8 известно что найдите сумму

Известно что найдите сумму

Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 2».

Условию, что при двукратном броске игральной кости шесть очков не выпали ни разу, соответствует 25 исходов (отмечены оранжевым цветом). Событию «сумма выпавших очков равна 2» соответствует 1 из них (отмечены зелёным цветом). Значит, искомая вероятность равна

Игральную кость бросили два раза. Известно, что два очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 12».

Условию, что при двукратном броске игральной кости два очка не выпали ни разу, соответствует 25 исходов (отмечены оранжевым цветом). Событию «сумма выпавших очков равна 12» соответствует 1 из них (отмечены зелёным цветом). Значит, искомая вероятность равна

Игральную кость бросили два раза. Известно, что два очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 4».

Условию, что при двукратном броске игральной кости два очка не выпали ни разу, соответствует 25 исходов (отмечены оранжевым цветом). Событию «сумма выпавших очков равна 4» соответствуют 2 из них (отмечены зелёным цветом). Значит, искомая вероятность равна

Игральную кость бросили два раза. Известно, что четыре очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 11».

Условию, что при двукратном броске игральной кости четыре очка не выпали ни разу, соответствует 25 исходов (отмечены оранжевым цветом). Событию «сумма выпавших очков равна 11» соответствуют 2 из них (отмечены зелёным цветом). Значит, искомая вероятность равна

Известно что найдите сумму

Первый набор чисел состоит из чисел Второй набор состоит из чисел Числа разбиты на пары. В каждой паре на первом месте — число из первого набора, а на втором — число из второго. В каждой паре два числа умножили друг на друга и полученные произведения сложили.

а) Может ли полученная сумма делиться на 9?

б) Может ли полученная сумма быть больше 1 000 000?

в) Найдите наименьшее возможное значение полученной суммы.

а) Заметим, что все слагаемые в полученной сумме делятся на 9, кроме того слагаемого, которое содержит тройку из второго набора. Значит, и вся сумма не делится на 9.

б) Может. Пусть, например, перемножили максимальные числа из первого и второго набора, а остальные пары сформировали произвольным образом. Заметим, что Таким образом, уже одно из слагаемых полученной суммы больше, чем миллион, значит, и вся сумма тем более больше, чем миллион.

в) Наименьшее значение суммы достигается, если умножить наибольшее число из второго набора на наименьшее из первого, второе по величине число из второго набора умножить на следующее за наименьшим числом из первого и т. д., а полученные произведения сложить. Тем самым, наименьшая возможная сумма равна

Чтобы показать, что найденное значение суммы действительно наименьшее, проведем следующее рассуждение. Рассмотрим в сумме слагаемое содержащее Если степень двойки то, в данном и предыдущем слагаемых поменяем степени тройки местами, получим из величину При этом сумма уменьшится, поскольку разность старого и нового значений положительна:

Будем продолжать, пока множитель не перейдёт в первое слагаемое Затем поступим так же с множителем — он перейдет во второе слагаемое и т. д. Указанным образом преобразуем исходную сумму в наименьшую возможную сумму

Ответ: а) нет; б) да; в)

Примечание Дмитрия Мухина (Москва).

Подготовленный читатель увидит в задаче перестановочное неравенство, называемое также транснеравенством. Приведем и докажем его.

Доказательство. Применим метод математической индукции. Проверим базу индукции: если а то

Полученное неравенство верно, так как множители имеют разные знаки.

Индукционный переход: предположим, что утверждение верно при докажем, что тогда оно верно и при Если то неравенство сводится к предположению индукции. Если то поменяем эти множители местами:

Здесь первое неравенство следует из предположения индукции, а второе — из базы индукции.

Тем самым, по принципу математической индукции, неравенство (1) доказано. Аналогично доказывается неравенство (2).

Известно что найдите сумму

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1000?

в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.

Без ограничения общности можно считать, что числа составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть a — первый член этой прогрессии, d её разность. Тогда сумма её членов

а) Да, может. Числа 1, 2, 3, 4 составляют арифметическую прогрессию, и их сумма равна 10.

б) Для суммы членов арифметической прогрессии верно неравенство

Значит, откуда находим Сумма арифметической прогрессии 1, 2, …, 44 равна 990

Таким образом, число n является делителем числа 258. Если то следовательно, Поскольку получаем, что или Прогрессии из 3 и 6 членов с суммой 129 существуют: например, 42, 43, 44 и 19, 20, 21, 22, 23, 24.

Известно что найдите сумму

Найти все значения параметров а и b, при которых среди корней уравнения

есть два различных корня с равными абсолютными величинами.

Пусть у заданного уравнения имеются корни m и −m, причем

Тогда будем иметь равенства:

Последнее равенство мы вправе переписать так:

Вычитая равенство (***) из равенства (*), получим:

Покажем, что в последнем равенстве Действительно, если то тогда как Следовательно, мы вправе разделить обе части равенства на Получим: Это равенство имеет место при

Рассмотрим левую часть последнего равенства как функцию f(m), правую часть — как функцию g(m).

На есть монотонно возрастающая функция, g(m) — монотонно убывающая. Cледовательно, равенство f (m)= возможно лишь при единственном значении m, т. е. при Однако такое значение m условию задачи не удовлетворяет. Отсюда вывод: в контексте предложенной задачи

Но тогда непременно должно выполняться равенство Коли это так, то равенство (***) примет вид: что возможно лишь при одновременном выполнении двух условий: и

Заметим, что среди корней исходного уравнения есть такая пара значений m, например, и при которых условие выполняется как при так и при

Теперь нам осталось найти такие значения параметров a и b, которые удовлетворяют системе уравнений

(последнее не имеет смысла).

Полученным значениям а будут соответствовать значения и в соответствии с равенством

а) Докажите, что объем пирамиды с вершинами в точках A, B₁, B, C₁ составляет третью часть объема призмы.

б) Найдите угол между прямыми AB₁ и BC₁, если известно, что AB = 2, AA₁ = 4.

а) Пусть тогда У пирамиды основанием служит высотой — высота треугольника проведенная к стороне Пусть K — основание высоты.

Ясно, что т. е. что и требовалось доказать.

б) Поместим заданную призму в декартову систему координат, как показано на рис. Выпишем координаты нужных точек:

Другое решение пункта а).

Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.

а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 27.

б) Может ли быть a + b + с + d = 19 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 19?

в) Пусть a + b + с + d = 1000 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 1000. Найдите количество возможных значений числа a.

а) Из условия получаем:

Поскольку получаем: или

В первом случае из равенства учитывая, что и числа и имеют разную чётность, находим чего не может быть.

Во втором случае из неравенства учитывая, что находим откуда получаем:

б) Из условия получаем:

Поскольку получаем, что то есть Аналогично, последнее равенство выполняется только при и Значит, что невозможно.

в) Из равенства получаем: Значит, Получаем четвёрку чисел Поскольку получаем: Кроме того, откуда

Значит, a принадлежит промежутку (251; 500). Более того, для любого целого a из этого промежутка найденная четвёрка чисел удовлетворяет условию задачи. Таким образом, a может принимать 248 значений.

Ответ: а) a = 7, b = 5, c = 2, d = 1; б) нет; в) 248.

Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.

а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 19.

б) Может ли быть a + b + с + d = 23 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 23?

в) Пусть a + b + с + d = 1200 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 1200. Найдите количество возможных значений числа a.

а) Из условия получаем:

Поскольку получаем: или

В первом случае из равенства находим и откуда получаем: и

Второй случай не реализуется, поскольку а

б) Из условия получаем:

Поскольку получаем, что то есть Аналогично, последнее равенство выполняется только при и Значит, что невозможно.

в) Из равенства получаем: Значит, Получаем четвёрку чисел Поскольку получаем: Кроме того, откуда

Значит, a принадлежит промежутку (301; 600). Более того, для любого целого a из этого промежутка найденная четвёрка чисел удовлетворяет условию задачи. Таким образом, a может принимать 298 значений.

Ответ: а) a = 6, b = 5, c = 3, d = 1; б) нет; в) 298.

Аналоги к заданию № 512887: 512893 Все

Даны натуральные числа и такие, что Среднее арифметическое этих чисел делится на 13.

а) Найдите наименьшую сумму такую, что она является квадратом натурального числа.

б) Найдите наибольшее число c, если а сумма имеет наименьшее значение.

в) Найдите наименьшее число b, если числа c, b и a в указанном порядке составляют арифметическую прогрессию с разностью n.

г) Известно, что числа c, b и a в указанном порядке составляют возрастающую арифметическую прогрессию с разностью n. Найдите наименьшее n, при котором число c будет наименьшим, и все члены арифметической прогрессии будут являться квадратами натуральных чисел.

а) По условию, где k — натуральное число. Значит, Таким образом, сумма является точным квадратом и делится на Поэтому минимальное возможное значение

б) Из пункта а) получаем, что Если сумма минимальна, то и сумма минимальна, значит, По условию, поэтому Искомое наибольшее значение c = 3.

в) По условию, а из того, что — арифметическая прогрессия, следует равенство Значит, Число b должно быть минимально, поэтому

г) Пусть тогда Из предыдущего пункта следует, что q кратно 13. Если разность прогрессии n наименьшая и её первый член c при этом минимален, то и второй член прогрессии b минимален. Значит, он равен 169, и тогда Подбором получаем, что единственная пара чисел такая, что и удовлетворяющая последнему равенству, это пара Тогда получаем, что

Ответ: а) 1521; б) 3; в) 13; г) 120.

Задание г) имеет два различных прочтения: найти наименьшее возможное n, при котором будут выполнены остальные требования условия, или найти наименьшее возможное c, при котором будут выполнены остальные требования. Выше приведено решение первой из этих задач: из решения следует, что наименьшее возможное n равно 120, при этом числа, составляющие прогрессию, суть 49, 169 и 289. Решение второй задачи — поиска наименьшего возможного с — очевидным образом сводится к рассмотрению наименьшего натурального числа с = 1 и отысканию для этого с наименьшего значения n, обеспечивающего выполнение оставшихся требований. Иными словами, пусть тогда и необходимо найти натуральные решения полученного уравнения, зная, что делится на 13.

Можно показать (указания о том, как это сделать, приведены в статье В. А. Сендерова и А. В. Спивака «Уравнения Пелля» в журнале «Квант» (№ 3, 2002 год), что все решения уравнения даются тривиальным решением и рекуррентными формулами то есть являются множеством упорядоченных пар

Сумма арифметической прогрессии

Когда речь идет о таком параметре, как сумма арифметической прогрессии, подразумевается всегда сумма первых членов арифметической прогрессии или сумма членов прогрессии с k по n, то есть количество членов, которые берутся для суммы, строго ограничено в заданных условием пределах. В противном случае задание не будет иметь решения, так как вся числовая последовательность именно арифметической прогрессии начинается с конкретного числа — первого члена a₁, и продолжается бесконечно.

Бытует мнение, что формула суммы арифметической прогрессии была открыта еще Гауссом, как быстрый и точный способ расчета суммы чисел в определенной последовательности. Он заметил, что такая прогрессия является симметричной, то есть сумма симметрично расположенных с начала и конца членов прогрессии является постоянной для данного ряда.

Соответственно, он нашел данную сумму и умножил ее на половину от общего количества чисел в последовательности, участвующих в расчете суммы. Таким образом, была выведена формула суммы арифметической прогрессии

Пример. Предположим, задано условие: «Найдите сумму первых десяти (10) членов арифметической прогрессии». Для этого понадобится следующие данные: разность прогрессии и первый ее член. Если в задаче дан какой-либо n член арифметической прогрессии вместо первого, тогда сначала нужно воспользоваться разделом, где представлена формула нахождения первого члена прогрессии, и найти его. Затем исходные данные вбиваются в калькулятор и он производит расчеты, складывая первый и десятый члены, и умножая полученную сумму на половину от общего количества складываемых членов – на 5. Аналогично происходит, если нужно найти сумму первых шести членов или любого другого количества.

В случае, когда необходимо найти сумму членов арифметической прогрессии, начинающихся не с первого, а с пятого члена, к примеру, тогда среднее арифметическое остается тем же, а общее количество членов берется как увеличенная на единицу разность между порядковыми номерами взятых членов.

Упр.38.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Арифметическая прогрессия

Например:
1. Последовательность 2, 5, 8, 11, 14, . является арифметической прогрессией с разностью d = 3.

2. Последовательность 12, 9, 6, 3, 0, –3, –6, . является арифметической прогрессией с разностью d = –3.

п.2. Формула n-го члена арифметической прогрессии

По определению арифметической прогрессии мы получаем рекуррентную формулу для n-го члена: a_n = a_n-1 + d. Из неё можно вывести аналитическую формулу:

Например:
Найдём a₇, если известно, что a₁ = 5, d = 3.
По формуле n-го члена получаем: a₇ = a₁ + 6d = 5 + 6 · 3 = 23

п.3. Свойства арифметической прогрессии

Свойство 1. Линейность

Арифметическая прогрессия является линейной функцией f(n) = kn + b:

с угловым коэффициентом k = d и свободным членом b = a₁ – d.

Следствие: любую арифметическую прогрессию можно задать формулой: $$ \mathrm< a_n=dn+b,\ \ n\in\mathbb,\ \ b\in\mathbb,\ \ d\in\mathbb> $$ где d, b – некоторые числа.

Свойство 2. Признак арифметической прогрессии

Для того чтобы числовая последовательность была арифметической прогрессией необходимо и достаточно, чтобы каждый её член, начиная со второго, был средним арифметическим предыдущего и последующего членов: $$ \mathrm < \left\— \text<арифметическая прогрессия>\ \Leftrightarrow\ a_n=\frac+a_><2>,\ \ n\in\mathbb,\ \ n \geq 2 > $$ Следствие: каждый член прогрессии является средним арифметическим двух равноудалённых от него членов: $$ \mathrm< a_n=\frac+a_><2>,\ \ n\in\mathbb,\ \ n\in\mathbb,\ \ n \geq k+1 > $$

Например:
Найдём a₉, если известно, что a₇ = 10, a₁₁ = 15
По следствию из признака арифметической прогрессии: \(\mathrm><2>=\frac<10+15><2>=12,5>\)

Свойство 3. Равенство сумм индексов

Если n> – арифметическая прогрессия, то из равенства сумм индексов следует равенство сумм членов: $$ \mathrm < m+k=p+q \Rightarrow a_m+a_k=a_p+a_q >$$ Следствие: сумма членов, равноудалённых от концов прогрессии, является постоянной величиной: $$ \mathrm< a_1 + a_n=a_2+a_=a_3+a_=. > $$

п.4. Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Например:
Найдём сумму первых 100 натуральных чисел: 1 + 2 +. + 100
В этом случае a₁ = 1, a₁₀₀ = 100, n = 100
\(\mathrm< S_<100>=\frac<1+100><2>\cdot 100=5050>\)

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если:
а) a₇ = 10, a₁₅ = 42
Найдем разность данных членов: a₁₅ – a₇ = (a₁ + 14d) – (a₁ + 6d) = 8d
Получаем разность прогрессии: 42 – 10 = 8d ⇒ d = 32 : 8 = 4
7-й член: a₇ = a₁ + 6d = a₁ + 6 · 4 = 10 ⇒ a₁ = 10 – 24 = –14
Ответ: a₁ = –14, d = 4

б) a₁₀ = 95, S₁₀ = 500
Сумма прогрессии: \(\mathrm=\frac><2>\cdot 10\Rightarrow 500=(a_1+95)\cdot 5\Rightarrow a_1+95=100\Rightarrow a_1=5>\)
10-й член: \(\mathrm=a_1+9d\Rightarrow95=5+9d\Rightarrow 9d=90\Rightarrow d=10>\)
Ответ: a₁ = 5, d = 10

Пример 2. Найдите сумму первых 100 нечётных натуральных чисел.
Чему равно последнее слагаемое этой суммы?
Ищем сумму \(\mathrm<\underbrace<1+3+5+. >_<100\ \text<слагаемых>>>\)
По условию a₁ = 1, d = 2, n = 100. Получаем:
\(\mathrm=\frac<2a_1+d(n-1)><2>n=\frac<2\cdot 1+2\cdot 99><2>\cdot 100=10000>\)
Формула n-го члена данной прогрессии: \(\mathrm\)
100-й член \(\mathrm=2\cdot 100-1=199>\)
Ответ: S₁₀₀ = 10000, a₁₀₀ = 199

Пример 3*. Сколько членов арифметической прогрессии 10, 16, 22, . находится между числами 110 и 345?
По условию a₁ = 10, d = 16 – 10 = 6
Формула n-го члена данной прогрессии a_n = a₁ + d(n – 1) = dn + (a₁ – d) = 6n + 4
Заданные числа могут быть членами данной прогрессии или находиться по «соседству» с ними. Подставим их в формулу для n-го члена: \begin \mathrm< 6k+4=110\Rightarrow 6k=106\Rightarrow k=17\frac23\Rightarrow 17\lt k\lt 18 >\\ \mathrm < 6m+4=345\Rightarrow 6m=341\Rightarrow m=56\frac56\Rightarrow 56\lt m\lt 57 >\end Ближайший сосед справа к 100 – это a₁₈ = 6 · 18 + 4 = 112, k = 18
Ближайший сосед слева к 345 – это a₅₆ = 6 · 56 + 4 = 340, m = 56

Количество членов прогрессии в заданном интервале:

n = m – k + 1 = 56 – 18 + 1 = 39

Пример 4. Одиннадцатый член арифметической прогрессии равен 7.
Найдите сумму её первых 21 членов.
По свойству суммы индексов: a₁₁ + a₁₁ = a₁ + a₂₁
Откуда a₁ + a₂₁ = 2a₁₁ = 14
Искомая сумма: \(\mathrm=\frac><2>\cdot 21=\frac<14><2>\cdot 21=147>\)
Ответ: 147

Пример 5. Величины углов выпуклого пятиугольника образуют арифметическую прогрессию. Найдите третий член этой прогрессии.
Сумма углов выпуклого пятиугольника S₅ = 180° · (5 – 2) = 540°
Если углы образуют арифметическую прогрессию, то: $$ \mathrm< S_5=\frac<2>\cdot 5=540^\circ\Rightarrow a_1+a_5=216^\circ > $$ По свойству суммы индексов: a₃ + a₃ = a₁ + a₅
Откуда: \(\mathrm<2>=108^\circ>\)
Ответ: 108°

Пример 6. При каких значениях x числа x 2 – 11, 2x 2 + 29, x 4 – 139 в заданной последовательности являются членами арифметической прогрессии?
Для последовательных членов получаем уравнение:

Пример 7. Сумма первых трёх членов убывающей арифметической прогрессии равна 9, а сумма их квадратов равна 99. Найдите седьмой член прогрессии.
По условию d < 0 и: $$ \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. $$ Используем свойство прогрессии: \(\mathrm<2>>\). Получаем из первого уравнения:

Тогда a₁ = a₂ – d = 3 – d, a₃ = a₂ + d = 3 + d. Подставляем во второе уравнение:

(3 – d) 2 + 3 2 + (3 + d) 2 = 99
9 – 6d + d 2 + 9 + 9 + 6d + d 2 = 99
2d 2 = 72 ⇒ d 2 = 36 ⇒ d = ±6

Выбираем отрицательное значение d = –6
1-й член прогрессии: a₁ = a₂ – d = 3 + 6 = 9
7-й член прогрессии: a₇ = a₁ + 6d = 9 + 6(–6) = –27
Ответ: x = –27