Показать что функция является решением дифференциального уравнения

Интегрируем обе части уравнения $$\int \frac<2+t>dt = — \int \frac$$ $$\int \frac<2>dt+\int dt = -\int \frac$$ $$2\ln|t|+t = -\ln|x|+C.$$

Выполняем обратную замену $t = \frac$: $$2\ln|\frac|+\frac=-\ln|x|+C.$$ Упрощаем полученное равенство с помощью элементарных преобразований и свойств натурального логарифма $$2\ln|y|-2\ln|x|+\frac = -\ln|x|+C$$ $$2\ln|y|+\frac=\ln|x|+C$$ $$2\ln|y|+\frac=\ln|x|+\ln|C|$$ $$2\ln|y|+\frac=\ln|Cx|$$ $$\ln y^2+\frac=\ln|Cx|$$ $$\ln y^2 = \ln|Cx|-\frac$$ $$y^2 = Cxe^\frac<-y>.$$

Привели решение к такому виду через $y^2$. Это называется общим интегралом дифференциального уравнения. Ответ в таком виде остается в таком формате.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Линейные неоднородные ДУ

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет следующий вид $$y’+p(x)y=q(x).$$

Для его решения существует два способа: метод Бернулли и вариация произвольной постоянной. В первом методе нужно сделать замену на произведение двух функций $y = uv$, а во втором способе необходимо найти неизвестную функцию $C(x)$.

Алгоритм метода Бернулли:

1. Выполняем замену $y=uv$ и $y’ = u’v+uv’$
2. Находим функции $u(x)$ и $v(x)$ с помощью решения системы двух уравнений
3. Подставляем найденные $u(x)$ и $v(x)$ в уравнение $y=uv$, чтобы получить ответ

Алгоритм метода вариации произвольной постоянной:

1. Решаем исходное уравнение в качестве однородного методом разделяющихся переменных
2. В полученном общем решении заменяем константу $C$ на функцию $C(x)$
3. Подставляем общее решение и его производную в исходное уравнение, чтобы найти $C(x)$
4. Полученное $C(x)$ подставляем в общее решение однородного уравнения и записываем ответ

Приводим уравнение к виду $y’+p(x)y=q(x)$ путем деления на $x$ обеих частей равенства $$y’-2\frac=2x^3.$$

Делаем замену в полученном уравнении на $y=uv$ и $y’=u’v+uv’$ $$u’v+uv’-2\frac=2x^3.$$Выносим за скобку $u$, чтобы в дальнейшем составить систему уравнений: $$u’v+u(v’-2\frac)=2x^3.$$

Теперь приравниваем к нулю выражение в скобках и составляем систему уравнений $$\begin v’ — 2\frac = 0 \\ u’v = 2x^3 \end,$$ в которой начнем сначала решать первое уравнение для нахождения функции $v(x)$. Разделяем в нём переменные $$\begin \frac = 2\frac \\ u’v = 2x^3 \end \Leftrightarrow \begin \frac = 2\frac \\ u’v = 2x^3 \end.$$

Интегрируем первое уравнение в системе, чтобы получить функцию $v(x)$ $$\begin \ln|v| = 2\ln|x| \\ u’v = 2x^3 \end \Leftrightarrow \begin v = x^2 \\ u’v = 2x^3 \end.$$

Теперь, зная, чему равно $v$ подставляем его во второе уравнение $$\begin v=x^2 \\ u’x^2 = 2x^3 \end \Leftrightarrow \begin v=x^2 \\ u = x^2+C \end.$$

Записываем общее решение дифференциального уравнения $$y = uv \Rightarrow y = x^4+Cx^2.$$

В условии задачи требуется найти частное решение из условия $y(1)=0$. Подставим в найденное общее решение $x=1$ и $y=0$, чтобы вычислить $C$ $$1^4+C\cdot 1^2 = 0 \Rightarrow C = -1. $$

С учётом, что $C=-1$ записываем частное решение дифференциального уравнения $$y = x^4 — x^2.$$

Перепишем уравнение в виде $$ y’ — y \frac<\cos x> <\sin x>= \frac<1> <\sin x>.$$ Теперь записываем однородное дифференциальное уравнение $$y’ — y \frac<\cos x> <\sin x>= 0,$$ решим его методом разделяющихся переменных: $$\frac = y \frac<\cos x><\sin x>$$ $$\int \frac = \int \frac<\cos x> <\sin x>dx.$$

Слева получается натуральный логарифм, а справа заносим косинус под знак дифференциала, чтобы получить логарифм синуса: $$\ln|y| = \ln|\sin x| + C$$ $$y = C\sin x.$$

Теперь заменяем константу $C$ на функцию $C(x)$ в полученном решении и находим производную $$y = C(x)\sin x \Rightarrow y’ = C'(x)\sin x+ C(x)\cos x.$$

Подставляем $y$ и $y’$ в неоднородное уравнение и решаем его относительно $C(x)$: $$C'(x)\sin x+ C(x)\cos x — C(x)\sin x \frac<\cos x> <\sin x>= \frac<1><\sin x>$$ $$C'(x)\sin x = \frac<1><\sin x>$$ $$C'(x) = \frac<1><\sin^2 x>.$$

В последнем уравнении можно разделить переменные, что и делаем, а затем интегрируем: $$ d(C(x)) = \int \frac<\sin^2 x>$$ $$C(x) = -ctg x + C.$$

Берем решение $y = C(x)\sin x$ и подставляем в него найденное $C(x) = -ctg x + C$ $$y = (-ctg x + C) \sin x = C\sin x — \cos x.$$ Таким образом получили общее решение дифференциального уравнения $y = C\sin x — \cos x$.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

ДУ Бернулли

Дифференциальное уравнение Бернулли имеет следующий вид $$y’ + g(x)y = f(x)y^\alpha \qquad (\alpha \neq 0), (\alpha \neq 1).$$

1. Выполняем подстановку $y = z^\frac<1><1-\alpha>$
2. После подстановки получаем линейное уравнение $z’+p(x)z=q(x)$
3. Решив линейное уравнение делаем обратную замену $z = y^<1-\alpha>$

Это уравнение Бернулли. Видим, что $\alpha = 2$. Значит делаем замену на $y = z^\frac<1> <1-\alpha>= z^<-1>$. Отсюда $y’ = -\frac<1> \cdot z’$. После подстановки в исходное уравнение имеем $$ -\frac+\frac<1>=\frac.$$

Умножаем обе части равенства на $(-z^2)$, чтобы привести уравнение к линейному ДУ $$z’-z=-x, $$ которое можно решить методом Бернулли, либо вариацией произвольной постоянной. Выберем первый способ.

Применяем подстановку $y=uv$ и $y’=u’v+uv’$ для последнего уравнения $$u’v+uv’-uv=-x.$$ Выносим за скобку $u$, чтобы затем построить систему уравнений для нахождения функций $u(x)$ и $v(x)$ $$u’v+u(v’-v) = -x.$$ Приравниваем к нулю скобку и получаем систему $$\begin v’-v = 0 \\ u’v = -x \end.$$

Начинаем решать её с первого уравнения. Разделяем в нем переменные и затем интегрируем $$\begin \int \frac = \int dx \\ u’v = -x \end \Leftrightarrow \begin \ln|v| = x \\ u’v = -x \end \Leftrightarrow \begin v = e^x \\ u’v = -x \end. $$

Зная, что $v = e^x$ подставляем его во второе уравнение системы и решаем $$\begin v = e^x \\ u’ = -\frac \end \Leftrightarrow \begin v = e^x \\ u = \int (-x)e^ <-x>dx \end.$$

Для взятия интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям $$u = \int (-x)e^ <-x>dx = \begin u = -x & du = -dx \\ dv = e^<-x>dx & v = -e^ <-x>\end = xe^ <-x>— \int e^ <-x>dx = xe^ <-x>+e^ <-x>+ C$$

Итак, получаем, что $$z = uv \Rightarrow z = (xe^ <-x>+ e^<-x>+C) e^x = Ce^x +x + 1. $$ Вспоминаем, что была ещё одна замена в самом начале решения задачи $y = z^<-1>$, поэтому общее решение выглядит следующим образом $$y = \frac<1>.$$

ДУ в полных дифференциалах

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах имеют следующий вид $$P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0, $$ при выполнении условия $\frac<\partial P> <\partial y>= \frac<\partial Q> <\partial x>$.

Алгоритм решения заключается в том, чтобы найти функцию $U(x,y)=C$, полный дифференциал которой, есть исходное ДУ:

1. Проверяем условие, подтверждающее, что перед нами ДУ в полных дифференциалах
2. Получаем $U(x,y)$ интегрируя функцию $P(x,y)$ по переменной $x$. В результате этого появится неизвестная функция $\varphi(y)$
3. Дифференцируем $U(x,y)$ по $y$ и приравниваем к $Q(x,y)$, чтобы найти $\varphi(y)$

Убедимся, что данное уравнение в полных дифференциалах. Для этого проверим условие $\frac<\partial P> <\partial y>= \frac<\partial Q> <\partial x>$. Находим производные $$ P’_y = (2x+5y)’_y = 5, Q’_x = (5x+3y^2)’_x = 5, $$ и видим, что условие выполняется $P’_y=P’_x=5$.

Находим функцию $U(x,y)$ беря интеграл по $x$ от функции $P(x,y)$ $$U(x,y) = \int (2x+5y) dx = x^2 + 5yx + \varphi(y).$$

Далее необходимо продифференцировать найденную $U(x,y)$ по $y$ $$U’_y = 5x + \varphi'(y).$$

Осталось найти неизвестную функцию $\varphi(y)$ приравняв $U’_y$ к $Q(x,y)$: $$5x + \varphi'(y) = 5x+3y^2$$ $$\varphi'(y) = 3y^2$$ $$\varphi(y) = \int 3y^2 dy = y^3 + C.$$

Теперь зная чему равна $\varphi(y)$ подставляем её в $U(x,y)$ $$U(x,y)=x^2+5xy+y^3+C.$$

Записываем ответ в таком виде $$x^2+5xy+y^3 = C.$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Дифференциальные уравнения второго порядка

ДУ допускающие понижение порядка

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка бывают двух видов:

1. Без функции $y$: $F(x,y’,y»)=0$
2. Без переменной $x$: $F(y,y’,y»)=0$

Для решения таких диффуров в первом случае делаем замену $y’ = p(x)$, а во втором $y’ = p(y)$.

Видим, что данный дифур попадает под первый случай, когда отсутствует в уравнении $y$, а есть только его производные. Значит, делаем замену $y’ = p(x)$ $$xp’+p=0.$$

Данное уравнение имеет разделяющиеся переменные. Начнем с того, что перепишем уравнение через $p’ = \frac$ $$x\frac = -p.$$ Разделяем переменные налево и направо от знака равенства и затем интегрируем: $$ \frac

= -\frac$$ $$ \int \frac

= -\int \frac$$ $$\ln|p| = -\ln|x|+C_1.$$ Теперь избавимся от логарифмов, чтобы получить $p$: $$p = e^<-\ln|x| + C_1>$$ $$p = \frac.$$

Вспоминаем про ранее выполненную замену $$y’ = p(x) = \frac.$$ Интегрируем для того, чтобы найти $y$ $$y = \int \frac dx = C_1 \ln|x| + C_2.$$

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения $$y = C_1 \ln|x| + C_2.$$

Займемся поиском частного решения. Для этого используем два дополнительных равенства из условия задачи: $$y(1) = 0 \Rightarrow C_1 \ln|1| + C_2 = 0 \Rightarrow C_2 = 0$$ $$y'(1)=1 \Rightarrow \frac <1>= 1 \Rightarrow C_1 = 1.$$

Записываем частное решение дифференциального уравнения $$y = \ln|x|.$$

Видим, что в диффуре отсутствует в явном виде переменная $x$, поэтому необходимо сделать замену $y’ = p(y)$ и отсюда $y» = p'(y)\cdot y’ = p'(y)p$.

Делаем замену и получаем уравнение $$yp'(y)p + p^2 = 1,$$ которое решим методом разделения переменных: $$yp\frac = 1-p^2$$ $$\frac

<1-p^2>dp = \frac<1>dy.$$ Далее по плану необходимо проинтегрировать обе части уравнения, чтобы получить $p$ $$\int \frac

<1-p^2>dp = \int \frac<1>dy.$$

В первом интеграле заносим под знак дифференциала $1-p^2$, чтобы получился натуральный логарифм, а во втором, используя таблицу интегрирования можно сразу записать ответ: $$-\frac<1> <2>\int \frac <1-p^2>= \ln|y| + C $$ $$-\frac<1> <2>\ln|1-p^2| = \ln|y| + C.$$

Необходимо избавиться от логарифмов. Умножим обе части равенства на $(-2)$, а затем занесем эту двойку над икреком: $$\ln|1-p^2| = -2\ln|y|+C$$ $$\ln|1-p^2| = \ln \frac<1> + C.$$

Итак, теперь убирая логарифмы получаем: $$1-p^2 = C \frac<1>$$ $$p^2 = 1 — C\frac<1>$$ $$(y’)^2 = 1 — C\frac<1>.$$

Теперь найдем значение константы $C$ благодаря дополнительным условиям задачи $y = 1$ и $y’ = 1$. Подставляем их в последнее уравнение $$1^2 = 1 — C\frac<1> <1^2>\Rightarrow C = 0.$$

Зная теперь, что $C=0$ подставляем его в уравнение $(y’)^2 = 1 — C\frac<1>$: $$(y’)^2 = 1$$ $$y’ = \pm 1.$$ Из условия помним, что $y’ = 1 > 0$, значит, берем только решение $y’ = 1$ и продолжаем его решать интегрированием $$y = \int 1 dx = x + C.$$

Осталось найти снова постоянную $C$ теперь уже из условия $y(0) = 1$ $$y(0) = 0 + C = 1 \Rightarrow C = 1.$$ Вот теперь можно записать ответ в виде частного решения, которое требовалось найти по условию данной задачи $$y = x + 1.$$

Линейные однородные ДУ с постоянными коэффицентами

Линейность дифференциального уравнения заключается в том, что в уравнение входит неизвестная функция $y(x)$ и её производные только в первой степени, между собой не перемножаясь. Однородность определяется тем, что уравнение не содержит свободного члена. То есть он равен нулю.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами выглядит следующим образом $$y»+py’+qy = 0.$$ Чтобы его решить необходимо составить характиристический многочлен и найти его корни. Для этого нужно заменить $y$ на $\lambda$, степень которых будет соответствовать порядку производной $$y» \Rightarrow \lambda^2, \qquad y’ \Rightarrow \lambda, \qquad y \Rightarrow 1.$$

В зависимости от получившихся корней имеем общее решение в различных видах:

1. Действительные корни $\lambda_1 \neq \lambda_2$, тогда $y = C_1e^<\lambda_1 x>+C_2e^<\lambda_2 x>$
2. Действительные корни $\lambda_1 = \lambda_2$, тогда $y = C_1e^<\lambda_1 x>+C_2xe^<\lambda_1 x>$
3. Комплексные корни $\lambda_ <1,2>= \alpha\pm\beta i$, тогда $y = C_1e^<\alpha x>\cos \beta x + C_2e^<\alpha x>\sin \beta x$.

Первым делом составляем характеристический многочлен. Заменяем $y$ на $\lambda$ со степенями соответствующими порядку производной $y$ $$\lambda^2 + \lambda -2 = 0.$$

Обратите внимание, что $y$ имеет производную нулевого порядка, поэтому он заменяется на $\lambda^0 = 1$. Итак, перед нами квадратное уравнение, начинаем решать: $$\lambda_ <1,2>= \frac<-1\pm \sqrt<1^2-4\cdot 1 \cdot (-2)>> <2\cdot 1>= \frac<-1\pm 3><2>$$ $$\lambda_1 = -2, \qquad \lambda_2 = 1.$$

Так как получили отличающиеся действительные корни, то общее решение записывается следующим образом $$y = C_1 e^ <-2x>+ C_2 e^.$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Линейные неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами

Линейное неоднородное ДУ с постоянными коэффициентами отличается от предыдущего типа уравнений наличием правой части от знака равенства $$y»+py’+q = f(x).$$

Общее решение такого диффура складывается из двух частей: общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения $$y_\text <о.н.>= y_\text <о.о.>+ y_\text<ч.н.>.$$

Частное решение неоднородного уравнения $y_\text<ч.н.>$ подбирается исходя из вида правой части дифференциального уравнения. Затем в нём неизвестные постоянные находятся методом неопределенных коэффициентов.

Сначала находим общее решение однородного уравнения $$y» + y = 0.$$ Строим характеристический многочлен $$\lambda^2 + 1 = 0,$$ и находим его корни $$\lambda_<1,2>=\pm i.$$ Записываем получившееся общее решение однородного уравнения $$y_\text <о.о.>= C_1 \cos x + C_2 \sin x.$$

Теперь необходимо подобрать частное решение неоднородного уравнения. Для этого смотрим на правую часть исходного уравнения и видим, что здесь многочлен первой степени умножается на косинус. Значит, необходимо выбрать из таблицы 3й случай. Причем корень характеристического уравнения совпадает с аргументом косинуса. Это значит, что требуется домножение на $x$ $$y_\text <ч.н.>= x[(Ax+B)\cos x + (Cx+D)\sin x].$$Упростим последнее равенство и найдем от него вторую производную: $$y_\text <ч.н.>= (Ax^2+Bx)\cos x + (Cx^2 + Dx) \sin x$$ $$y’_\text <ч.н.>= (2Ax+B)\cos x-(Ax^2+Bx)\sin x + (2Cx+D)\sin x + (Cx^2 + Dx) \cos x.$$

Упростим $y’_\text<ч.н>$ для удобства нахождения второй производной $$y’_\text <ч.н.>= (2Ax+B+Cx^2+Dx)\cos x + (2Cx+D-Ax^2-Bx)\sin x.$$ Теперь можно найти вторую производную $$y»_\text <ч.н.>= (2A+2Cx+D)\cos x-(2Ax+B+Cx^2+Dx)\sin x + (2C-2Ax-B)\sin x + (2Cx+D-Ax^2-Bx)\cos x.$$ Упрощаем последнее выражение $$y»_\text <ч.н.>= (2A+4Cx+2D-Ax^2-Bx)\cos x + (2C-4Ax-2B-Cx^2-Dx)\sin x.$$

Подставляем найденные $y_\text<ч.н.>$ и $y»_\text<ч.н.>$ в исходный диффур из «дано» задачи $$(2A+4Cx+2D-Ax^2-Bx)\cos x + (2C-4Ax-2B-Cx^2-Dx)\sin x + (Ax^2+Bx)\cos x + (Cx^2 + Dx) \sin x = 4x\cos x.$$ Упрощаем его $$(2A+4Cx+2D)\cos x + (2C-4Ax-2B)\sin x = 4x\cos x.$$ Теперь подгоняем левую часть под правую, так чтобы можно было применить метод неопределенных коэффициентов и найти неизвестные $A,B,C,D$ $$(2A+2D)\cos x+4Cx\cos x + (2C-2B)\sin x+(-4Ax)\sin x = 4x\cos x.$$ Смотрим на левую и правую часть и составляем систему $$\begin 2A+2D = 0 \\ 4C=4 \\ 2C-2B=0 \\ -4A = 0 \end \Leftrightarrow \begin D=0 \\ C= 1 \\ B=1 \\ A = 0\end.$$

Подставляем полученные коэффициенты в частное решение неоднородного уравнения $$y_\text <ч.н.>= x\cos x + x^2\sin x.$$ Теперь вспоминая, что $y_\text <о.н.>= y_\text <о.о.>+ y_\text<ч.н.>$ можем записать окончательный ответ $$y_\text <о.н.>= C_1 \cos x + C_2 \sin x + x\cos x + x^2\sin x.$$

Сначала найдем общее решение однородного дифференциального уравнения $$y»+y’=5x+2e^x.$$

Составляем характеристический многочлен однородного уравнения и находим его корни: $$\lambda^2 + \lambda = 0$$ $$\lambda(\lambda + 1) = 0$$ $$\lambda_1 = 0, \qquad \lambda_2=-1.$$ Теперь можно записать общее решение $$y_\text <о.о.>= C_1 + C_2e^<-x>.$$

Далее необходимо по правой части исходного неоднородного уравнения найти его частное решение путем подбора, используя данные таблицы. Первое слагаемое есть многочлен первой степени. И так как один из корней характеристического уравнения является нулем кратности 1, то решение ищем в виде $y = (Ax+B)x$. Второе слагаемое представляет собой произведение многочлена нулевой степени на экспоненту. Так как аргумент экспоненты не совпадает с одним из корней характеристического многочлена, то подбор будем делать в виде $y = Ce^x$. В итоге правую часть будем искать в виде суммы $$y_\text <ч.н.>= (Ax+B)x+Ce^x.$$

Находим первую и вторую производную последней функции: $$y’ = 2Ax+B+Ce^x$$ $$y»=2A+Ce^x.$$ Подставляем полученные производные $y’$ и $y»$ в исходное дифференциальное уравнение: $$2A+Ce^x+2Ax+B+Ce^x = 5x+2e^x$$ $$2Ax+B+2A+2Ce^x=5x+2e^x.$$

Далее необходимо, используя метод неопределенных коэффициентов, найти значения $A,B,C$ составив систему уравнений $$\begin 2A=5 \\ 2C=2 \\ B+2A = 0 \end \Leftrightarrow \begin A=\frac<5> <2>\\ C=1 \\ B=-5 \end.$$

Подставляем найденные коэффициенты и получаем частное решение неоднородного уравнения $$y_\text <ч.н.>= (\frac<5><2>x-5)x + e^x = \frac<5><2>x^2 — 5x + e^x.$$

Таким образом теперь можно записать общее решение неоднородного диффура $$y_\text <о.н.>= y_\text <о.о.>+ y_\text<ч.н.>=C_1 + C_2e^ <-x>+ \frac<5><2>x^2 — 5x + e^x.$$

Метод Лагранжа

Данный метод позволяет решать линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами даже в тех, случаях, когда правая часть уравнения не подходит под табличный вид. В этом случае целесообразно применить данный метод решения.

1. Находим общее решение однородного уравнения $y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)$
2. Варьируем постоянные $C_1$ и $C_2$ на функции $C_1(x)$ и $C_2(x)$
3. Решаем систему методом Крамера $\begin C_1 ‘(x) y_1 (x) + C_2 ‘(x) y_2 (x) = 0 \\ C_1 ‘(x) y_1 ‘(x) + C_2 ‘(x) y_2 ‘(x) = f(x) \end $
4. Получаем $C_1(x)$ и $C_2(x).$

Так как правая часть диффура не подходит под табличный формат, то не получится подбирать частное решение по правой части как делали это в предыдущем примере. Воспользуется методом Лагранжа или как его еще называют вариация произвольной постоянной. Для начала найдем общее решение однородного уравнения $$y»-2y’+y=0.$$

Составляем характеристический многочлен и находим его корни: $$\lambda^2-2\lambda+1=0$$ $$(\lambda-1)^2 = 0 \Rightarrow \lambda = 1 \text< с кратностью 2>.$$ Так как корень кратный, то общее решение однородного уравнения записывается следующим образом $$y = C_1 e^x + C_2 xe^x.$$

Теперь необходимо варьировать постоянные $C_1$ и $C_2$ на соответствующие функции $C_1 (x)$ и $C_2 (x)$. Теперь получившееся решение следует записать в виде $y = C_1 (x) e^x + C_2 (x) xe^x$. Здесь заметим, что $y_1 = e^x$ и $y_2 = xe^x$. Это нужно для дальнейшего хода решения, а именно построения системы уравнений.

Составляем систему уравнений и решаем её методом Крамера $$\begin C_1 ‘(x) e^x+C_2 ‘(x) xe^x = 0 \\C_1 ‘(x) e^x + C_2 ‘(x) (e^x+xe^x) = \frac \end.$$ Находим главный определитель системы $$\Delta = \begin e^x & xe^x \\ e^x & e^x+xe^x \end = e^x(e^x+xe^x)-xe^ <2x>= e^<2x>.$$ Вычисляем дополнительные определители: $$\Delta_1 = \begin 0 & xe^x \\ \frac & e^x + xe^x \end = -xe^x \frac = e^<2x>$$ $$\Delta_2 = \begin e^x & 0 \\ e^x & \frac \end = e^x \frac = \frac>.$$

Итак, получаем решение системы уравнений $$C_1 ‘(x) = \frac<\Delta_1> <\Delta>= \frac>> = 1, \qquad C_2 ‘(x) = \frac<\Delta_2> <\Delta>= \frac> \frac<1>> = \frac<1>.$$ Далее интегрируем полученные решения, чтобы избавиться от производной: $$C_1(x) = \int 1 dx = x+\tilde$$ $$C_2(x)=\int \frac=\ln|x|+\tilde.$$

Подставляем полученные $C_1(x)$ и $C_2(x)$ в общее решение однородного уравнения и записываем общее решение неоднородного дифференциального уравнения $$y = (x+\tilde) e^x + (\ln|x|+\tilde) xe^x.$$ По условию нам требуется найти частное решение при условиях $y(1)=e$ и $y'(1)=3e$. Поэтому находим сначала производную $$y’=e^x+(x+\tilde)e^x+e^x+(\ln|x|+\tilde)(e^x+xe^x), $$ раскрываем скобки $$y’ = 2e^x+xe^x+\tildee^x+e^x\ln|x|+xe^x\ln|x|+\tildee^x+\tildexe^x,$$ а затем составляем систему уравнений $$\begin y'(1)=3e+\tildee+2\tildee = 3e \\ y(1) = e+\tildee + \tildee = e \end \Rightarrow \begin \tilde+2\tilde=0 \\ \tilde+\tilde=0 \end \Rightarrow \begin \tilde = 0 \\ \tilde=0 \end.$$

Теперь можно записать частное решение к задаче $$y = xe^x + x\ln|x|e^x = xe^x(1+\ln|x|).$$

Разбор типовых примеров

Пример 1.Показать, что ‑ решение уравнения.

Решение:, ,

.

Пример 2.Показать, что, ‑интегральная кривая уравнения.

Решение: По условиюy = tx; y=

Подставляя вместо х, у, у их выражение черезtв левую часть данного уравнения с учетом, чтоу= tx, получим

Пример 3.Показать, что удовлетворяет уравнению.

Решение: ,

Пример 4. Показать, чтодля любого фиксированногоС R является интегралом дифференциального уравнения.

Решение: (dC= 0, т.к. C= const) .

Пример 5.Показать, что дифференциальные уравнения

,

Решение: Согласно определению достаточно показать, что множества решений трех данных уравнений не совпадают. В этом проще всего убедиться, заметив, что первому уравнению удовлетворяют функции, , второму ‑,но не удовлетворяет , а третьему удовлетворяет, но не удовлетворяет.

6.Показать, что функцияявляется общим решением уравнения у=, но не уравнения у=3у 2 .

Решение.Из системы уравненийнаходимС=

Следовательно, общее решение уравнения ,правая часть которого не определена при.Уравнение же имеет частное решение, не получаемое из ни при каком значенииС.

7.Показать, что уравнениеявляется общим интегралом уравнения

Решение:Обозначим. Тогда ; ;

8.Показать, что уравнениеу 3 =является общим интегралом уравнения в дифференциалах

Решение:

Отметим, что данное уравнение не является общим интегралом для уравнения в дифференциалах, так как последнее имеет дополнительное частное решение.

9.Найти дифференциальное уравнение для семейства кривых, заданного уравнением.

Решение.,

.

10.Найти дифференциальное уравнение для семейства кривых.

Решение..

Задачи для самостоятельного решения

В следующих задачах требуется показать, что данные функции являются решениями указанных дифференциальных уравнений и найти области определения этих решений:

1.

2. .

3.

4.

5. .

6. .

7.

8.

9.

10.

Проверить, являются ли данные функции и уравнения общими решениями и интегралами для указанных дифференциальных уравнений:

11.

12.

13.

14.

15.

§2. Задачи на составление дифференциальных уравнений

Не существует каких-либо общих правил для составления дифференциальных уравнений по условиям конкретной задачи. Условия задачи должны быть таковы, чтобы позволяли составить соотношение, связывающее независимое переменное, функцию и ее производную (или производные). Если это задача геометрического характера, то наличие в ее данных касательной (или нормали) или некоторых связанных с ней отрезков дает возможность написать соотношение между координатами точек кривой и угловым коэффициентом касательной (задача 1, 4). В задачах физического или механического характера, в случае если задается скорость какого-нибудь процесса, бывает возможно сразу написать соответствующее дифференциальное уравнение (задача 2, 5). В других случаях, предварительно устанавливая соотношение между приращениями переменных, затем переходом к пределу получают дифференциальное уравнение (задача 3).

В качестве примеров рассмотрим несколько задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

Задача 1. Найти кривые, обладающие в каждой точке тем свойством, что отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.

Решение.Пусть– произвольная точка кривой (см. рис.1), обладающая требуемым свойством:. Из треугольникаимеем:,и так как , то приходим к соотношению:

.

Перепишем полученное дифференциальное уравнение в виде:

Рис. 1 , или, откуда (если производные равны, то функции отличаются на постоянную), или, следовательно,

Обозначая через, получаем окончательно:

.

Условиям задачи удовлетворяет семейство, зависящее от одного параметра, равносторонних гипербол, для которых оси координат служат асимптотами.

Задача 2.Распад радия происходит таким образом, что скорость распада пропорциональна наличному количеству радия. Найти закон, выражающий изменение количества радия с течением времени, если известно, что через 1600 лет останется половина количества радия.

Решение. Пусть– количество радия и– время (в годах). Найдем зависимостьот:. Из условий задачи (скорость изменения есть производная по времени):

.

Перепишем полученное уравнение в виде

и из равенства дифференциалов заключаем, что сами функции отличаются на постоянную:(*).

Пусть в начальный момент количество радия. Это дает возможность из (*) найти соответствующее значение:. Таким образом,

.

Коэффициент находим из условия, что при:

,

откуда . Следовательно,

,

.

Задача 3.Вода вытекает через отверстие в дне цилиндрического сосуда. По какому закону будет понижаться уровень воды в сосуде с течением времени, если известно, что скорость истечения жидкости из отверстия зависит от высотыстолба жидкости следующим образом .

Решение.Обозначим (см. рис.2) черезвысоту сосуда. ‑ площадь его основания, s‑ площадь отверстия и h ‑ высоту жидкости в сосуде в момент времениt.

В течение промежутка времени от tдо высота уровня в сосуде понизится c hдо . За это время из сосуда вытечет объем воды, равный‑ . Таков же должен быть объем струи жидкости, вытекшей за это время из отверстия. Он равен площади s,умноженной на длину пути,пройденного частицей жидкости с момента tдо .Движение ее неравномерно: в моментскорость, а в момент .Для

Рис. 2. вычисления длины пройденного пути воспользуемся средней скоростью: , где

.

Мы приходим, таким образом, к соотношению: .

Отсюда ,.Переходя к пределу при, получаем дифференциальное уравнение задачи:

.

Решаем его тем же способом, что и предшествующее уравнение:

.

Замечая, что в момент , ,находимС:.И таким образом, приходим к равенству:, откуда

.

Таков закон истечения жидкости из отверстия в дне сосуда. Полагая ,находим, что вся жидкость вытечет из сосуда за сек.

Задача 4.Найти такую кривую, проходящую через точку, чтобы тангенс угла наклона касательной в любой ее точке равнялся ординате этой точки, увеличенной на 3 единицы.

Решение.Исходя из геометрического смысла первой производной, получаем дифференциальное уравнение семейства кривых, удовлетворяющих требуемому в задаче свойству, а именно

или

Откуда .

Так как искомая кривая должна проходить через точку , т. е., то значение ,соответствующее этой кривой определяем из условия:, т. е., так что, откуда

.

В силу условия должен быть выбран знак плюс:.

Задача 5.В цилиндрическом сосуде объемом, заключен атмосферный воздух, который адиабатически (без обмена тепла с окружающей средой) сжимается до объема . Вычислить работу сжатия.

Решение.Известно, что адиабатический процесс характеризуется уравнением Пуассона

, (1)

где –первоначальный объем газа,

– первоначальное давление газа,

– постоянная для данного газа величина.

Обозначим через исоответственно объем и давление газа в тот момент, когда поршень находится на высоте, а через – площадь поршня. Тогда при опускании поршня на величину объем газа уменьшится на величину .При этом будет выполнена работа

или .(2)

Находя из уравнения Пуассона (1) и подставляя в (2), получим дифференциальное уравнение процесса:

. (3)

Интегрируя (3), будем иметь:

. (4)

Согласно начальному условию из (4) получим

.

Таким образом, работа адиабатического сжатия (от до)будет

. (5)

При получаем

.

Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами

Простое объяснение принципов решения дифференциальных уравнений и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x , как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х) , с помощью которой можно обратить уравнение в равенство.

Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.

Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.

Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).

Примеры решения дифференциальных уравнений

Задание

Решить дифференциальное уравнение xy’=y.

Решение

В первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь

переписываем дифференциальное уравнение, получаем

Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей по правилу пропорции получаем

Далее интегрируем полученное уравнение:

В данном случае интегралы берём из таблицы:

После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

– это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=Const

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Решение

Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении.

Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение:

Получили общий интеграл.Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию:

Если – это константа, то

– тоже некоторая константа, заменим её буквой С:

– убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения.

Получаем общее решение:

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

В первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде:

Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть:

После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше.

Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала:

В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм.

Далее упрощаем общий интеграл:

Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C:

Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат.

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2.

Решение

Первый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение.

Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение:

Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т.к. обе части уравнения положительные.

Получаем общее решение:

Далее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2.

В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

При внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем:

В данном случае константу C считается не обязательным определять под логарифм.

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.

Решение

Как и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения. Для этого начинаем разделять переменные:

Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:

можно выразить функцию в явном виде.

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e.

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Проверка

Необходимо проверить, выполняется ли начальное условие:

Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено.

Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение

дифференциальному уравнению. Для этого находим производную:

Подставим полученное частное решение

и найденную производную в исходное уравнение

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Задание

Найти общий интеграл уравнения

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Ответ

Задание

Найти частное решение ДУ.

Решение

Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию

Подставляем в общее решение

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Левую часть интегрируем по частям:

В интеграле правой части проведем замену:

(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов)

admin