Как построить топографическую диаграмму напряжений

3.7. Топографическая диаграмма

Топографическая диаграмма — это картина распределения комплексных потенциалов точек электрической цепи на комплексной плоскости. Топографическая диаграмма совпадает с векторной диаграммой падений напряжения, если соединить векторами соответствующие потенциалы точек электрической цепи.

Порядок построения рассмотрим на примере, разобранном в разделе 3.6.1.

Приведем схему рис. 3.23 и числовые данные, полученные ранее.

Дано: r₁ = 100 Ом; r₂ = 50 Ом;

Z_L = j50 Ом; Z_c = —j100 = 100 e — j 90 Ом;

E₁ = 86,6 — j50 = 100 e — j 30 В;

E₃ = -86,6 + j50 = 100 e j 150 В;

I₁ = 0,683 + j0,183 = 0,707 e j15 А;

I₂ = -0,5 — j0,866 = 1 e j240 А;

I₃ = -1,183 -j1,049 = 1,581 e j221,56 А.

1. Заземлим точку a и найдем потенциалы остальных точек относительно заземленной. Определение потенциалов осуществим по тому же правилу, что рассматривали в разделе 2.7.

Имеем: _a = 0;

_b = _a + ₁ = 86,6 — j50 = 100 e -j30 В;

_c = _b — R_{1 1} = 86,6 — j50 — 100 (0,683 + j0,183) =

= 86,6 — j50 -68,3 — j18,3 = 18,3 — j68,3 = 70,71 e — j 75 В;

_d = _a + R_{2 2} = 50 (-0,5 — j0,866) = -25 — j43,3 = 50 e j240 В;

_e = _a + ₃ = -86,6 + j50 = 100 e j150 В.

Для проверки найдем потенциал точки c через потенциалы точек d и e:

_c = _d + Z_{L 2} = (-25 — j43,3) + (0 + j50)(-0,5 — j0,866) =18,3 — j68,3 В;

_c = _e — Z_{c 3} = -86,6 + j50 — (0 — j100)(-1,183 —j1,049) = 18,3 — j68,3 В.

Как видим, все три значения _c совпадают.

2. Обычно топографическую диаграмму рисуют совмещенной с векторной диаграммой токов. Векторная диаграмма токов — это реализация первого закона Кирхгофа на комплексной плоскости. При построении диаграмм масштаб выбирают равным по действительной и мнимой осям.

На рис. 3.24 масштабы указаны на осях координат. При нанесении соответствующих точек потенциалов (и концов векторов тока) проще пользоваться алгебраической формой записи комплексных чисел (векторов). Масштаб для тока в 100 раз меньше, чем для потенциалов.

На схеме рис. 3.23 показаны векторы падения напряжения на всех пассивных элементах. Для получения этих векторов на топографической диаграмме достаточно соединить отрезками прямых соответствующие точки, придать отрезкам направление, прямо противоположное направлениям этих векторов на схеме. Например, вектор падения напряжения _bc направлен на схеме от точки b к точке c, а на топографической диаграмме (при том же обозначении _bc ) он имеет прямо противоположное направление, т.е. от точки c к точке b. Правильность построения топографической диаграммы легко проверяется путем сопоставления векторов падения напряжения на элементах цепи с соответствующими векторами токов.

Действительно, напряжение на резистивном элементе _bc совпадает по направлению с током ₁; напряжение _cd на индуктивном элементе опережает по фазе вектор тока ₂ на 90 o ; напряжение _ec на емкостном элементе отстает от вектора тока ₃ по фазе на 90 o ; напряжение _da на резистивном элементе совпадает по фазе с вектором тока ₂.

Направление стрелок э.д.с. на схеме и на топографической диаграмме совпадает.

По топографической диаграмме можно графически определить любое падение напряжения между точками электрической цепи. Ясно, что масштаб для напряжений совпадает с масштабом для потенциалов.

Топографическая диаграмма

Напряжение на выводах цепи переменного тока или на любом из её участков можно выразить комплексным числом – комплексным напряжением и изобразить на комплексной плоскости вектором. Напряжение между двумя точками электрической цепи представляет собой разность потенциалов между этими точками. Следовательно, потенциалы отдельных точек цепи также можно представить комплексами – комплексными потенциалами и изображать соответствующими векторами. Вектор, изображающие комплексный потенциал, начинается в начале координат; его конец обозначают той же буквой (или цифрой), что в точке цепи, потенциал которой изображает вектор. Например, на рисунке 1 построены векторы комплексных потенциалов ϕ_а = 10 + j20 В и ϕ_б = 30 – j15 В и разность векторов или вектор напряжения U_аб = ϕ_а — ϕ_б = 10 + j20 – 30 + j15 = -20 + j35 В.

Напряжение U_аб построено по правилу вычитания векторов, так что ϕ_а = ϕ_б + U_аб рисунок 1. Поэтому напряжение U_аб изображается вектором, направленным от точки б (второй индекс у напряжения U_аб) к точке а (первый индекс).

Напряжение U_ба = ϕ_б — ϕ_а = 30 – j15 -10 — j20 В = 20 – j35 В. Очевидно, U_ба = — U_аб и изображается вектором, направленным от точки а к точке б (штриховая линия на рисунке 1).

Рисунок 1 — Комплексные потенциалы

Такая векторная диаграмма называется топографической; она удовлетворяет двум условиям:

1. Каждой точке электрической цепи соответствует определенная точка на векторной диаграмме и
2. вектор, проведённый из начала координат в какую-либо точку диаграммы изображает комплексный потенциал соответствующей точки цепи.

Построение топографической диаграммы

При построении топографической диаграммы потенциал одной из точек цепи принимают равным нулю и на диаграмме точку нулевого потенциала совмещают с началом координат. На такой диаграмме отрезок, соединяющий любые две точки, также определяет комплексное напряжение между соответствующими точками цепи.

Рисунок 2 а — Неразветвлённая цепь

На рисунке 2, а представлена неразветвлённая цепь.

1) Для построения топографической диаграммы примем, например, потенциал точки д равным нулю, т.е. ϕ_д = 0.

2) Обходим контур в направлении, встречно току, определим потенциалы всех точек цепи. Начальную фазу общего тока примем равной нулю, т. е. I = I, поэтому вектор тока I направлен вдоль положительной полуось действительных величин.

3) Потенциал точки г или ϕ_г выше потенциала ϕ_д на падение напряжения в сопротивлении R2, т.е. на R2*I или ϕ_г = ϕ_д R2*I = 0 + R2*I = R2*I. Построив вектор R2*I, получим на диаграмме точку г.

4) Потенциал точки в или ϕ_в больше потенциала ϕ_г, на падение напряжения на индуктивном сопротивлении X_L2 или в комплексной форме на jX_L2*I. Построив вектор напряжения U_вг = ϕ_в — ϕ_г = jX_L2*I, начинающийся в точке г и опережающий ток по фазе на 90 градусов (индуктивное сопротивление — вектор направлен вверх), получим точку в.

5) Потенциал точки б или ϕ_б больше ϕ_в на падение напряжения R1*I. Построив из точки в вектор напряжения U_бв = ϕ_б — ϕ_в = R1*I, параллельный току, находим точку б.

6) Потенциал точки а или ϕ_а больше ϕ_б на падение напряжения на емкости -jXc1*I. Построив из точки б вектор напряжения U_аб = ϕ_а — ϕ_б = -jXc1*I, отстающий по фазе от тока на угол 90 градусов (емкостное сопротивление — вектор напряжения направлен вниз), получим точку а.

Вектор, соединяющий точки д и а направленный от точки д к точке а, изображает напряжение U_ад на выходах цепи.

Необходимо учесть, что векторы напряжений на топографической диаграмме имеют по отношению к точкам цепи направления, обратные положительным направлениям напряжений относительно тех же точек цепи.

Например, напряжение U_вд = ϕ_в — ϕ_д , направленное на схеме от точки в к точке д (по направлению тока), на топографической диаграмме имеет противоположное направление относительно этих точек, что согласуется с правилом вычитания векторов, согласно которому вектор разности всегда направлен в одну сторону с уменьшаемым вектором.

Графический анализ электрических цепей

Для графического анализа свойств электрических цепей синусоидального тока определенной частоты используются векторные и топографические диаграммы. Топографической (потенциальной) называется векторная диаграмма напряжений, построенная по определенным правилам.

При построении топографической диаграммы определяют комплексные значения потенциалов всех точек цепи относительно одной точки, потенциал которой условно принимают равным нулю, и осуществляют перенос найденных значений потенциалов на комплексную плоскость. При этом каждой точке цепи будет определенным образом соответствовать своя точка на комплексной плоскости, а точке нулевого потенциала — начало координат.

Построим топографическую диаграмму для цепи рис. 2.14.1, а> принимая Х_ь = 2Х_С = 4/?.

Рис. 2.14.1. Схема замещения цепи (а) и топографическая диаграмма (б)

Пусть потенциал точки В У₀ = 0. Тогда потенциалы других точек можно вычислить так:

В таком же порядке (начиная с У_п по контуру в направлении, противоположном направлению тока) построим на комплексной плоскости (см. рис. 2.14.1, б) диаграмму напряжений на элементах. Комплексный потенциал точки В равен нулю, поэтому в начале координат комплексной плоскости поставим точку В. Построим вектор тока /, затем из точки В — вектор напряжения Ц_св, который должен опережать вектор тока / на 90°, так как Ц_со — напряжение на индуктивном элементе.

Конец вектора Ц_св определяет потенциал У_с, эту точку обозначим как С. Далее из точки С построим вектор напряжения Ц_вс на емкостном элементе и получим точку В. Вектор, соединяющий начато координат с точкой В, дает комплексный потенциал У_в. Наконец, из точки В построим вектор Ц_лв = Ш, который коллинеарен вектору /. Вектор входного напряжения Ц можно получить, соединяя точку Л с точкой В. На диаграмме длины векторов напряжений пропорционатьны сопротивлениям элементов.

Заметим, что стрелки напряжений на топографической диаграмме направлены противоположно стрелкам на схеме — в сторону первого индекса напряжения. С помощью топографической диаграммы можно определить напряжение между любыми двумя точками цепи. Для этого достаточно построить вектор между этими точками на диаграмме.

Постройте топографическую диаграмму для схемы рис. 2.14.2, а и с ее помощью найдите напряжение и_вк, если /?, = Я, = ?со = 1/(Ссо) =10 Ом, напряжение на входе и_ло= ШвнфсоГ) В.

Рис. 2.14.2. Схема замещения («), топографическая диаграмма (б) и упрощенное изображение (в) фазосдвигающей цени

Определим вначале комплексные напряжения и токи:

При построении диаграммы предположим, что У₀ = 0, тогда для левой ветви можно записать

Полученный результат может служить подтверждением правильности расчетов, так как потенциал точки Л получился равным входному напряжению, что и следовало ожидать.

Для правой ветви имеем

Топографическая диаграмма построена на рис. 2.14.2, б. Комплексное изображение искомого напряжения Ц_ВКт является горизонтальной диагональю квадрата ЛВИК, вертикальной диагональю которого служит комплексное входное напряжение Ц_АОт, следовательно, И_ВКт = 141е“* я/2 В и и_вк = 141зт(со? — л/2) В. Такой же результат получается после вычислений:

Достоинством топографической диаграммы является наглядность представления фазовых соотношений токов и напряжений для элементов цепи. Электрическую цепь, схема замещения которой представлена на рис. 2.14.2, а называют фазосдвигающей цепью, при этом се рассматривают как четырехполюсник (см. рис. 2.14.2, в), выходное напряжение м_вых которого равно по амплитуде входному напряжению и_вх, но сдвинуто по фазе на угол л/2.

Упражнение 2.14.1

Сравните по амплитуде и фазе входное Ц_лв и выходное Ц_со напряжения в схеме рис. 2.14.3, если Я_х=Х₁ = Я₂ = Х_с, определив коэффициент передачи К = = И_С0/Ц__АВ. Решите задачу с помощью топографической диаграммы.

Рис. 2.143. К упражнению 2.14.1 Упражнение 2.14.3

В схеме рис. 2.14.3 поменяли местами элементы /?₁ и Х_г. Определите с помощью топографической диаграммы выходное напряжение Ц_сп при неизменном входном напряжении Ц_АВ.

Упражнение 2.14.4*

Найдите выходные напряжения для схем рис. 2.14.4, если Д_х = 10 В, Я_х = Я₂ = = Х_ь = Х_с. Решите задачу с помощью топографической диаграммы.

Как построить топографическую диаграмму напряжений

Заземлим точку Ъ. Уравнение по методу узловых потенциалов Токи в ветвях

Построим качественно топографическую диаграмму сначала для неразветвленной схемы, представленной на рис. 4.10. Отложим вектор тока I в произвольно выбранном направлении (рис. 4.11, а). Примем потенциал точки g равным нулю () и определим потенциалы остальных точек.

Будем обходить схему, начиная от точки g, навстречу положительному направлению тока. Потенциал точки f больше потенциала точки g на падение напряжения на индуктивности:

Так как , то потенциал изобразим вектором . Конец этого вектора обозначим буквой f, так как он определяет потенциал точки f. Потенциал точки d выше потенциала точки f на падение напряжения на сопротивлении r : Откладываем от конца вектора вектор rI. Конец вектора rI обозначим буквой d, так как он определяет потенциал точки d. Действительно, если провести вектор из начала координат к концу вектора rl, то он будет равен сумме векторов , а эта сумма равна .

Аналогично находим . В соответствии с этим равенством проводим из конца вектора rl (точка d) вектор . Конец вектора обозначим буквой b, так как он определяет потенциал точки b. От конца вектора откладываем вектор RI и получаем последнюю точку а топографической диаграммы, определяющую потенциал или напряжение Электродвижущая сила источника Е=Uag.

Необходимо обратить особое внимание на направления векторов напряжений на топографических диаграммах. Векторы напряжений направлены относительно точек топографической диаграммы противоположно положительным направлениям напряжений относительно соответствующих точек схемы. Так, например, вектор напряжения Udf (положительное направление на рис. 4.10 от d к f) направлен на топографической диаграмме (рис. 4.11,6) от точки f к точке d, а вектор напряжения Ufd (положительное направление от f к d) направлен на топографической диаграмме (рис. 4.11,6, штриховая линия) от точки d к точке f. Это соответствует известному правилу вычитания векторов, согласно которому вектор Udf, представляющий разность векторов , направлен от конца вектора к концу вектора , а вектор Ufd, представляющий разность векторов , направлен от конца вектора к концу вектора . Учитывая сказанное, на топографической диаграмме можно не указывать направлений векторов напряжений, а ограничиться только обозначением точек.

Рассмотрим пример построения топографической диаграммы для разветвленной схемы (рис. 4.12) при заданных параметрах ее элементов и напряжения U на ее выводах. Требуется найти токи в ветвях и построить топографическую диаграмму.

Задавшись произвольным значением комплексного тока I1 например положив I1=1, вычислим напряжения Затем отложим на диаграмме векторы (рис. 4.13). Сумма векторов равна вектору напряжения Ubd. Затем найдем ток . Вектор I2 отстает от вектора Ubd на угол p/2. Ток определим или аналитически, или графически. Из точки b диаграммы проводим вектор напряжения под углом p/2 к вектору I3 в сторону отставания. Конец этого вектора определяет на топографической диаграмме точку а. Проводим из точки d вектор -r3I3, его конец определяет на топографической диаграмме точку f, так как . Вектор напряжения Uaf может не совпадать по значению с заданным напряжением U. Чтобы привести в соответствие построенную диаграмму с заданным напряжением, достаточно изменить масштабы напряжений и токов в отношении U/Uaf.