Сколько общих точек могут иметь две окружности

2

На листе бумаги начерчены две окружности. Сколько общих точек они могут иметь? А-0 Б-1 В-2 Г-3

Для ответа на вопрос нужно рассмотреть все варианты размещения окружностей на плоскости.

1. Окружности не пересекаются, тогда правильно ответить, что общих точек у двух окружностей нет — вариант А. Например, изобразить окружности в разных частях листа или одну окружность нарисовать в другой (получится как «бублик»).

2. Окружности можно изобразить, чтоб они лишь касались друг друга в одной точке, тогда правильный ответ Б. Например. Изобразить их рядом или одна в другой, но они касаются в одной точке.

3. Окружности пересекаются, тогда у них 2 общие точки вариант В.

1. Выбираем варианты расположения окружностей на листе.
2. Посчитаем количество точек касания.
3. Экспериментируя с расположением окружностей, узнаем может ди быть больше 2 точек касания.

Окружности изображены в разных частях листа

Если окружности изобразить в разных частях листа, то они не будут иметь точек пересечения — 0 точек.

Окружности можно изобразить одна в другой (как баранка). В таком случае меньшая окружность будет находиться в большей и точек касания у них не будет — 0 точек.

Две окружности расположены рядом — 1 точка касания

Если изобразить одну окружность и рядом изобразить другу чтобы они лишь касались в одной точке (получится цифра 8).

1 точка касания возможна при изображении меньшей окружности в большей, но маленькую изобразить касаясь большей (как будто маленький кружок в цифре 8 упал в больший круг).

2 точки касания окружностей

Изобразить одну окружность и вторую нарисовать поверх первой, чтоб они пересекались (как на логотипе олимпийских колец).

Множество общих точек

Возможно, что мы можем иметь 2 окружности одинакового размера и нарисовать их одна поверх другой, тогда все точки окружностей будут общими.

Сколько общих точек могут иметь две окружности

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Два круга никогда не имеют только 3 общие точки.

Они могут касаться и иметь 1 общую точку, могут пересекаться и иметь бесконечно много общих точек, могут не пересекаться и не иметь общих точек

Две окружности никогда не имеют только 3 общие точки.

Они могут пересекаться и иметь 2 общие точки, могут касаться и иметь 1 общую точку, могут не пересекаться и не иметь общих точек

Сколько общих точек могут иметь две окружности

Сколько общих точек могут иметь две окружности? Изобразите соответствующие случаи.

Ваш ответ

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,277
• гуманитарные 33,618
• юридические 17,900
• школьный раздел 606,937
• разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Сколько общих точек имеют две окружности

Окружность. Относительное взаимоположение окружностей.

Если две окружности имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются.

Если же две окружности имеют две общие точки, то говорят, что они пересекаются.

Трех общих точек две не сливающиеся окружности иметь не могут, потому, что в противном случае через три точки можно было бы провести две различные окружности, что невозможно.

Будем называть линией центров прямую, проходящую через центры двух окружностей (например, прямую OO₁).

Теорема.

Если две окружности имеют общую точку по одну сторону от линии центров, то они имеют общую точку и по другую сторону от этой линии, т.е. такие окружности пересекаются.

Пусть окружности O и O₁ имеют общую точку A, лежащую вне линии центров OO_1. Требуется доказать, что эти окружности имеют еще общую точку по другую сторону от прямой OO₁.

Опустим из A на прямую OO₁ перпендикуляр AB и продолжим его на расстояние BA₁, равное AB. Докажем теперь, что точка A₁ принадлежит обеим окружностям. Из построения видно, что точки O и O₁ лежат на перпендикуляре, проведенном к отрезку AA₁ через его середину. Из этого следует, что точка O одинаково удалена от A и A₁. То же можно сказать и о точке O₁. Значит обе окружности, при продолжении их, пройдут через A₁.Таким образом, окружности имеют две общие точки : A (по условию) и A₁ (по доказанному). Следовательно, они пересекаются.

Следствие.

Общая хорда (AA₁) двух пересекающихся окружностей перпендикулярна к линии центров и делится ею пополам.

Теоремы.

1. Если две окружности имеют общую точку на линии их центров или на ее продолжении, то они касаются.

2. Обратно: если две окружности касаются, то общая их точка лежит на линии центров или на ее продолжении.

Признаки различных случаев относительного положения окружностей.

Пусть имеем две окружности с центрами O и O₁, радиусами R и R₁ и расстоянием между центрами d.

Эти окружности могут находиться в следующих 5-ти относительных положениях:

1. Окружности лежат одна вне другой, не касаясь. В этом случае, очевидно, d > R + R₁ .

2. Окружности имеют внешнее касание. Тогда d = R + R₁, так как точка касания лежит на линии центров O O₁.

3. Окружности пересекаются. Тогда d R + R₁, потому что в треугольнике OAO₁ сторона OO₁ меньше суммы, но больше разности двух других сторон.

4. Окружности имеют внутреннее касание. В этом случае в d = R — R₁, потому что точка касания лежит на продолжении линии OO₁.

5. Одна окружность лежит внутри другой, не касаясь. Тогда, очевидно,

d R + R₁, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь.

2. Если d = R + R₁, то окружности касаются извне.

3. Если d R — R₁, то окружности пересекаются.

4. Если d = R — R₁, то окружности касаются изнутри.

5. Если d R Е R₁. Значит, все эти случаи исключаются. Остается один возможный, именно тот, который требовалось доказать. Таким образом, перечисленные признаки различных случаев относительно положения двух окружностей не только необходимы, но и достаточны.

Сколько общих точек могут иметь две окружности? Изобразите соответствующие случаи.

Ваш ответ

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,277
• гуманитарные 33,618
• юридические 17,900
• школьный раздел 606,890
• разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям

Взаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Каждая из окружностей лежит вне другой

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Окружности пересекаются в двух точках

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Каждая из окружностей лежит вне другой

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Окружности пересекаются в двух точках

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Внутренняя касательная к двум окружностям

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Внутреннее касание двух окружностей

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Окружности пересекаются в двух точках

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Внешнее касание двух окружностей

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Внутренняя касательная к двум окружностям

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Внутреннее касание двух окружностей

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Окружности пересекаются в двух точках

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Внешнее касание двух окружностей

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Внутренняя касательная к двум окружностям

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Внутренняя касательная к двум окружностям

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r₁ и r₂ равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r₁ и r₂ равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r₁ и r₂ равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Окружность. Относительное взаимоположение окружностей.

Если две окружности имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются.

Если же две окружности имеют две общие точки, то говорят, что они пересекаются.

Трех общих точек две не сливающиеся окружности иметь не могут, потому, что в противном случае через три точки можно было бы провести две различные окружности, что невозможно.

Будем называть линией центров прямую, проходящую через центры двух окружностей (например, прямую OO₁).

Теорема.

Если две окружности имеют общую точку по одну сторону от линии центров, то они имеют общую точку и по другую сторону от этой линии, т.е. такие окружности пересекаются.

Пусть окружности O и O₁ имеют общую точку A, лежащую вне линии центров OO_1. Требуется доказать, что эти окружности имеют еще общую точку по другую сторону от прямой OO₁.

Опустим из A на прямую OO₁ перпендикуляр AB и продолжим его на расстояние BA₁, равное AB. Докажем теперь, что точка A₁ принадлежит обеим окружностям. Из построения видно, что точки O и O₁ лежат на перпендикуляре, проведенном к отрезку AA₁ через его середину. Из этого следует, что точка O одинаково удалена от A и A₁. То же можно сказать и о точке O₁. Значит обе окружности, при продолжении их, пройдут через A₁.Таким образом, окружности имеют две общие точки : A (по условию) и A₁ (по доказанному). Следовательно, они пересекаются.

Следствие.

Общая хорда (AA₁) двух пересекающихся окружностей перпендикулярна к линии центров и делится ею пополам.

Теоремы.

1. Если две окружности имеют общую точку на линии их центров или на ее продолжении, то они касаются.

2. Обратно: если две окружности касаются, то общая их точка лежит на линии центров или на ее продолжении.

Признаки различных случаев относительного положения окружностей.

Пусть имеем две окружности с центрами O и O₁, радиусами R и R₁ и расстоянием между центрами d.

Эти окружности могут находиться в следующих 5-ти относительных положениях:

1. Окружности лежат одна вне другой, не касаясь. В этом случае, очевидно, d > R + R₁ .

2. Окружности имеют внешнее касание. Тогда d = R + R₁, так как точка касания лежит на линии центров O O₁.

3. Окружности пересекаются. Тогда d R + R₁, потому что в треугольнике OAO₁ сторона OO₁ меньше суммы, но больше разности двух других сторон.

4. Окружности имеют внутреннее касание. В этом случае в d = R — R₁, потому что точка касания лежит на продолжении линии OO₁.

5. Одна окружность лежит внутри другой, не касаясь. Тогда, очевидно,

d R + R₁, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь.

2. Если d = R + R₁, то окружности касаются извне.

3. Если d R — R₁, то окружности пересекаются.

4. Если d = R — R₁, то окружности касаются изнутри.

5. Если d R Е R₁. Значит, все эти случаи исключаются. Остается один возможный, именно тот, который требовалось доказать. Таким образом, перечисленные признаки различных случаев относительно положения двух окружностей не только необходимы, но и достаточны.

Презентация на тему Две окружности

Слайд 1 Две окружности
а) не иметь общих точек;
Две окружности могут:
б) иметь только

в) иметь две общие точки. В этом случае говорят, что окружности пересекаются.

Слайд 2 Теорема 1
Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их

Доказательство. Пусть даны две окружности с центрами в точках О1, О2 и радиусами соответственно R1, R2, R1 + R2 R1 + R2 — R1 = R2 и, следовательно, точка С не принадлежит второй окружности. Значит, эти окружности не имеют общих точек. Аналогичным образом доказывается, что если O1O2 R2), то окружности также не имеют общих точек.

Слайд 3 Теорема 2
Если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме или

Доказательство. Пусть даны две окружности с центрами в точках О1, О2 и радиусами соответственно R1, R2, R1+R2 = O1O2. Рассмотрим точку С на отрезке О1О2, для которой О1С = R1, O2C = R2. Она будет общей точкой для данных окружностей. Если D – точка на первой окружности, отличная от С, то из неравенства треугольника следует, что О2D > O1O2 — O1D = R1 + R2 — R1 = R2, следовательно, точка D не принадлежит второй окружности. Значит, данные окружности имеют только одну общую точку, т.е. касаются. Аналогичным образом доказывается, что если O1O2 = R1- R2 (R1 > R2), то окружности также касаются.

Слайд 4 Теорема 3
Если расстояние между центрами двух окружностей меньше суммы радиусов

и больше их разностей, то эти окружности пересекаются.

Слайд 5 Вопрос 1
Сколько общих точек могут иметь две окружности?
Ответ: Ни одной,

одну или две.

Слайд 6 Вопрос 2
Какие две окружности называются касающимися?
Ответ: Две окружности называются

касающимися, если они имеют только одну общую точку.

Слайд 7 Вопрос 3
Какие две окружности называются пересекающимися?
Ответ: Две окружности называются пересекающимися,

если они имеют две общие точки.

Слайд 8 Вопрос 4
Какие окружности называются концентрическими?
Ответ: Окружности называются концентрическими, если они

имеют общий центр.

Слайд 9 Вопрос 5
В каком случае две окружности не имеют общих точек?
Ответ:

Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их радиусов или меньше их разности.

Слайд 10 Вопрос 6
В каком случае две окружности касаются: а) внешним образом;

Ответ: а) Если расстояние между их центрами равно сумме радиусов;

б) если расстояние между их центрами равно разности радиусов.

Слайд 11 Вопрос 7
В каком случае две окружности пересекаются?
Ответ: Если расстояние между

центрами двух окружностей меньше суммы радиусов и больше их разностей.

Слайд 12 Упражнение 1
Дана окружность радиуса 3 см и точка А на

Ответ: 2 см.

Слайд 13 Упражнение 2
Расстояние между центрами двух окружностей равно 5 см. Как

Ответ: а) Касаются;

б) не имеют общих точек.

Слайд 14 Упражнение 3
Расстояние между центрами двух окружностей равно 2 см. Как

Ответ: а) Касаются;

б) не имеют общих точек.

Слайд 15 Упражнение 4
Чему равно расстояние между центрами двух окружностей, радиусы которых

б) 4 см.

Слайд 16 Упражнение 5
Радиусы двух концентрических окружностей относятся как 3:7. Найдите диаметры

Ответ: 36 см и 84 см.

Слайд 17 Упражнение 6
Две окружности касаются внешним образом. Радиусы окружностей относятся как

Ответ: 8 см и 12 см.

Слайд 18 Упражнение 7
Две окружности касаются внутренним образом. Найдите радиусы этих окружностей,

Ответ: 25 см и 10 см.

Слайд 19 Упражнение 8
Расстояние между центрами двух окружностей равно d и больше

суммы их радиусов R1 и R2. Найдите наименьшее расстояние между точками, расположенными на данных окружностях.

Слайд 20 Упражнение 9
Расстояние между центрами двух окружностей равно d и больше

Ответ: d + R1 + R2.

Слайд 21 Упражнение 10
Расстояние между центрами двух окружностей равно d и меньше

Ответ: R1 – R2 – d; R1 + R2 + d.

Слайд 22 Упражнение 11
Могут ли попарно касаться друг друга: а) три окружности;

в) нет.

Слайд 23 Упражнение 12
Могут ли попарно касаться друг друга четыре окружности одинакового

Ответ: Нет.

Слайд 24 Упражнение 13
Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь а)

б) 6;

Слайд 25 Упражнение 14
На какое наибольшее число частей могут делить плоскость: а)

б) 4;

Слайд 26 Упражнение 15
Две окружности с центрами в точках O1, O2 и

г) 4.

Слайд 27 Упражнение 16
Три окружности разбили плоскость на восемь областей. Напишите неравенства,

в) AO1 > R1, AO2 > R2, AO3 R1, AO2 > R2, AO3 > R3.