Что значит непрерывно дифференцируемая функция

Непрерывно дифференцируемая функция

Рассматривают также дважды непрерывно дифференцируемые функции — функции имеющие непрерывную вторую производную.

Аналогично можно ввести понятие » width=»» height=»» /> раз непрерывно дифференцируемых функций.

Если класс непрерывных функций обозначают через называетсядифференцируемой в точке, если ее приращение в этой точке представимо в виде

, (2.1)

где и не зависит от, апри.

Теорема 1. Функция, дифференцируема в точкетогда и только тогда, когда она имеет в этой точке конечную производную.

Доказательство.Необходимость. Пусть функциядифференцируема в точке, т.е. имеет место равенство (2.1). Разделив его на, получим. Переходя к пределу при, видим, что, т.е. предел правой части существует и равенА, значит, существует и предел левой части, т.е., причем.

Достаточность. Пусть существует. Тогда по теореме 1 § 16 главы 1, где– бесконечно малая функция при. Отсюда, т.е. функция дифференцируема в точке.

Замечание. Из теоремы 1 следует, что понятия функции, имеющей конечную производную, и дифференцируемой функции равносильны. Поэтому дифференцируемой можно назвать функцию, имеющую конечную производную, что и делают авторы некоторых учебников.

Как связаны между собой свойства непрерывности и дифференцируемости функций? Имеет место

Теорема 2. Если функциядифференцируема в точке, то она в этой точке непрерывна.

Доказательство. Поскольку в точке, имеем, что и означает непрерывность функции в точке.

Обратное неверно, то есть существуют непрерывные функции, которые не дифференцируемы.

Пример 1. Покажем, что функциянепрерывна, но не дифференцируема в точке.

Решение. Найдем приращение функции в точке, соответствующее приращениюаргумента. Имеем. Поэтому, то есть функциянепрерывна в точке. С другой стороны,,, то есть односторонние производные в точкене равны, следовательно, данная функция в этой точке не дифференцируема.

В математическом анализе имеются примеры функций, которые в каждой точке числовой прямой непрерывны, но не дифференцируемы. Они имеют сложную конструкцию.

Теорема 3. Пусть функцияимеет в точкепроизводную, функцияимеет в соответствующей точкепроизводную. Тогда сложная функцияимеет в точкепроизводную

или, короче,.

Доказательство. Дадим значениюприращение. Тогда получим соответствующее приращениефункциии приращениефункции. В силу теоремы 1 имеем

, гдепри.

.

Заметим, что если , то ипо теореме 2, поэтому и. Следовательно,.

Поскольку существует предел правой части равенства, то существует и предел левой части и

.

Замечание. Теорема 3 доказана для случая, когда сложная функцияимеет одну промежуточную переменную. Если промежуточных переменных несколько, то производная вычисляется аналогично. Например, если,,, то.

§ 3. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций

Теорема 1. Пусть функция, непрерывна, строго монотонна на отрезкеи дифференцируема во внутренней точкеэтого отрезка, причем. Тогда обратная функциядифференцируема в точке, причем.

Доказательство. Заметим, что в условиях теоремы обратная функциясуществует, непрерывна и строго монотонна на отрезкев силу теоремы из § 19 главы 1.

Придадим значению приращение. Тогдаполучит приращение

(так как функциястрого монотонна). Поэтому можно записать. Поскольку прив силу непрерывности обратной функции ии, по условию, существует, имеем. Отсюда следует существованиеи равенство. Теорема доказана.

Пример 1. Найдем производные функцийarcsin x,arccos x,arctg x,arcctg x/

Решение. По теореме 1 имеем(поскольку, имееми корень берем со знаком плюс).

,

,.

Теорема 2. Если функциииимеют производные в точке, то в точкеимеют производные и функции(если) и справедливы формулы

а);б);в).

Доказательство.а) Пусть. Дадимприращение. Тогда функцииu,v,yполучат приращения, причем

. Отсюдаии равенствоа) доказано.

б) Пусть. Аналогично пунктуа) имеем

,,, т.е. имеет место формулаб).

в) Пусть. Имеем,,, т.е. имеет место формулав).

Следствия. 1) Если, то.

2) Формула а) имеет место для любого конечного числа слагаемых.

3) .

Доказательство. 1) Поскольку, имеем.

2) Например, имеем .

3) Например, имеем .

В общем случае следствия 2) и 3) доказываются методом математической индукции.

Рассмотрим показательно-степенную функцию , гдеu иv– некоторые функции отх. Найдем производную функцииу в точке, в которой дифференцируемы функцииu иv.Для этого представим функциюув виде.По правилу дифференцирования сложной функции, в силу теоремы 2 и примера 1 § 1 имеем

.

.

Заметим, что в полученной формуле первое слагаемое есть результат дифференцирования как показательной функции, а второе – как степенной функции. Примененный прием дифференцирования называетсялогарифмическим дифференцированием. Им бывает удобно пользоваться и тогда, когда дифференцируемая функция является произведением нескольких сомножителей.

Перейдем теперь к параметрическому заданию функций. Если зависимость функции у от аргументах устанавливается не непосредственно, а с помощью некоторой третьей переменнойt, называемой параметром, формулами

, (3.1)

то говорят, что функция у отх задана параметрически.

Если х и у рассматривать как прямоугольные координаты точки на плоскости, то уравнения (3.1) ставят в соответствие каждому значениюточкуна плоскости. С изменениемtточкаопишет некоторую кривую на плоскости. Уравнения (3.1) называются параметрическими уравнениями этой кривой. Например, уравнения

(3.2)

являются параметрическими уравнениями эллипса с полуосями а иb.

Если в (3.1) уравнение разрешается относительноt,, то параметрическое задание функции можно свести к явному:

.

Найдем производную функции, заданной параметрически. Для этого предположим, что функцииидифференцируемы, причемна некотором промежутке, а для функциисуществует обратная функция, имеющая конечную производную. Тогда по правилу дифференцирования сложной и обратной функций находим:. Таким образом,

. (3.3)

Например, производная функции, определяемой уравнениями (3.2) имеет вид

.

Уравнение касательной к кривой, заданной параметрически, в точке , соответствующей значению параметра, получается из уравнения (1.4), если вместоподставить:

,

отсюда при имеем

. (3.4)

Аналогично из уравнения (1.5) получаем уравнение нормали:

или. (3.5)

Запишем теперь сводные таблицы производных основных элементарных функций и правил дифференцирования, полученных ранее.

1. . 2.. 3.. 4..

5. Если , то. 6. Еслито.

7. Если– обратная функция, то. 8..

Таблица производных основных элементарных функций

1. , где. 2., в частности,

3. . 4...

5. . 6..

7. . 8..

9. . 10..

11. , в частности,. 12., в частности,.

Непрерывно дифференцируемая функция

Научные статьи на тему «Непрерывно дифференцируемая функция»

Основные теоремы дифференциального исчисления

Все теоремы дифференциального исчисления применяют свойство непрерывности функции на отрезке $[а, b]$.
Теорема Ролля Теорема 1 Пусть функция $f(x)$ непрерывна на $[а, b]$, дифференцируема в (а, b).
f(x) непрерывна на промежутке [а, b] и дифференцируема в (а, b), то найдется такая точка принадлежащая.
Заданная квадратичная функция непрерывна и дифференцируема на всем множестве действительных чисел.
Теорема Коши Теорема 3 Если две функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a. b] и дифференцируемы

Весовые пространства непрерывно дифференцируемых функций

Исследуются весовые пространства n раз непрерывно дифференцируемых функций, приводятся их свойства и выделяется оптимальный класс ассоциированных весов. Изучается вопрос о том, при каких условиях эти весовые пространства являются банаховыми. Рассматривается вопрос о вложении этих пространств друг в друга. Для пространств, задаваемых каноническими весами, доказаны критерии вложения и совпадения пространств в терминах весов.

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Понятие плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины Пусть $X$ — непрерывная.
Напомним определение функции распределения: Определение 1 Функцией распределения называется функция.
Так как случайная величина является непрерывной, то, как нам уже известно, что функция распределения.
вероятностей F(x) будет непрерывной функцией.
Пусть F(x) также дифференцируема на всей области определения.

О непрерывности и дифференцируемости максимальных значений функций

В статье рассматриваются функции являющиеся максимальными значенияминепрерывныхфункцийнасемействахкомпактныхподмножеств.Такиефункции используются, например, при исследовании геометрического строения различных равновесных поверхностей минимальных поверхностей, поверхностей постоянной средней кривизны и т.п. Обычно подобные функции строятся как геометрические характеристики исследуемых поверхностей расстояние от точки поверхности до фиксированной прямой, радиус описанной сферы и т.п. Одним из ключевых моментов этого подхода является обоснование их непрерывности и дифференцируемости. Это позволяет выводить дифференциальные соотношения для рассматриваемых функций. В настоящей работе вопросы непрерывности и дифференцируемости рассматриваются в более общей постановке для топологических и метрических пространств. В частности, найдены условия на отображение топологических пространств F : X → T, при которых функция вида ρ(t) = maxx∈F-1(t) g(x) является непрерывной. Кроме этого, для такого ро.

Дифференцируемая функция — Differentiable function

В исчислении (ветвь математики ), дифференцируемая функция одной действительной переменной — это функция, производная которой существует в каждой точке в ее области. Другими словами, график дифференцируемой функции имеет не вертикальную касательную в каждой внутренней точке области определения. Дифференцируемая функция является гладкой (функция локально хорошо аппроксимируется как линейная функция в каждой внутренней точке) и не содержит излома, угла или выступа.

В более общем смысле, для x 0 как внутренней точки в области определения функции f, тогда f называется дифференцируемой в x 0 тогда и только тогда, когда производная f ‘(x 0) существует. Другими словами, график f имеет не вертикальную касательную в точке (x 0, f (x 0)). Функция f также называется локально линейной в x 0, поскольку она хорошо аппроксимируется линейной функцией вблизи этой точки.

Содержание

• 1 Дифференцируемость реальных функций одной переменной
• 2 Дифференцируемость и непрерывность
• 3 Классы дифференцируемости
• 4 Дифференцируемость в высших измерениях
• 5 Дифференцируемость в комплексном анализе
• 6 Дифференцируемые функции на многообразиях
• 7 См. также
• 8 Ссылки

Дифференцируемость вещественных функций одной переменной

Функция f: U ⊂ R → R <\ displaystyle f: U \ subset \ mathbb \ to \ mathbb > , определенный на открытом наборе U <\ displaystyle U>, называется дифференцируемым в a ∈ U <\ displaystyle a \ in U>, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

• Производная f ‘(a) = lim h → 0 f (a + h) — е (а) час <\ displaystyle f '(a) = \ lim _ <\ frac >> существует.
• Существует действительное число L <\ displaystyle L>такое, что lim h → 0 f (a + h) — f (a) — L чч знак равно 0 <\ displaystyle \ lim _ <\ frac > = 0> . Число L <\ displaystyle L>, когда оно существует, равно f ‘(a) <\ displaystyle f' (a)>.
• Существует функция g: U ⊂ R → R <\ displaystyle g: U \ subset \ mathbb \ to \ mathbb > такой, что f (a + h) = f ( a) + f ′ (a) h + g (h) <\ displaystyle f (a + h) = f (a) + f '(a) h + g (h)>и lim h → 0 g (h) h = 0 <\ displaystyle \ lim _ <\ frac > = 0> .

Дифференцируемость и непрерывность

абсолютное значение функция непрерывна (т.е. не имеет пропусков). Она дифференцируема везде, кроме точки x = 0, где она резко поворачивает, пересекая ось y. A куспид на графике непрерывной функции. В нуле функция является непрерывной, но не дифференцируемой.

Если f дифференцируема в точке x 0, то f также должна быть непрерывной в точке x 0. В частности, любая дифференцируемая функция должна быть непрерывной в каждой точке своей области определения. Обратное неверно: непрерывная функция не обязательно дифференцируема. Например, функция с изгибом, выступом или вертикальной касательной может быть непрерывной, но не может быть дифференцируемой в месте аномалии.

Большинство функций, которые встречаются на практике, имеют производные во всех точках или в почти в каждой точке. Однако результат Стефана Банаха утверждает, что набор функций, у которых есть производная в некоторой точке, является скудным множеством в пространстве всех непрерывных функций. Неформально это означает, что дифференцируемые функции очень нетипичны среди непрерывных функций. Первым известным примером функции, которая везде непрерывна, но нигде не дифференцируется, является функция Вейерштрасса.

Классы дифференцируемости

Дифференцируемые функции могут быть локально аппроксимированы линейными функциями. Функция f: R → R <\ displaystyle f: \ mathbb \ to \ mathbb > с f (x) = x 2 sin ⁡ (1 x) <\ displaystyle f (x) = x ^ <2>\ sin \ left ( <\ tfrac <1>> \ right)> для x ≠ 0 <\ displaystyle x \ neq 0>и f (0) = 0 <\ displaystyle f (0) = 0>дифференцируемо. Однако эта функция не является непрерывно дифференцируемой.

Функция f называется непрерывно дифференцируемой, если производная f ‘(x) существует и сама является непрерывной функцией. Хотя производная дифференцируемой функции никогда не имеет скачка , у производной может быть существенный разрыв. Например, функция

дифференцируем в 0, поскольку

f ‘(0) = lim ϵ → 0 (ϵ 2 sin ⁡ (1 / ϵ) — 0 ϵ) = 0, <\ displaystyle f' (0) = \ lim _ <\ epsilon \ to 0>\ left ( <\ frac <\ epsilon ^ <2>\ sin (1 / \ epsilon) -0> <\ epsilon>> \ right) = 0,>

существует. Однако для x ≠ 0 правила дифференцирования подразумевают, что

, который не имеет предела при x → 0. Тем не менее, теорема Дарбу означает, что производная любой функции удовлетворяет заключению теоремы о промежуточном значении.

Иногда говорят, что непрерывно дифференцируемые функции относятся к классу C. Функция относится к классу C, если первая и вторая производная функции существуют и являются непрерывными. В более общем смысле, функция называется классом C, если все первые k производных f ′ (x), f ′ ′ (x). f (x) существуют и непрерывны. Если производные f существуют для всех положительных целых чисел n, функция гладкая или, что эквивалентно, класса C.

Дифференцируемость в более высоких измерениях

lim h → 0 ‖ f (x 0 + h) — f (x 0) — J ( час) ‖ р N ‖ час ‖ р м знак равно 0. <\ displaystyle \ lim _ <\ mathbf \ to \ mathbf <0>> <\ frac <\ | \ mathbf (\ mathbf > + \ mathbf ) — \ mathbf (\ mathbf >) — \ mathbf \ mathbf <(h)>\ | _ <\ mathbf ^ < n>>> <\ | \ mathbf \ | _ <\ mathbf ^ >>> = 0.>

Если функция дифференцируема в x0, то все частные производные существуют в x0, и линейное отображение J задается матрицей Якоби. Аналогичная формулировка многомерной производной обеспечивается фундаментальной леммой приращения, найденной в исчислении с одной переменной.

Если все частные производные функции существуют в окрестности точки x0и непрерывны в точке x0, то функция дифференцируема в этой точке x0.

Однако существование частных производных (или даже всех производных по направлениям ) в общем случае не гарантирует, что функция дифференцируема в точке. Например, функция f: R→ Rопределяется как

не дифференцируемо в (0, 0), но все частные производные и производные по направлению существуют в этой точке. Для непрерывного примера функция

не дифференцируемо в (0, 0), но снова существуют все частные производные и производные по направлению.

Дифференцируемость в комплексном анализе

В комплексном анализе комплексная дифференцируемость определяется с использованием того же определения, что и действительные функции одной переменной. Это допускается возможностью деления комплексных чисел. Итак, функция f: C → C <\ displaystyle f: \ mathbb \ to \ mathbb > называется дифференцируемой в x = a <\ displaystyle x = a>, когда

Хотя это определение похоже на дифференцируемость вещественных функций с одной переменной, однако это более ограничительное условие. Функция f: C → C <\ displaystyle f: \ mathbb \ to \ mathbb > , комплексно-дифференцируемая в точке x = a < \ displaystyle x = a>автоматически дифференцируется в этой точке, если рассматривать его как функцию f: R 2 → R 2 <\ displaystyle f: \ mathbb ^ <2>\ to \ mathbb ^ <2>> . Это связано с тем, что из комплексной дифференцируемости следует, что

Однако функция f: C → C <\ displaystyle f: \ mathbb \ to \ mathbb > может быть дифференцируемой как функция с несколькими переменными, тогда как не быть сложно-дифференцируемым. Например, f (z) = z + z ¯ 2 <\ displaystyle f (z) = <\ frac >> <2>>> дифференцируемо в каждой точке, рассматриваемой как вещественная функция с двумя переменными f (x, y) = x <\ displaystyle f (x, y) = x>, но она не является комплексно-дифференцируемой в любой момент.

Любая функция, комплексно-дифференцируемая в окрестности точки, называется голоморфной в этой точке. Такая функция обязательно бесконечно дифференцируема и фактически аналитична.

Дифференцируемые функции на многообразиях

Если M является дифференцируемым многообразием, вещественная или комплекснозначная функция f на M называется дифференцируемой в точке p, если она дифференцируема относительно некоторой (или любой) координатной карты, определенной вокруг точки p. В более общем смысле, если M и N — дифференцируемые многообразия, функция f: M → N называется дифференцируемой в точке p, если она дифференцируема относительно некоторых (или любых) координатных карт, определенных вокруг p и f (p).