Как определить длину дуги окружности через радиус

Нахождение длины дуги сектора круга

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить длину дуги сектора круга, а также разберем примеры решения задач для демонстрации их применения на практике.

• Определение дуги сектора круга
• Формулы для нахождения длины дуги сектора
  • Через центральный угол в градусах и радиус
  • Через угол сектора в радианах и радиус

  Определение дуги сектора круга

  Дуга – это участок между двумя точками на окружности.

  Дуга сектора круга – это участок между двумя точками на окружности, которые получены в результате пересечения этой окружности двумя радиусами, образовавшими сектор круга.

  На рисунке ниже: AB – это дуга зеленого сектора круга с радиусом R (или r).

  • OA = OB = R (r);
  • α – угол сектора или центральный угол.

  Формулы для нахождения длины дуги сектора

  Через центральный угол в градусах и радиус

  Длина (L) дуги сектора равняется числу π , умноженному на радиус круга (r), умноженному на центральный угол в градусах ( α°), деленному на 180°.

  

  Примечание: в расчетах используется число π , приблизительно равное 3,14.

  Через угол сектора в радианах и радиус

  Длина (L) дуги сектора равна произведению радиуса (r) и центрального угла, выраженного в радианах (a_рад).

  

  Примеры задач

  Задание 1
  Дан круг с радиусом 15 см. Найдите длину дуги сектора, угол которого равен 30°.

  Решение
  Воспользуемся формулой расчета, в которой используется центральный угол в градусах:

  

  Задание 2
  Длина дуги сектора равняется 24 см. Найдите, чему равен его угол (в радианах и градусах), если радиус круга составляет 12 см.

  Решение
  Для начала вычислим угол в радианах:

  

  1 радиан ≈ 57,2958°

  Следовательно, центральный угол приблизительно равняется 114,59 ° (2 рад ⋅ 57,2958°).

  Как определить длину дуги окружности через радиус

  На этой странице приведены две формулы для расчета длины дуги окружности — через радиус и угол между ними и по формуле Гюйгенса. Также вы можете рассчитать длину дуги окружности с помощью калькуляторов, которые используют эти формулы.

  Дуга — одно из двух подмножеств окружности, на которые её разбивают любые две различные принадлежащие ей точки. Любые две точки окружности разбивают её на две части, при этом каждая из частей является дугой.

  Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

  Основные определения и свойства. Число π

  Формулы для площади круга и его частей

  Формулы для длины окружности и ее дуг

  Площадь круга

  Длина окружности

  Длина дуги

  Площадь сектора

  Площадь сегмента

  Основные определения и свойства

  Фигура	Рисунок	Определения и свойства
  Окружность

  Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

  Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

  Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

  Часть круга, ограниченная двумя радиусами

  Часть круга, ограниченная хордой

  Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

  Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

  Окружность

  Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

  Дуга

  Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

  Круг

  Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

  Сектор

  Часть круга, ограниченная двумя радиусами

  Сегмент

  Часть круга, ограниченная хордой

  Правильный многоугольник

  Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

  

  Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

  Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

  Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

  Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

  Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

  Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

  Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

  Формулы для площади круга и его частей

  Числовая характеристика	Рисунок	Формула
  Площадь круга

  где R – радиус круга, D – диаметр круга

  если величина угла α выражена в радианах

  если величина угла α выражена в градусах

  если величина угла α выражена в радианах

  если величина угла α выражена в градусах

  Площадь круга

  где R – радиус круга, D – диаметр круга

  Площадь сектора

  если величина угла α выражена в радианах

  если величина угла α выражена в градусах

  Площадь сегмента

  если величина угла α выражена в радианах

  если величина угла α выражена в градусах

  Формулы для длины окружности и её дуг

  Числовая характеристика	Рисунок	Формула
  Длина окружности

  где R – радиус круга, D – диаметр круга

  если величина угла α выражена в радианах

  если величина угла α выражена в градусах

  Длина окружности

  где R – радиус круга, D – диаметр круга

  Длина дуги

  если величина угла α выражена в радианах

  если величина угла α выражена в градусах

  Площадь круга

  Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

  Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

  

  Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

  Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

  Длина окружности

  

  то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

  откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

  Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

  Длина дуги

  Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

  

  В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

  из которой вытекает равенство:

  В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

  из которой вытекает равенство:

  Площадь сектора

  Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

  

  В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

  из которой вытекает равенство:

  В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

  из которой вытекает равенство:

  Площадь сегмента

  Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

  

  Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

  В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

  Длина дуги

  Онлайн калькулятор

  Чему равна длина дуги, если:

  радиус r =
  угол α =

  Теория

  Чему равна длина дуги окружности L если её радиус r, а угол между двумя прямыми, проведёнными от центра окружности к конечным точкам дуги — центральный угол α?

  Формула

  Если угол в градусах:

  Если угол в радианах:

  Пример

  Для примера посчитаем чему равна длина дуги окружности с радиусом r = 2 см и центральным углом α = 45° :

  Длина дуги

  Из этой статьи вы узнаете, как выглядит формула длины дуги окружности через угол, а также научитесь определять длину дуги сектора по формуле Гюйгенса. Также на страницу добавлены онлайн-калькуляторы для вычисления по данным формулам.

  Дугой окружности (сектора) называют часть окружности, ограниченную двумя точками.

  Чтобы определить длину дуги окружности, введите заданные данные в поля для ввода онлайн-калькулятора.

  Длина дуги через радиус и угол

  

  Для определения длины дуги можно воспользоваться формулой:

  $R$ — радиус окружности;

  $α$ — угол, которым характеризуется дуга;

  Рассмотрим пример на использование этой формулы.

  Задача

  Угол, ограничивающий дугу, составляет $50°$, а радиус окружности равен $9$ см. Рассчитайте, чему равна длина дуги.

  Решение:

  $l = 3.14 \cdot 9 \cdot \frac<50> <180>= 7.85$ см.

  Проверим длину дуги окружности с помощью онлайн-калькулятора. Результат совпадает, значит ответ верный.

  Длина дуги по формуле Гюйгенса

  

  По формуле Гюйгенса длина дуги рассчитывается следующим образом:

  $l ≈ 2 \cdot AB + \frac13 \cdot ( 2 \cdot AB — AC)$, здесь

  $AC$ — хорда, соединяющая концы дуги;

  $AB$ — хорда, соединяющая середину дуги, расположенную в точке $B$ и конец дуги $A$.

  Формула Гюйгенса не является точной. Для угла в $60°$ погрешность по этой формуле будет составлять около $0.5%$, однако для меньших значений угла погрешность уменьшается.

  Также посмотрим, как использовать формулу Гюйгенса.

  Задача

  Длина хорды $AC$ равна $3.51$ см, а хорды $AB$ $2.19$ см. Чему равна длина дуги $l$?

  Как найти длину дуги окружности

  Соавтор(ы): Mario Banuelos, PhD. Марио Бануэлос — преподаватель математики в Университете штата Калифорния во Фресно. Имеет более восьми лет преподавательского опыта, специализируется на математической биологии, оптимизации, статистических моделях эволюции генома и науке о данных. Получил степень бакалавра по математике в Университете штата Калифорния во Фресно и PhD по прикладной математике в Калифорнийском университете в Мерседе. Преподавал как на уровне вуза, так и старшей школы.

  Читать:

  Зная что 3 1 10 3 2