Как взять корень из матрицы

Квадратный корень из матрицы

Квадратный корень из матрицы — расширение понятия числового квадратного корня на кольцо квадратных матриц.

Содержание

Определение

Существование и однозначность

Не для всех матриц квадратный корень существует. Например, не имеет корня матрица [math]\displaystyle < \left( \begin0&a\\ 0&0\end \right), a \neq 0 >[/math] . Эта матрица также является делителем нуля и квадратным корнем из нуля. Таким образом, в кольце матриц нуль имеет бесконечно много квадратных корней.

В тех случаях, когда корень существует, он не всегда определён однозначно. Например, матрица [math]\displaystyle< \left( \begin33&24\\ 48&57\end \right) >[/math] имеет четыре корня: [math]\displaystyle < \pm \left(\begin1&4\\ 8&5\end \right) >[/math] и [math]\displaystyle < \pm \left( \begin5&2\\ 4&7\end \right) >[/math] .

Единичная матрица [math]\displaystyle< \bigl( \begin1&0\\ 0&1\end \bigr) >[/math] имеет следующие 6 корней среди матриц, состоящих из [math]\displaystyle< 0 >[/math] , [math]\displaystyle< -1 >[/math] и [math]\displaystyle< +1 >[/math] :

а также бесконечно много симметричных рациональных квадратных корней вида:

где [math]\displaystyle< (r,s,t) >[/math] — произвольная пифагорова тройка, то есть тройка натуральных чисел, для которых [math]\displaystyle< r^2+s^2=t^2 >[/math] .

Сложность извлечения корня из матрицы обусловлена тем, что кольцо матриц некоммутативно и имеет делители нуля, то есть не является областью целостности. В области целостности, например в кольце многочленов над полем, всякий элемент имеет не более двух квадратных корней.

Положительно определённые матрицы

Положительно определённая матрица всегда имеет ровно один положительно определённый корень, который называется арифметическим квадратным корнем [1] .

Всего же положительно определённая матрица [math]\displaystyle< A >[/math] порядка [math]\displaystyle< n >[/math] с различными собственными значениями имеет [math]\displaystyle< 2^n >[/math] корней. Разложив такую матрицу по собственным векторам, получим её представление в виде [math]\displaystyle < \mathbf= \mathbf>, >[/math] где [math]\displaystyle < \mathbf>[/math] — диагональная матрица с собственными значениями [math]\displaystyle< \lambda_i \gt 0 >[/math] . Тогда квадратные корни из матрицы [math]\displaystyle< A >[/math] имеют вид [math]\displaystyle< \mathbf>, >[/math] где [math]\displaystyle < \mathbf>[/math] — диагональная матрица с элементами [math]\displaystyle < \pm\sqrt<\lambda_i>>[/math] на диагонали.

5. Функции матричного аргумента

Мы уже знаем правила проведения линейных операций над матрицами, а также умножение матриц, возведение матрицы в любую целую степень. Какие ещё операции можно проводить над матрицами?

1. Извлечение корня из матрицы

Матрица такая, что , называется Алгебраическим корнем степени из матрицы и обозначается .

Степени и корни матрицы обладают теми же свойствами, что степени и корни чисел: и т. д.

2. Многочлен от матрицы

Пусть – многочлен степени от скалярной переменной . Такой многочлен называют скалярным многочленом. Если – квадратная матрица, то называется многочленом от матрицы. Очевидно, – квадратная матрица того же порядка, что и матрица .

Матрица и любой её многочлен перестановочны, т. е. если , то . Для большинства матриц справедливо и обратное утверждение: если квадратные матрицы и перестановочны, то одна из них (а чаще – каждая из них) является многочленом от другой, причём степень многочлена должна быть меньше, чем порядок этих матриц. Например, диагональные матрицы перестановочны и по операции сложения, и по операции умножения, т. е. если и – диагональные матрицы, то .

Введём обозначение для диагональной матрицы:

,

А

3. Трансцендентные функции

Из теории рядов известны разложения в ряд Маклорена функций и т. д. Например,

(27)

Разложение (27) можно представить в виде

(28)

Или в виде 2-го замечательного предела:

. (29)

Из (28) и (29) переходя к матрицам, получим:

и (30)

Формулами (30) можно пользоваться, если эти пределы существуют. Однако могут возникнуть вычислительные сложности при возведении матрицы в степень.

Для диагональных матриц формулы (30) применимы всегда. К сожалению, в реальных задачах диагональные матрицы практически не встречаются. Однако, большую роль в технических приложениях играют матрицы, имеющие различные собственные значения, и симметрические матрицы, которые в результате преобразования подобия всегда могут быть приведены к диагональному виду.

Пусть в результате преобразования подобия из матрицы получена диагональная матрица : , откуда

(31)

Представление (31) матрицы обладает следующим свойством:

Т. е. оно сохраняет свой вид при возведении в любую степень.

Если то в случае многочлена от матрицы

.

В общем случае, если значения существуют, то:

(32)

Например, и при этом , но только, если матрицы и перестановочны.

Если матрица невырожденная, то можно найти матричный тангенс и матричный котангенс , если матрица невырожденная.

Справедливо и основное тригонометрическое тождество: .

Пример 22. Найти , если .

Решение. Диагонализация матриц возможна с помощью преобразования подобия: , где – матрица из собственных векторов матрицы , – диагональная матрица, полученная из , т. е. . Найдём собственные значения матрицы :

.

Соответствующие собственные векторы:

Следовательно, , тогда

Так как по формуле (31) То по формуле (32) получим один из четырёх возможных ответов:

И окончательно,

Можно выполнить проверку полученного результата, воспользовавшись определением корня из матрицы . По определению , тогда

Ответ:

Пример 23. Найти Если

Решение. Для нахождения собственных значений матрицы составим характеристическое уравнение: откуда Найдём собственные векторы:

Теперь можем составить матрицу и найти :

Так как то по формуле (32)

Ответ:

Квадратный корень из матрицы — Square root of a matrix

В математике квадратный корень из матрица расширяет понятие квадратного корня с чисел до матриц. Матрица B называется квадратным корнем из A, если произведение матрицы BB равно A.

Некоторые авторы используют квадратный корень имени или обозначение A только для конкретного случая. когда A является положительно полуопределенным, для обозначения уникальной матрицы B, которая является положительно полуопределенной и такой, что BB = BB = A (для матриц с действительными значениями, где B — это транспонирование матрицы B).

Реже квадратный корень имени может использоваться для любой факторизации положительной полуопределенной матрицы A как BB = A, как в факторизации Холецкого, даже если BB ≠ A. Это различное значение обсуждается в Положительно определенная матрица # Разложение.

Содержание

• 1 Примеры
• 2 Положительные полуопределенные матрицы
• 3 Матрицы с различными собственными значениями
• 4 Решения в замкнутой форме
  • 4.1 Диагональные и треугольные матрицы
  • 4.2 По диагонализации
  • 4.3 По разложению Шура
  • 4.4 По разложению Жордана
  • 4.5 По степенному ряду
  • 5.1 По итерации Денмана – Биверса
  • 5.2 По вавилонской метод
  • 6.1 Унитарная свобода квадратных корней
  • 6.2 Некоторые приложения
    • 6.2.1 Полярное разложение
    • 6.2.2 Операторы Крауса
    • 6.2.3 Смешанные ансамбли
    • 6.2.4 Фильтр Калмана без запаха

    Примеры

    В общем, матрица может иметь несколько квадратных корней. В частности, если A = B 2 <\ displaystyle A = B ^ <2>> , то A = (- B) 2 <\ displaystyle A = (- B) ^ < 2>> тоже.

    Единичная матрица 2 × 2 (1 0 0 1) <\ displaystyle \ left (<\ begin 1 0 \\ 0 1 \ end > \ right)> имеет бесконечно много квадратных корней. Они задаются как

    где (a, b, c) <\ displaystyle (a, b, c)>— любые числа (действительные или комплексные) такие, что a 2 + bc = 1 <\ displaystyle a ^ <2>+ bc = 1> . В частности, если (a, b, t) <\ displaystyle (a, b, t)>— любая тройка Пифагора, то есть любой набор положительных целых чисел, таких как что a 2 + b 2 = t 2 <\ displaystyle a ^ <2>+ b ^ <2>= t ^ <2>> , затем 1 t (abb — a) <\ displaystyle <\ frac <1>> \ left ( <\ begin a b \\ b -a \ end > \ right)> — матрица с квадратным корнем of I <\ displaystyle I>, который является симметричным и имеет рациональные элементы. Таким образом,

    Минус-тождество имеет квадратный корень, например:

    который может использоваться для представления мнимая единица i и, следовательно, все комплексные числа с использованием вещественных матриц 2 × 2, см. Матричное представление комплексных чисел.

    Так же, как с действительными числами, реальная матрица может не иметь действительного квадратного корня, но иметь квадратный корень с комплексными -значными элементами. Некоторые матрицы не имеют квадратного корня. Примером может служить матрица (0 1 0 0) <\ displaystyle \ left (<\ begin 0 1 \\ 0 0 \ end > \ right)> .

    Хотя квадратный корень неотрицательного целое число снова является целым числом или иррациональным числом, в отличие от целочисленной матрицы, которая может иметь квадратный корень, элементы которого являются рациональными, но не целыми, как в примерах выше.

    Положительные полуопределенные матрицы

    Симметричная вещественная матрица размера n × n называется положительно полуопределенной, если x TA x ≥ 0 <\ displaystyle x ^ <\textf < T>> Ax \ geq 0> для всех x ∈ R n <\ displaystyle x \ in \ mathbb ^ > (здесь x T <\ displaystyle x ^ <\textf >> обозначает транспонирование, превращающее вектор-столбец x в вектор-строку). Квадратная вещественная матрица является положительно полуопределенной тогда и только тогда, когда A = BTB <\ displaystyle A = B ^ <\textf > B> для некоторой матрицы B. Может быть много разных таких матрицы B. Положительная полуопределенная матрица A также может иметь много матриц B таких, что A = BB <\ displaystyle A = BB>. Однако у A всегда есть ровно один квадратный корень B, который является положительно полуопределенным (и, следовательно, симметричным). В частности, поскольку B должен быть симметричным, B = BT <\ displaystyle B = B ^ <\textf >> , поэтому два условия A = BB < \ displaystyle A = BB>или A = BTB <\ displaystyle A = B ^ <\textf > B> эквивалентны.

    Для матриц с комплексными значениями вместо него используется сопряженное транспонирование B ∗ <\ displaystyle B ^ <*>> , а положительные полуопределенные матрицы эрмитова, что означает B ∗ = B <\ displaystyle B ^ <*>= B> .

    Теорема — Пусть A будет положительно полуопределенной матрицей (действительной или комплексной). Тогда существует ровно одна положительно полуопределенная матрица B такая, что A = B ∗ B <\ displaystyle A = B ^ <*>B> .

    Эта уникальная матрица называется главной, неотрицательный, или положительный квадратный корень (последнее в случае положительно определенных матриц ).

    Главный квадратный корень действительной положительно полуопределенной матрицы является вещественным. Главный квадратный корень положительно определенной матрицы положительно определен; в более общем смысле, ранг главного квадратного корня из A совпадает с рангом A.

    Операция извлечения главного квадратного корня является непрерывной на этом наборе матриц. Эти свойства являются следствием применения голоморфного функционального исчисления к матрицам. Существование и единственность главного квадратного корня можно вывести непосредственно из нормальной формы Жордана (см. Ниже).

    Матрицы с различными собственными значениями

    Матрица размера n × n с n различными ненулевыми собственными значениями имеет 2 квадратных корня. Такая матрица A имеет собственное разложение VDV, где V — матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы A, а D — диагональная матрица, диагональные элементы которой представляют собой соответствующие n собственных значений λ i. Таким образом, квадратные корни из A задаются VD V, где D — любая матрица квадратного корня из D, которая для различных собственных значений должна быть диагональной с диагональными элементами, равными квадратным корням из диагональных элементов D; поскольку есть два возможных выбора для квадратного корня из каждого диагонального элемента D, есть два варианта для матрицы D.

    Это также приводит к доказательству вышеприведенного наблюдения, что положительно определенная матрица имеет ровно один положительно определенный квадратный корень: положительно определенная матрица имеет только положительные собственные значения, и каждое из этих собственных значений имеет только один положительный квадратный корень; и поскольку собственные значения матрицы квадратного корня являются диагональными элементами D, для того, чтобы сама матрица квадратного корня была положительно определенной, необходимо использовать только уникальные положительные квадратные корни исходных собственных значений.

    Решения в закрытой форме

    Если матрица идемпотентная, то есть A 2 = A <\ displaystyle A ^ <2>= A> , то по определению одним из его квадратных корней является сама матрица.

    Диагональные и треугольные матрицы

    Если D — диагональная матрица n × n D = diag ⁡ (λ 1,…, λ n) <\ displaystyle D = \ operatorname (\ lambda _ <1>, \ dots, \ lambda _ )> , то некоторые из его квадратных корней являются диагональными матрицами diag ⁡ (μ 1,…, Μ n) <\ displaystyle \ operatorname (\ mu _ <1>, \ dots, \ mu _ )> , где μ i = ± μ i <\ displaystyle \ mu _ = \ pm <\ sqrt <\ mu _ >>> . Если диагональные элементы D являются действительными и неотрицательными, то это положительно полуопределенное значение, а если квадратные корни взяты с неотрицательным знаком, результирующая матрица является главным корнем D. Диагональная матрица может иметь дополнительную недиагональную матрицу. корни, если некоторые элементы на диагонали равны, как показано выше на единичной матрице.

    Если U является верхнетреугольной матрицей (это означает, что ее элементы: ui, j = 0 <\ displaystyle u_ = 0> для i>j <\ displaystyle i>j> ) и предположим, что максимум одна из его диагональных записей равна нулю. Тогда одно верхнетреугольное решение уравнения B 2 = U <\ displaystyle B ^ <2>= U > можно найти следующим образом. Поскольку уравнение ui, i = bi, i 2 <\ displaystyle u_ = b_ ^ <2>> должно быть выполнено, пусть bi, i <\ displaystyle b_ > будет главным квадратным корнем комплексного числа ui, я <\ displaystyle u_ > . По предположению ui, я ≠ 0 <\ displaystyle u_ \ neq 0> , это гарантирует, что bi, i + bj, j ≠ 0 <\ displaystyle b_ + b_ \ neq 0> для всех i, j (поскольку основной квадратные корни из co все комплексные числа лежат на одной половине комплексной плоскости). Из уравнения

    ui, j = bi, ibi, j + bi, i + 1 bi + 1, j + bi, i + 2 bi + 2, j + ⋯ + bi, jbj, j <\ displaystyle u_ < i, j>= b_ b_ + b_ b_ + b_ b_ + \ dots + b_ b_ >

    мы заключаем, что bi, j <\ displaystyle b_ > может быть вычислено рекурсивно для j — i <\ displaystyle ji>увеличивается от 1 до n как:

    bi, j = 1 bi, i + bj, j (bi, i + 1 bi + 1, j + bi, i + 2 bi + 2, j + ⋯ + bi, j — 1 bi + j — 1, j — ui, j). <\ displaystyle b_ = <\ frac <1> + b_ >> \ left (b_ b_ + b_ b_ + \ dots + b_ b_ -u_ \ right).>

    Если U — верхний треугольник, но имеет несколько нулей на диагонали, то квадратный корень может не существовать, как показано на примере (0 1 0 0) <\ displaystyle \ left (<\ begin 0 1 \\ 0 0 \ end > \ right)> . Обратите внимание, что диагональные элементы треугольной матрицы — это в точности ее собственные значения (см. Треугольная матрица # Свойства ).

    По диагонализации

    Матрица A размера n × n является диагонализуемой, если существует матрица V и диагональная матрица D, такие что A = VDV. Это происходит тогда и только тогда, когда A имеет n собственных векторов, которые составляют основу для C . В этом случае V можно выбрать в качестве матрицы с n собственными векторами в качестве столбцов, и, таким образом, квадратный корень из A равен

    где S — любой квадратный корень из D. Действительно,

    (VD 1 2 V — 1) 2 = VD 1 2 (V — 1 V) D 1 2 V — 1 = VDV — 1 = A. <\ displaystyle \ left (VD ^ <\ frac <1><2>> V ^ <- 1>\ right) ^ <2>= VD ^ <\ frac <1><2>> \ left (V ^ < -1>V \ right) D ^ <\ frac <1><2>> V ^ <- 1>= VDV ^ <- 1>= A

    Например, матрица A = (33 24 48 57) <\ displaystyle A = \ left (<\ begin 33 24 \\ 48 57 \ end > \ right)> можно диагонализовать как VDV, где

    D имеет главный квадратный корень

    , что дает квадратный корень

    Когда A является симметричным, диагонализирующая матрица V может быть сделана ортогональной матрицей путем подходящего выбора собственных векторов (см. спектральную теорему ). Тогда инверсия V — это просто транспонирование, так что

    С помощью разложения Шура

    Каждая квадратная матрица с комплексным знаком A <\ displaystyle A>, независимо от диагонализуемости, имеет разложение Шура, заданное как A = QUQ ∗ <\ displaystyle A = QUQ ^ <*>> , где U <\ displaystyle U >— верхний треугольник, а Q <\ displaystyle Q>— унитарный (что означает Q ∗ = Q — 1 <\ displaystyle Q ^ <*>= Q ^ <- 1>> ). собственные значения для A <\ displaystyle A>— это в точности диагональные записи U <\ displaystyle U>; если не более одного из них равно нулю, то следующий квадрат представляет собой квадратный корень

    где квадратный корень U 1 2 <\ displaystyle U ^ <\ frac <1><2>>> верхнего треугольную матрицу U <\ displaystyle U>можно найти, как описано выше.

    Если A <\ displaystyle A>положительно определено, то все собственные значения являются положительными действительными числами, поэтому выбранная диагональ U 1 2 <\ displaystyle U ^ <\ frac <1><2>>> также состоит из положительных вещественных чисел. Следовательно, собственные значения QU 1 2 Q ∗ <\ displaystyle QU ^ <\ frac <1><2>> Q ^ <*>> являются положительными действительными числами, что означает, что результирующая матрица является главный корень из A <\ displaystyle A>.

    по разложению Джордана

    Аналогично разложению Шура любая квадратная матрица A <\ displaystyle A>может разложить как A = P — 1 JP <\ displaystyle A = P ^ <- 1>JP> , где P обратимый, а J находится в нормальном Иордании form.

    Чтобы увидеть, что любая комплексная матрица с положительными собственными значениями имеет квадратный корень той же формы, достаточно проверить это для жордановой клетки. Любой такой блок имеет вид λ (I + N) с λ>0 и N нильпотентным. Если (1 + z) = 1 + a 1 z + a 2 z + ⋅⋅⋅⋅⋅ — это биномиальное разложение для квадратного корня (действительно в | z | (1 — z) 1/2 = 1 — ∑ n = 1 ∞ | (1/2 п) | zn <\ displaystyle (1-z) ^ <1/2>= 1- \ sum _ ^ <\ infty>\ left | <1/2 \ select n>\ right | z ^ > , который сходится при условии ‖ z ‖ ≤ 1 <\ displaystyle \ | z \ | \ leq 1>(так как коэффициенты степенного ряда суммируются). Вставка z = I — A <\ displaystyle z = I-A>в это выражение дает

    A 1/2: = I — ∑ n = 1 ∞ | (1/2 п) | (I — A) n <\ displaystyle A ^ <1/2>: = I- \ sum _ ^ <\ infty>\ left | <1/2 \ select n>\ right | (IA) ^

    при условии, что lim sup n ‖ (I — A) n ‖ 1 / n . В силу формулы Гельфанда это условие эквивалентно требованию, чтобы спектр A <\ displaystyle A>содержался внутри диска D (1, 1) ⊆ С <\ Displaystyle D (1,1) \ substeq \ mathbb > . Этот метод определения или вычисления A 1/2 <\ displaystyle A ^ <1/2>> особенно полезен в случае, когда A <\ displaystyle A>положительно полуопределенный. В этом случае мы имеем ‖ I — A / ‖ A ‖ ‖ ≤ 1 <\ displaystyle \ | IA / \ | A \ | \ | \ leq 1>и, следовательно, ‖ (I — A / ‖ A ‖) n ‖ ≤ ‖ I — A / ‖ A ‖ ‖ n ≤ 1 <\ displaystyle \ | (IA / \ | A \ |) ^ \ | \ leq \ | IA / \ | A \ | \ | ^ \ leq 1> , так что выражение ‖ A ‖ 1/2 (I — ∑ n = 1 ∞ | (1/2 n) | (I — A / ‖ A ‖) n) <\ displaystyle \ | A \ | ^ <1/2>\ left (I- \ sum _ ^ <\ infty>\ left | <1 / 2 \ choose n>\ right | (IA / \ | A \ |) ^ \ right)> определяет квадратный корень из A <\ displaystyle A>который, кроме того, оказывается единственным положительным полуопределенным корнем. Этот метод остается в силе для определения квадратных корней операторов в бесконечномерных банаховых или гильбертовых пространствах или некоторых элементах (C *) банаховых алгебр.

    Итерационные решения

    По итерации Денмана – Биверса

    Другой способ найти квадратный корень из матрицы A размера n × n — это итерация квадратного корня Денмана – Биверса.

    Y k + 1 = 1 2 (Y k + Z k — 1), Z k + 1 = 1 2 (Z k + Y k — 1). <\ displaystyle <\ begin Y_ = <\ frac <1><2>> \ left (Y_ + Z_ ^ <- 1>\ right), \\ Z_ = <\ frac <1><2>> \ left (Z_ + Y_ ^ <- 1>\ right). \ End >>

    Как при этом используется пара последовательностей обратных матриц, более поздние элементы которых меняются сравнительно мало, только первые элементы имеют высокие вычислительные затраты, так как остаток может быть вычислен из более ранних элементов всего за несколько проходов варианта метода Ньютона для вычисления обратных значений,

    X n + 1 = 2 X n — X n BX n. <\ displaystyle X_ = 2X_ -X_ BX_ .>

    Таким образом, для более поздних значений k можно установить X 0 = Z k — 1 — 1 <\ displaystyle X_ <0>= Z_ ^ <- 1>> и B = Z k, <\ displaystyle B = Z_ ,> , а затем используйте Z k — 1 = X n <\ displaystyle Z_ ^ <- 1>= X_ > для небольшого числа n (возможно, всего 1), и аналогично для Y k — 1. <\ displaystyle Y_ ^ <- 1>.>

    Сходимость не гарантируется даже для матриц с квадратными корнями, но если процесс сходится, матрица Y k <\ displaystyle Y_ > квадратично сходится к квадратному корню A, в то время как Z k <\ displaystyle Z_ > сходится к своему обратному, A.

    By вавилонский метод

    Еще один итерационный метод получается путем использования хорошо известной формулы вавилонского метода для вычисления квадратного корня действительного числа и применения ее к матрицам. Пусть X 0 = I, где I — единичная матрица. Итерация определяется как

    X k + 1 = 1 2 (X k + A X k — 1). <\ displaystyle X_ = <\ frac <1><2>> \ left (X_ + AX_ ^ <- 1>\ right) \,.>

    Опять же, сходимость не гарантируется, но если процесс сходится, матрица X k <\ displaystyle X_ > квадратично сходится к квадратному корню A. По сравнению с итерацией Денмана – Биверса преимущество Вавилонский метод заключается в том, что для каждой итерации необходимо вычислять только одну обратную матрицу . С другой стороны, поскольку итерация Денмана – Биверса использует пару последовательностей обратных матриц, более поздние элементы которых меняются сравнительно мало, только первые элементы имеют высокие вычислительные затраты, так как остаток может быть вычислен из более ранних элементов всего за несколько проходов вариант метода Ньютона для вычисления обратных значений (см. итерация Денмана – Биверса выше); конечно, тот же подход можно использовать для получения единственной последовательности инверсий, необходимой для вавилонского метода. Однако, в отличие от итерации Денмана – Биверса, вавилонский метод численно нестабилен и с большей вероятностью не сможет сойтись.

    Вавилонский метод следует из метода Ньютона для уравнения X 2 — A = 0 <\ displaystyle X ^ <2>-A = 0> и используя AX k = X k A <\ displaystyle AX_ = X_ A> для всех k <\ displaystyle k>.

    Квадратные корни из положительных операторов

    В линейной алгебре и теории операторов, учитывая ограниченный положительный полуопределенный оператор (неотрицательный оператор) T в комплексном гильбертовом пространстве, B является квадратным корнем из T, если T = B * B, где B * обозначает Эрмитово сопряженный к B. Согласно спектральной теореме, непрерывное функциональное исчисление может применяться для получения такого оператора T, что T сам по себе положителен и (T) = T. Оператор T является единственным неотрицательным квадратным корнем из T.

    Ограниченный неотрицательный оператор в комплексном гильбертовом пространстве называется se Если они сопряжены по определению. Итак, T = (T) * T. Наоборот, очевидно, что каждый оператор вида B * B неотрицателен. Следовательно, оператор T является неотрицательным тогда и только тогда, когда T = B * B для некоторого B (эквивалентно, T = CC * для некоторого C).

    Факторизация Холецкого представляет собой другой частный пример квадратного корня, который не следует путать с уникальным неотрицательным квадратным корнем.

    Унитарная свобода квадратных корней

    Если T — неотрицательный оператор в конечномерном гильбертовом пространстве, то все квадратные корни из T связаны унитарными преобразованиями. Точнее, если T = A * A = B * B, то существует унитарный U такой, что A = UB.

    Действительно, возьмем B = T как единственный неотрицательный квадратный корень из T. Если T строго положительно, то B обратимо, и поэтому U = AB унитарно:

    U ∗ U = ((B ∗) — 1 A ∗) (AB — 1) = (B ∗) — 1 T (B — 1) = (B ∗) — 1 B ∗ B (B — 1) = I. <\ displaystyle <\ begin U ^ <*>U = \ left (\ left (B ^ <*>\ right) ^ <- 1>A ^ <*>\ right) \ left (AB ^ <- 1>\ right) = \ left (B ^ <*>\ right) ^ <- 1>T \ left (B ^ <- 1>\ right) \\ = \ left (B ^ <*>\ right) ^ <- 1>B ^ <*>B \ left (B ^ <- 1>\ right) = I. \ End >>

    Если T неотрицательно, но не строго положительно, то обратное B не может быть определен, но псевдообратная матрица Мура – ​​Пенроуза B может быть определена. В этом случае оператор BA является частичной изометрией, то есть унитарным оператором от диапазона T до самого себя. Затем это можно расширить до унитарного оператора U на все пространство, установив его равным единице на ядре T. В более общем смысле, это верно для бесконечномерного гильбертова пространства, если, кроме того, T имеет закрытый диапазон. В общем случае, если A, B — замкнутые и плотно определенные операторы в гильбертовом пространстве H, и A * A = B * B, то A = UB, где U — частичная изометрия.

    Некоторые приложения

    Квадратные корни и унитарная свобода квадратных корней находят применение в функциональном анализе и линейной алгебре.

    Полярное разложение

    Если A — обратимый оператор в конечномерном гильбертовом пространстве, то существует единственный унитарный оператор U и положительный оператор P такие, что

    это полярное разложение A. Положительный оператор P является единственным положительным квадратным корнем из положительного оператора AA, а U определяется как U = AP.

    Если A необратимо, то он все еще имеет полярный состав, в котором P определен таким же образом (и уникален). Унитарный оператор U не единственен. Скорее, можно определить «естественный» унитарный оператор следующим образом: AP является унитарным оператором из диапазона A до самого себя, который может быть расширен тождеством на ядре A. Полученный унитарный оператор U затем дает полярный разложение A.

    операторов Крауса

    По результату Чоя линейное отображение

    полностью положительно тогда и только тогда, когда оно имеет вид

    где k ≤ нм. Пусть ⊂ C будет n элементарных матричных единиц. Положительная матрица

    M Φ = (Φ (E pq)) pq ∈ C нм × нм <\ displaystyle M _ <\ Phi>= \ left (\ Phi \ left (E_ \ right) \ right) _ \ in C ^ >

    называется матрицей Чоя матрицы Φ. Операторы Крауса соответствуют, не обязательно квадратным, квадратным корням из M Φ : для любого квадратного корня B из M Φ можно получить семейство операторов Крауса V i путем отмены операции Vec для каждого столбца b i столбца B. Таким образом, все наборы операторов Крауса связаны частичными изометриями.

    Смешанные ансамбли

    В квантовой физике матрица плотности для n-уровневой квантовой системы представляет собой комплексную матрицу ρ размером n × n, которая является положительно полуопределенной со следом 1. Если ρ можно выразить как

    где pi>0 <\ displaystyle p_ >0> и ∑ p i = 1, набор

    называется ансамблем, который описывает смешанное состояние ρ. Примечание не обязательно должно быть ортогональным. Различные ансамбли, описывающие состояние ρ, связаны унитарными через квадратные корни из ρ. Например, предположим, что

    Условие трассы 1 означает

    и v i быть нормализованным a i. Мы видим, что

    дает смешанное состояние ρ.

    Фильтр Калмана без запаха

    В фильтре Калмана без запаха (UKF) квадратный корень ошибки состояния ковариационной матрицы требуется для преобразования без запаха который является используемым методом статистической линеаризации. Было представлено сравнение между различными методами вычисления квадратного корня матрицы в приложении UKF для объединения датчиков GPS / INS, которое показало, что метод разложения Холецкого лучше всего подходит для приложений UKF.

    Как взять корень из матрицы

    Этот и следующий параграфы мы посвятим уравнению

    где – заданная, а – искомая матрицы (обе порядка ), – данное целое положительное число.

    В данном параграфе мы рассмотрим случай, когда ( – неособенная матрица). В этом случае все характеристические числа матрицы отличны от нуля (ибо равен произведению этих характеристических чисел).

    элементарные делители матрицы и приведем матрицу к жордановой форме:

    Так как характеристические числа искомой матрицы при возведении в -ю степень дают характеристические числа матрицы , то и у матрицы все характеристические числа отличны от нуля. Поэтому на этих характеристических числах производная от

    не обращается в нуль. Но в таком случае (см. гл. VI, стр. 159) элементарные делители матрицы не «расщепляются» при возведении матрицы в -ю степень. Из сказанного следует, что элементарными делителями матрицы будут:

    где , т. е. является одним из корней -й степени из .

    Определим теперь следующим образом. Возьмем в -плоскости круг с центром в точке , не захватывающий нуля. В этом круге мы имеем раздельных ветвей функции . Эти ветви можно отличать одну от другой по значениям, которые они принимают в центре круга, в точке . Обозначим через ту ветвь, значение которой в точке , совпадает с характеристическим числом искомой матрицы , и, исходя из этой ветви, определим функцию от матрицы с помощью обрывающегося ряда

    Так как производная от рассматриваемой функции в точке не равна нулю, то матрица (58) имеет только один элементарный делитель , где (здесь ). Отсюда следует, что квазидиагональная матрица

    имеет элементарные делители (57), т. е. те же элементарные делители, что и искомая матрица . Поэтому существует такая неособенная матрица , что

    Для определения матрицы заметим, что, подставляя в обе части тождества

    вместо матрицу , получим:

    Теперь из (54) и (59) следует:

    Сопоставляя (56) и (60), найдем:

    где – произвольная неособенная матрица, перестановочная с (структура матрицы детально описана в § 2).

    Подставляя в (59) вместо выражение , получаем формулу, охватывающую все решения уравнения (54):

    Многозначность правой части этой формулы имеет как дискретный, так и континуальный характер: дискретный (в данном случае и конечный) характер этой многозначности получается за счет выбора различных ветвей функции в различных клетках квазидиагональной матрицы (при этом даже при ветви в -й и в -й диагональных клетках могут быть различными); континуальный характер многозначности получается за счет произвольных параметров, содержащихся в матрице .

    Все решения уравнения (54) мы будем называть корнями -й степени из матрицы и обозначать многозначным символом . Обратим внимание на то, что в общем случае не является функцией от матрицы (т. е. не представляется в виде многочлена от ).

    Замечание. Если все элементарные делители матрицы попарно взаимно просты, т. е. числа все различны, то матрица имеет квазидиагональный вид

    где матрица перестановочна с и, следовательно, перестановочна с любой функцией от , в частности с . Поэтому в рассматриваемом случае формула (62) принимает вид

    Таким образом, если элементарные делители матрицы попарно взаимно просты, то в формуле для имеется только дискретная многозначность. В этом случае любое значение можно представить как многочлен от .

    Пример. Пусть требуется найти все квадратные корни из матрицы

    т. е. все решения уравнения

    В данном случае матрица уже имеет нормальную жорданову форму. Поэтому в формуле (62) можно положить . Матрица в данном случае выглядит так (см. стр. 204):

    где – произвольные параметры.

    Формула (62), дающая все искомые решения , в данном случае принимает следующий вид:

    Не изменяя , мы можем в формуле (62) помножить на такой скаляр, чтобы . В данном случае это приведет к равенству , откуда .

    Вычислим элементы матрицы . Для этого выпишем линейное преобразование с матрицей коэффициентов :

    Разрешим эту систему уравнений относительно . Тогда получим преобразование с обратной матрицей :

    Формула (63) дает:

    Решение зависит от двух произвольных параметров и и от двух произвольных знаков и .

    Читать:

    Oldnewexplorer windows 10 как удалить