Как получить число пи делением

Что такое Число Пи

Число π (Пи) является математической константой, первоначально было определено как отношение длины окружности к её диаметру, является иррациональным числом и примерно равно 3.1415926535.

С помощью Пи мы ищем периметр окружности, а Пи называется именно так из-за того, что греческое слово περιμετρο («периметр») начинается именно с этой буквы.

Число Пи используют многие специалисты в своих профессиях, такие как: архитекторы, астрономы, физики, химики и другие.

Число Пи используется не только в математике (периметр), но и в строительстве башен, плотин и мостов, в астрономии — для вычислений орбиты спутника. Также в преобразованиях Фурье (применяется во многих областях науки), для вычисления общей теории относительности и для множества вычислений в статистике и квантовой механике.

Число пи полностью

Пи является иррациональным числом и поэтому имеет бесконечное количество знаков после запятой. С каждым годом разные страны устанавливают новые рекорды по вычислению количества знаков после запятой.

На данный момент науке уже известны более чем 2 триллиона знака после запятой. Неполное число Пи, с одной сотней знаков после запятой представлено далее:

Как получить число π

Разделить длину окружности на её диаметр ( C/d=π )

diametr_okryjnost

Для этого возьмите любую окружность (подойдёт любая тарелка или крышка), измерьте длину её окружности (C) и диаметр (d), а затем разделите первое на второе.

Вычисление Цзу Чунчжи (математик и астроном)

Этот способ очень простой, но даёт только 6 верных цифр после запятой. Вы можете разделить 355 на 113 (Пи≈355/113), это равно 3,1415929204 (а Пи ≈ 3,1415926535. ).

Формула Лейбница для вычисления π

π = (4/1) — (4/3) + (4/5) — (4/7) + (4/9) — (4/11) + (4/13).

Возьмите 4 («разделённое на 1», что даёт 4) и вычтите 4, разделённое на 3. Затем добавьте 4, разделённое на 5. Затем вычтите 4, разделённое на 7.

Продолжайте чередовать сложение и вычитание дробей с числителем 4 и знаменателем каждого последующего нечётного числа.

Чем больше раз вы это сделаете, тем более точное у вас будет значение пи.

История числа Пи

Число Пи известно уже почти 4000 лет. Одна вавилонская табличка (около 1900–1680 гг. до н. э.) указывает, что они обозначали это число как π = 3,125, что уже достаточно точное приближение к современному.

«Папирус Ахмеса» (папирус Ринда или папирус Райнда, около 1650 г. до н. э.) даёт нам представление о математике древнего Египта. Египтяне рассчитывали площадь круга по формуле, по которой приблизительное значение для Пи было 3,1605.

Первое вычисление числа Пи было сделано Архимедом (287–212 гг. до н. э.). Он определил, что истинное значение Пи находится между и 3.1/7 .

На протяжении почти тысячи лет самым близким значением числа Пи было вычисление китайского математика и астронома Цзу Чунчжи (429—500 гг.), сделанное в 480-х годах. Он вывел следующее: 3,1415926 maior Пи maior 3,1415927 и Пи ≈ 355/113.

На данный момент используется алгоритм Чудновских — это быстрый алгоритм, изобретённый братьями Чудновскими, для вычисления числа π. Он показывает более триллиона знаков после запятой.

В 1700-х годах математики начали использовать греческую букву π, введённую Уильямом Джонсом в 1706 году. Использование символа было популяризировано Леонардом Эйлером, который принял его в 1737 году.

Euler

Леонард Эйлер, математик, родился в 1707 г., Базель, Швейцария; умер:1783 г., Санкт-Петербург, Россия;
художник Иосиф Фридрих Август Дарбес.

А если бы мы не знали Пи?

Путешествия на автомобиле

Для начала пи позволяет нам точно рассчитывать и создавать окружности. Представьте, что колёса вашей машины немного отличаются друг от друга, каждое слегка смещено от центра. Вы не только будете постоянно тратить кучу денег на механика, но и поездки у вас также будут менее удобными.

Путешествия по воздуху

Пи играет важную роль в расчёте времени и расстояния путешествия на самолёте. Когда самолёты летают на большие расстояния, они летят по округлой дуге потому что, Земля круглая.

Ни телевизора, ни радио, ни телефонов

Инженеры используют пи для расчёта и оптимизации звуковых волн.

Казино

Всеми любимая формула нормального распределения (также называемая распределением Гаусса) считается с помощью пи. Проще говоря: пи играет ключевую роль в формулах по теории вероятности и статистике — поэтому с пи азартные игры становятся намного более предсказуемыми. И с этими расчётами люди открывают казино, зная наверняка, какой процент их клиентов будет выигрывать и проигрывать.

Не было бы многих игр, ведь футбольные, баскетбольные, теннисные и другие мячи должны быть абсолютно круглыми.

Число Пи интересные факты

Число π по-английски произносится «пай» — это означает пирог, а слово пирог по-русски начинается с «пи».

Число Пи имеет два неофициальных праздника в году: первый — 14 марта (в США эта дата записывается как 3.14), вторая — 22 июля (22/7 : деление 22 на 7 является приблизительным результатом Пи).

Станислав Улам, польский и американский математик, в 1965 году, написал на бумаге в клетку цифры, входящие в число пи. Он поставил в центре 3 и двигался по спирали против часовой стрелки, записывая числа после запятой, при этом он обводил все простые числа кружками.

Он пришёл одновременно в удивление и ужас, заметив, что кружки выстраивались вдоль прямых. После, с помощью специального алгоритма, математик сделал на основе этого рисунка цветовую картину, которую называют «Скатерть Улама».

Ulam

Скатерть Улама

Число Пи можно даже играть на музыкальном инструменте поставив ноты в его порядке.

Числу «Пи» поставили несколько памятников по всему миру.

monument_pi

Памятник Пи в Колумбии, построенный Обществом инженеров Norte Santandereana, он расположен между Авенида Либертадорес и Ла Диагональ Сантандер.

Существует стиль письма, который называется «пилиш» (от «пи», английский «pilish»), в котором длина последовательных слов соответствует цифрам числа πи. В первом слове произведения должно быть 3 буквы, во втором — одна, потом — четыре, следом — опять одна, затем пять, и так далее по цифрам π.

Например, такая поэма на английском языке:

Как запомнить число π

Один из самых популярных способов — это запомнить фразу, а затем посчитать количество букв в каждом слове.

Например, такие фразы:

Что я знаю о кругах? (3.1415);
Она и была, и будет уважаемая на работе (3,1415926);
Это я знаю и помню прекрасно — пи, многие знаки мне лишни, напрасны (3,14159265358).

Для того чтобы запомнить число Пи, также можно выучить небольшое стихотворение из книги Сергея Боброва «Волшебный двурог»:

“Чтобы нам не ошибаться,
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Ну и дальше надо знать,
Если мы вас спросим —
Это будет пять, три, пять,
Восемь, девять, восемь”.

Таинственное число «ПИ»

Что такое "пи" известно абсолютно всем. Но знакомое всем со школы число возникает во многих ситуациях, не имеющим никакого отношения к окружностям. Его можно встретить в теории вероятностей, в формуле Стирлинга для вычисления факториала, в решении задач с комплексными числами и прочих неожиданных и далеких от геометрии областях математики. Английский математик Август де Морган назвал как-то "пи" “…загадочным числом 3,14159…, которое лезет в дверь, в окно и через крышу”.

Это таинственное число, связанное с одной из трех классических задач Античности — построение квадрата, площадь которого равна площади заданного круга — влечет за собой шлейф драматических исторических и курьезных занимательных фактов.

Несколько занимательных фактов о числе Пи
1. А знаете ли Вы, что первым, кто использовал для числа 3,14 символ «пи», был Вильям Джонс из Уэльса, и произошло это в 1706 году.
2. А знаете ли Вы, что мировой рекорд по запоминанию числа Пи установил 17 июня 2009 года украинский нейрохирург, доктор медицинских наук, профессор Андрей Слюсарчук, удержавший в памяти 30 млн. его знаков (20 томов текста).
3. А знаете ли Вы, что в 1996 году Майк Кейт написал короткий рассказ, который называется «Ритмическая каденция» («Cadeic Cadenze»), в его тексте длина слов соответствовала первым 3834 цифрам числа Пи.

Считается, что праздник придумал в 1987 году физик из Сан-Франциско Ларри Шоу, обративший внимание на то, что 14 марта (в американском написании – 3.14) ровно в 01:59 дата и время совпадут с первыми разрядами числа Пи = 3,14159.

14 марта 1879 года также родился создатель теории относительности Альберт Эйнштейн, что делает этот день еще более привлекательным для всех любителей математики.

Кроме того, математики отмечают и день приближенного значения Пи, который приходится на 22 июля (22/7 в европейском формате записи даты).

"В это время читают хвалебные речи в честь числа Пи и его роли в жизни человечества, рисуют антиутопические картины мира без Пи, едят пироги с изображением греческой буквы Пи или с первыми цифрами самого числа, решают математические головоломки и загадки, а также водят хороводы", – пишет Википедия.

В цифровом выражении Пи начинается как 3,141592 и имеет бесконечную математическую продолжительность.

Французский ученый Фабрис Беллар вычислил число Пи с рекордной точностью. Об этом сообщается на его официальном сайте. Свежий рекорд составляет около 2,7 триллиона (2 триллиона 699 миллиардов 999 миллионов 990 тысяч) десятичных знаков. Предыдущее достижение принадлежит японцам, которые посчитали константу с точностью до 2,6 триллиона десятичных знаков.

На вычисления у Беллара ушло около 103 дней. Все расчеты проводились на домашнем компьютере, стоимость которого лежит в пределах 2000 евро. Для сравнения, предыдущий рекорд был установлен на суперкомпьютере T2K Tsukuba System, у которого ушло на работу около 73 часов.

Изначально число Пи появилось как отношение длины окружности к ее диаметру, поэтому его приближенное значение вычислялось как отношение периметра вписанного в окружность многоугольника к диаметру этой окружности. Позже появились более совершенные методы. В настоящее время Пи вычисляется при помощи быстро сходящихся рядов, наподобие тех , которые были предложены Сринивасом Рамануджаном в начале 20 века.

Сначала Пи рассчитывалось в двоичной системе, после чего переводилось в десятичную. Это проделали за 13 дней. В общей сложности для хранения всех цифр требуется 1,1 терабайта дискового пространства.

Подобные вычисления имеют не только прикладное значение. Так, сейчас с Пи связано множество нерешенных задач. Не решен вопрос о нормальности этого числа. Например, известно, что Пи и e (основание экспоненты) трансцендентные числа, то есть не являются корнями никакого многочлена с целыми коэффициентами. При этом, однако, является ли сумма этих двух фундаментальных констант трансцендентным числом или нет — неизвестно до сих пор.

Более того, до сих пор не известно, все ли цифры от 0 до 9 встречаются в десятичной записи числа Пи бесконечное число раз.

В данном случае сверхточное вычисление числа является удобным экспериментом, результаты которого позволяют сформулировать гипотезы относительно тех или иных особенностей числа.

Число вычисляется по определенным правилам, причем при любом вычислении, в любом месте и в любое время, на определенном месте в записи числа стоит одна и та же цифра. Значит существует некий закон, по которому в числе в определенном месте ставится определенная цифра. Конечно, это закон не простой, но закон всё таки есть. И, значит, цифры в записи числа не случайны, а закономерны.

Считают число Пи: PI = 4 — 4/3 + 4/5 — 4/7 + 4/9 — … — 4/n + 4/(n+2)

Поиск Pi или деление столбиком:

Пары целых чисел, дающих при делении большое приближение к числу Pi. Деление производилось "столбиком", чтобы обойти ограничения по длине чисел с плавающей точкой Visual Basic 6.

Pi = 3.14159265358979323846264>33832795028841 971.

К экзотическим методам вычисления пи вроде использования теории вероятности или простых чисел принадлежит и метод, придуманный Г.А. Гальпериным, и называемый Пи-биллиардом, который основан на оригинальной модели. При столкновении двух шаров, меньший из которых находится между большим и стенкой, и больший движется к стенке, число соударений шаров позволяет вычислить Пи со сколь угодно большой наперед заданной точностью. Надо только запустить процесс (можно и на компьютере) и посчитать число ударов шаров. Программная реализация этой модели пока не известна

В каждой книге по занимательной математике вы непременно найдете историю вычисления и уточнения значения числа "пи". Сначала, в древних Китае, Египте, Вавилоне и Греции для расчетов использовали дроби, например, 22/7 или 49/16. В Средние века и Эпоху Возрождения европейские, индийские и арабские математики уточнили значение "пи" до 40 знаков после десятичной точки, а к началу Эпохи Компьютеров усилиями многих энтузиастов количество знаков было доведено до 500. Такая точность имеет чисто научный интерес (об этом ниже), для практики, в пределах Земли достаточно 11 знаков после точки.

Тогда, зная, что радиус Земли равен 6400 км или 6,4*1012 миллиметров, получится, что мы, отбросив двенадцатую цифру "пи" после точки при вычислении длины меридиана, ошибемся на несколько миллиметров. А при расчете длины Земной орбиты при вращении вокруг Солнца (как известно, R=150*106 км = 1,5*1014 мм) для такой же точности достаточно использовать "пи" с четырнадцатью знаками после точки. Среднее расстояние от Солнца до Плутона — самой далекой планеты Солнечной системы — в 40 раз больше среднего расстояния от Земли до Солнца.

Для вычисления длины орбиты Плутона с ошибкой в несколько миллиметров достаточно шестнадцати знаков "пи". Да что уж там мелочиться — диаметр нашей Галактики около 100.000 световых лет (1 световой год примерно равен 1013 км) или 1018 км или 1030 мм., а еще в XXVII веке были получены 34 знака "пи", избыточные для таких расстояний.

В чем же сложность вычисления значения "пи"? Дело в том, что оно не только иррациональное (то есть его нельзя выразить в видедроби P/Q, где P и Q целые числа), но оно еще не может быть корнем алгебраического уравнения. Число , например, иррациональное, не может быть представлено отношением целых чисел, но оно является корнем уравнения Х2-2=0, а для чисел "пи" и е (постоянная Эйлера), нельзя указать такое алгебраическое (не дифференциальное) уравнение. Такие числа (трансцендентные) вычисляются рассмотрением какого-либо процесса и уточняются за счет увеличения шагов рассматриваемого процесса. Самый “простой” путь — вписывать в окружность правильный многоугольник и вычислять отношение периметра многоугольника к его “радиусу”. pages marsu

Число объясняет мир

Кажется, двум американским математикам удалось приблизиться к разгадке тайны числа пи, представляющего в сугубо математическом плане соотношение длины окружности круга к его диаметру, сообщает Der Spiegel.

Как иррациональная величина оно не может быть представлено в виде завершенной дроби, поэтому после запятой следует бесконечный ряд цифр. Это свойство всегда привлекало математиков, стремившихся найти, с одной стороны, более точное значение пи, а с другой — его обобщенную формулу.

Однако математики Дэвид Бейли из лаборатории Lawrence Berkeley National Laboratory в Калифорнии и Ричард Грендел из колледжа Reed College в Портланде, рассматривали число с другой стороны — они попытались найти какой-то смысл в кажущемся хаотичном ряду цифр после запятой. В результате установили, что регулярно повторяются комбинации следующих цифр — 59345 и 78952.

Но пока что не могут ответить на вопрос, является ли повторение случайным или закономерным. Вопрос закономерности повторения определенных комбинаций цифр, и не только в числе пи,— один из самых трудных в математике. Но теперь можно сказать что-то более определенное об этом числе. Открытие прокладывает путь к разгадке числа пи и в целом к определению его сути — является ли оно нормальным для нашего мира или нет.

Оба математика интересуются числом пи с 1996 года, и с этого времени им пришлось отказаться от так называемой «теории чисел» и обратить внимание на «теорию хаоса», являющуюся ныне их главным оружием. Исследователи конструируют на основе отображения числа пи — самой распространенной его формой является при этом 3,14159. — ряды чисел между нулем и единицей — 0,314, 0,141, 0,415, 0,159 и так далее. Поэтому, если число пи действительно является хаотичным, то хаотичным должны быть и ряды чисел, начинающихся с нуля. Но ответа на этот вопрос пока нет. Разгадать секрет пи, как и его старшего брата — числа 42, с помощью которого многие исследователи пытаются объяснить тайну мироздания, еще предстоит."

Интересные данные о распределении цифр Пи.

(Программирование — величайшее из достижений человечества. Благодаря ему мы регулярно узнаем то, что нам знать совсем не нужно, но уж очень интересно)

Посчитано (для миллиона цифр после запятой):

В первых 200,000,000,000 десятичных знаках Пи цифры встречались с такой частотой:

То есть цифры распределены почти равномерно. Почему?Потому что по современным математическим представлениям при бесконечном количестве цифр их будет точно поровну, кроме того единичек будет столько же, сколько двоек и троек вместе взятых и даже столько же, сколько и всех остальных девяти цифр вместе взятых . Но тут знать, где остановиться, ловить момент, так сказать, где их действительно поровну.

И еще — в цифрах числа Пи можно ожидать появление любой наперед заданной последовательности цифр. Например, самыераспространенные расстановки встретились в следующих по счету цифрах:

01234567891 : с 26,852,899,245

01234567891 : с 41,952,536,161

01234567891 : с 99,972,955,571

01234567891 : с 102,081,851,717

01234567891 : с 171,257,652,369

01234567890 : с 53,217,681,704

27182818284 : с 45,111,908,393 — это цифры числа е. (

Была такая шутка: ученые нашли последнее число в записи Пи — им оказалось число е, почти попали)

Можно поискать в первых десяти тысячах знаков Пи свой телефон или дату рождения, если не получится, то ищите в 100.000 знаков.

В числе 1/Пи начиная с 55,172,085,586 знака идут 3333333333333, не правда ли удивительно?

В философии обычно противопоставляют случайное и необходимое. Так знаки числа пи случайны? Или они необходимы? Скажем, третий знак числа пи равен "4". И вне зависимости от того, кто-бы это пи вычислял, в каком месте и в какое время он бы это не делал, третий знак с необходимостью всегда будет равен "4".

Связь числа Пи, числом Фи и рядом Фибоначии. Связь числа 3,1415916 и числа 1,61803 и последовательности Пизанского.

Еще интересное:
1. В десятичных позициях числа Пи 7, 22, 113, 355 — цифра 2. Дроби 22/7 и 355/113 — хорошие приближения к числу Пи.
2. Коханский нашел, что Пи является приблизительным корнем уравнения: 9х^4-240х^2+1492=0
3. Если записать заглавные буквы английского алфавита по часовой стрелке в круг и вычеркнуть буквы имеющие симметрию слева — направо: A,H,I,M,O,T,U,V,W,X,Y, то оставшиеся буквы образуют группы по 3,1,4,1,6 букв.
(A) BCDEFG (HI) JKL (M) N (O) PQRS (TUVWXY) Z
6 3 1 4 1
Так что английский алфавит должен начинаться с буквы Н, I или J, а не с буквы А 🙂

А нам-то что с того? А следует из этого то, что в десятичном хвосте числа пи можно отыскать любую задуманную последовательность цифр. Ваш телефон? Пожалуйста, и не раз (проверить можно тут, но имейте в виду, что эта страничка весит около 300 мегабайт, так что загрузки придется подождать. Можно скачать жалкий миллион знаков тут или поверить на слово: любая последовательность цифр в десятичных знаках числа пи рано или поздно найдется. Любая!

Для более возвышенных читателей можно предложить и другой пример: если зашифровать все буквы цифрами, то в десятичном разложении числа пи можно найти всю мировую литературу и науку, и рецепт изготовления соуса бешамель, и все священные книги всех религий. Я не шучу, это строгий научный факт. Ведь последовательность БЕСКОНЕЧНА и сочетания не повторяются, следовательно она содержит ВСЕ сочетания цифр, и это уже доказано. А раз все, то все. В том числе и такие, которые соответствуют выбранной вами книге.

А это опять-таки означает, что там содержится не только вся мировая литература, которая уже написана (в частности и те книги, которые сгорели и т.д.), но и все книги, которые еще БУДУТ написаны.

Получается, что это число (единственное разумное число во вселенной!) и управляет нашим миром.

Вопрос в том, как их там отыскать.

А еще в этот день родился Альберт Эйнштейн, который предсказал. да чего он только не предсказал! . даже темную энергию.

Был этот мир глубокой тьмой окутан.

Да будет свет! И вот явился Ньютон.

Но Сатана не долго ждал реванша.

Пришел Эйнштейн — и стало все, как раньше.

Они хорошо коррелируются — пи и Альберт.

Теории возникают, развиваются и .

Суть: число Пи не равно 3,14159265358979.

Это заблуждение, основанное на ошибочном постулате отождествления плоского Евклидового пространства с реальным пространством Вселенной.

Краткое объяснение почему в общем случае Пи не равно 3,14159265358979.

Этот феномен связан с кривизной пространства. Силовые линии во Вселенной на значительных расстояниях не идеальные прямые, а слегка изогнутые линии. Мы уже доросли до момента констатации факта, что в реальном мире не существует идеально прямых линий, идеально плоских кругов, идеального Евклидового пространства. Следовательно, мы должны представлять себе любой круг одного радиуса на сфере гораздо большего радиуса.

Мы заблуждаемся, думая что пространство плоско, «кубично». Вселенная не кубична, не цилиндрична и тем более не пирамидальна. Вселенная сферична. Единственный случай, когда плоскость может быть идеальной (в смысле «неизогнутой») является случай, когда такая плоскость проходит через центр Вселенной.

Конечно, кривизной CD-ROMа можно пренебречь, поскольку диаметр компакт-диска значительно меньше диаметра Земли, тем более диаметра Вселенной. Но пренебрегать кривизной в орбитах комет и астероидов не следует. Неистребимое Птолемеевское убеждение, что мы всё ещё находимся в центре Вселенной может нам дорого стоить.

Ниже приводятся аксиомы плоского Евклидова («кубичного» Декартова) пространства и сформулированная мной дополнительная аксиома для сферического пространства.

Аксиомы плоского сознания:

через 1 точку можно провести бесконечное количество прямых и бесконечное количество плоскостей.

через 2 точки можно провести 1 и только 1 прямую, через которую можно провести бесконечное количество плоскостей.

через 3 точки в общем случае нельзя провести ни одной прямой и одну, и только одну, плоскость. Дополнительная аксиома для сферического сознания:

через 4 точки в общем случае нельзя провести ни одной прямой, ни одной плоскости и одну и только одну сферу. Арсентьев Алексей Иванович

Немного мистики. Число ПИ Разумно?

Через число Пи может быть определена любая другая константа, включая постоянную тонкой структуры (альфа), константу золотой пропорции (f=1,618. ), не говоря уж о числе e — именно поэтому число пи встречается не только в геометрии, но и в теории относительности, квантовой механике, ядерной физике и т.д. Более того — недавно учёные установили, что именно через Пи можно определить местоположение элементарных частиц в Таблице элементарных частиц (ранее это пытались сделать через Таблицу Вуди), а сообщение о том, что в недавно расшифрованном ДНК человека число Пи отвечает за саму структуру ДНК (достаточно сложную, надо отметить), произвело эффект разорвавшейся бомбы!

Как считает доктор Чарльз Кэнтор, под руководством которого ДНК и было расшифровано: "Такое впечатление, что мы подошли к разгадке некоей фундаментальной задачки, которую нам подкинуло мироздание. Число Пи — повсюду, оно контролирует все известные нам процессы, оставаясь при этом неизменным! Кто же контролирует само число Пи? Ответа пока нет."

На самом деле, Кэнтор лукавит, ответ есть, просто он настолько невероятен, что учёные предпочитают не выносить его на широкую публику, опасаясь за собственную жизнь (об этом чуть позже): число Пи само себя контролирует, оно разумно! Вздор? Не спешите. Ведь ещё Фонвизин говорил, что "в человеческом невежестве весьма утешительно считать всё то за вздор, чего не знаешь."

Во-первых, догадки о разумности чисел вообще давно посещали многих известных математиков современности. Норвежский математик Нильс Хенрик Абель в феврале 1829-го писал своей матери: "Я получил подтверждения того, что одно из чисел — разумно. Я говорил с ним! Но меня пугает, что я не могу определить, что это за число. Но может быть это и к лучшему. Число предупредило меня, что я буду наказан, если Оно будет раскрыто." Кто знает, раскрыл бы Нильс значение числа, с ним говорившего, но 6 марта 1829-го года его не стало.

1955 год, японец Ютака Танияма выдвигает гипотезу о том, что "каждой эллиптической кривой соответствует определенная модулярная форма" (как известно, на основе этой гипотезы была доказана теорема Ферма). 15 сентября 1955-го, на международном математическом симпозиуме в Токио, где Танияма объявил о своей гипотезе, на вопрос журналиста: "Как вы до этого додумались?" — Танияма отвечает: "Я не додумался, число мне об этом сообщило по телефону". Журналист, думая, что это шутка, решил её "поддержать": "А номер-то телефона оно вам сообщило?". На что Танияма серьёзно ответил: "Такое впечатление, что этот номер мне давно был известен, но я могу теперь сообщить его только через три года, 51 день, 15 часов и 30 минут." В ноябре 1958 года Танияма покончил с собой. Три года, 51 день, 15 часов и 30 минут — это и есть 3,1415. Совпадение? Может быть. Но — вот ещё одно, ещё более странное. Итальянский математик Селла Квитино тоже несколько лет, как он сам туманно выражался, "поддерживал связь с одной милой цифрой". Цифра, по словам Квитино, который уже тогда лежал в психиатрической лечебнице, "обещала сказать своё имя в день своего рождения". Мог ли Квитино настолько лишиться разума, чтобы называть число Пи цифрой, или он так специально запутывал врачей? Не ясно, но 14 марта 1827-го года Квитино не стало.

А самая загадочная история связана с "великим Харди" (как вы все знаете, так современники называли великого английского математика Годфри Харолда Харди), который вместе со своим приятелем Джоном Литлвудом знаменит работами в теории чисел (особенно в области диофантовых приближений) и теории функций (где друзья прославились исследованием неравенств). Как известно, Харди был официально неженат, хотя не раз заявлял, что "обручён с царицей мира нашего". Коллеги-учёные не раз слышали, как он разговаривает с кем-то в своём кабинете, его собеседника никто никогда не видел, хотя его голос — металлический и чуть скрипучий — долгое время был притчей во языцех в Оксфордском университете, где он работал в последние годы. В ноябре 1947 года эти беседы прекращаются, а 1 декабря 1947 года Харди находят на городской свалке, с пулей в желудке. Версию о самоубийстве подтвердила и записка, где рукой Харди было написано: "Джон, ты увёл у меня царицу, я тебя не виню, но жить без неё я более не могу".

Связана ли эта история с числом Пи? Пока неясно, но не правда ли, любопытно?

Вообще говоря, подобных историй можно накопать очень много, и, разумеется, не все они трагичны.

Но, перейдём к "во-вторых": каким образом число вообще может быть разумным? Да очень просто. Человеческий мозг содержит 100 млрд. нейронов, число знаков Пи после запятой вообще стремится к бесконечности, в общем, по формальным признакам оно может быть разумным. Но ведь если верить работе американского физика Дэвида Бейли и канадских математиков Питера Борвина и Саймона Плофе, последовательность десятичных знаков в Пи подчиняется теории хаоса, грубо говоря, число Пи это и есть хаос в его первозданном виде. Может ли хаос быть разумным? Конечно! Точно так же, как и вакуум, при его кажущейся пустоте, как известно, отнюдь не пуст.

Более того, при желании, можно этот хаос представить графически — чтобы убедиться, что он может быть разумным. В 1965-ом году американский математик польского происхождения Станислав М. Улам (именно ему принадлежит ключевая идея конструкции термоядерной бомбы), присутствуя на одном очень длинном и очень скучном (по его словам) собрании, чтобы как-то развлечься начал писать на клетчатой бумаге цифры, входящие в число Пи. Поставив в центре 3 и двигаясь по спирали против часовой стрелки, он выписывал 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5 и прочие цифры после запятой. Без всякой задней мысли он попутно обводил все простые числа чёрными кружками. Вскоре, к его удивлению, кружки с поразительным упорством стали выстраиваться вдоль прямых — то, что получилось, очень было похоже на нечто разумное. Особенно, после того, как Улам сгенерировал на основе этого рисунка цветовую картину, с помощью специального алгоритма.

Собственно, эту картинку, которую можно сравнить и с мозгом, и со звёздной туманностью, можно смело называть "мозгом числа Пи". Примерно с помощью такой структуры это число (единственное разумное число во вселенной) и управляет нашим миром. Но — каким образом происходит это управление? Как правило, с помощью неписанных законов физики, химии, физиологии, астрономии, которые контролируются и корректируются разумным числом. Приведённые выше примеры показывают, что разумное число так же нарочно персонифицируется, общаясь с учёными как некая сверхличность. Но если так, приходило ли число Пи в наш мир, в облике обычного человека?

Сложный вопрос. Может быть приходило, может быть нет, надёжной методки определения этого нет и быть не может, но, если это число во всех случаях определено само собой, то можно предположить, что оно приходило в наш мир как персона в день, соответствующий его значению. Разумеется, идеальной датой рождения Пи является 14 марта 1592-го года (3,141592), однако, надёжной статистики по этому году, увы, нет — известно только, что именно в этом году 14 марта родился Джордж Вильерс Бэкингем — герцог Бэкингем из "Трёх мушкетёров". Он великолепно фехтовал, знал толк в лошадях и соколиной охоте — но был ли он числом Пи? Вряд ли. На роль человеческого воплощения числа Пи мог бы идеально претендовать Дункан МакЛауд, родившийся 14-го марта 1592-го года, в горах Шотландии — если б был реальной личностью.

Но ведь год (1592) может определяться по собственному, более логичному для Пи летоисчислению. Если принять это предположение, то претендентов на роль числа Пи становится много больше.

Самый очевидный из них — Альберт Эйнштейн, родившийся 14 марта 1879-го. Но 1879 год это и есть 1592 год относительно 287 года до нашей эры! А почему именно 287? Да потому что именно в этом году родился Архимед, впервые в мире вычисливший число Пи как отношение длины окружности к диаметру и доказавший, что оно одинаково для любого круга! Совпадение? Но не много ли совпадений, как думаете?

В какой личности Пи персонифицировано сегодня, не ясно, но для того, что бы увидеть значение этого числа для нашего мира, не нужно быть математиком: Пи проявляется во всём, что нас окружает. И это, кстати, очень свойственно для любого разумного существа, каковым, без сомнения, является Пи!

Что такое ПИН-код?

-Пер-СОНальный ИДЕН-тифи-КА-ЦИ-онный номер.

Что такое число ПИ?

Расшифровка числа ПИ (3, 14. ) (пин-код), сделать это может любой и без меня, через Глаголицу. Подставляем вместо цифр буквы (числовые значения букв приведены в Глаголице) и получаем вот такую фразу: Глаголи (глаголю, говорю, делаю) Аз (я, ас, мастер, творец) Добро. А если взять следующие цифры, то там получается примерно следующее: "Делаю я добро, я есть Фита (скрытое, внебрачный ребенок, непорочное зачатие, непроявленное, 9), ведаю (познаю) искажение (зло) это есть говорение(действие) воля (желание) Земля делаю познаю делаю воля добро зло (искажение) познаю зло добро делаю". и так до бесконечности, там много цифр, но полагаю, что всё об одном и том же.

Самая красивая теорема математики: тождество Эйлера

Посмотрев лекцию профессора Робина Уилсона о тождестве Эйлера, я наконец смог понять, почему тождество Эйлера является самым красивым уравнением. Чтобы поделиться моим восхищением это темой и укрепить собственные знания, я изложу заметки, сделанные во время лекции. А здесь вы можете купить его прекрасную книгу.

Что может быть более загадочным, чем взаимодействие мнимых чисел с вещественными, в результате дающее ничто? Такой вопрос задал читатель журнала Physics World в 2004 году, чтобы подчеркнуть красоту уравнения Эйлера «e в степени i, умноженного на пи равно минус единице».

Рисунок 1.0: тождество Эйлера — e в степени i, умноженного на пи, плюс единица равно нулю.

Ещё раньше, в 1988 году, математик Дэвид Уэллс, писавший статьи для американского математического журнала The Mathematical Intelligencer, составил список из 24 теорем математики и провёл опрос, попросив читателей своей статьи выбрать самую красивую теорему. И после того, как с большим отрывом в нём выиграло уравнение Эйлера, оно получило званием «самого красивого уравнения в математике».

Рисунок 2.0: обложка журнала The Mathematical Intelligencer

Рисунок 3.0: опрос Дэвида Уэллса из журнала

Леонарда Эйлера называют самым продуктивным математиком за всю историю. Других выдающихся математиков вдохновляли его работы. Один из лучших физиков в мире, Ричард Фейнман, в своих знаменитых лекциях по физике назвал уравнение Эйлера «самой примечательной формулой в математике». Ещё один потрясающий математик, Майкл Атья, назвал эту формулу «…математическим аналогом фразы Гамлета — «быть или не быть» — очень короткой, очень сжатой, и в то же время очень глубокой».

Существует множество интересных фактов об уравнении Эйлера. Например, оно встречалось в некоторых эпизодах «Симпсонов».

Рисунок 4.0: в этой сцене уравнение Эйлера можно заметить на второй книге в самой правой стопке.

Рисунок 5.0: в этой сцене уравнение Эйлера написано на футболке второстепенного персонажа.

Также уравнение Эйлера стало ключевым пунктом в уголовном деле. В 2003 году аспирант Калифорнийского технологического института Билли Коттрелл писал краской на чужих спортивных автомобилях уравнение Эйлера. На суде он сказал: «Я знал теорему Эйлера с пяти лет, и её обязаны знать все«.

Рисунок 6.0: марка, выпущенная в 1983 году в Германии в память о двухсотлетии со смерти Эйлера.

Рисунок 7.0: марка, выпущенная Швейцарией в 1957 году в честь 250-й годовщины Эйлера.

Почему уравнение Эйлера так важно?

Вы имеете полное право задаться вопросом: почему Билли Коттрелл считал, что об уравнении Эйлера обязаны знать все? И был настолько в этом уверен, что начал писать его на чужих машинах? Ответ прост: Эйлер воспользовался тремя фундаментальными константами математики и применил математические операции умножения и возведения в степень, чтобы записать красивую формулу, дающую в результате ноль или минус один.

Константа e связана со степенными функциями.
Константа i является не вещественным, а мнимым числом, равным квадратному корню из минус единицы.
Знаменитая константа π (пи) связана с окружностями.

Рисунок 8.0: экспоненциальная функция y=e x .

Рисунок 8.1: график тождества Эйлера.

Рисунок 8.2: частоты, испускаемые LC-цепью.

Показанные выше уравнения и графы могут показаться абстрактными, но они важны для квантовой физики и вычислений обработки изображений, и при этом зависят от тождества Эйлера.

1: число для счёта

Число 1 (единица) является основой нашей системы исчисления. С неё мы начинаем счёт. Но как мы считаем? Чтобы считать, мы используем цифры 0–9 и систему разрядов, определяющую значение цифры.

Например, число 323 означает 3 сотни, 2 десятка и 3 единицы. Здесь число 3 исполняет две разные роли, которые зависят от его расположения.

323 = (3*100) + (2*10) + (3*1)

Существует и другая система исчисления, называемая двоичной. В этой системе вместо 10 используется основание 2. Она широко применяется в компьютерах и программировании. Например, в двоичной системе:

1001 = (2 3 ) + (0 2 ) + (0 1 ) + (2 0 ) = [9 в системе с основанием 10]

Кто создал системы исчисления? Как первые люди считали предметы или животных?

Как возникли наши системы исчисления? Как считали первые цивилизации? Мы точно знаем, что они не пользовались нашей разрядной системой. Например 4000 лет назад древние египтяне использовали систему исчисления с разными символами. Однако они комбинировали символы, создавая новый символ, обозначающий числа.

Рисунок 11: показанные здесь иероглифы образуют число 4622; это одно из чисел, вырезанных на стене в храме в Карнаке (Египет).

Рисунок 12: иероглифы — это изображения, обозначающие слова, а в данном случае — числа.

В то же время, но в другом месте ещё один социум обнаружил способ подсчёта, но в нём тоже использовались символы. Кроме того, основанием их системы исчисления было 60, а не 10. Мы используем их метод счёта для определения времени; поэтому в минуте 60 секунд, а в часе 60 минут.

Рисунок 13: вавилонские числа из шестидесятиричной системы счисления (с основанием 60).

Тысячу лет спустя древние римляне изобрели римские числа. Для обозначения чисел они использовали буквы. Римская нотация не считается разрядной системой, потому что для многих значений нашей системы счисления в ней использовались разные буквы. Именно по этой причине для счёта они использовали абакус.

Рисунок 14: романский абакус в шестнадцатеричной (с основанием 16) системе счисления

Рисунок 15: таблица преобразования из арабских в римские числа

Древние греки тоже не использовали разрядную систему счисления. Греческие математики обозначали числа буквами. У них были специальные буквы для чисел от 100 до 900. Многие люди в то время считали греческие числа запутанными.

Рисунок 15: таблица букв древних греков.

В то же самое время китайские математики начали использовать для расчётов небольшие бамбуковые палочки. Этот китайский способ счёта называют первой десятичной разрядной системой.

Рисунок 16: китайский способ счёта с числами-палочками. Использовался как минимум с 400 года до нашей эры. Квадратная счётная доска использовалась примерно до 1500 года, когда её заменил абакус.

Однако самая уникальная система счёта использовалась индейцами майя. Их система счисления имела основание 20. Для обозначения чисел от 1 до 19 они использовали точки и линии. Чем же отличалась их система счисления? Для каждого числа они использовали изображения голов и отдельный символ нуля 0.

Рисунок 17: Система счисления майя с основанием 20, в которой числа обозначались головами

Рисунок 18: ещё один способ записи чисел майя.

0: число для обозначения ничего

Некоторые цивилизации использовали пробелы, чтобы, например, отличать число 101 от 11. Спустя какое-то время начало появляться особое число — ноль. К примеру, в пещере в индийском городе Гвалиор археологи обнаружили на стене число 270, в котором был ноль. Самое первое зафиксированное использование нуля можно увидеть в Бодлианской библиотеке.

Рисунок 19: вырезанный на стене храма в Гвалиоре круг обозначает ноль. Ему примерно 1500 лет.

Рисунок 20: чёрные точки в манускрипте Бакхшали обозначают нули; это самый старый письменный пример использования числа, ему примерно 1800 лет.

Примерно 1400 лет назад были записаны правила вычислений с нулём. Например, при сложении отрицательного числа и нуля получается то же отрицательное число. Деление на нуль не допускается, потому что если разделить на ноль, то мы получим число, которое может быть равно любому нужному нам числу, что должно быть запрещено.

Вскоре после этого многими людьми были опубликованы книги по арифметике, распространяющие использование индо-арабской записи чисел. Ниже показана эволюция индо-арабских чисел. В большинстве стран используется индо-арабская система чисел, но арабские страны до сих пор пользуются арабскими числами.

Рисунок 21: на этой схеме показана эволюция чисел, происходящих от чисел брахми и заканчивающаяся числами, которыми мы используем и сегодня.

Рисунок 22: классическая гравюра «Арифметика» из Margarita Philosophica Грегора Рейша, на которой изображено соревнование между Боэцием, улыбающимся после открытия индо-арабских чисел и письменных вычислений, и нахмуренным Пифагором, до сих пор пытающимся пользоваться счётной доской.

Пи (π): самое известное иррациональное число

Пи — самое популярное из известных нам иррациональных чисел. Пи можно найти двумя способами: вычислив соотношение длины окружности к её диаметру, или соотношение площади круга к квадрату его радиуса. Евклид доказал, что эти соотношения постоянны для всех окружностей, даже для луны, пенни, шины и т.д.

π = окружность / диаметр ИЛИ π = площадь круга / радиус²

Рисунок 22: анимированная связь между окружностью и диаметром в отношении пи.

Так как иррациональные числа наподобие пи бесконечны и не имеют повторений, мы никогда не закончим записывать пи. Оно продолжается вечно. Есть люди, запомнившие множество десятичных разрядов пи (нынешний рекорд — 70 000 цифр! Источник: «Книга рекордов Гиннесса» ).

Рисунок 23: данные опроса 941 респондентов для определения процента людей, способных запомнить знаки пи после запятой.

Рисунок 24: На стене станции метро Karlsplatz в Вене записаны сотни разрядов пи.

На данный момент компьютеры смогли вычислить всего 2,7 триллиона разрядов пи. Может казаться, что это много, но на самом деле этот путь бесконечен.

Как я сказал выше, число пи нашёл Евклид. Но как поступали люди до Евклида, когда им нужно было найти площадь круга? Историки обнаружили вавилонскую глиняную табличку, в которой было записано отношение периметра шестиугольника к диаметру описанной вокруг него окружности. После вычислений полученное число оказалось равным 3.125. Это очень близко к пи.

Рисунок 24: вавилонская глиняная табличка с отношением периметра шестиугольника к длине описанной окружности.

Древние египтяне тоже близко подобрались к значению пи. Историки обнаружили документ, показывающий, как древние египтяне нашли число пи. Когда историки перевели документ, то нашли такую задачу:

Например, чтобы найти площадь поля диаметром 9 хета (1 хет = 52,35 метра), нужно выполнить следующее вычисление:

Вычесть 1/9 диаметра, а именно 1. Остаток равен 8. Умножить его на 8, что даёт нам 64. Следовательно, площадь будет равна 64 setjat (единица измерения площади).

Другими словами, диаметр равен 2r, а 1/9 радиуса равно (1/9 • 2r). Тогда если мы вычтем это из исходного диаметра, то получим 2r — (1/9 • 2r) = 8/9(2r). Тогда площадь круга равна 256/81 r². То есть пи равно почти 3,16. Они обнаружили это значение пи примерно 4000 лет назад.

Однако греческие математики нашли для вычисления пи способ получше. Например, Архимед предпочитал работать с периметрами. Он начал рисовать окружности, описывающие многоугольники разного размера. Когда он чертил шестиугольник, то рисовал окружность с диаметром 1. Затем он видел что каждая сторона шестиугольника равна 1/2, а периметр шестиугольника равен 1/2 x 6 = 3. Затем он увеличивал количество сторон многоугольника, пока он не становился похожим на круг. Работая со 96-сторонним многоугольником и применив тот же способ, он получил 2 десятичных разряда пи после запятой: 3 и 10/71 = 3,14084. Спустя много лет китайский математик Лю Ху использовал 3072-сторонний многоугольник и получил число 3,14159 (5 верных десятичных разрядов числа пи после запятой). После этого ещё один китайский математик Цзу Чунчжи провёл ещё более впечатляющую работу. Он работал со 24000-сторонним многоугольником и получил 3,1415926 — семь верных десятичных разрядов пи после запятой.

Спустя тысячу лет немецкий математик Людольф Цейлен работал со 2 62 -сторонним многоугольником и получил 35 десятичных разрядов пи. Это число, названное Людольфовым, было высечено на его могильном камне.

В 1706 году англичанин Джон Мэчин, долгое время работавший профессором астрономии, использовал формулу сложения, чтобы доказать, что пи равно

Не беспокоясь о том, как откуда взялась эта формула, Мэчин начал постоянно ею пользоваться, а затем записал показанный ниже ряд. Это был самый большой на то время шаг в количестве разрядов пи.

Однако первое упоминание пи появилось в 1706 году. Преподаватель математики Уильям Джонс написал книгу и впервые предложил пи для измерения окружностей. Так пи впервые появилась в книгах!

В 1873 году Уильям Шэнкс воспользовался формулой Джона Мэчина и получил 707 десятичных разрядов пи. Эти цифры написаны в комнате пи парижского Дворца открытий. Однако позже математики выяснили, что верными являются только 527 разрядов.

Рисунок 31: комната пи

С другой стороны, более интересный способ нахождения пи обнаружил Буффон. Его эксперимент основывался на случайном разбрасывании иголок для оценки пи. Он нарисовал на доске несколько параллельных линий на расстоянии D и взял иголки длиной L. Затем он случайным образом начал бросать иголки на доску и записывал долю иголок, пересекавших линию.

А после этого другой математик по имени Ладзарини подбросил иголку 3408 раз и получил шесть десятичных разрядов пи с соотношением 355/113. Однако если бы одна иголка не пересекла линию, он получил бы только 2 разряда пи.

Рисунок 32.1: бросание 1000 иголок для оценки приблизительного значения пи

e: история экспоненциального роста

e — это ещё одно знаменитое иррациональное число. Дробная часть e тоже бесконечна, как и у пи. Мы используем число e для вычисления степенного (экспоненциального) роста. Другими словами, мы используем e, когда видим очень быстрый рост или уменьшение.

Один из величайших, а возможно и лучший математик Леонард Эйлер открыл число e в 1736 году и впервые упомянул это особое число в своей книге Mechanica.

Рисунок 33: источник

Чтобы разобраться в экспоненциальном росте, мы можем использовать историю об изобретателе шахмат. Когда он придумал эту игру, то показал её властителю Севера. Царю понравилась игра и он пообещал, что отдаст автору любую награду. Тогда изобретатель попросил нечто очень простое: 2 0 зерна на первую клетку шахматной доски, 2 1 зерна на вторую клетку доски, 2 2 зерна — на третью, и так далее. Каждый раз количество зерна удваивалось. Царь Севера подумал, что просьбу будет выполнить легко, но он ошибался, потому то на последнюю клетку нужно было бы положить 2 63 зёрен, что равно 9 223 372 036 854 775 808. Это и есть экспоненциальный рост. Он начался с 1, постоянно удваивался, и через 64 шага вырос в огромное число!

Если бы изобретатель шахмат выбрал линейное уравнение, например 2n, то получил бы 2, 4, 6, 8, … 128… Следовательно, в дальней перспективе экспоненциальный рост часто намного превышает полиномиальный.

Рисунок 34: источник: Wikipedia

Число e открыл Эйлер. Однако Якоб Бернулли тоже работал с числом e, когда вычислял сложный процент, чтобы заработать больше денег. Если вложить 100 долларов под 10% дохода, то как будет расти эта сумма? Во-первых, это зависит от того, как часто банк рассчитывает проценты. Например, если он рассчитывает один раз, то мы получим в конце года 110 долларов. Если мы передумаем и будем брать проценты каждые 6 месяцев, то в этом случае мы получим больше 110 долларов. Дело в ттом, что процент, полученный за первые 6 месяцев, тоже получит свой процент. Общая сумма будет равна 110,25 долларов. Можно догадаться, что мы можем получить больше денег, если будем забирать деньги каждый квартал года. А если мы будем делать временной интервал всё короче, то окончательные суммы будут продолжать расти. Такой бесконечный сложный процент сделает нас богатыми! Однако наш общий доход стремится к ограниченному значению, связанному с e.

Бернулли не называл число 2,71828 именем e. Когда Эйлер работал с 2,71828, он возвёл экспоненциальную функцию e в степень x. Свои открытия он изложил в книге The Analysis of Infinite.

В 1798 году Томас Мальтус использовал экспоненциальную функцию в своём эссе, посвящённом пищевому дефициту будущего. Он создал линейный график, показывающий производство пищи и экспоненциальный график, показывающий население мира. Мальтус сделал вывод, что в дальней перспективе экспоненциальный рост победит, и мир ждёт серьёзный дефицит пищи. Это явление назвали «мальтузианской катастрофой». Ньютон тоже использовал эту модель, чтобы показать, как охлаждается чашка чая.

Рисунок 35: закон Ньютона-Рихмана

Рисунок 36: мальтузианская катастрофа

Мнимость числа: i, квадратный корень -1

Долгое время для решения своих задач математикам было достаточно обычных чисел. Однако в какой-то момент для дальнейшего развития им потребовалось открыть нечто новое и загадочное. Например, итальянский математик Кардано пытался разделить число 10 на 2 части, произведение которых было бы равно 40. Чтобы решить эту задачу, он записал уравнение: x (10-x) = 40. Когда он решил это квадратное уравнение, то получил два решения: 5 плюс √-15 и 5 минус √-15, что в то время не имело никакого смысла. Этот результат был бессмысленным, потому что по определению квадратного корня ему нужно было найти число, квадрат которого был бы отрицательным. Однако и положительное, и отрицательное числа в квадрате имеют положительное значение. Как бы то ни было, он нашёл своё уникальное число. Однако первым математиком, назвавшим √-1 (квадратный корень из минус единицы) мнимым числом i, был Эйлер.

Лейбниц дал такой комментарий о мнимом числе √-1:

Мы можем складывать, вычитать, умножать и делить мнимые числа. Сложение, вычитание и умножение просты, а деление немного сложнее. Вещественные и мнимые части складываются по отдельности. В случае умножения i 2 будет равно -1.

После Эйлера математик Каспар Вессель представил мнимые числа геометрически с создал комплексную плоскость. Сегодня мы представляем каждое комплексное число a + bi как точку с координатами (a,b).

Рисунки 37 и 38: комплексные числа

В викторианскую эпоху многие относились к мнимым числам с подозрением. Однако ирландский математик и астроном Уильям Роуэн Гамильтон покончил с этими сомнениями, определив комплексные числа применительно к кватернионам.

Самое красивое уравнение: тождество Эйлера

Тождество Эйлера связывает экспоненциальную функцию с функциями синуса и косинуса, значения которых колеблются от минус единицы до единицы. Чтобы найти связь с тригонометрическими функциями, мы можем представить их в виде бесконечного ряда, истинного для всех значений

Рисунок 40: тождество Эйлера

Эйлер никогда не записывал это тождество в явном виде, и мы не знаем, кто впервые записал его. Тем не менее, мы связываем его с именем Эйлера в знак почтения перед этим великим первопроходцем математики.

Пи (число)

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
…

[math]\displaystyle< \boldsymbol\pi >[/math] (произносится «пи») — математическая постоянная, равная отношению длины окружности к её диаметру [K 1] . Обозначается буквой греческого алфавита «π». На июнь 2022 года известны первые 100 триллионов знаков числа «пи» после запятой [2] .

Содержание

Свойства

Трансцендентность и иррациональность

Число [math]\displaystyle< \pi >[/math] иррационально, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби [math]\displaystyle< \frac >[/math] , где [math]\displaystyle< m >[/math] — целое число, а [math]\displaystyle< n >[/math] — натуральное. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. Иррациональность числа [math]\displaystyle< \pi >[/math] была впервые доказана Иоганном Ламбертом в 1761 году [3] путём разложения тангенса в непрерывную дробь. В 1794 году Лежандр привёл более строгое доказательство иррациональности чисел [math]\displaystyle< \pi >[/math] и [math]\displaystyle< \pi^2 >[/math] . Несколько доказательств подробно приведено в статье Доказательства иррациональности π.

[math]\displaystyle< \pi >[/math] — трансцендентное число, то есть оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. Трансцендентность числа [math]\displaystyle< \pi >[/math] была доказана в 1882 году профессором Кёнигсбергского, а позже Мюнхенского университета Линдеманом. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 году [4] . Поскольку в евклидовой геометрии площадь круга и длина окружности являются функциями числа [math]\displaystyle< \pi >[/math] , то доказательство трансцендентности [math]\displaystyle< \pi >[/math] положило конец попыткам построить квадратуру круга, длившимся более 2,5 тысяч лет.

В 1934 году Гельфонд доказал [5] трансцендентность числа [math]\displaystyle< e^\pi >[/math] . В 1996 году Юрий Нестеренко доказал, что для любого натурального [math]\displaystyle< n >[/math] числа [math]\displaystyle< \pi >[/math] и [math]\displaystyle < e^<\pi\sqrt n>>[/math] алгебраически независимы, откуда, в частности, следует [6] [7] трансцендентность чисел [math]\displaystyle< \pi+e^\pi,\pi e^\pi >[/math] и [math]\displaystyle < e^<\pi\sqrt n>>[/math] .

[math]\displaystyle< \pi >[/math] является элементом кольца периодов (а значит, вычислимым и арифметическим числом). Но неизвестно, принадлежит ли [math]\displaystyle< 1/\pi >[/math] к кольцу периодов.

Соотношения

Известно много формул для вычисления числа [math]\displaystyle< \pi >[/math] :

Ряд с использованием двойного факториала:

Формула, найденная Сринивасой Рамануджаном:

Другие ряды:

Кратные ряды:

Другие связи между константами:

Т. н. интеграл Пуассона или интеграл Гаусса:

Выражение через дилогарифм[9] :

Через несобственный интеграл:

История

Впервые обозначением этого числа греческой буквой [math]\displaystyle< \pi >[/math] воспользовался британский математик Уильям Джонс в 1706 году [10] , а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера в 1737 году. Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр [11] .

Исследование числа [math]\displaystyle< \pi >[/math] и уточнение его значения шли параллельно с развитием всей математики и занимают несколько тысячелетий. Сначала [math]\displaystyle< \pi >[/math] изучалось с позиции геометрии, затем развитие математического анализа в XVII веке показало универсальность этого числа.

Геометрический период

То, что отношение длины окружности к диаметру одинаково для любой окружности, и то, что это отношение немногим более 3, было известно ещё древнеегипетским, вавилонским, древнеиндийским и древнегреческим геометрам, древнейшие приближения относятся к третьему тысячелетию до н. э.

В Древнем Вавилоне принимали [math]\displaystyle< \pi >[/math] равным трём, что соответствовало замене длины окружности на периметр вписанного в неё шестиугольника. Площадь круга определялась [12] как квадрат длины окружности, делённый на 12, что также соответствует допущению [math]\displaystyle< \pi=3. >[/math] Самые ранние из известных более точных приближений датируются примерно 1900-ми годами до н. э.: это 25 /₈ = 3,125 (глиняная табличка из Суз периода Старовавилонского царства) [13] и 256 /₈₁ ≈ 3,16 (египетский папирус Ахмеса периода Среднего царства); оба значения отличаются от истинного не более, чем на 1 %. Ведийский текст «Шатапатха-брахмана» даёт в качестве приближения [math]\displaystyle< \pi >[/math] дробь 339 /₁₀₈ ≈ 3,139.

Китайский философ и учёный Чжан Хэн, во II веке, предложил для числа [math]\displaystyle< \pi >[/math] два эквивалента: 92/29 ≈ 3,1724 и [math]\displaystyle < \sqrt<10>>[/math] ≈ 3,1622. В священных книгах джайнизма, написанных в V—VI веках до н. э., обнаружено, что тогда и в Индии [math]\displaystyle< \pi >[/math] принимали равным [math]\displaystyle < \sqrt<10>>[/math] [14]

Архимед, возможно, первым предложил математический способ вычисления [math]\displaystyle< \pi >[/math] . Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника — как верхнюю оценку. Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку [math]\displaystyle< 3\frac<10> <71>\lt \pi \lt 3\frac<1> <7>>[/math] и предложил для приближённого вычисления [math]\displaystyle< \pi >[/math] верхнюю из найденных им границ: — 22/7 ≈ 3,142857142857143.

Следующее приближение в европейской культуре связано с астрономом Клавдием Птолемеем (ок. 100 — ок. 170), который создал таблицу хорд с шагом в полградуса, что позволило ему получить для [math]\displaystyle< \pi >[/math] приближение 377 /₁₂₀, равное приближённо вычисленной им половине периметра 720-угольника, вписанного в единичную окружность [15] . Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в книге «Practica Geometriae» (около 1220 г.), видимо, принимая приближение Птолемея за нижнюю границу для [math]\displaystyle< \pi >[/math] , приводит своё приближение [16] — 864 /₂₇₅. Но оно оказалось хуже, чем у Птолемея, поскольку последний ошибся при определении длины хорды в полградуса в большую сторону, в результате чего приближение 377 /₁₂₀ оказалось верхней границей для [math]\displaystyle< \pi >[/math] .

В Индии Ариабхата и Бхаскара I использовали приближение 3,1416. Варахамихира в VI веке пользуется в «Панча-сиддхантике» приближением [math]\displaystyle < \sqrt<10>>[/math] .

Около 265 года н. э. математик Лю Хуэй из царства Вэй предоставил простой и точный итеративный алгоритм [en] для вычисления [math]\displaystyle< \pi >[/math] с любой степенью точности. Он самостоятельно провёл вычисление для 3072-угольника и получил приближённое значение для [math]\displaystyle< \pi >[/math] по следующему принципу:

Позднее Лю Хуэй придумал быстрый метод вычисления [math]\displaystyle< \pi >[/math] и получил приближённое значение 3,1416 только лишь с 96-угольником, используя преимущества того факта, что разница в площади следующих друг за другом многоугольников формирует геометрическую прогрессию со знаменателем 4.

В 480-х годах китайский математик Цзу Чунчжи продемонстрировал, что [math]\displaystyle< \pi >[/math] ≈ 355 /₁₁₃, и показал, что 3,1415926 < [math]\displaystyle< \pi >[/math] < 3,1415927, используя алгоритм Лю Хуэя применительно к 12288-угольнику. Это значение оставалось самым точным приближением числа [math]\displaystyle< \pi >[/math] в течение последующих 900 лет.

Классический период

До II тысячелетия было известно не более 10 цифр [math]\displaystyle< \pi >[/math] . Дальнейшие крупные достижения в изучении [math]\displaystyle< \pi >[/math] связаны с развитием математического анализа, в особенности с открытием рядов, позволяющих вычислить [math]\displaystyle< \pi >[/math] с любой точностью, суммируя подходящее количество членов ряда.

Ряд Мадхавы — Лейбница

В 1400-х годах Мадхава из Сангамаграмы нашёл первый из таких рядов:

[math]\displaystyle < <\pi>= \frac<4> <1>— \frac<4> <3>+ \frac<4> <5>— \frac<4> <7>+ \cdots >[/math]

Этот результат известен как ряд Мадхавы — Лейбница, или ряд Грегори — Лейбница (после того, как он был заново обнаружен Джеймсом Грегори и Готфридом Лейбницем в XVII веке). Однако этот ряд сходится к [math]\displaystyle< \pi >[/math] очень медленно, что приводит к сложности вычисления многих цифр числа на практике — необходимо сложить около 4000 членов ряда, чтобы улучшить оценку Архимеда. Однако преобразованием этого ряда в

Мадхава смог вычислить [math]\displaystyle< \pi >[/math] как 3,14159265359, верно определив 11 цифр в записи числа. Этот рекорд был побит в 1424 году персидским математиком Джамшидом ал-Каши, который в своём труде под названием «Трактат об окружности» привёл 17 цифр числа [math]\displaystyle< \pi >[/math] , из которых 16 верные.

Первым крупным европейским вкладом со времён Архимеда был вклад голландского математика Людольфа ван Цейлена, затратившего десять лет на вычисление числа [math]\displaystyle< \pi >[/math] с 20 десятичными цифрами (этот результат был опубликован в 1596 году). Применив метод Архимеда, он довёл удвоение до n-угольника, где n = 60·2 29 . Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности» («Van den Circkel»), Лудольф закончил его словами: «У кого есть охота, пусть идёт дальше». После смерти в его рукописях были обнаружены ещё 15 точных цифр числа [math]\displaystyle< \pi >[/math] . Лудольф завещал, чтобы найденные им знаки были высечены на его надгробном камне. В честь него число [math]\displaystyle< \pi >[/math] иногда называли «лудольфовым числом» или «константой Лудольфа».

Лудольфово число — приближённое значение для числа [math]\displaystyle< \pi >[/math] с 35 верными десятичными знаками [17] .

Формула Виета для приближения π

Примерно в это же время в Европе начали развиваться методы анализа и определения бесконечных рядов. Первым таким представлением была формула Виета для приближения числа π:

найденная Франсуа Виетом в 1593 году.

Другим известным результатом стала формула Валлиса:

[math]\displaystyle< \frac<\pi> <2>= \frac<2> <1>\cdot \frac<2> <3>\cdot \frac<4> <3>\cdot \frac<4> <5>\cdot \frac<6> <5>\cdot \frac<6> <7>\cdot \frac<8> <7>\cdot \frac<8> <9>\cdots >[/math] ,

выведенная Джоном Валлисом в 1655 году.

Методы, основанные на тождествах

В Новое время для вычисления [math]\displaystyle< \pi >[/math] используются аналитические методы, основанные на тождествах. Перечисленные выше формулы малопригодны для вычислительных целей, поскольку либо используют медленно сходящиеся ряды, либо требуют сложной операции извлечения квадратного корня.

Первый эффективный и современный способ нахождения числа [math]\displaystyle< \pi >[/math] (а также натуральных логарифмов и других функций), основанный на развитой им теории рядов и математического анализа, дал в 1676 году Исаак Ньютон во втором письме к Ольденбургу [18] , разлагая в ряд [math]\displaystyle< \mathrm\frac<1> <2>>[/math] . На основе этого метода наиболее эффективную формулу нашёл в 1706 году Джон Мэчин

Разложив арктангенс в ряд Тейлора

можно получить быстро сходящийся ряд, пригодный для вычисления числа [math]\displaystyle< \pi >[/math] с большой точностью.

Формулы такого типа, в настоящее время известные как формулы Мэчина [en] , использовались для установки нескольких последовательных рекордов и остались наилучшими из известных методов для быстрого вычисления [math]\displaystyle< \pi >[/math] компьютерами. Выдающийся рекорд был поставлен феноменальным счётчиком Иоганном Дазе, который в 1844 году по распоряжению Гаусса применил формулу Мэчина для вычисления 200 цифр [math]\displaystyle< \pi >[/math] . Наилучший результат к концу XIX века был получен англичанином Уильямом Шенксом, у которого ушло 15 лет для того, чтобы вычислить 707 цифр. Однако он допустил ошибку в 528-й цифре, в результате чего все последующие цифры оказались неверными [19] . Чтобы избежать подобных ошибок, современные вычисления подобного рода проводятся дважды. Если результаты совпадают, то они с высокой вероятностью верные. Ошибку Шенкса обнаружил один из первых компьютеров в 1948 году; он же за несколько часов подсчитал 808 знаков [math]\displaystyle< \pi >[/math] .

Пи — трансцендентное число

Теоретические достижения в XVIII веке привели к постижению природы числа [math]\displaystyle< \pi >[/math] , чего нельзя было достичь лишь только с помощью одного численного вычисления. Иоганн Ламберт доказал иррациональность [math]\displaystyle< \pi >[/math] в 1761 году, а Адриен Лежандр в 1774 году доказал иррациональность [math]\displaystyle< \pi^2 >[/math] . В 1735 году была установлена связь между простыми числами и [math]\displaystyle< \pi >[/math] , когда Леонард Эйлер решил знаменитую Базельскую проблему — проблему нахождения точного значения

которое оказалось равно [math]\displaystyle< \frac<\pi^2> <6>>[/math] . И Лежандр, и Эйлер предполагали, что [math]\displaystyle< \pi >[/math] может быть трансцендентным, что было в конечном итоге доказано в 1882 году Фердинандом фон Линдеманом.

В 1945 году Картрайт упростила элементарное доказательство Шарля Эрмита иррациональности числа [math]\displaystyle< \pi >[/math] .

Считается, что книга Уильяма Джонса «Обозрение достижений математики» (Synopsis Palmoriorum Mathesios, 1706 год) первая ввела в использование греческую букву [math]\displaystyle< \pi >[/math] для обозначения этой константы, но эта запись стала общепринятой после того, как Леонард Эйлер принял её (или пришёл к ней независимо) в 1737 году [11] . Эйлер писал: «Существует множество других способов отыскания длин или площадей соответствующей кривой или плоской фигуры, что может существенно облегчить практику; например, в круге диаметр относится к длине окружности как 1 к [math]\displaystyle< \left(\frac<16><5>-\frac<4><239>\right)-\frac<1> <3>\cdot \left(\frac<16><5^3>-\frac<4><239^3>\right)+\cdots = 3<,>14159 \cdots = \pi >[/math] ».

Эра компьютерных вычислений

Эпоха цифровой техники в XX веке привела к увеличению скорости появления вычислительных рекордов. Джон фон Нейман и другие использовали в 1949 году ЭНИАК для вычисления 2037 цифр [math]\displaystyle< \pi >[/math] , которое заняло 70 часов. В 1961 году Дэниел Шенкс на IBM 7090 рассчитал 100000 знаков, а отметка в миллион была пройдена в 1973 году [K 2] . Такой прогресс имел место не только благодаря более быстрому аппаратному обеспечению, но и благодаря новым алгоритмам.

Голландский математик Лёйтзен Брауэр в первой половине XX века привёл в качестве примера бессмысленной задачи поиск в десятичном разложении [math]\displaystyle< \pi >[/math] последовательности [math]\displaystyle< 0123456789 >[/math] — по его мнению, нужная для этого точность никогда не будет достигнута. В конце XX века эта последовательность была обнаружена, она начинается с 17 387 594 880 -го знака после запятой [20] .

В начале XX века индийский математик Сриниваса Рамануджан обнаружил множество новых формул для [math]\displaystyle< \pi >[/math] , некоторые из которых стали знаменитыми из-за своей элегантности и математической глубины. Одна из этих формул — это ряд:

Братьями Чудновскими в 1987 году найдена похожая на неё:

которая даёт примерно по 14 цифр на каждый член ряда. Чудновские использовали эту формулу для того, чтобы установить несколько рекордов в вычислении [math]\displaystyle< \pi >[/math] в конце 1980-х, включая тот, в результате которого в 1989 году была получена 1 011 196 691 цифра десятичного разложения.

Эта формула используется в программах, вычисляющих [math]\displaystyle< \pi >[/math] на персональных компьютерах, в отличие от суперкомпьютеров, которые устанавливают современные рекорды.

В то время как последовательность обычно повышает точность на фиксированную величину с каждым следующим членом, существуют итеративные алгоритмы, которые на каждом шагу «умножают» количество правильных цифр, однако требуя высоких вычислительных затрат на каждом из таких шагов.

Прорыв в этом отношении был сделан в 1975 году, когда Ричард Брент и Юджин Саламин [en] независимо друг от друга открыли алгоритм Брента — Саламина [en] , который, используя лишь арифметику, на каждом шагу удваивает количество известных знаков [21] . Алгоритм состоит из установки начальных значений

[math]\displaystyle< a_0 = 1 \quad \quad \quad b_0 = \frac<1> <\sqrt 2>\quad \quad \quad t_0 = \frac<1> <4>\quad \quad \quad p_0 = 1 >[/math]

[math]\displaystyle < a_= \frac <2>\quad \quad \quad b_ = \sqrt >[/math] [math]\displaystyle < t_= t_n — p_n (a_n-a_)^2 \quad \quad \quad p_ = 2 p_n >[/math] ,

пока a_n и b_n не станут достаточно близки. Тогда оценка [math]\displaystyle< \pi >[/math] даётся формулой

При использовании этой схемы 25 итераций достаточно для получения 45 миллионов десятичных знаков. Похожий алгоритм, увеличивающий на каждом шаге точность в четыре раза, был найден Джонатаном Боруэйном [en] Питером Боруэйном [en] [22] . При помощи этих методов Ясумаса Канада и его группа, начиная с 1980 года, установили большинство рекордов вычисления [math]\displaystyle< \pi >[/math] вплоть до 206 158 430 000 знаков в 1999 году. В 2002 году Канада и его группа установили новый рекорд — 1 241 100 000 000 десятичных знаков. Хотя большинство предыдущих рекордов Канады было установлено при помощи алгоритма Брента — Саламина, вычисление 2002 года использовало две формулы типа мэчиновских, которые работали медленнее, но радикально снижали использование памяти. Вычисление было выполнено на суперкомпьютере Hitachi из 64 узлов с 1 терабайтом оперативной памяти, способном выполнять 2 триллиона операций в секунду.

Важным развитием недавнего времени стала формула Бэйли — Боруэйна — Плаффа, открытая в 1997 году Саймоном Плаффом [en] и названная по авторам статьи, в которой она впервые была опубликована [23] . Эта формула,

примечательна тем, что она позволяет извлечь любую конкретную шестнадцатеричную или двоичную цифру числа [math]\displaystyle< \pi >[/math] без вычисления предыдущих [23] . С 1998 до 2000 года проект распределённых вычислений PiHex [en] использовал видоизменённую формулу Беллара для вычисления квадриллионного бита числа [math]\displaystyle< \pi >[/math] , который оказался нулём [24] .

В 2006 году Саймон Плафф, используя алгоритм PSLQ, нашёл ряд красивых формул [25] . Пусть q = e π , тогда

где q = e π , k — нечётное число, и a, b, c — рациональные числа. Если k — вида 4m + 3, то эта формула имеет особенно простой вид:

для рационального p, у которого знаменатель — число, хорошо разложимое на множители, хотя строгое доказательство ещё не предоставлено.

В августе 2009 года учёные из японского университета Цукубы рассчитали последовательность из 2 576 980 377 524 десятичных разрядов [26] .

19 октября 2011 года Александр Йи и Сигэру Кондо [ja] рассчитали последовательность с точностью в 10 триллионов цифр после запятой [27] [28] . 28 декабря 2013 года они же рассчитали последовательность с точностью до 12,1 триллиона цифр после запятой [29] .

14 марта 2019 года, когда отмечался неофициальный праздник числа пи, компания Google представила данное число с 31,4 триллиона знаков после запятой. Вычислить его с такой точностью сумела сотрудница Google в Японии Эмма Харука-Ивао [30] .

В августе 2021 года швейцарские учёные Университета прикладных наук Граубюндена смогли вычислить число [math]\displaystyle< \pi >[/math] с точностью до 62,8 триллиона знаков после запятой, обновив прошлые рекорды. Расчёты производились на суперкомпьютере 108 дней и девять часов. Скорость вычислений в два раза превысила рекорд, установленный Google в 2019 году, и в 3,5 раза — рекорд 2020 года, когда в числе [math]\displaystyle< \pi >[/math] было рассчитано более 50 триллионов цифр после запятой [31] [32] .

9 июня 2022 года команда Google под руководством Эммы Харука-Ивао рассчитала первые 100 триллионов знаков числа «пи» после запятой, потратив на это почти 158 дней [2] [33] .

Программа « Супер Пи [en] », фиксирующая время, за которое вычисляется заданное количество знаков (до 32 миллионов) числа Пи, может быть использована для тестирования производительности компьютеров.

Рациональные приближения

[math]\displaystyle< \frac<22><7>>[/math] — Архимед (III век до н. э.) — древнегреческий математик, физик и инженер;
[math]\displaystyle< \frac<377><120>>[/math] — Клавдий Птолемей (II век н. э.) — древнегреческий астроном и географ, и Ариабхата (V век н. э.) — индийский астроном и математик;
[math]\displaystyle< \frac<355><113>>[/math] — Цзу Чунчжи (V век н. э.) — китайский астроном и математик.

Открытые проблемы

Неизвестна точная мера иррациональности для чисел [math]\displaystyle< \pi >[/math] и [math]\displaystyle< \pi^2 >[/math] (но известно, что для [math]\displaystyle< \pi >[/math] она не превышает 7.103205334137) [34][35] .
Неизвестна мера иррациональности ни для одного из следующих чисел: [math]\displaystyle< \pi + e, \pi - e, \pi \cdot e, \frac<\pi>, \pi ^ e, \pi ^<\sqrt 2>, \ln \pi, \pi ^ \pi, e^<\pi^2>. >[/math] Ни для одного из них неизвестно даже, является ли оно рациональным числом, алгебраическимиррациональным или трансцендентным числом. Следовательно, неизвестно, являются ли числа [math]\displaystyle< \pi >[/math] и [math]\displaystyle< e >[/math] алгебраически независимыми[6][36][37][38][39] .
Неизвестно, является ли [math]\displaystyle < <^n\pi>>[/math] целым числом при каком-либо положительном целом [math]\displaystyle< n >[/math] (см. тетрация).
До сих пор ничего неизвестно о нормальности числа [math]\displaystyle< \pi >[/math] ; неизвестно даже, какие из цифр 0—9 встречаются в десятичном представлении числа [math]\displaystyle< \pi >[/math] бесконечное количество раз. Компьютерная проверка 200 млрд десятичных знаков [math]\displaystyle< \pi >[/math] показала, что все 10 цифр встречаются в этой записи практически одинаково часто [40] :

Однако строгое доказательство отсутствует.

Неизвестно, принадлежит ли [math]\displaystyle< \frac<1><\pi>>[/math] к кольцу периодов.

Метод иглы Бюффона

На разлинованную равноудалёнными прямыми плоскость произвольно бросается игла, длина которой равна расстоянию между соседними прямыми, так что при каждом бросании игла либо не пересекает прямые, либо пересекает ровно одну. Можно доказать, что отношение числа пересечений иглы с какой-нибудь линией к общему числу бросков стремится к [math]\displaystyle< \frac2\pi >[/math] при увеличении числа бросков до бесконечности [41] . Данный метод иглы базируется на теории вероятностей и лежит в основе метода Монте-Карло [42] .

Мнемонические правила и рекорды запоминания

Стихотворения для запоминания 8—11 знаков числа π:

Чтобы нам не ошибаться,
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.

Надо только постараться
И запомнить всё как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.

Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, два, шесть, пять, три, пять.
Чтоб наукой заниматься,
Это каждый должен знать.

Можно просто постараться
И почаще повторять:
«Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, двадцать шесть и пять».

Запоминанию может помогать соблюдение стихотворного размера:

Три, четырнадцать, пятнадцать, девять два, шесть пять, три пять
Восемь девять, семь и девять, три два, три восемь, сорок шесть
Два шесть четыре, три три восемь, три два семь девять, пять ноль два
Восемь восемь и четыре, девятнадцать, семь, один

Существуют стихи, в которых первые цифры числа π зашифрованы в виде количества букв в словах:

Это я знаю и помню прекрасно:
Пи многие знаки мне лишни, напрасны.
Доверимся знаньям громадным
Тех, пи кто сосчитал, цифр армаду.

Учи и знай в числе известном
За цифрой цифру, как удачу примечать.

Раз у Коли и Арины
Распороли мы перины.
Белый пух летал, кружился,
Куражился, замирал,
Ублажился,
Нам же дал
Головную боль старух.
Ух, опасен пуха дух!

Подобные стихи существовали и в дореформенной орфографии. Например, следующее стихотворение, сочинённое преподавателем Нижегородской гимназии Шенроком [43] :

Кто и шутя и скоро пожелаетъ
Пи узнать, число ужъ знаетъ.

Мировой рекорд по запоминанию знаков числа [math]\displaystyle< \pi >[/math] после запятой принадлежит 21-летнему индийскому студенту Раджвиру Мина (Rajveer Meena), который в марте 2015 года воспроизвёл 70 000 знаков после запятой за 9 часов 27 минут [44] . До этого, на протяжении почти 10 лет, рекорд держался за китайцем Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибки [45] [46] . В том же 2006 году японец Акира Харагути заявил, что запомнил число [math]\displaystyle< \pi >[/math] до 100-тысячного знака после запятой [47] , однако проверить это официально не удалось [48] .

В России рекорд по запоминанию был установлен в 2019 году Денисом Бабушкиным (13 202 знака) [49] .

В культуре

В штате Индиана (США) в 1897 году был выпущен Законопроект о числе пи, законодательно устанавливающий его значение равным 3,2 [50] . Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора Университета Пердью, присутствовавшего в законодательном собрании штата во время рассмотрения данного закона;
Существует художественный фильм, названный в честь числа Пи;
Неофициальный праздник «День числа пи» ежегодно отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3,14, что соответствует приближённому значению числа [math]\displaystyle< \pi >[/math] . Считается [51] , что праздник придумал в 1987 году физик из Сан-ФранцискоЛарри Шоу, обративший внимание на то, что 14 марта ровно в 01:59 дата и время совпадают с первыми разрядами числа Пи = 3,14159;
- Ещё одной датой, связанной с числом [math]\displaystyle< \pi >[/math] , является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи» (англ. Pi Approximation Day ), так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является рациональным приближённым значением числа [math]\displaystyle< \pi >[/math] .
Посмотрим, с какою точностью возможно, пользуясь цифрами Пи (числа Пи), вычислить длину окружности, радиус которой равен среднему расстоянию Земли от Солнца (150 000 000 км). Если для Пи взять 18 цифр, то ошибка на одну единицу в последней цифре повлечет за собой в длине вычисляемой окружности погрешность в 0,0003 миллиметра; это гораздо меньше толщины волоса.

Мы взяли 18 цифр Пи. Легко представить себе, какую невообразимо малую погрешность сделали бы, при огромности вычисляемой окружности, если бы воспользовались для Пи всеми известными его цифрами. Из сказанного ясно, как заблуждаются те, которые думают, будто науки изменили бы свой вид, и их применения много выиграли бы от нахождения точного Пи, если бы оно существовало.

Итак, даже для астрономии‚ — науки, прибегающей к наиболее точным вычислениям‚ — не требуется вполне точного решения…
Похожие публикации: