильнику.
Найти КПД этой тепловой машины.
Показать ответ Показать решение Видеорешение
Задача 6. (КПД теплового двигателя, КПД цикла Карно)
Известно, что в тепловой машине треть тепла, выработанная нагревателем ушла в атмосферу.
Найти КПД этой тепловой машины. Ответ округлить до целых.
Показать ответ Показать решение Видеорешение
Задача 7. (КПД теплового двигателя, КПД цикла Карно)
(Приведено решение в общем виде, ниже будет рассмотрена эта же задача для тех, кому тяжело разобраться)
Тепловой КПД идеальной тепловой машины составил \( 25 \% \). При этом нагреватель за цикл выделил \( Q_н=20000 Дж . \) Какое количество теплоты было забрано холодильником?
Показать ответ Показать решение Видеорешение
Ответ: \( Q_ <х>= 15000 Дж \)
Почти всегда удобнее работать не с процентами, а с долями, то есть \( 25 \% = 0,25 \)
При этом наша формула будет иметь такой вид:
она будет давать ответ в долях, если нужно перевести в проценты, нужно просто умножить на сто
\( Q_ <х>= 20000 -0,25 \cdot 20000 =15000 Дж \)
Ответ: \( Q_ <х>= 15000 Дж \)
Задача 7. (КПД теплового двигателя, КПД цикла Карно)
(Приведено решение для тех, кому тяжело разобраться)
Тепловой КПД идеальной тепловой машины составил \( 25 \% \). При этом нагреватель за цикл выделил \( Q_н=20000 Дж . \) Какое количество теплоты было забрано холодильником?
Показать ответ Показать решение Видеорешение
Ответ: \( Q_ <х>= 15000 Дж \)
Просто вставим числа в формулу: \( \eta= \dfrac
а чтобы было совсем комфортно вставим \( x \) вместо \( Q_ <х>\)
\( 25 \cdot 200 = 20000-x \)
Ответ: \( Q_ <х>= 15000 Дж \)
Не каждому преподавателю понравится это решение
Задача 8. (КПД теплового двигателя, КПД цикла Карно)
Тепловой КПД паровой турбины составил \( 30 \% \). При этом нагреватель выделил \( Q_н=2500 Дж . \) Вычислить тепловые потери этой турбины.
Показать ответ Показать решение Видеорешение
Ответ: \( Q_ <х>= 1750 Дж \)
Почти всегда удобнее работать не с процентами, а с долями, то есть \( 30 \% = 0,3 \)
При этом наша формула будет иметь такой вид:
она будет давать ответ в долях, если нужно перевести в проценты, нужно просто умножить на сто
\( Q_ <х>= 2500 -0,3 \cdot 2500 =1750 Дж \)
Ответ: \( Q_ <х>= 1750 Дж \)
Задача 9. (КПД теплового двигателя, КПД цикла Карно)
Тепловой КПД двигателя составил \( 20 \% \).
При этом количество теплоты, переданное холодильнику \(Q_х=9000 Дж \)
Какое количество теплоты двигатель получил от нагревателя?
Показать ответ Показать решение Видеорешение
Ответ: \( Q_<н>= 11250 \ Дж \)
Почти всегда удобнее работать не с процентами, а с долями, то есть \( 20 \% = 0,2 \)
При этом наша формула будет иметь такой вид:
она будет давать ответ в долях, если нужно перевести в проценты, нужно просто умножить на сто
КС. II закон термодинамики
где η – коэффициент полезного действия (КПД) двигателя; А – работа теплового двигателя (Дж); Qn – количество теплоты, получаемое двигателем (рабочим телом) от нагревателя (Дж).
-
КПД может измеряться и в процентах, тогда расчетная формула будет иметь вид \(
где А – работа теплового двигателя (Дж); Qn – количество теплоты, получаемое двигателем (рабочим телом) от нагревателя (Дж); Qx – количество теплоты, отдаваемое двигателем (рабочим телом) холодильнику (Дж).
- Количества теплоты Qn и Qx будем считать всегда положительными (Qn > 0; Qx > 0).
где η – коэффициент полезного действия (КПД) двигателя; Qn – количество теплоты, получаемое двигателем (рабочим телом) от нагревателя (Дж); Qx – количество теплоты, отдаваемое двигателем (рабочим телом) холодильнику (Дж).
- Количества теплоты Qn и Qx будем считать всегда положительными (Qn > 0; Qx > 0).
- КПД может измеряться и в процентах, тогда расчетная формула будет иметь вид \(
При расчете КПД двигателя по графику:
- количество теплоты, которое двигатель получает от нагревателяQn = Q1 + Q2 + … + QN, где Q1, Q2, …, QN – количества теплоты, которые двигатель получает на отдельных участках цикла, т.е. Q1 > 0, Q2 > 0, …, QN > 0;
- количество теплоты, которое двигатель отдает холодильникуQx = |Q`1| + |Q`2| + … + |Q`N| , где Q`1, Q`2, …, Q`N – количества теплоты, которые двигатель отдает на отдельных участках цикла, т.е. Q`1 < 0, Q`2 < 0, …, Q`N < 0.
Цикл Карно
где η – коэффициент полезного действия (КПД) идеальной машины Карно; Tn – температура нагревателя (К); Tx – температура холодильника (К).
- T = (t + 273) К, где T – абсолютная термодинамическая температура (по шкале Кельвина) (К); t – температура по шкале Цельсия (ºС).
- КПД может измеряться и в процентах, тогда расчетная формула будет иметь вид \(
7.5. КПД тепловых машин
[latexpage]Тепловыми двигателями называются устройства, преобразующие внутреннюю энергию топлива в механическую работу. Принципиально схему любого теплового двигателя можно изобразить в виде схемы.
Нагреватель – устройство, от которого рабочее тело получает энергию, часть которой идет на совершение работы.
Рабочее тело — тело, которое расширяясь, совершает работу (им является газ или пар)
Холодильник – тело, поглощающее часть энергии рабочего тела (окружающая среда или специальные устройства для охлаждения и конденсации отработанного пара, т.е. конденсаторы).
Для оценки эффективности работы тепловых двигателей вводят понятие коэффициента полезного действия — КПД. Коэффициентом полезного действия теплового двигателя называют отношение полезной работы, совершенной данным двигателем, к количеству теплоты, полученному от нагревателя
КПД — величина безмерная и выражается в долях от единицы, например, $\eta =0,6$, либо в процентах, например, $\eta =60%$. Полезную работу, которую совершает рабочее тело можно найти как разность между количеством теплоты, полученной от нагревателя и отданной холодильнику
поэтому КПД может быть найден по формулам
В XIX веке французский инженер и ученый Сади Карно предложил способ определения максимально возможного КПД теплового двигателя (через термодинамическую температуру). Карно придумал так называемую идеальную тепловую машину — это тепловой двигатель, в котором рабочим телом является идеальный газ. Идеальная тепловая машина Карно работает по циклу, который состоит из двух изотерм и двух адиабат, причем эти процессы считаются обратимыми. В координатах $pV$ цикл Карно будет иметь вид
КПД идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно, можно вычислить следующим образом
Последняя формула показывает, что КПД теплового двигателя тем больше, чем больше разность температур нагревателя и холодильника. Этого можно добиться либо повышая температуру нагревателя, либо уменьшая температуру холодильника.
Пример. Тепловой двигатель использует в качестве рабочего тела 1 моль идеального одноатомного газа. Цикл работы двигателя изображен на $pV$-диаграмме и состоит из двух адиабат, изохоры и изобары. Зная, что КПД этого цикла $\eta=15%$, а минимальная и максимальная температуры газа в изохорном процессе $t_