Как найти канонический базис

§4.3.8. Построение канонического базиса в общем случае

Линейное пространство является прямой суммой корневых подпространств, если характеристический многочлен линейного оператора разлагается на линейные множители над основным полемК. Поэтому достаточно построить канонический базис каждого корневого подпространства и их объединение – это канонический базис линейного пространства.

Пример.Матрица линейного оператораА в базисе линейного пространства имеет вид:

Построить канонический базис.

В этом примере мы будем записывать координаты вектора не в виде матрицы-строки, а в виде матрицы-столбца. Это сделано в связи с тем, что во многих учебниках применяется такая запись и студентам неизбежно придется осваивать обе формы записи. Характеристический многочлен линейного оператора

целиком раскладывается на линейные множители. Его корни ₁= 0,₂= -1.

Линейное пространство L можно представить в виде прямой суммы корневых подпространств

L = N₀  N_-1,, где N₀ = Ker A 4 , N_-1 = Ker(A +  ).

Построим канонический базис подпространства N₀. Для этого прежде всего найдем базисы подпространствM_i = Ker(A -0) i из возрастающей цепочки

= M₀  M₁  M₂  M₃  M₄ = N₀.

В этой цепочке вначале идут строгие включения, а затем равенства. Найдем абсолютный базис M₁ = Ker A.

Вектор хKer A A(x) =  AX =, гдеX = (x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ ) T – матрица-столбец координат вектора х. Значок Т указывает на то, что необходимо матрицу транспонировать.

Запишем и решим систему AX = .

Прибавим ко второму уравнению первое, домноженное на 3, к третьему первое, домноженное на 2. Обе части четвертого уравнения разделим на 3. К шестому уравнению прибавим пятое, домноженное на 2. Новое шестое уравнение совпало с четвертым. Обе части пятого уравнения домножим на –1. Система преобразовалась к следующему виду:

Объявим базисными переменными х₁, х₄, х₆, а свободнымих₂, х₃, х₅ . Тогда

любые числа;

Rang A =3, dim M₁ =6 –3 =3. БазисМ₁:

Найдем базис M₂= Ker A 2 .

Вектор хKer A 2  A 2 (x) = A 2 X =, гдеX = (x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆) T – матрица-столбец координат вектора х.

Запишем и решим систему A 2 X =,

.

Система преобразовалась к виду

Решение системы – любые числа;

rang A 2 =2, dimM₂ = 6 –2 = 4.

rang A 3 =2, dimM₃ = 4  М₂ = М₃ = N₀.

Базис М₁достроим до базисаМ₂. Добавим к базисуМ₁ вектора₁. Ранг матрицы

составленной из коэффициентов векторов а₁, —а₁+а₂, а₁+а₃, 2а₄+а₅–а₆, равен 4. Следовательно, эти четыре вектора – базисМ₂. БазисМ₂ получен из базисаМ₁добавлением вектораа₁, т.е. а₁ –базисМ₂ относительноМ₁. ВекторА(а₁) = а₁–3а₂ –2а₃  М₁можно включить в базисМ₁вместо вектора –а₁ +а₂.

Так как векторы а₁ –3а₂–2а₃,а₁+а₃, 2а₄+а₅–а₆линейно независимы – ранг матрицы из их коэффициентов равен трем:

Канонический базис N₀: e₁=a₁,

Построим канонический базис подпространства N—₁.Найдем базисы подпространствM_i = Ker B i из возрастающей цепочки

Найдем абсолютный базис M₁ = Ker B. Векторх Ker B 

 B(x) = BX =, гдеX = (x₁ x₂ x₃ x₄x₅ x₆ ) T – матрица-столбец координат вектора х. Запишем и решим систему BX =,

B=

Решение системы: х₁= 0,

х₄= 3,

х₅= 3,

х₆= -4,– любое число.

Вектор 3а₄ + 3а₅-4а₆ – базис М₁.

Найдем абсолютный базис M₂ =KerB 2 . Векторх KerB 2  B 2 (x) = B 2 X =, гдеX =(x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆) T – матрица -столбец координат вектора х. Запишем и решим системуB 2 X =,

rang B 2 = 4, dim M₂ = 6 –4 = 2,

Решение системы: х₁ = 0,

х₆ = 2;,– любые числа;

Векторы 3а₄+а₅, 3а₄+2а₆ – базис М₂.

Так как кратность корня –1 равна двум, то = M₀ M₁  M₂=N_-1.

Найдем относительный базис M₁ относительно M₂. Так как ранг матрицы, составленной из координат векторов 3а₄+ 3а₅ — 4а₆, 3а₄+ 2а₆, равен двум, то эти векторы линейно независимы вМ₂, и мы заменим полученный базис на новый базис, состоящий из этих элементов. Следовательно,f₁= 3а₄+2a₆ – базисM₁ относительно M₂. Векторыf₁ иВ(f₁)– базис башни.

B(f₁) = 9а₄+9а₅–12а₆ – канонический базис.

Матрица линейного оператора в этом базисе

состоит из четырех клеток Жордана, две клетки второго порядка и две – первого.

47. Канонический базис квадратичной формы

Принято считать, что квадратичная форма имеет Канонический вид, если все коэффициенты при произведениях различных переменных равны нулю, т. е. при . При этом квадратичная форма представляет собой сумму квадратов переменных с соответствующими коэффициентами , т. е.:

.

В этом случае матрица квадратичной формы имеет диагональный вид:

Очевидно, что изучение свойств квадратичной формы, записанной в каноническом виде, значительно упрощается. В связи с этим возникает задача приведения произвольной квадратичной формы к каноническому виду. В основе многих известных методов приведения квадратичной формы к каноническому виду лежит следующая теорема.

Теорема. Всякая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования может быть приведена к каноническому виду.

Метод ортогональной матрицы использует особенности собственных значений и собственных векторов симметрической матрицы.

Пусть дана квадратичная форма , Поскольку – симметрическая матрица, для нее существует диагонализирующая ортогональная матрица , такая что:

Где – собственные значения матрицы .

Применим к квадратичной форме линейное преобразование , где – матрица-столбец новых переменных ; – матрица, обратная к .

Таким образом, квадратичную форму всегда можно представить в каноническом виде с коэффициентами, равными собственным значениям матрицы квадратичной формы.

Канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно. В то же время можно доказать, что все канонические формы, к которым приводится данная квадратичная форма, содержат одинаковое число отрицательных, положительных и нулевых коэффициентов при квадратах новых переменных.

Наиболее удобным для исследования является канонический вид, в котором коэффициенты при новых переменных равны +1
или –1, т. е. квадратичная форма имеет вид:

.

Такую запись называют Нормальным видом квадратичной формы. В нем общее число квадратов равно рангу Квадратичной формы.

Квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду многими различными преобразованиями. При этом справедлива следующая теорема.

Теорема. Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная вещественная квадратичная форма вещественным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.

Эту теорему называют законом инерции квадратичных форм.

Базис пространства называется Каноническим базисом квадратичной формы , если в этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, т. е. при .

Если – канонический базис , то выражение:

,

Называется Каноническим видом в базисе , где – новый набор неизвестных.

Теорема. Если – разложение вектора по каноническому базису квадратичной формы , то значение на векторе вычисляется по формуле , .

Эта теорема утверждает, что если известны канонический базис Квадратичной формы и ее канонический вид в этом базисе, то для вычисления значения квадратичной формы на векторе достаточно:

1. разложить вектор по каноническому базису :

;

2. коэффициенты разложения подставить вместо неизвестных в канонический вид квадратичной формы:

.

Квадратичная форма имеет много разных канонических базисов. Процесс построения канонического базиса называется Приведением квадратичной формы к сумме квадратов.

Наиболее часто используются: канонический базис из собственных векторов матрицы и канонический базис Якоби.

Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы

Теорема. Ортонормированный базис пространства , состоящий из собственных векторов симметрической матрицы , , является каноническим базисом квадратичной формы , а выражение – ее каноническим видом в базисе .

Доказательство:

, если , так как – Ортогональная система векторов – канонический базис квадратичной формы .

, так как векторы системы нормированы, то , .

Канонический базис Якоби квадратичной формы

Будем говорить, что матрица удовлетворяет условию Якоби, если определители:

, ,

Называемые Угловыми минорами матрицы , не равны нулю. Очевидно, что , .

Обозначим через матрицу:

.

Вычислим определитель этой матрицы, разлагая ее по последнему столбцу, затем также по последнему столбцу разложим полученный определитель и т. д.

Из условия , следует, что и, значит, каждая система уравнений , , где – –й вектор диагональной системы, имеет единственное решение , . Система векторов называется системой векторов Якоби матрицы , которая удовлетворяет условию Якоби.

Теорема. Если матрица квадратичной формы удовлетворяет условию Якоби, то система векторов Якоби матрицы является каноническим базисом квадратичной формы , а выражение:

– ее каноническим видом в базисе .

Квадратичные формы — определение и понятие с примерами решения

Первоначально теория квадратичных форм использовалась для исследования кривых и поверхностей, задаваемых уравнением второго порядка, содержащими две или три переменные, Позднее эта теория нашла и другие приложения. В частности, при математическом моделировании экономических процессов целевые функции могут содержать квадратичные слагаемые. Многочисленные приложения квадратичных форм потребовали построения общей теории, когда число переменных равно любому п, а коэффициенты квадратичной формы не всегда являются вещественными числами.

Понятие квадратичной формы

Квадратичной формой

Пример:

Сумма является квадратичной формой от трех неизвестных .

Каждую квадратичную форму можно записать в стандартном виде. Для этого сначала приводятся подобные в квадратичной форме, затем коэффициенты при обозначаются через а коэффициенты при через причем „ Член записывается в виде После этих преобразований квадратичную форму можно записать в виде:

Матрица: называется матрицей квадратичной формы F. Так как то А — симметричная матрица.

С учетом правила умножения матриц можно вывести матричную форму записи квадратичной формы.

где А — матрица квадратичной формы, X — матрица-столбец неизвестных:

Приведенные выкладки показывают, в частности, что если А -симметрическая матрица, то выражение является квадратичной формой от неизвестных ,т.е. квадратичная форма является

результатом скалярного произведения матриц X и АХ. Матричная форма записи квадратичной формы имеет вид . Если — произвольный n— мерный вектор, то после подстановки в квадратичную форму вместо X получится число , которое называется значением квадратичной формы F(X) на векторе .

Канонический базис квадратичной формы

Принято считать, что квадратичная форма F(X) имеет канонический вид, если все коэффициенты при произведениях различных переменных равны нулю, т.е. при . При этом квадратичная форма представляет собой сумму квадратов переменных с соответствующими коэффициентами ,т.е.:

В этом случае матрица квадратичной формы имеет диагональный вид:

Очевидно, что изучение свойств квадратичной формы, записанной в каноническом виде, значительно упрощается. В связи с этим возникает задача приведения произвольной квадратичной формы к каноническому виду. В основе многих известных методов приведения квадратичной формы к каноническому виду лежит следующая теорема.

Теорема. Всякая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования может быть приведена к каноническому виду.

Метод ортогональной матрицы использует особенности собственных значений и собственных векторов симметрической матрицы.

Пусть дана квадратичная форма , Поскольку А -симметрическая матрица, для нее существует диагонализирующая ортогональная матрица S, такая что:

где -собственные значения матрицы А.

Применим к квадратичной форме линейное преобразование — матрица-столбец новых переменных — матрица, обратная к S.

Таким образом, квадратичную форму всегда можно представить в каноническом виде с коэффициентами, равными собственным значениям матрицы квадратичной формы.

Канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно. В то же время можно доказать, что все канонические формы, к которым приводится данная квадратичная форма, содержат одинаковое число отрицательных, положительных и нулевых коэффициентов при квадратах новых переменных.

Наиболее удобным для исследования является канонический вид, в котором коэффициенты при новых переменных равны +1 или -1, т.е. квадратичная форма имеет вид:

Такую запись называют нормальным видом квадратичной формы. В нем общее число квадратов равно рангу r квадратичной формы.

Квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду многими различными преобразованиями. При этом справедлива следующая теорема.

Теорема, Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная вещественная квадратичная форма вещественным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.

Эту теорему называют законом инерции квадратичных форм.

Базис пространства R» называется каноническим базисом квадратичной формы , если в этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, т.е. при

Если канонический базис F(X), то выражение: называется каноническим видом F(X) в базисе где — новый набор неизвестных.

Теорема. Если — разложение вектора а по каноническому базису квадратичной формы то значение F(X) на векторе а вычисляется по формуле

Доказательство:

Эта теорема утверждает, что если известны канонический базис квадратичной формы F(X) и ее канонический вид в этом базисе, то для вычисления значения F(a) квадратичной формы F(X) на векторе а достаточно:

1. разложить вектор а по каноническому базису :
2. коэффициенты разложения подставить вместо неизвестных в канонический вид квадратичной формы:

Квадратичная форма имеет много разных канонических базисов. Процесс построения канонического базиса называется приведением квадратичной формы к сумме квадратов.

Наиболее часто используются: канонический базис из собственных векторов матрицы А и канонический базис Якоби.

Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы

Теорема. Ортонормированный базис пространства Rсостоящий из собственных векторов симметрической матрицы , является каноническим базисом квадратичной формы , а выражение — ее каноническим видом в базисе ,

Доказательство:

• , если так как -ортогональная система векторов =>,- канонический базис квадратичной формы F(X).
• = так как векторы системы нормированы, то .

Канонический базис Якоби квадратичной формы . Будем говорить, что матрица удовлетворяет условию Якоби, если определители:

называемые угловыми минорами матрицы А, не равны нулю. Очевидно, что

Обозначим через матрицу:

Вычислим определитель этой матрицы, разлагая ее по последнему столбцу, затем также по последнему столбцу разложим полученный определитель и т.д. Из условия следует, что и, значит, каждая система уравнений , где вектор диагональной системы, имеет единственное решение . Система векторов называется системой векторов Якоби матрицы А, которая удовлетворяет условию Якоби.

Теорема. матрица А квадратичной формы удовлетворяет условию Якоби, система векторов Якоби матрицы А является каноническим базисом квадратичной формы , а выражение:

ее каноническим видом в базисе .

Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

линейная-алгебра — Построить канонический базис

Построить канонический базис и найти жорданову форму следующей матрицы:

В этом базисе матрица оператора имеет жорданову форму

задан 12 Апр ’16 23:32

@s1mka: корни здесь более чем приличные: должно получиться $%(\lambda-2)^4$%. С учётом этого, перепроверьте свои вычисления. Или найдите определитель более экономным способом. Например, к третьему столбцу прибавьте последний, умноженный на $%\lambda-2$%, чтобы получить 0 на месте $%a_<33>$%. Тогда после разложения по 3-й строке получится определитель 3-го порядка, и с ним «совладать» уже легче. При таком способе решения, как у Вас, когда идут скобки внутри скобок, очень легко совершить ошибку, которую потом надо долго будет искать.

@s1mka: у Вас ответ хотя и сошёлся, но способ вычисления неправильный. Там были сделаны две одинаковые ошибки, минус на минус дал плюс, и за счёт этого сошлось. Но надо понять суть ошибок и проанализировать. Выше я сказал, в чём там дело.

Кроме всего прочего, ранг матрицы A-2E равен 3, а не 4. Там же последняя строка пропорциональна предпоследней, и она должна исчезнуть.

Подробное изложение теории с разбором примеров см. здесь.

@s1mka: какой литературой Вы здесь пользуетесь? Дело в том, что обозначения везде свои.

Но я считаю, что говорить о последующем можно будет лишь тогда, когда будут исправлены ошибки в предыдущем тексте. Я на них уже указал несколько раз, но Вы никак не прореагировали на мои замечания. Если Вы всё сдадите в таком виде, и будут внимательно проверять, но Вам его не засчитают, даже если ответ получится правильный.

@s1mka: ошибка при нахождении определителя исправлена не до конца. Обратите внимание на самый последний минус перед определителем второго порядка. Всё-таки надо усвоить само правило, когда у элементов матрицы меняется знак.

То, что Вы написали, мне непонятно. Матрица A-2E разве такая получится? Если вычесть 2 по главной диагонали, то будет ведь нечто другое.

@falcao помогите пожалуйста я запуталась

2 ответа

Собственное значение $%\lambda=2$% единственно, оно имеет кратность 4. Достаточно привести к жордановой форме матрицу $%A-\lambda E$%, и затем прибавить число $%\lambda$% к диагональным элементам.

Решая однородную систему $%(A-2E)X=0$%, приходим к уравнениям $%x_1+x_2=0$%, $%x_3=x_4=0$%, получая частное решение $%e_1=(1,-1,0,0)^T$% в виде столбца. Далее находим прообраз вектора $%e_1$%, решая систему $%(A-2E)X=e_1$%. Это даёт $%x_1+x_2=1$%, $%x_3=-1$%, $%x_4=0$%, и частное решение $%e_2=(1,0-1,0)^T$%. Далее находим частное решение системы $%(A-2E)X=e_2$% в виде $%e_3=(1,0,0,-1)^T$% и частное решение системы $%(A-2E)X=e_3$% в виде $%e_4=(1,0,0,0)^T$%.

В полученном циклическом базисе, для векторов которого $%e_4\mapsto e_3\mapsto e_2\mapsto e_1\mapsto0$%, матрица $%A-2E$% приобретает вид жордановой клетки, то есть найден жорданов базис. Жорданова форма матрицы $%A$% в этом базисе равна $%J=\begin2&1&0&0\\0&2&1&0\\0&0&2&1\\0&0&0&2\end$%.

отвечен 14 Апр ’16 10:46

@falcao почему в $%e_1=(1,-1,0,0)$% а не $%e_1=(-1,1,0,0)$% я думала там получается $%x_1=-x_2, x_2=1, x_1=-1$%?

@s1mka: эти векторы пропорциональны. Какой из них рассматривать — не важно. Если сделать так, как Вы, то у всех векторов жорданова базиса поменяется знак. В этом нет ничего ни хорошего, ни плохого — такой базис не определён однозначно.

Как вариант. коэффициенты характеристического уравнения — это сумма главных миноров соответствующего порядка.

То есть характеристическое уравнение имеет вид (в данном примере) $$ (-\lambda)^4+a_1(-\lambda)^3+a_2(-\lambda)^2+a_3(-\lambda)^1+a_4=0, $$ где $%a_1$% — сумма главных миноров первого порядка, то есть след матрицы $$ a_1=3+2+2+1=8. $$ $%a_2$% — сумма главных миноров второго порядка $$ a_2= \begin3&1\\0&2\end + \begin3&0\\0&2\end + \begin3&1\\-1&1\end + \begin2&1\\0&2\end + \begin2&0\\-1&1\end + \begin2&1\\-1&1\end = . $$ $%a_3$% — сумма главных миноров третьего порядка (здесь это миноры к диагональным элементам) $$ a_2= \begin3&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end + \begin3&1&0\\0&2&0\\-1&-1&1\end + \begin3&0&0\\0&2&1\\-1&-1&1\end + \begin2&1&0\\0&2&1\\-1&-1&1\end + = . $$ $%a_4$% — сумма главных миноров четвёртого порядка. здесь он один — это определитель матрицы.

Уж не знаю как в общем случае, но для небольших размерностей этот способ достаточно прост, поскольку определители не содержат параметров.

отвечен 13 Апр ’16 2:35

@s1mka: места для комментариев выше уже не осталось.

Давайте я напишу, но, пожалуйста, исправьте ошибки, о которых я говорил уже, наверное, раз десять. Когда на мои слова упорно не реагируют, я к этому отношусь крайне негативно. И изучите, наконец, правило расстановки знаков (где знак меняется, а где нет). Чтобы было яснее: при первом разложении $%3-\lambda$% не меняет знак (стоит на чётном месте), а следующая 1 меняет знак (стоит на нечётном месте). И проверьте всё до конца, чтобы не было «подгонки под ответ». Потом я напишу, как вычислять определитель «цивилизованно», а не «по-дикому» 🙂

@s1mka: Вы исправили один из знаков, для первого преобразования. Но потом идёт второе, и там должен получиться «минус на минус», то есть плюс.

Я так пока и не понял — это чисто из-за невнимательности и неудобного способа решения, или Вы правило не знаете? Давайте я простое упражнение предложу, чтобы проверить (для мгновенного решения). Дана матрица со строками 3 4 -5; a b c; 0 -2 3. Надо выразить её определитель через a,b,c.

@s1mka: у определителя первый коэффициент при a равен -2, а не -22.

Вычисления с матрицами у Вас неправильные. Первый вектор найден верно, только дальше надо сразу полагать C1=1 или -1. Там всё делается с точностью до пропорциональности. Вторая система уже не та, потому что вектор был с двумя нулями, а потом их почему-то стало три. С этого места можно всё уже не рассматривать.

@s1mka: насчёт исправлений — смотрите сами. Если не так срочно, то я завтра напишу. Сегодня уже почти засыпаю, а там долго текст набирать (я печатаю со скоростью не самой быстрой черепахи :))