Докажите что для любого натурального n
Докажите, что для любого натурального n найдутся n подряд идущих составных натуральных чисел.
Подсказка
Рассмотрите числа, расположенные «возле» числа (n + 1)!.
Решение
Рассмотрим n следующих натуральных чисел: (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, . (n + 1)! + (n + 1). Покажем, что все эти числа составные. В самом деле, для каждого k = 2,3, . , n + 1, число (n + 1)! делится на k. Поэтому число (n + 1)! + k также делится на k и, очевидно, больше k.
Докажите что для любого натурального n
Сколькими способами можно разделить 15 одинаковых монет между 7 нумизматами так, чтобы каждому досталось хотя бы по монете
Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.
Сколькими способами можно разделить 15 одинаковых монет между 7 нумизматами так, чтобы каждому досталось хотя бы по монете
Человек массой 70 кг прыгает горизонтально с тележки массой 120 кг со скоростью 3 м/с, совершая при этом работу А. Тележка после прыжка проходит до остановки расстояние 2 м. Найти работу А и силу трения Fтр. Пожалуйста, с объяснением!
Докажите, что для любого натурального n: 1)5^n степени + 3 делится на 4 2)5^n+ 6^n-1 делится на 10 3)9^n+1 -8n-9 делится на 64
5(5^k + 3) делится на 4, -12 делится на 4 => 5(5^k + 3) — 12 делится на 4.
5^n + 3 делится на 4 при любом натуральном n.
n=1, 5^1 + 6^1 — 1=10 делится на 10;
пусть при n=k 5^n + 6^n — 1= 5^k + 6^k — 1 делится на 10;
n=k+1 5^n + 6^n — 1= 5^(k+1)+ 6^(k+1) — 1=5* 5^k + 6* 6^k — 1 = 5^k + 6^k — 1 + 4* 5^k + 5* 6^k=5^k + 6^k — 1 + 20* 5^(k-1) + 30* 6^(k-1)=5^k + 6^k — 1 + 4* 5^k + 5* 6^k = 5^k + 6^k — 1 + 10(2* 5^(k-1) + 3* 6^(k-1))
5^k + 6^k — 1 делится на 10, 10(2* 5^(k-1) + 3* 6^(k-1)) делится на 10 => 5^k + 6^k — 1 + 10(2* 5^(k-1) + 3* 6^(k-1)) делится на 10.
Докажите что для любого натурального n
При n = 1 равенство примет вид 2 = 2 , следовательно, P (1) истинно. Предположим, что данное равенство справедливо, то есть, имеет место
1*2 + 2*5 + 3*8 +. +n(3n-1) = n^2(n+1)
Следует проверить (доказать), что P(n + 1), то есть
1*2 + 2*5 + 3*8 +. +n(3n-1) + (n + 1)(3n + 2)= (n+1)^2(n+2)
истинно. Поскольку (используется предположение индукции)
1*2 + 2*5 + 3*8 +. +n(3n-1) + (n + 1)(3n + 2) =n^2(n+1) + (n + 1)(3n + 2)
получим
n^2(n+1) + (n + 1)(3n + 2) = (n + 1) (n^2 + 3n + 2) = (n + 1 )(n + 1)(n + 2) =
= (n + 1)^2 (n + 2)
то есть, P(n + 1) — истинное утверждение.
Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.