Легкая нерастяжимая нить что значит

0

Как определить силу натяжения нити между двумя телами

Сила натяжения нити — основные понятия, обозначение, единица измерения

Сила натяжения — сила, которую прикладывают к концам объекта, она создает внутри объекта упругую деформацию.

Длина тела, к которому прилагают силу, обычно во много раз больше, чем толщина этого тела. Такими телами могут быть обыденные вещи — канат, веревка, трос, проволока, леска и т. д.

Приведем примеры силы натяжения нити в быту:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

• применение отвеса для строительства;
• установка растяжек для того, чтобы зафиксировать радиоантенны;
• характер арматуры внутри напряженного бетона;
• устройство такелажа корабля.

Сила натяжения нити является суммой сил, которые действуют на нить, а также противоположна по своему направлению.

Здесь F — сила натяжения. Также встречаются обозначения силы натяжения нити с помощью букв «T» и «N». За единицу измерения у силы натяжения нити принимают Ньютон (сокращенно — H).

Как определить для разных условий, формулы для расчета

Существует множество разных вариантов определения силы напряжения нити. Рассмотрим некоторые из них.

Определение силы натяжения на одной нити

Определение силы натяжения на одной нити происходит в несколько этапов.

Первый этап — нужно определить силы на обоих концах нити. Сила натяжения этой нити или веревки считается результатом сил, которые натягивают веревку с каждого из концов.

Напомним, что сила будет равна произведению массы m на ускорение a.

Предположим, что веревка туго натянута. Каждое изменение массы или ускорения объекта, который подвешен на веревке, приведет к тому, что силы на самой веревке изменятся. Не стоит забывать также о постоянном ускорении силы тяжести. Учитывать его нужно даже тогда, когда система остается в покое, а составляющие системы являются объектами воздействия силы тяжести.

Для решения большей части физических задач предполагается, что веревка идеальна. То есть, она идеально тонкая, у нее нет массы, она не способна рваться и растягиваться.

Рассмотрим пример, в котором груз подвешивается к деревянной балке при помощи одной веревки. Ни веревка, и груз не передвигаются — система в абсолютном покое. Чтобы груз находился в полном равновесии, сила натяжения обязана равняться силе тяжести: \(F_<т>=F_=m\times\) . Если у груза масса 10 кг, то сила натяжения будет равна \(98 Н (10\times9,8)\) .

Второй этап — нужно учитывать ускорение. Сила тяжести является не единственной силой, которая может повлиять на силу натяжения нити. Ровно такое же действие совершает каждая сила, которую прикладывают к объекту на нити с ускорением.

Если объект, который подвешен на кабеле или веревке, ускоряется под воздействием силы, то к силе натяжения будет добавляться сила ускорения. Представим, что на веревку подвешивают груз с массой в 10 кг, потом тянут вверх с ускорением, которое равно 1 м/с². В данном случае нужно учитывать ускорение груза вместе с ускорением силы тяжести:

Третий этап — нужно учитывать угловое ускорение. Тело находится на веревке, которая вращается вокруг определенной точки, ее считают условным центром (по типу маятника). Оно оказывает натяжение на нить при помощи центробежной силы.

Центробежная сила — побочная сила натяжения, вызванная веревкой. Возникает при толчке внутрь веревки таким образом, чтобы груз сохранял свое движение по дуге, а не по прямой. Центробежная сила тем больше, чем быстрее движется объект: \(F=m\frac>.\)

В этой формуле m является массой, v — скоростью, r — радиусом окружности, по которой происходит движение груза.

Так как значение и направление центробежной силы изменяются в зависимости от того, как тело передвигается и изменяет собственную скорость, полное натяжение нити становится параллельным нити в центральной точке.

Важно запомнить, что сила притяжения всегда воздействует на тело, тянет его вниз. Если объект совершает амплитудное действие вертикально, полное натяжение сильнее всего будет в нижней точке дуги (точка равновесия для маятника) — когда тело достигает самой большой скорости, а слабее всего — в верхней точке дуги, когда тело начинает замедляться.

Приведем пример: объект не ускоряется вверх, а раскачивается как маятник. Допустим, что нить будет иметь длину 1,5 м, а груз передвигается со скоростью 2 м/с (в случае прохождения через нижнюю точку размаха). Если необходимо рассчитать силу натяжения в нижней точке дуги (в момент, когда она самая большая), то нужно найти сначала, какое давление силы тяжести ощущает на себе груз в данной точке (в состоянии покоя — 98 Н). Для нахождения центробежной силы нужно применить следующие формулы:

Так полное натяжение нити будет \(98+26,7=124,7 Н.\)

Еще одна формула — сила натяжения способна изменяться по мере того, как проходит груз по дуге. Величина и направление центробежной силы изменяются по мере того, как тело качается. Даже если сила тяжести постоянная, результирующая сила натяжения изменяется. В тот момент, когда качающееся тело располагается не в нижней точке дуги, сила тяжести тащит тело вниз, однако сила натяжения тянет тело вверх под углом. По данной причине сила натяжения обязана находиться в противодействии лишь части силы тяжести, а не всей.

Деление силы гравитации на два вектора может помочь визуально показать данное состояние. В каждой точке дуги объекта, который раскачивается вертикально, нить создает угол \(\ominus\) с линией, проходящей через точку равновесия, центр вращения. После того как маятник раскачивается, сила гравитации разделяется на два вектора:

• \(mg\sin\ominus\) , воздействует по касательной к дуге по направлению к точке равновесия;
• \(mg\cos\ominus\) , воздействует параллельно силе натяжения, однако в ином направлении.

Натяжение имеет возможность противостоять \(mg\cos\ominus\) — только такой силе, которая направлена против нее, а не полноценной силе тяготения (кроме точки равновесия).

Представим пример: маятник имеет отклонение в 15° от вертикали, движение происходит со скоростью 1,5 м/с. Можно найти силу натяжения следующим образом:

1. Найдем отношение силы натяжения к силе тяготения: \(Т=98\cos15=98(0,96)=94,08 Н\) .
2. Найдем центробежную силу: \(F=10\times\frac<1,5^<2>><1,5>=10\times1,5=15\) .
3. Полное натяжение будет следующим: \(T + F = 94,08 + 15 = 109,08 Н\) .

Еще одна формула — с учетом расчета трения. Каждый объект, который тянут нитью по поверхности, чувствует на себе силу замедления из-за трения, и передает данное воздействие натяжению в нити.

Сила трения между двумя телами рассчитывается, как и в другой любой ситуации, в соответствии со следующим уравнением: \(F=(\mu)N\) . В данной формуле \(\mu\) является коэффициентом силы трения между телами, N является силой взаимодействия двух объектов\сила, с которой они воздействуют друг на друга.

Трение покоя — трение, возникающее в итоге попыток привести тело, находящееся в состоянии покоя, в движение.

Трение движения — трение, которое возникает в итоге попыток заставить движущееся тело продолжать это движение.

Приведем пример: представим, что груз в 10 кг не раскачивается, его тянут по горизонтальной плоскости при помощи нити\веревки. Коэффициент трения по земле будет равен 0,5. Груз передвигается со скоростью, которая постоянна, однако нужно придать телу ускорение в 1 м/с².

Нужно сделать следующие расчеты: \(F=10\times9,8 =98 Н.\)

Сила трения будет рассчитана по формуле: \(F=0,5\times98=49 Н.\)

Сила ускорения будет рассчитана по формуле: \(F=10\times1=10 Н\) .

Общее натяжение: \(F+F=49+10=59 Н.\)

Нахождение силы натяжения на нескольких нитях

Один из способов нахождения силы натяжения нити — использовать вертикальные параллельные грузы при помощи блока.

Блок — простой механизм, который состоит из подвесного диска. Это помогает ему изменять направление силы натяжения веревки.

В обычном расположении блока кабель\нить\веревка начинаются от подвешенного объекта вверх к блоку, потом вниз к иному объекту. Так создаются два разных участка веревки. В таком случае натяжение на всех участках становятся одинаковыми, если оба конца натягиваются силами различных величин.

Для системы масс, подвешенных вертикально в блоке, сила натяжения будет равна \(T=\frac<2g(m1)(m2)>\) . В данной формуле g будет ускорением силы тяжести, m1 — массой первого тела, m2 — массой второго тела.

Во многих физических задачах блоки являются идеальными — не обладают массой, трением, не ломаются, не отделяются от нити, не деформируются.

Приведем пример: есть два груза, которые подвешены через блок на параллельных концах нити. Один груз обладает массой в 10 кг, а второй груз обладает массой в 5 кг. В данном случае нужно произвести расчет по следующим формулам:

Важно понимать, что из-за того, что один груз является более тяжелым, другие элементы будут равны, данная система будет ускоряться, значит, груз в 10 кг будет передвигаться вниз, заставляя второй объект идти вверх.

Другая формула — подвешиваем грузы, берем блоки с нитями, которые не параллельны. Блоки часто используют для того, чтобы направить силу натяжения в другую сторону. Если груз подвешивается вертикально к одному концу нити, а другой конец поддерживает груз в диагональной плоскости, то система блоков — непараллельная — формирует треугольную форму с углами в точках с первым грузом, вторым, а также самим блоком. В данном случае натяжение в веревке будет зависеть от силы тяжести, силы натяжения, которая будет параллельная диагональной части нити.

Приведем пример: есть система с объектом в 10 кг, подвешенным вертикально, соединяющимся с грузом в 5 кг, который находится на наклонной плоскости в 60° (нет трения). Для нахождения натяжения в нити нужно составить следующие уравнения:

1. Груз, который подвешивают, намного тяжелее, трение не создается, потому что мы знаем, что груз ускоряется вниз. Натяжение в веревке тащит вверх, поэтому объект ускоряется по отношению к силе (равнодействующей) \(F=m1\times-T=98-Т.\)
2. Груз на плоскости, которая находится под наклоном, ускоряется вверх. Так как трения нет у данной плоскости, натяжение тянет груз вверх по плоскости, вниз объект тянет собственный вес. Часть силы, которая тянет вниз по наклонной, будет вычисляться как \(mg\sin\ominus\) . Можно предположить, что тело ускоряется по отношению к равнодействующей силе: \(F=T-m^<2>(g)\sin60=T-5(9,8)(0,87)=T-42,14\) .
3. Если сравнять оба уравнения, то получится следующее: \(98-T=T-42,12\) . Вычисляем T, получается, что \(2T=140,14. Так T=70,07 \) Н.

Последняя формула — использование нескольких нитей для того, чтобы подвесить тело. Представим, что объект подвешивается на «Y-образной» системе нитей — две нити закрепляются на потолке, встречаются в центральной точке, из которой третья нить идет с объектом. Сила натяжения третьей нити проста — обычное натяжение в итоге действия силы тяжести или же m(g).

Натяжение на других нитях отличается, они обязаны составлять в совокупности силу, которая равна силе тяжести вверх в вертикальном положении, а также равны нулю в обоих горизонтальных направлениях. Однако нужно взять во внимание, что система покоится. Натяжение в нити зависит напрямую от массы подвешенных грузов, а также от угла, на который происходит наклон каждой нити от потолка.

Приведем пример: в системе Y-образной нижний груз обладает массой в 10 кг, подвешивается на двух нитях, угол одной из нитей составляет 30° с потолком. Угол второй нити составляет 60°. Если необходимо найти натяжение каждой нити, необходимо рассчитать вертикальную и горизонтальную части натяжения. Для того чтобы найти T1 (натяжение с наклоном в 30°), T2 (натяжение с наклоном в 60°), нужно рассчитать:

1. По законам тригонометрии, соотношение между T=m(g) и Т1, Т2 будет равно косинусу угла между нитями и потолком. Для натяжения T1 будет \(\cos30=0,87\) . Для натяжения T2 будет \(\cos60=0,5\) .
2. Нужно умножить натяжение в нижней нити на косинус всех углов, чтобы найти общее натяжение. \(T1=0,87\times=0,87\times10(9,8)=85,26\) Ньютонов. \(T2=0,5\times=0,5\times10(9,8)=49\) Ньютонов.

Примеры решения задач

Нерастяжимая, с малым весом нить может выдержать силу натяжения в T=4400 Н. Какое максимальное ускорение может быть, чтобы поднять груз с массой в 400 кг? Груз подвешивают на данную нить. Нужно, чтобы нить при этом не разорвалась, и не произошло падение груза.

На рисунке ниже изображены все силы, которые воздействуют на груз.

Запишем второй закон Ньютона. Объект считается материальной точкой, все силы прикладываются к центру масс объекта: \(T+mg=ma\) .

Формула для силы натяжения нити

Силой натяжения называют ту, что действует на объект, сравнимый с проволокой, шнуром, кабелем, ниткой и так далее. Это могут быть несколько объектов сразу, в таком случае сила натяжения будет действовать на них и необязательно равномерно. Объектом натяжения называют любой предмет, подвешенный на все вышеперечисленное. Но кому это нужно знать? Несмотря на специфичность информации, она может пригодиться даже в бытовых ситуациях.

Например, при ремонте дома или квартиры. Ну и, конечно же, всем людям, чья профессия связана с расчетами:

• инженерам;
• архитекторам;
• проектировщикам и пр.

Натяжения нити и подобных объектов

А зачем им это знать и какая от этого практическая польза? В случае с инженерами и конструкторами знания о мощи натяжения позволят создавать устойчивые конструкции. Это означает, что сооружения, техника и прочие конструкции смогут дольше сохранять свою целостность и прочность. Условно, эти расчеты и знания можно разделить на 5 основных пунктов, чтобы в полной мере понять, о чем идет речь.

1 Этап

Задача: определить силу натяжения на каждом из концов нити. Эту ситуацию можно рассматривать как результат воздействия сил на каждый конец нити. Она равняется массе, помноженной на ускорение свободного падения. Предположим, что нить натянута туго. Тогда любые воздействия на объект приведет к изменению натяжения (в самой нити). Но даже при отсутствии активных действий, по умолчанию будет действовать сила притяжения. Итак, подставим формулу: Т=м*g+м*а, где g – ускорение падения (в данном случае подвешенного объекта), а – любое иное ускорение, действующее извне.

Есть множество сторонних факторов, влияющих на расчеты – вес нити, ее кривизна и так далее. Для простых расчетов это мы не будем пока что учитывать. Иными словами – пусть нить будет идеальна с математической точки зрения и «без изъянов».

Возьмем «живой» пример. На балке подвешена прочная нить с грузом в 2 кг. При этом отсутствует ветер, покачивания и прочие факторы, так или иначе влияющие на наши расчеты. Тогда мощь натяжения равна силе тяжести. В формуле это можно выразить так: Fн=Fт=м*g, в нашем случае это 9,8*2=19,6 ньютона.

2 Этап

Заключается он в вопросе об ускорении. К уже имеющейся ситуации давайте добавим условие. Суть его в том, чтобы на нить действовало еще и ускорение. Возьмем пример попроще. Представим, что нашу балку теперь поднимают вверх со скоростью 3 м/с. Тогда, к натяжению прибавится ускорение груза и формула примет следующий вид: Fн=Fт+уск*м. Ориентируясь на прошлые расчеты получаем: Fн=19,6+3*2=25,6 ньютона.

3 Этап

Тут уже посложнее, так как речь идет об угловом вращении. Следует понимать, что при вращении объекта вертикально, сила, воздействующая на нить, будет намного больше в нижней точке. Но давайте возьмем пример с несколько меньшей амплитудой качания (по типу маятника). В этом случае для расчетов нужна формула: Fц=м* v²/r. Тут искомое значение обозначает дополнительную мощь натяжения, v – скорость вращения подвешенного груза, а r – радиус окружности, по которому вращается груз. Последнее значение фактически равняется длине нити, пускай она составляет 1,7 метра.

Итак, подставляя значения, находим центробежные данные: Fц=2*9/1,7=10,59 ньютона. А теперь, чтобы узнать полную силу натяжения нити, надо к имеющимся данным о состоянии покоя прибавить центробежную силу: 19,6+10,59=30,19 ньютона.

4 Этап

Следует учитывать меняющуюся силу натяжения по мере прохождения груза через дугу. Иными словами – независимо от постоянной величины притяжения, центробежная (результирующая) сила меняется по мере того, как качается подвешенный груз.

Чтобы лучше понять этот аспект, достаточно представить себе привязанный груз к веревке, которую можно свободно вращать вокруг балки, к которой она закреплена (как качели). Если веревку раскачать достаточно сильно, то в момент нахождения в верхнем положении сила притяжения будет действовать в «обратную» сторону относительно силы натяжения веревки. Иными словами – груз станет «легче», из-за чего ослабнет и натяжение на веревку.

Предположим, что маятник отклоняется на угол, равный двадцати градусам от вертикали и движется со скоростью 1,7 м/с. Сила притяжения (Fп) при этих параметрах будет равна 19,6*cos(20)=19,6*0,94=18,424 Н; центробежная сила (F ц=mv²/r)=2*1,7²/1,7=3,4 Н; ну а полное натяжение (Fпн) будет равняться Fп+ Fц=3,4+18,424=21,824 Н.

5 Этап

Его суть заключается в силе трения между грузом и другим объектом, что в совокупности косвенно влияет на натяжение веревки. Иначе говоря – сила трения способствует увеличению силы натяжения. Это хорошо видно на примере перемещения объектов по шершавой и гладкой поверхностях. В первом случае трение будет большим, поэтому и сдвигать предмет становится тяжелее.

Общее натяжение в данном случае вычисляется по формуле: Fн=Fтр+Fу, где Fтр – трение, а Fу – ускорение. Fтр=мкР, где мк – трение между объектами, а Р – сила взаимодействия между ними.

Чтобы лучше понять данный аспект, рассмотрим задачу. Допустим, у нас груз 2 кг и коэффициент трения равен 0,7 с ускорением движения 4м/с постоянной скорости. Теперь задействуем все формулы и получаем:

1. Сила взаимодействия — Р=2*9,8=19,6 ньютона.
2. Трение — Fтр=0,7*19,6=13,72 Н.
3. Ускорение — Fу=2*4=8 Н.
4. Общая сила натяжения — Fн=Fтр+Fу=13,72+8=21,72 ньютона.

Теперь вы знаете больше и можете сами находить и рассчитывать нужные значения. Конечно, для более точных расчетов нужно учитывать больше факторов, но для сдачи курсовой и реферата этих данных вполне достаточно.

Видео

Это видео поможет вам лучше разобраться в данной теме и запомнить ее.

В физике, сила натяжения — это сила, действующая на веревку, шнур, кабель или похожий объект или группу объектов. Все, что натянуто, подвешено, поддерживается или качается на веревке, шнуре, кабеле и так далее, является объектом силы натяжения. Подобно всем силам, натяжение может ускорять объекты или становиться причиной их деформации. Умение рассчитывать силу натяжения является важным навыком не только для студентов физического факультета, но и для инженеров, архитекторов; те, кто строит устойчивые дома, должны знать, выдержит ли определенная веревка или кабель силу натяжения от веса объекта так, чтобы они не проседали и не разрушались. Приступайте к чтению статьи, чтобы научиться рассчитывать силу натяжения в некоторых физических системах.

Определение и формула силы натяжения нити

Силу натяжения определяют как равнодействующую сил , приложенных к нити, равную ей по модулю, но противоположно направленную. Устоявшегося символа (буквы), обозначающего силу натяжения нет. Ее обозначают и просто и , и . Математически определение для силы натяжения нити можно записать как:

где = векторная сумма всех сил, которые действуют на нить. Сила натяжения нити всегда направлена по нити (или подвесу).

Чаще всего в задачах и примерах рассматривают нить, массой которой можно пренебречь. Ее называют невесомой.

Еще одним важной характеристикой нити при расчете силы натяжения является ее растяжимость. Если исследуется невесомая и нерастяжимая нить, то такая нить считается просто проводящей через себя силу. В том случае, когда необходимо учитывать растяжение нити, применяют закон Гука, при этом:

где k – коэффициент жесткости нити, – удлинение нити при растяжении.

Единицы измерения силы натяжения нити

Основной единицей измерения силы натяжения нити (как и любой силы) в системе СИ является: [T]=Н

Примеры решения задач

Задание. Невесомая, нерастяжимая нить выдерживает силу натяжения T=4400Н. С каким максимальным ускорением можно поднимать груз массой m=400 кг, который подвешивают на эту нить, чтобы она не разорвалась?

Решение. Изобразим на рис.1 все силы, действующие на груз, и запишем второй закон Ньютона. Тело будем считать материальной точкой, все силы приложенными к центру масс тела.

где – сила натяжения нити. Запишем проекцию уравнения (1.1) на ось Y:

Из выражения (1.2) получим ускорение:

Все данные в задаче представлены в единицах системы СИ, проведем вычисления:

м/с 2

Ответ. a=1,2м/с 2

Задание. Шарик, имеющий массу m=0,1 кг прикрепленный к нити (рис.2) движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости. Найдите модуль силы натяжения нити, если длина нити l=5 м, радиус окружности R=3м.

Решение. Запишем второй закон Ньютона для сил, приложенных к шарику, который вращается по окружности с центростремительным ускорением:

Найдем проекции данного уравнения на обозначенные на рис.2 оси X и Y:

Из уравнения (2.3) получим формулу для модуля силы натяжения нити:

Из рис.2 видно, что:

Подставим (2.5) вместо в выражение (2.4), получим:

Так как все данные в условиях задачи приведены в единицах системы СИ, проведем вычисления:

2.10.1. Движение связанных тел

[latexpage]При решении задач на движение связанных тел часто приходится сталкиваться с условием, что нить связывающая тела невесома и нерастяжима. Разберемся что означает.

Нить невесома — это значит, что сила натяжения нити, связывающая грузы, будет одинаковой по модулю во всех точках нити, обычно силу натяжения нити обозначают $\overrightarrow$.

Нить нерастяжима — связанные грузы будут двигаться с одинаковым по модулю ускорением, одинаковой по модулю скоростью в одни и те же моменты времени, а также происходить одинаковые расстояния за одинаковые промежутки времени.

Отдельно покажем как будет выглядеть чертеж с указанием сил натяжения нитей в случае кода нить перекинута через невесомый неподвижный блок и можно пренебречь силами трения, которые возникают при вращении блока (по умолчанию все правые грузы будут двигаться вниз с некоторым ускорением).

Неподвижный блок не дает выигрыша в силе, а значит и не дает проигрыша в расстоянии, поэтому ускорения с которыми движутся тела одинаковы по модулю, т.е. $a_1=a_2=a$, но при этом направлены в противоположные стороны.

Пример. На столе лежат два связанных нитью бруска. Масса левого бруска m 1 = 1 кг, правого — m 2 = 3 кг. Коэффициент трения между каждым столом и бруском μ = 0,2. Найдите ускорение системы и силу натяжения соединяющей их нити, если к левому бруску приложить силу F 1 = 1 Н , а к правому F 2 = 2 Н . Задачу решить для случая, когда F 1 = 2 Н; F 2 = 16 Н.

Решение. 1. Систему отсчета свяжем со столом, эта система является инерциальной. Координатную ось $Ox$ направим вдоль поверхности стола в направлении силы F 2 . Координатную ось $Oy$ направим перпендикулярно поверхности стола в направлении вектора силы реакции опоры.

2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело. Будем считать, что тело движется с ускорением направленным в сторону движения большей силы, так как по условию непонятно как будет двигаться тело и будет ли оно двигаться вообще.

3. Запишем второй закон Ньютона для каждого тела:

Проекции на координатную ось $Ox$:

Проекции на координатную ось $Ox$:

4. Найдем силы трения, т.к. из последних равенств $N_1=m_1g$ и $N_2=m_2g$, то $F_=\mu N_1=\mu m_1g$ и $F_=\mu N_2=\mu m_2g$. Учтем также, что $T_1=T_2=T$. Подставим полученное выражение в выражения для проекций на ось

5. Кинематические уравнения в данной задаче не требуются, поэтому переходим к п.6.

6. Решим полученную в п.4 систему уравнений относительно неизвестных величин. Складывая первое и второе уравнение системы, получим

$F_2-F_1-\mu m_1g-\mu m_2g=m_1a+m_2a$,

$F_2-F_1-\mu g (m_1+ m_2)=(m_1+m_2)a$,

$a= \frac<2-1><1+2>-0,2 \cdot 10 \approx — 1,67 $ м/с 2 .

мы получили ускорение отрицательное по модулю, такого быть не может, а это значит тело покоится, т.е. $a=0$. При этом силу натяжения можно найти из уравнений полученных нами для проекций на горизонтальную ось с учетом полученного результата

Складывая первое и третье уравнение, получим

$2T+\mu m_2g-F_1-F_2-\mu m_1g=0$,

Пример. Два одинаковых тела массой m = 1 кг каждое связаны нитью, перекинутой через легкий блок, и находятся на поверхности неподвижного клина с углами при основании α = 60 ° и β = 30 ° (см. рис.). При движении тел сила натяжения нити T = 7 Н. Найдите коэффициент трения между телами и поверхностями клина.

Решение. 1. Будем рассматривать движение тел в разных системах координат, связав их с поверхностями клина, относительно которых движутся тела. В остальном будем действовать также, как и при решении задач на наклонную плоскость.

2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело.

3. Запишем второй закон Ньютона, для каждого тела

Проекции на координатные оси для первого тела на оси $Ox_1$ и $Oy_1$ соответственно:

$mg\, sin\alpha -T_1-F_=ma_1$,

Проекции на координатные оси для второго тела на оси $Ox_2$ и $Oy_2$ соответственно:

$-mg\, sin \beta+T_2-F_=ma_2$,

4. Найдем силы трения, т.к. $ N_1=mg\, cos\alpha$, то $F_= \mu N_1=\mu mg\, cos\alpha$. Аналогично, для силы трения, действующей на правый брусок, получим $F_= \mu N_2=\mu mg\, cos\beta$. Подставим полученные выражения в выражения для проекций на оси $Ox_1$ и $Ox_2$ соответственно:

$mg\, sin\alpha -T_1-\mu mg\, cos\alpha=ma_1$,

$-mg\, sin \beta+T_2-\mu mg\, cos\beta=ma_2$.

Учтем также, что грузы связаны нитью, перекинутой через блок, а значит $T_1=T_2=T$ и $a_1=a_2=a$. Учтем и этот факт при написании уравнений

$mg\, sin\alpha -T-\mu mg\, cos\alpha=ma$,

$-mg\, sin \beta+T-\mu mg\, cos\beta=ma$.

5. Кинематические уравнения в данной задаче не требуются, поэтому переходим к п.6.

6. Из последних двух уравнений найдем коэффициент трения. Вычитаем из второго уравнения первое

$-mg\, sin \beta — mg\, sin\alpha +2T-\mu mg\, cos\beta + \mu mg\, cos\alpha=0$,

$-\mu mg\, cos\beta + \mu mg\, cos\alpha=mg\, sin \beta + mg\, sin\alpha -2T$,

$\mu mg ( cos\alpha — cos\beta) =mg\, sin \beta + mg\, sin\alpha -2T$,

Пример. В системе, изображенной на рисунке, массы нижнего и верхнего брусков $M=2$ кг и $m=1$ кг соответственно. Какую силу нужно приложить к нижнему бруску, чтобы он двигался с постоянным ускорением $a=g/2$. Коэффициент трения между брусками 0,5; между нижним бруском и столом 0,2.

Решение. 1. Систему отсчета свяжем с поверхностью относительно которой движется нижнее тело.

2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело. Остановимся подробнее на силах. На верхний брусок действует 4 силы: тяжести, натяжения нити, реакции опоры и сила трения между брусками (очевидно, что брусок движется влево относительно нижнего, значит сила трения будет направлена вправо). На нижний брусок действуют силы: тяжести, реакции опоры, натяжения нити, две силы трения (со стороны верхнего бруска и поверхности, причем сила трения, действующая со стороны верхнего бруска направлена влево, т.к. нижний брусок движется относительно верхнего вправо), сила с которой тянут брусок, а также вес верхнего бруска (мы намеренно акцентируем на этом внимание, т.к. случай далеко не распространенный, но встречающийся в ЕГЭ).

3. Запишем второй закон Ньютона для каждого тела и найдем проекции векторов на координатные оси. Для нижнего тела имеем

В проекциях на координатные оси

Для верхнего тела получим

В проекция на координатные оси

4. Запишем дополнительные соотношения. Силы трения $\overrightarrow_$ и $\overrightarrow_$, также $\overrightarrow_2$ и $\overrightarrow

$ с есть результат взаимодействия нижнего и верхнего бруска, а значит, согласно третьему закону Ньютона справедливы равенства

$\overrightarrow_=-\overrightarrow_ \Rightarrow F_=F_$,

$\overrightarrow_2=-\overrightarrow

\Rightarrow N_2=P$.

Кроме того, учитывая, что тела связаны нитью получим равенство ускорений тел $a_1=a_2=a$. Учтем все вышесказанное при нахождении модулей силы трения. Известно что

$N_1-Mg-P=0 \Rightarrow N_1 = Mg + P= Mg + N_2$,

$N_2-mg=0 \Rightarrow N_2 = mg$

Перепишем полученные в п.3 уравнения

5. Кинематические уравнения в данной задаче не требуются, поэтому переходим к п.6.

6. Решим полученную в п.4 систему уравнений относительно неизвестной величины, для этого вычитаем из первого уравнения второе (чтобы избавиться от модуля силы натяжения)

$=g\left ( \mu_2(M+m)+2\mu_1 m+\frac <2>\right )=g\left ( 2\mu _1m+(M+m)\left ( \frac<1><2>+\mu _2 \right ) \right )$,

$F=10\cdot \left ( 2\cdot 0,5\cdot 1+(2+1)\left ( \frac<1><2>+0,2 \right ) \right )=31$ Н.

Задачи для самостоятельного решения.

Для закрепления пройденного материала и развития навыков задач решения рекомендуется выполнить задания, которые предлагает сайт «Решу ЕГЭ» для подготовки к ЕГЭ по физике на тему «Движение связанных тел» — нажать на ссылку и перейти к решению задач.

Уравнение ускорения и натяжения нити

Если ты, дружок, позабыл, как силушку проецировать, советую мыслишки в своей головушке освежить.

А для тех, кто все помнит, поехали!

Задача 1. На гладком столе лежат два связанных невесомой и нерастяжимой ниткой бруска с массой 200 г левого и массой правого 300 г. К первому приложена сила 0,1 Н, к левому — в противоположном направлении сила 0,6 Н. С каким ускорением движутся грузы?

Движение происходит только на оси X.

Т.к. к правому грузу приложена большая сила, движение данной системы будет направлено вправо, поэтому направим ось так же. Ускорение у обоих брусков будет направлено в одну сторону — сторону большей силы.

По II з. Ньютона спроецируем силы обоих тел на Ох:

Сложим верхнее и нижнее уравнение. Во всех задачах, если нет каких-то условий сила натяжения у разных тел одинакова T ₁ и Т ₂.

Задача 2. Два бруска, связанные нерастяжимой нитью, находятся на горизонтальной плоскости. К ним приложены силы F₁ и F₂, составляющие с горизонтом углы α и β. Найти ускорение системы и силу натяжения нити. Коэффициенты трения брусков о плоскость одинаковы и равны μ. Силы F₁ и F₂ меньше силы тяжести брусков. Система движется влево.

Cистема движется влево, однако ось можно направить в любую сторону (дело лишь в знаках, можете поэксперментировать на досуге). Для разнообразия направим вправо, против движения всей системы, мы же любим минусы! Спроецируем силы на Ох (если с этим сложности — вам сюда ).

По II з. Ньютона спроецируем силы обоих тел на Ох:

Сложим уравнения и выразим ускорение:

Выразим натяжение нити. Для этого приравняем ускорение из обоих уравнений системы:

Задача 3 . Через неподивжный блок перекинуты нить, к которой подвешены три одинаковых груза (два с одной стороны и один с другой) массой 5 кг каждый. Найти ускорение системы. Какой путь пройдут грузы за первые 4 с движения?

В данной задаче можно представить, что два левых груза скреплены вместе без нити, это избавит нас от проецирования взаимно равных сил.

Вычтем из первого уравнения второе:

Зная ускорение и то, что начальная скорость равна нулю, используем формулу пути для равноускоренного движения:

Задача 4. Два груза массами 4 кг и 6 кг соединены легкой нерастяжимой нитью. Коэффициенты трения между грузом и столом μ = 0,2. Определите ускорение, с которым будут двигаться грузы.

Запишем движение тел на оси, из Oy найдем N для силы трения (Fтр = μN):

(Если сложно понять, какие уравнения понадобятся для решения задачи, лучше запишите все)

Сложим два нижних уравнения для того, чтобы T сократилось:

Задача 5. На наклонной поскости с углом наклона 45° лежит брускок массой 6 кг. Груз массой 4 кг присоединен к бруску при помощи нити и перекинут через блок. Определите натяжение нити, если коэффициент трения бруска о плоскость μ = 0,02. При каких значениях μ система будет в равновесии?

Ось направим произвольно и предположим, что правый груз перевешивает левый и поднимает его вверх по наклонной плоскости.

Из уравнения на ось Y выразим N для силы трения на ось Х (Fтр = μN):

Решим систему, взяв уравнение для левого тела по оси Х и для правого тела по оси Y:

Выразим ускорение, чтобы осталась одна неизвестная T, и найдем ее:

Система будет в равновесии. Это означает, что сумма всех сил, действующих на каждое из тел, будет равна нулю:

Получили отрицательный коэффициент трения, значит, движение системы мы выбрали неверно (ускорение, силу трения). Можно это проверить, подставив силу натяжения нити Т в любое уравнение и найдя ускорение. Но ничего страшного, значения остаются теми же по модулю, но противоположными по направлению.

Значит, правильное направление сил должно выглядить так, а коэффициент трения, при котором система будет в равновесии, равен 0,06.

Задача 6. На двух наклонных плоскостях находится по грузу массами 1 кг. Угол между горизонталью и плоскостями равен α = 45° и β = 30°. Коэффициент трения у обеих плоскостей μ = 0,1. Найдите ускорение, с которым движутся грузы, и силу натяжения нити. Каким должно быть отношение масс грузов, чтобы они находились в равновесии.

В данной задаче уже потребуются все уравнения на обе оси для каждого тела:

Найдем N в обоих случаях, подставим их в силу трения и запишем вместе уравнения для оси Х обоих тел:

Сложим уравнения и сократим на массу:

Подставив в любое уравнение найденное ускорение, найдем Т:

А теперь одолеем последний пункт и разберемся с соотношением масс. Сумма всех сил, действующих на любое из тел, равна нулю для того, чтобы система находилась в равновесии:

Все, что с одной массой, перенесем в одну часть, все остальное — в другую часть уравнения:

Получили, что отношение масс должно быть таким:

Однако, если мы предположим, что система может двигаться в другом направлении, то есть правый груз будет перевешивать левый, направление ускорения и силы трения изменится. Уравнения останутся такими же, а вот знаки будут другими, и тогда отношение масс получится таким:

Тогда при соотношении масс от 1,08 до 1,88 система будет находиться в покое.

У многих может сложиться впечатление, что соотношение масс должно быть каким-то конкретным значением, а не промежутком. Это правда, если отстутвует сила трения. Чтобы уравновешивать силы тяжести под разными углами, найдется только один варинт, когда система находится в покое.

В данном же случае сила трения дает диапазон, в котором, пока сила трения не будет преодолена, движения не начнется.

Формула силы натяжения нити

Определение и формула силы натяжения нити

Силу натяжения определяют как равнодействующую сил $(\bar )$, приложенных к нити, равную ей по модулю, но противоположно направленную. Устоявшегося символа (буквы), обозначающего силу натяжения нет. Ее обозначают и просто $\bar $ и $\bar $, и $\bar $ . Математически определение для силы натяжения нити можно записать как:

где $\bar $ = векторная сумма всех сил, которые действуют на нить. Сила натяжения нити всегда направлена по нити (или подвесу).

Чаще всего в задачах и примерах рассматривают нить, массой которой можно пренебречь. Ее называют невесомой.

Еще одним важной характеристикой нити при расчете силы натяжения является ее растяжимость. Если исследуется невесомая и нерастяжимая нить, то такая нить считается просто проводящей через себя силу. В том случае, когда необходимо учитывать растяжение нити, применяют закон Гука, при этом:

где k – коэффициент жесткости нити, $\Delta l$ – удлинение нити при растяжении.

Единицы измерения силы натяжения нити

Основной единицей измерения силы натяжения нити (как и любой силы) в системе СИ является: [T]=Н

Примеры решения задач

Задание. Невесомая, нерастяжимая нить выдерживает силу натяжения T=4400Н. С каким максимальным ускорением можно поднимать груз массой m=400 кг, который подвешивают на эту нить, чтобы она не разорвалась?

Решение. Изобразим на рис.1 все силы, действующие на груз, и запишем второй закон Ньютона. Тело будем считать материальной точкой, все силы приложенными к центру масс тела.

где $\bar $ – сила натяжения нити. Запишем проекцию уравнения (1.1) на ось Y:

Из выражения (1.2) получим ускорение:

Все данные в задаче представлены в единицах системы СИ, проведем вычисления:

Ответ. a=1,2м/с 2

Задание. Шарик, имеющий массу m=0,1 кг прикрепленный к нити (рис.2) движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости. Найдите модуль силы натяжения нити, если длина нити l=5 м, радиус окружности R=3м.

Решение. Запишем второй закон Ньютона для сил, приложенных к шарику, который вращается по окружности с центростремительным ускорением:

Найдем проекции данного уравнения на обозначенные на рис.2 оси X и Y:

Из уравнения (2.3) получим формулу для модуля силы натяжения нити:

Из рис.2 видно, что:

Подставим (2.5) вместо $\cos \alpha$ в выражение (2.4), получим:

Так как все данные в условиях задачи приведены в единицах системы СИ, проведем вычисления:

iSopromat.ru

Пример расчета ускорения груза и натяжения нитей для заданной механической системы, движущейся из состояния покоя, без учета моментов сопротивления в подшипниках и массы нерастяжимых нитей.

Условие задачи

Для заданной механической системы определить ускорение груза и натяжения нитей.

Система движется из состояния покоя, моменты сопротивления в подшипниках не учитывать, массами нитей пренебречь, нити не растяжимы (рис. 2.1).

Пример решения

Определим направление движения системы, указав направление ускорения груза A, покажем на рис. 2.2. задаваемые силы: G_A, G_B, G_D реакции связей N_B, N_D (направление N_B пока неизвестно). Силы инерции для тела A приводятся к главному вектору сил инерции Ф_А=m_A∙a_A, для тела B к главному моменту сил инерции M_B Ф =J_B∙ε_B, для тела D, совершающего плоское движение к главному вектору сил инерции Ф_D=m_D∙a_D и к главному моменту сил инерции M_D Ф =J_D∙ε_D. Коэффициент трения качения определяет наличие момента сопротивления

Ускорения и перемещения точек системы получаются дифференцированием и интегрированием зависимостей между линейными и угловыми скоростями точек системы.

Приняв скорость груза V_A, получим соотношения

Можно продифференцировать и проинтегрировать выше приведенные формулы и получить выражения

Сообщим системе возможное перемещение в направлении ее действительного движения. Силы и моменты, действующие на систему, совершат элементарную работу. Сумма всех работ должна быть равна нолю. Момент сопротивления отнесем к внешним воздействиям. Это позволит считать данную систему идеальной. Составим общее уравнение динамики (уравнение работ):

Подставим данные задачи и получим:

Сократив на δS_A — задаваемое нами возможное перемещение груза А получим:

Из этого соотношения определим ускорение груза

Из найденных ранее соотношений можно определить: ε_B, a₀, ε_D.

При решении задачи этим методом внутренние силы в уравнения не входят. Для определения натяжения нитей нужно сделать эти силы внешними, для чего разделяем систему на части. Рассмотрим отдельно груз А, на который действуют силы Ф_A, G_A и сила T_AB, ставшая внешней (рис. 2.3). Для этой системы можно написать или принцип Даламбера или общее уравнение динамики.

Находим натяжение нити:

Для определения натяжения нити между телами B и D можно составить общее уравнение динамики (или написать принцип Даламбера) для тела B или D.

Рассмотрим тело D (рис. 2.4). Покажем действующие внешние силы и силы инерции. Натяжение нити Т_BD стало внешней силой. Приняв за возможное перемещение угол поворота тела D — δφ_D составим уравнение работ.

Для проверки результатов можно написать общее уравнение динамики (или принцип Даламбера) для блока B.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах