Найдите пару чисел х и у при которых выполняется равенство

Найдите пару чисел х и у при которых выполняется равенство

Найдите количество пар целых чисел (x;y), для которых выполняется равенство x^2+x*y^2=10

Алгебраическая форма комплексного числа

Комплексным числом называют выражение вида , где — действительные числа, i — мнимая единица.

Число называют действительной, а число — мнимой частями комплексного числа. Комплексное число, как правило, обозначают буквой . Два комплексных числа называют равными тогда и только тогда, когда , то есть когда равны их действительные части и коэффициенты при мнимой части.

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не определено. Комплексное число называется нулём и обозначается 0; комплексное число отождествляется с действительным числом ; комплексное число называют чисто мнимым и обозначают . Число 0 является единым числом, которое одновременно и является действительным, и чисто мнимое.

Комплексные числа называются сопряжёнными и обозначаются и. Например, в числе , сопряжённым к нему будет число , а для числа сопряжённым будет число .

Множество комплексных чисел принято обозначать буквой С. Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой комплексного числа.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Пример 1. Найти сумму и произведение комплексных чисел

Решение: Сумму находим формальным сложением двучленов

произведение находим перемножив двучлены с последующей заменой .

Ответ:

При делении комплексных чисел , где достаточно умножить числитель и знаменатель дроби на число сопряжённое к знаменателю, то есть на

Пример 2. Даны комплексные числа и Найдите разность и частное

Находим разность вычитанием двучленов

Чтобы найти частное умножим числитель и знаменатель на число, сопряжённое к знаменателю:

Ответ:

Пример 3. Найти комплексное число

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Каждому комплексному числу можно поставить в соответствие упорядоченную пару действительных чисел и наоборот. Такая упорядоченная пара действительных чисел определяет точку или вектор на плоскости.

Следовательно, комплексное число вида изображается на координатной плоскости точкой или вектором, начало которого совпадает с началом координат, а конец с т. М.

Например, изобразим числа

Аргументом комплексного числа называют величину угла между положительным направлением действительной оси и вектора, который соответствует данному комплексному числу.

На основе теоремы Пифагора получаем

Например, комплексное число имеет модуль равный 10, так как

Аргумент комплексного числа , в отличии от модуля, вычисляется неоднозначно. Так аргументом числа 5 являются следующие углы Среди бесконечного множества значений аргумента только одно принадлежит промежутку . Эти значения аргумента мы и будем вычислять.

1.Определить коэффициент заданного комплексного числа.

2. Найти

4. Вычислить аргумент согласно приведённым формулам.

Пример 4. Найти аргумент комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа

Рассмотрим рис. 2. Согласно тригонометрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике числа можно выразить через r и таким образом:

Следовательно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической, достаточно найти его модуль и аргумент.

Пример 5. Записать число в тригонометрической форме.

Найдём модуль

Найдём острый угол

Вектор, который соответствует данному комплексному числу принадлежит третьей четверти, поэтому аргумент равен следовательно

Ответ:

Для того, чтобы перейти от тригонометрической формы записи комплексного числа к алгебраической, достаточно найти действительные числа из формул

Пример 6. Записать число в алгебраической форме.

Найдём и

Ответ:

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Правило умножения комплексных чисел автоматически распространяется на произвольное число множителей. Если взять равные множители

Для извлечении корня n-й степени из комплексного числа используют формулу:

где арифметический корень,

Пример 8. Вычислить Ответ записать в алгебраической форме.

Ответ:

Пример 9. Вычислить

Решение: Запишем число в тригонометрической форме:

Пример 10. Вычислите . Ответ запишите в алгебраической и тригонометрической формах.

Показательная форма комплексного числа

Рассматривая функцию для комплексной переменной, известный математик Л. Эйлер установил соотношение

Из заданной формулы следует, что каждое комплексное число можно записать в виде которое называется показательной формой записи.

Пусть , тогда:

Пример 11. Представить число в алгебраической форме.

Решение: Согласно условию задачи , поэтому

Ответ:

Пример 12. Выполнить действия, результат записать в тригонометрической и показательной формах:

Ответ:

Геометрически действительные числа изображаются точками на координатной прямой: каждому действительному числу соответствует одна точка прямой («образ» действительного числа) и, обратно, каждая точка координатной прямой соответствует одному действительному числу. Координатная прямая сплошь заполнена образами действительных чисел, т. е., выражаясь фигурально, «на ней нет места для новых чисел». Возникает предположение о том, что геометрические образы новых чисел надо искать уже не на прямой, а на плоскости. Однако каждую точку М координатной плоскости ху можно отождествить с координатами этой точки. Поэтому естественно в качестве новых чисел ввести упорядоченные пары действительных чисел (упорядоченные в том смысле, что — разные точки, а значит, и разные числа).

Комплексным числом называют всякую упорядоченную пару действительных чисел

Два комплексных числа называют равными тогда и только тогда, когда

Суммой комплексных чисел называют комплексное число

Например,

Комплексным нулем считают пару (0; 0). Числом, противоположным числу считают число обозначают его

Разностью комплексных чисел называют, как обычно, такое число Разность всегда существует и единственна. В самом деле, пусть Тогда Это значит, что откуда находим

Таким образом, получаем следующее правило вычитания комплексных чисел:

Произведением комплексных чисел называют комплексное число

Например, если то

Пусть Существует, и только одно, комплексное число такое, что Это число и называют, как обычно, частным от деления z на w.

Имеем Так как то должны выполняться равенства

Из этой системы двух уравнений с двумя переменными находим (см. п. 164) Итак,

Получили следующее правило деления комплексных чисел: если то

Условились вместо писать просто , а комплексное число (0; 1) обозначать буквой и называть мнимой единицей. Тогда равенство (1) принимает вид т. е.

Запись называют алгебраической формой комплексного числа при этом число называют действительной частью комплексного числа z, a bi — его мнимой частью.

Например,

Если мнимая часть комплексного числа отлична от нуля, то число называют мнимым, если при этом = 0, т. е. число имеет вид bi, то его называют чисто мнимым, наконец, если у комплексного числа мнимая часть равна нулю, то получается действительное число .

Выполнив сложение тех же чисел в алгебраической форме, считая и с + di обычными двучленами, находим

Выполнив вычитание тех же чисел в алгебраической форме, считая и с + di обычными двучленами, находим

Выполнив умножение тех же чисел в алгебраической форме, считая и с + di обычными двучленами, находим

Воспользуемся тем, что (см. равенство (5)); тогда В результате получаем

Деление. Известно (см. п. 45), что если то

Выполним деление тех же чисел в алгебраической форме, считая и с + di обычными двучленами, a — обычной дробью. Умножив числитель и знаменатель этой дроби на с — di (предполагая, что значение дроби от этого не изменится), находим

Подводя итоги, приходим к следующему важному практическому выводу: над комплексными числами, записанными в алгебраической форме, можно осуществлять все арифметические операции как над обычными двучленами, учитывая лишь, что Чтобы преобразовать в комплексное число дробь вида нужно числитель и знаменатель дроби умножить на число с — di; числа с + di и с — di называют комплексно-сопряженными.

Вычислить

Применив формулу , получим

Вычислить

Найти действительные числа х и у такие, что выполняется равенство

Имеем Тогда заданное равенство можно переписать в виде

Комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части ( = с) и коэффициенты при мнимых частях (Ь = d). Значит, приходим к системе уравнений

из которой находим (см. п. 164)

Найти комплексные числа z, удовлетворяющие равенству

Эта система имеет два решения (см. п. 164): (2; 3) и (-2; -3). Значит,

Вычислить

Имеем (см. п. 58)

Значит,

Далее, имеем

Значит,

Отыскание комплексных корней уравнений

Пусть > 0. Так как Тем самым мы получаем возможность извлекать квадратные корни из отрицательных действительных чисел. Это позволяет находить не только действительные, но и мнимые корни уравнений.

Решить уравнение

Имеем (см. п. 137) Итак,

Решить уравнение

Имеем Значит, либо х — 2 = 0, откуда находим либо откуда находим Итак,

Найдите пару чисел x и y при которых выполняется равенство

Сумма квадратов двух чисел равна 0, когда они оба равны 0.

Надо решить два простых уравнения

4.a) a=45°,б)а=120° в).а=210°,г)30<span>°.
5. а).tg</span>²a+ctg²a,если tga-ctga=-4
(tga-ctga)²= tg²a -2tga*ctga +ctg²a=16 или
tg²a+ctg²a-2=16 или tg²a+ctg²a =18
б) tga+ctga =sina/cosa+cosa/sina=(sin²a+cos²a)/ sina*cosa =1/ sina*cosa =2/sin2a.
(sina+cosa)² = sin²a+2 sinacosa + cos²a =1+ sin2a=1/9,
sin2a=1/9-1=-8/9.
1+2/( tga+ctga )=1+4/ sin2a =1+4:(-8/9)=1-4*9/8=1-4.5=-3.5
6.п/3-0-п/3:2п/3=п/3-0.5

Найдите количество пар целых чисел (x;y), для которых выполняется равенство x^2+x*y^2=10

Преобразуем функцию
x^2+x*y^2=10
x*y^2=10-x^2
y^2=(10-x^2)/x
y=sqrt((10-x^2)/x)
*sqrt — квадратный корень
Рассмотрим эту функцию и учтём,что x и у — целые числа
Вспомним про область доп. значений — выражение под корнем неотрицательно и x не равно 0
подставляем такие значения x,чтобы получить целое y
Это х=1,у=3
из полоительных. чисел более ничего не подходит
Берём отрицательные ,да такие, чтобы 10 — x^2 Было отрицательно ,чтобы подкоренное выражение было положительным
x=-10, y=3
Больше пар я не нашёл

Найдите пару чисел х и у, при которых выполняется равенство:
(2x-4/3-1+5-3x/9)^2+(4-2у+1/6-2-у ЗАРАНЕЕ

2 Смотреть ответы Добавь ответ +10 баллов

Ответы 2

(я дешо не знала)

1) were you to london? yes,i was there last summer. 4)they cross the street, turn to the left,and saw the boat 6)the students visit the science museum yesterday.they spend science night in the museum

1) ви були в лондоні? так, минулого літа я був там. 4) вони перетинають вулицю, повертають ліворуч і бачать човен 6) студенти відвідують музей науки вчора.