Как найти базис линейного подпространства

9

§ 5. Векторные пространства.

Пример 1. Доказать, что следующее множество образует векторное пространство над полем относительно операций сложения матриц и умножения матриц на число.

Найти его базис и размерность.

.

Решение. является непустым подмножеством пространства матриц размерности . Докажем, что является подпространством в , пользуясь критерием подпространства. Пусть

и

произвольные матрицы из . Рассмотрим их сумму

.

Очевидно . Произведение на любое число

также принадлежит . Итак, является подпространством пространства , а значит, само является пространством.

Найдем базис этого пространства.

Ясно, что в базис можно включить, например,

, так как .

Так как , то нельзя получить в виде . Поэтому в качестве второго базисного вектора можно взять . Рассмотрим вектор . Его нельзя представить в виде линейной комбинации и , так как . Поэтому в качестве третьего базисного вектора возьмем . Всякий другой вектор можно представить в виде линейной комбинации .

.

Следовательно, система векторов является системой образующих пространства . По построению, эта система линейно независима. Значит, она является базисом.

Пример2. Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой. Найти коэффициенты линейной зависимости.

Решение. Пусть , где — некоторые числа. Подставляем в это равенство векторы .

.

После выполнения операции над векторами получаем

, откуда

Эту систему линейных уравнений решаем методом Гаусса:

.

Получилась трапецеидальная система уравнений. Она является неопределенной и потому имеет ненулевые решения (кроме нулевого). Таким образом, система линейно зависима. Найдем коэффициенты линейной зависимости. Для этого решаем однородную систему линейных уравнений, приведенную к трапецеидальному виду

Общее решение этой системы имеет вид .

Найдем частное решение, придавая произвольное значение, отличное от нуля, например, -3. Получим . Таким образом, . Очевидно, коэффициенты линейной зависимости определяются неоднозначно.

Пример 3. Найти какую-нибудь максимальную линейно независимую подсистему данной системы векторов, а остальные векторы выразить через нее.

Решение. Составим матрицу , столбцами которой являются данные векторы, и найдем ее ранг. Будем делать элементарные преобразования только над строками.

Первую строку, умноженную на соответствующие числа -2, -1, -3, прибавили ко второй, третьей, четвертой. Третью строку, умноженную на соответствующие числа -2, -4, прибавили ко второй и четвертой. И наконец, третью, умноженную на 2, прибавили к четвертой. Так как минор третьего порядка

Отличен от нуля, а определитель четвертого порядка равен нулю, то ранг последней матрицы, а значит, ранг матрицы равен 3. Отсюда следует, что ранг данной системы равен 3.

Три вектора входят в максимальную линейно независимую подсистему данной системы. Очевидно, что это векторы .Действительно, выразим вектор через : . Подставим в это уравнение выражения векторов . После выполнения операций над векторами получим: . Приравнивая соответствующие координаты, получим систему линейных уравнений:

.

Решаем эту систему методом Гаусса. Составим расширенную матрицу

.

Эта матрица совпадает с матрицей . Так как мы проделываем элементарные преобразования над строками матрицы , то эта система эквивалентна системе линейных уравнений, соответствующей последней матрице:

, то есть системе , откуда , а следовательно, .

Пример 4. Векторы заданы своими координатами в некотором базисе . Показать, что векторы сами образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Так как система любых трех линейно независимых векторов является базисом 3-мерного пространства, то достаточно доказать, что система линейно независима. Для этого составим матрицу , столбцами которой являются координаты векторов , и найдем ее ранг.

.

Определитель этой матрицы , а значит, по теореме о ранге, ранг матрицы равен 3, что доказывает линейную независимость системы . Таким образом, образуют базис и -матрица перехода от базиса к базису . Для нахождения координат вектора в базисе воспользуемся формулой преобразования координат, приведенной в :

, где — матрица перехода от базиса к базису ; — координаты вектора в базисе ; — координаты вектора в базисе . Так как здесь

, то ,

Откуда , то есть .

Пример 5. Найти размерность и базис линейного подпространства, натянутого на векторы

Решение. Базис линейного подпространства совпадает с максимальной линейно независимой подсистемой системы векторов (доказать!). Найдем эту подсистему, для чего составим матрицу, столбцами которой являются векторы .

.

Найдем базисный минор этой матрицы. Так как минор второго порядка , то рассмотрим минор 3-го порядка, его окаймляющий

.

Теперь рассмотрим минор 4-го порядка, окаймляющий минор 3-го порядка, отличный от нуля. Это определитель матрицы .

.

Он равен нулю. Значит, является базисным минором, то есть минором наибольшего порядка, отличным от нуля. А тогда образуют максимальную линейно-независимую подсистему системы и тем самым образуют базис рассматриваемого подпространства, причем размерность подпространства равна 3.

Пример 6. Определить размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.

Решение. Множество всех решений однородной системы линейных уравнений образует векторное пространство размерности , где — число неизвестных системы, а — ранг матрицы этой системы. Базис образует система из любых линейно независимых частных решений. Такая система решений называется фундаментальной. Находим общее решение системы методом Гаусса, для чего составляем матрицу системы:

.

Ранг матрицы равен трем. Следовательно, размерность пространства решений равна 2 . Данную систему уравнений заменим эквивалентной системой:

В качестве свободных неизвестных можно взять . Тогда

Общее решение системы имеет вид . Находим два линейно независимых частных решения. Для их нахождения мы два раза придаем и произвольные значения, но так, чтобы определитель второго порядка, составленный из этих значений, был отличен от нуля. Положим , а затем и найдем

Мы получим один из базисов пространства решений данной однородной системы уравнений.

Пример 7. Найти базис и размерность пересечения подпространств и , натянутых на системы векторов и соответственно, если векторы заданы координатами в некотором базисе пространства.

Решение. Вектор тогда и только тогда, когда линейно выражается через и через . А для этого необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы

был равен рангу матрицы

был равен рангу матрицы

.

Выберем базисные миноры

и

матриц и соответственно. Для того, чтобы и , необходимо и достаточно, чтобы был базисным минором в , а — в . Приравнивая нулю все миноры и , окаймляющие соответственно и , содержащие столбец и имеющие порядок на единицу выше, чем и , получим систему линейных уравнений.

Решаем эту систему методом Гаусса.

. Общее решение имеет вид . Фундаментальная система состоит из одного вектора . Следовательно, вектор образует базис подпространства .

Литература: 3 — §17, 18

5 — №№ 608-613, 624-626, 636-650, 652-655, 661-669, 672, 674, 681, 689-695, 702-704, 712-714, 724-727, 1277-1293, 1296-1305, 1309-1311, 1317, 1318, 1320, 1321.

Контрольная работа 2

Найти значение многочлена и всех его производных в точке .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Найти рациональные корни и определить их кратность.

7.

8.

9.

10.

11. .

12. .

Разложить на неприводимые множители над полем .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

Найти каноническое разложение многочлена над полем путем отделения кратных корней.

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

Найти значение симметрического многочлена на корнях многочлена .

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Доказать, что следующее множество образует векторное пространство над полем . Найти его базис и размерность.

31. .

32. .

33. .

34. .

35. .

36. .

Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой. Найти коэффициенты линейной зависимости.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

Найти какую-нибудь максимальную независимую подсистему данной системы векторов, а остальные векторы выразить через нее.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе . Показать, что векторы сами образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.

55. 57.

56. 58.

59. 60.

Найти базис пересечения подпространств и , натянутых на векторы и соответственно, если все векторы заданы своими координатами в некотором базисе пространства.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 6-е изд. М., 1971.

Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Часть I. Минск, 1984.

Милованов М.В., Толкачев М.М., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Часть 2. Минск, 1981.

Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. 3- изд. М.: Наука, 1974.

Как найти базис подпространства заданного уравнением

Определение 6.1. Подпространством L n-мерного пространства R называется множество векторов, образующих линейное пространство по отношению к действиям, которые определены в R.

Другими словами, L называется подпространством пространства R, если из x, y∈L следует, что x+y∈L и если x∈L, то λ x∈L, где λ— любое вещественное число.

Простейшим примером подпространства является нулевое подпространство, т.е. подмножество пространства R, состоящее из единственного нулевого элемента. Подпространством может служить и все пространство R. Эти подпространства называются тривиальными или несобственными.

Подпространство n-мерного пространства конечномерно и его размерность не превосходит n: dim L≤ dim R.

Сумма и пересечение подпространств

Пусть L и M — два подпространства пространства R.

Cуммой L+M называется множество векторов x+y, где x∈L и y∈M. Очевидно, что любая линейная комбинация векторов из L+M принадлежит L+M, следовательно L+M является подпространством пространства R (может совпадать с пространством R).

Пересечением L∩M подпространств L и M называется множество векторов, принадлежащих одновременно подпространствам L и M (может состоять только из нулевого вектора).

Теорема 6.1. Сумма размерностей произвольных подпространств L и M конечномерного линейного пространства R равна размерности суммы этих подпространств и размерности пересечения этих подпространств:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Доказательство. Обозначим F=L+M и G=L∩M. Пусть G g-мерное подпространство. Выберем в нем базис . Так как G⊂L и G⊂M, следовательно базис G можно дополнить до базиса L и до базиса M. Пусть базис подпространства L и пусть базис подпространства M. Покажем, что векторы

составляют базис F=L+M. Для того, чтобы векторы (6.1) составляли базис пространства F они должны быть линейно независимы и любой вектор пространства F можно представить линейной комбинацией векторов (6.1).

Докажем линейную независимость векторов (6.1). Пусть нулевой вектор пространства F представляется линейной комбинацией векторов (6.1) с некоторыми коэффициентами:

Левая часть (6.3) является вектором подпространства L, а правая часть является вектором подпространства M. Следовательно вектор

принадлежит подпространству G=L∩M. С другой стороны вектор v можно представить линейной комбинацией базисных векторов подпространства G:

Из уравнений (6.4) и (6.5) имеем:

Но векторы являются базисом подпространства M, следовательно они линейно независимы и . Тогда (6.2) примет вид:

В силу линейной независимости базиса подпространства L имеем:

Так как все коэффициенты в уравнении (6.2) оказались нулевыми, то векторы

линейно независимы. Но любой вектор z из F (по определению суммы подпространств) можно представить суммой x+y, где x∈L, y∈M. В свою очередь x представляется линейной комбинацией векторов а y — линейной комбинацией векторов. Следовательно векторы (6.10) порождают подпространство F. Получили, что векторы (6.10) образуют базис F=L+M.

Изучая базисы подпространств L и M и базис подпространства F=L+M (6.10), имеем: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Следовательно:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Прямая сумма подпространств

Определение 6.2. Пространство F представляет собой прямую сумму подпространств L и M, если каждый вектор x пространства F может быть единственным способом представлен в виде суммы x=y+z, где y∈ L и z∈M.

Прямая сумма обозначается L⊕M. Говорят, что если F=L⊕M, то F разлагается в прямую сумму своих подпространств L и M.

Теорема 6.2. Для того, чтобы n-мерное пространство R представляло собой прямую сумму подпространств L и M, достаточно, чтобы пересечение L и M содержало только нулевой элемент и чтобы размерность R была равна сумме размерностей подпространств L и M.

Доказательство. Выберем некоторый базис в подпространстве L и некоторый базис в подпространстве M. Докажем, что

является базисом пространства R. По условию теоремы размерность пространства R n равна сумме подпространств L и M (n=l+m). Достаточно доказать линейную независимость элементов (6.11). Пусть нулевой вектор пространства R представляется линейной комбинацией векторов (6.11) с некоторыми коэффициентами:

Так как левая часть (6.13) является вектором подпространства L, а правая часть — вектором подпространства M и L∩M= 0, то

Но векторы и являются базисами подпространств L и M соответственно. Следовательно они линейно независимы. Тогда

Установили, что (6.12) справедливо лишь при условии (6.15), а это доказывает линейную независимость векторов (6.11). Следовательно они образуют базис в R.

Пусть x∈R. Разложим его по базису (6.11):

Из (6.17) и (6.18) следует, что любой вектор из R можно представить суммой векторов x₁∈L и x₂∈M. Остается доказать что это представление является единственным. Пусть кроме представления (6.17) есть и следующее представление:

Вычитая (6.19) из (6.17), получим

Так как , и L∩M= 0, то и . Следовательно и . ■

Способы описания подпространств линейного пространства

Рассмотрим два важных способа описания линейных подпространств, которые условно будем называть внутренним и внешним. В первом (внутреннем) способе используется понятие линейной оболочки векторов, когда все элементы подпространства выражаются через некоторые его элементы (образующие). При втором (внешнем) способе применяются однородные системы уравнений. В этом случае подпространство описывается как пересечение некоторых содержащих его множеств. Для каждого способа описания подпространств укажем методики на хождения размерностей, базисов, алгебраических дополнений, пересечений и сумм подпространств.

Любое n-мерное вещественное линейное пространство изоморфно n-мерному арифметическому пространству . Чтобы установить изоморфизм , достаточно выбрать в пространстве базис и каждому вектору поставить в соответствие его координатный столбец. Поэтому в данном разделе будем рассматривать описание подпространств n-мерного арифметического пространства .

Первый (внутренний) способ. Пусть в пространстве заданы столбцы . Напомним, что для систем столбцов были определены понятия базы (максимальной линейно независимой подсистемы столбцов) и ранга (максимального числа линейно не зависимых столбцов системы), а также методы их нахождения.

Рассматривая линейную оболочку столбцов как линейное подпространство , заключаем, что база системы столбцов является базисом этого подпространства, а ранг системы столбцов равен размерности подпространства .

Поэтому для нахождения размерности и базиса подпространства нужно выполнить следующие действия:

1) составить из данных столбцов матрицу размеров ;

2) привести ее к ступенчатому виду (1.4), используя элементарные преобразования строк;

3) определить размерность и базис подпространства

– количество ненулевых строк в матрице равняется размерности подпространства, т.е. ,

– столбцы матрицы , содержащие единичные элементы (в начале каждой «ступеньки»), определяют номера линейно независимых столбцов матрицы , т.е. искомый базис.

Таким образом, если подпространство задано своими образующими , то его размерность равна рангу системы столбцов , т.е. , а базисом служит максимальная линейно независимая подсистема образующих.

Второй (внешний) способ. Пусть подпространство задано как множество решений однородной системы уравнений с неизвестными. Множество решений системы уравнений можно рассматривать как пересечение подпространств , где — множество решений i-го уравнения системы . Напомним, что любое решение однородной системы представляется в виде линейной комбинации элементов фундаментальной системы решений. Поэтому раз мерность пространства , а базисом служит фундаментальная система решений однородной системы . Способы нахождения фундаментальной системы решений рассмотрены ранее.

Переход от одного способа описания подпространств к другому

Переход от внутреннего описания к внешнему. Пусть подпространство задано линейной оболочкой столбцов . Требуется составить такую однородную систему уравнений, множество решений которой совпадает с , т.е. . Для этого нужно выполнить следующие действия.

1. Из данных столбцов составить матрицу размеров , а затем блочную матрицу , приписав к матрице единичную матрицу n-го порядка.

2. Элементарными преобразованиями над строками блочной матрицы и первыми ее столбцами привести матрицу к виду , где — простейший вид матрицы .

3. Из последних строк матрицы составить матрицу .

4. Записать искомую систему уравнений .

Поясним содержание алгоритма. Заданное подпространство состоит из линейных комбинаций данных векторов, т.е. все его элементы имеют вид . Решаемую задачу можно сформулировать так: для каких векторов найдутся такие числа , чтобы выполнялось равенство . Другими словами, при каких неоднородная система ( уравнений с неизвестными ) имеет решения? Используя необходимое и достаточное условие (5.24) совместности системы, получаем равенство . Заметим, что решение поставленной задачи неоднозначно, так как существует много однородных систем, имеющих од но и то же множество решений.

Пример 8.8. Подпространство задано линейной оболочкой столбцов . Составить систему уравнений, определяющую подпространство .

Решение. 1. Составляем матрицу и блочную матрицу:

2. Приводим левый блок к простейшему виду. Вычитаем первую строку из остальных, а затем к четвертой строке прибавляем вторую, умноженную на (-2):

Преобразовываем столбцы левого блока: ко второму столбцу прибавим пер вый, умноженный на (-1), к третьему столбцу прибавим первый, умноженный на (-3), а затем второй, умноженный на (-1). Эти преобразования не изменяют правый блок полученной матрицы. Находим простейший вид Л матрицы и матрицу

3. Из последних строк матрицы составляем матрицу искомой системы.

4. Записываем систему уравнений Заданные в условии примера столбцы являются решениями полученной системы, в чем можно убедиться при их подстановке в систему уравнений вместо .

Переход от внешнего описания к внутреннему. Пусть подпространство задано как множество решений однородной системы т уравнений с л неизвестными: . Требуется найти размерность и базис этого подпространства, т.е. представить его в виде линейной оболочки . Для этого нужно выполнить следующие действия.

1. Найти фундаментальную систему решений однородной системы . Искомая размерность .

2. Представить заданное пространство как линейную оболочку .

Первый пункт алгоритма удобно выполнять следующим образом:

– составить блочную матрицу , приписав к матрице единичную матрицу n-го порядка;

– элементарными преобразованиями над столбцами блочной матрицы и строками верхнего блока привести матрицу к виду , где — простейший вид матрицы ;

– из последних столбцов матрицы составить фундаментальную матрицу .

Столбцы фундаментальной матрицы составляют искомую фундаментальную систему решений.

Заметим, что решение поставленной задачи неоднозначно, так как существует много базисов одного и того же линейного подпространства.

Пример 8.9. Найти размерность и базис подпространства , заданного системой уравнений

Решение. 1. Фундаментальная матрица для этой системы была найдена в примере 5.6

Ее столбцы образуют фундаментальную систему решений. Размерность подпространства равна , .

Векторное пространство

С понятием вектора тесно связано понятие векторного или линейного пространства (vector space, linear space).

По большому счету, векторное пространство — это множество векторов, которые мы можем складывать (vector addition) и умножать на число или скаляр (scalar multiplication).

В частности, сложение и умножение на число двумерных (состоящих из двух компонентов) векторов дает нам двумерный вектор, трехмерных — трехмерный и так далее.

При этом сложить, например, двумерный и трехмерный вектор нельзя

Также нельзя сформировать векторное пространство из двумерных векторов, лежащих только в первой четверти координатной плоскости. Хотя для таких векторов будет задана операция сложения, при умножении на отрицательный скаляр мы можем выйти за пределы первой четверти.

Поэтому говорят, что векторное пространство должно быть замкнуто относительно операций сложения и умножения на скаляр (closed under vector addition and scalar multiplication).

Двумерное пространтсво вещественных чисел принято обозначать $R^2$, трехмерное $R^3$, n-мерное — $R^n$.

Отметим, что вектор $\begin 1 \\ 2 \\ 0 \end$ — это вектор в $R^3$ с нулевым третьим компонентом.

Линейная комбинация векторов

Любой вектор внутри одного пространства (например, $R^2$) можно представить как линейную комбинацию конечного числа векторов (linear combination of a finite set of vectors).

Под линейной комбинацией, как вы видите, понимается опять же сложение векторов и их умножение на число.

Аксиомы векторных пространств

Операции в векторных пространствах должны отвечать следующим правилам:

1. $ \mathbf u + (\mathbf v + \mathbf w) = (\mathbf u + \mathbf v) + \mathbf w $
2. $ \mathbf v + \mathbf w = \mathbf w + \mathbf v $
3. Существует нулевой вектор $ \mathbf 0 \Rightarrow \mathbf 0 + \mathbf v = \mathbf v, \forall \mathbf v $
4. Для каждого $ \mathbf v $ существует $ -\mathbf v \Rightarrow \mathbf v + (-\mathbf v) $
5. $ a(b \mathbf v) = (ab) \mathbf v $
6. $ 1 \mathbf v = \mathbf v $
7. $ a(\mathbf v + \mathbf w) = a \mathbf v + a \mathbf w $
8. $ (a + b) \mathbf v = a \mathbf v + b \mathbf v $

Этим правилам могут отвечать не только векторы действительных чисел в пространстве $R^n$ (Евклидово пространство), но и, в частности, векторы функций. В этом случае речь идет о функциональных пространствах (function spaces).

Примечание. Некоторые понятия, упомянутые в видео выше, в частности, линейные преобразования (linear transformations), ядро матрицы (null space) и собственные векторы и значения (eigenvectors and eigenvalues) будут рассмотрены на более поздних занятиях.

Внутреннее произведение

Скалярное произведение (dot product) является частным случаем внутреннего произведения (inner product) для евклидового пространства.

Приведем простой пример того, почему скалярное произведение может не подойти для векторов, состоящих, например, из комплексных чисел $\mathbb C$. Ранее мы сказали, что скалярное произведение вектора самого на себя есть квадрат длины этого вектора, т.е. $\mathbf x^T \mathbf x = || \mathbf x ||^2 $, и нам бы хотелось, чтобы квадрат длины был положителен.

Для действительных векторов это условие выполняется всегда, так как мы возводим в квадрат каждый компонент (вещественное число) такого вектора. Теперь рассмотрим комплексный вектор

$$ \mathbf z = \begin 1 \\ i \end \in \mathbb C^2 $$

По правилам скалярного произведения квадрат его длины был бы равен

$$ \mathbf z^T \mathbf z = \begin 1 & i \end \begin 1 \\ i \end = 1 \cdot 1 + i \cdot i = 1-1 = 0 $$

Для того чтобы квадрат ненулевого вектора не был равен нулю в векторных пространствах комплексных чисел скалярное (а точнее внутреннее) произведение задано как $\overline<\mathbf z>^T \mathbf z$, где $\overline<\mathbf z>$ является комплексно сопряженным (complex conjugate) к $\mathbf z$ вектором. Тогда,

$$ \overline<\mathbf z>^T \mathbf z = \begin 1 & -i \end \begin 1 \\ i \end = 1 \cdot 1 + (-i) \cdot i = 1+1 = 2 $$

Векторное подпространство

Определение

Подпространством (subspace) векторного пространства $K$ называется множество $S$ его элементов, само являющееся векторным пространством относительно введенных в $K$ операций сложения и умножения на число.

Другими словами, чтобы $S$ было подпространством $K$ для каждого $\mathbf v, \mathbf w \in S, K$ и $a \in \mathbb$ должно выполняться $\ < \mathbf v + \mathbf w, a \mathbf v \>\in S, K$.

Например, выше мы сказали, что векторы $R^2$ первой четверти координатной плоскости не могут образовывать векторное пространство, потому что мы не можем задать для них операцию умножения на число, результатом которой был бы вектор только в этой четверти.

При этом, если мы возьмем на пространстве $R^2$ подпространство всех векторов, лежащих на прямой линии и проходящих через начало координат, то такое подпространство будет отвечать аксиомам векторных пространств.

Примечание. $R^1$ нельзя назвать подпространством $R^2$, потому что у векторов $R^1$ только один компонент, а у векторов $R^2$, даже тех, которые лежат на одной линии, их два.

Пересечение подпространств

Если $S$ и $T$ — подпространства, то $S \cap T$ тоже подпространство. Возьмем $\mathbf v, \mathbf w \in S, T$. Тогда $\mathbf v + \mathbf w \in S, T$ и $a \mathbf v \in S,T$, так как $S$ и $T$ отвечают свойствам подпространств.

Ортогональные подпространства

Подпространство $S$ будет ортогонально подпространству $T$, если каждый вектор в $S$ ортогонален каждому вектору в $T$.

$$ \forall \mathbf v \in S \perp \forall \mathbf w \in T $$

Линейная независимость векторов

Когда один вектор можно выразить через умножение другого вектора на число говорят, что эти векторы линейно зависимы (linearly dependent). С двумя линейно независимыми (linearly independent) векторами $ \mathbf v_1, \mathbf v_2 $ такого сделать не получится.

$$ \mathbf v_2 \neq k \mathbf v_1 $$

где k — некоторое число.

Рассмотрим пример трех векторов. Чтобы эти три вектора были линейно независимы, не должно быть возможности выразить третий вектор через линейные комбинации (сложение и умножение на скаляр) первых двух.

$$ \mathbf v_3 \neq k_1 \mathbf v_1 + k_2 \mathbf v_2 $$

Если так сделать нельзя, мы попадаем в трехмерное пространство, если можно — останемся на плоскости.

Линейная оболочка

Линейная оболочка (linear span) — это множество всех возможных линейных комбинаций с помощью данного набора векторов.

Если у нас два линейно независимых (двумерных) вектора, то оболочка — $R^2$ (плоскость), если три (трехмерных) вектора, но один из них линейно зависим, то по-прежнему $R^2$.

Оболочка — это ответ на вопрос, какие векторы можно построить с помощью сложения и умножения на скаляр $n$ n-мерных векторов. Линейно зависимый вектор находится внутри оболочки, создаваемой комбинациями других линейно независимых векторов.

Базис пространства

Имея два двумерных линейно независимых вектора (например, $\begin 1 \\ 2 \end$ и $\begin 3 \\ 1 \end$), мы можем представить любой другой вектор в пространстве $ R^2 $, сложив эти два вектора и умножив их на скаляр. Такие векторы называются базисом пространства (basis of a vector space) $ R^2 $, по сути его координатами.

В целом, базисом называется такое множество линейно независимых векторов внутри векторного пространства, с помощью которых можно выразить любой другой вектор этого пространства.

Базис можно представить как некоторую систему координат, которой пользуются все векторы данного пространства.

Подпространство линейного пространства

Определение 6.1. Подпространством L n-мерного пространства R называется множество векторов, образующих линейное пространство по отношению к действиям, которые определены в R.

Другими словами, L называется подпространством пространства R, если из x, y∈L следует, что x+y∈L и если x∈L, то λx∈L, где λ— любое вещественное число.

Простейшим примером подпространства является нулевое подпространство, т.е. подмножество пространства R, состоящее из единственного нулевого элемента. Подпространством может служить и все пространство R. Эти подпространства называются тривиальными или несобственными.

Подпространство n-мерного пространства конечномерно и его размерность не превосходит n: dim L≤ dim R.

Сумма и пересечение подпространств

Пусть L и M — два подпространства пространства R.

Cуммой L+M называется множество векторов x+y, где x∈L и y∈M. Очевидно, что любая линейная комбинация векторов из L+M принадлежит L+M, следовательно L+M является подпространством пространства R (может совпадать с пространством R).

Пересечением L∩M подпространств L и M называется множество векторов, принадлежащих одновременно подпространствам L и M (может состоять только из нулевого вектора).

Теорема 6.1. Сумма размерностей произвольных подпространств L и M конечномерного линейного пространства R равна размерности суммы этих подпространств и размерности пересечения этих подпространств:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Доказательство. Обозначим F=L+M и G=L∩M. Пусть G g-мерное подпространство. Выберем в нем базис . Так как G⊂L и G⊂M, следовательно базис G можно дополнить до базиса L и до базиса M. Пусть базис подпространства L и пусть базис подпространства M. Покажем, что векторы

составляют базис F=L+M. Для того, чтобы векторы (6.1) составляли базис пространства F они должны быть линейно независимы и любой вектор пространства F можно представить линейной комбинацией векторов (6.1).

Докажем линейную независимость векторов (6.1). Пусть нулевой вектор пространства F представляется линейной комбинацией векторов (6.1) с некоторыми коэффициентами:

Левая часть (6.3) является вектором подпространства L, а правая часть является вектором подпространства M. Следовательно вектор

принадлежит подпространству G=L∩M. С другой стороны вектор v можно представить линейной комбинацией базисных векторов подпространства G:

Из уравнений (6.4) и (6.5) имеем:

Но векторы являются базисом подпространства M, следовательно они линейно независимы и . Тогда (6.2) примет вид:

В силу линейной независимости базиса подпространства L имеем:

Так как все коэффициенты в уравнении (6.2) оказались нулевыми, то векторы

линейно независимы. Но любой вектор z из F (по определению суммы подпространств) можно представить суммой x+y, где x∈L, y∈M. В свою очередь x представляется линейной комбинацией векторов а y — линейной комбинацией векторов. Следовательно векторы (6.10) порождают подпространство F. Получили, что векторы (6.10) образуют базис F=L+M.

Изучая базисы подпространств L и M и базис подпространства F=L+M (6.10), имеем: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Следовательно:

Прямая сумма подпространств

Определение 6.2. Пространство F представляет собой прямую сумму подпространств L и M, если каждый вектор x пространства F может быть единственным способом представлен в виде суммы x=y+z, где y∈ L и z∈M.

Прямая сумма обозначается L⊕M. Говорят, что если F=L⊕M, то F разлагается в прямую сумму своих подпространств L и M.

Теорема 6.2. Для того, чтобы n-мерное пространство R представляло собой прямую сумму подпространств L и M, достаточно, чтобы пересечение L и M содержало только нулевой элемент и чтобы размерность R была равна сумме размерностей подпространств L и M.

Доказательство. Выберем некоторый базис в подпространстве L и некоторый базис в подпространстве M. Докажем, что

является базисом пространства R. По условию теоремы размерность пространства R n равна сумме подпространств L и M (n=l+m). Достаточно доказать линейную независимость элементов (6.11). Пусть нулевой вектор пространства R представляется линейной комбинацией векторов (6.11) с некоторыми коэффициентами:

Так как левая часть (6.13) является вектором подпространства L, а правая часть — вектором подпространства M и L∩M=0, то

Но векторы и являются базисами подпространств L и M соответственно. Следовательно они линейно независимы. Тогда

Установили, что (6.12) справедливо лишь при условии (6.15), а это доказывает линейную независимость векторов (6.11). Следовательно они образуют базис в R.

Пусть x∈R. Разложим его по базису (6.11):

Из (6.17) и (6.18) следует, что любой вектор из R можно представить суммой векторов x₁∈L и x₂∈M. Остается доказать что это представление является единственным. Пусть кроме представления (6.17) есть и следующее представление:

Вычитая (6.19) из (6.17), получим

Так как , и L∩M=0, то и . Следовательно и . ■