48. Электрический колебательный контур. Собственные колебания. Формула Томсона.
Колебательный контур — осциллятор, представляющий собой электрическую цепь, содержащую соединённые катушку индуктивности и конденсатор. В такой цепи могут возбуждаться колебания тока. Колебательный контур — простейшая система, в которой могут происходить свободные электромагнитные колебания
Резонансная частота контура определяется так называемой формулой Томсона: Колебательный контур состоит из двух основных частей: катушки индуктивности и конденсатора. Катушка представляет собой некоторое число витков медной проволоки, а простейший конденсатор – две металлические пластинки, разделённые слоем диэлектрика. Чем больше площадь пластин и чем ближе они расположены одна к другой, тем при прочих равных условиях большей электрической ёмкостью обладает конденсатор. На величину ёмкости влияет и то, из какого вещества состоит диэлектрик. Конденсатор заряжают от какого-то источника тока, затем подключают катушку индуктивности. Конденсатор разряжается, но в силу индуктивности катушки ток в контуре нарастает постепенно, а потом начнет заряжать конденсатор (в противоположном направлении), и так будет колебаться довольно долго, смотря что за конденсатор поставили. Колебания в контуре, происходящие без какого-либо влияния со стороны, чрезвычайно кратковременны. Это объясняется тем, что электрический ток нагревает провода катушки. При этом энергия электрических колебаний превращается в тепло, которое рассеивается. Потери эти неизбежны, поэтому колебания в контуре быстро затухают. Для того чтобы получить незатухающие колебания, нужно особое устройство, которое подает к колебательному контуру всё новые и новые порции энергии.
Собственные колебания, свободные колебания, колебания в механической, электрической или какой-либо другой физической системе, совершающиеся при отсутствии внешнего воздействия за счёт первоначально накопленной энергии (вследствие наличия начального смещения или начальной скорости). Характер С. к. определяется главным образом собственными параметрами системы (массой, индуктивностью, ёмкостью, упругостью). В реальных системах вследствие рассеяния энергии С. к. всегда затухающие, а при больших потерях они становятся апериодическими. Простейшими примерами свободных колебания являются колебания груза, прикреплённого к пружине, или груза, подвешенного на нити.
Формула Томсона — формула, выражающая зависимость периода незатухающих собственных колебаний, возникающих в колебательном контуре, от индуктивности и емкости этого контура. 
49.Затухающие колебания. Уравнение, график и характеристики.
Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида 
Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний или её квадрата.
Получим дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний на примере реального пружинного маятника, совершающего колебания в среде с сопротивлением (простейший случай — трение о воздух). Пусть масса маятника m, коэффициент упругости пружины k, сила сопротивления, действующая на маятник, F = — bv, v — скорость маятника, b — коэффициент сопротивления среды, в которой находится маятник. Так как мы рассматриваем только линейные системы, b = const, k = const. x — смещение маятника от положения равновесия. Второй закон Ньютона в нашем случае запишется так: Это уравнение и есть дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний пружинного маятника. Его, однако, принято записывать в следующем, так называемом каноническом виде: ,где — коэффициент затухания, — собственная частота свободных (незатухающих) колебаний пружинного маятника, то, что раньше мы обозначали просто w.
Уравнение затухающих колебаний в таком (каноническом) виде описывает затухающие колебания всех линейных систем; конкретная колебательная система отличается только выражениями для b и j0.
Экспериментальный график затухающих колебаний при малом коэффициенте затухания представлен на рис. 7.6. Из рис. 7.6 видно, что график зависимости x=x(t). выглядит как косинус, умноженный на некоторую функцию, которая убывает со временем. Эта функция представлена на рисунке штриховыми линиями. Простой функцией, которая ведет себя подобным образом, является экспоненциальная функция
Чем меньше силы трения в системе, тем медленнее затухают колебания, тем лучше колебательная система. Для характеристики качества колебательной системы вводится ряд параметров:
t = 1/b — время релаксации затухающих колебаний (за t амплитуда уменьшается в e раз). — логарифмический декремент затухания; N — число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в e раз. Соответственно, exp(bT) — просто декремент затухания. — добротность колебательной системы; W(t) — энергия (полная) колебательной системы в момент времени t.
Формула Томсона
Контур, в котором не происходит потерь энергии, называется идеальным колебательным контуром или контуром Томсона. В реальном контуре существует активное сопротивление, а, значит, теряется энергия, поэтому без дополнительного поступления энергии колебания будут затухающими.
В середине XIX в. У. Томсон вывел формулу, связывающую ёмкость и индуктивность контура с периодом колебаний в нём:
Она описывает гармонические колебания в идеальном колебательном контуре, где L – индуктивность катушки, C – электроёмкость конденсатора.
Важно отметить, что период и циклическая частота не зависят от начальных условий, а определяются только индуктивностью катушки и электроёмкостью конденсатора. Амплитуда колебаний заряда и силы тока определяются начальным запасом энергии в контуре.
При свободных гармонических колебаниях происходит периодическое преобразование энергии. Период колебаний энергии в два раза меньше, чем период колебаний заряда, силы тока и напряжения. Частота колебаний энергии в два раза больше частоты колебаний заряда, силы тока и напряжения.
Свойства электромагнитных волн
Электромагнитная волна — это изменяющееся во времени и распространяющееся в пространстве электромагнитное поле.
Источником электромагнитной волны является ускоренно движущаяся заряженная частица — колеблющийся заряд. Наличие ускорения является главным условием излучения электромагнитной волны. Интенсивность излучённой волны тем больше, чем больше ускорение, с которым движется заряд. Источниками электромагнитных волн служат антенны различных конструкций, в которых возбуждаются высокочастотные колебания.
Характеристики электромагнитных волн
Самая важная характеристика волны — это её длина, то есть расстояние между двумя точками, колеблющимися в одной фазе, или, другими словами, это расстояние между двумя «гребнями». Обозначается длина волны буквой λ и измеряется в метрах.
Период — это время, за которое совершается одно колебание. Если известно время распространения волны и количество колебаний, можно рассчитать период.
Формула периода колебания волны:
где T — период [с], t — время [с], N — количество колебаний.
Частота — это величина, обратно пропорциональная периоду. Она определяет, сколько колебаний в единицу времени совершила волна.
Частота колебаний волны имеет формулу:
где v — частота [Гц], t — время [с], N — количество колебаний, T — период [с].
Важной характеристикой распространения волны является её скорость.
где v — скорость [м/с], S — путь [м], t — время [с].
Формулу скорости волны можно записать и в таком виде:
v — скорость [м/с], λ — длина волны [м], T — период [с].
Электромагнитные волны в вакууме распространяются со скоростью света — v = 3*10 8 м/с. В среде же их скорость меньше и зависит от частоты. В природе наблюдаются электромагнитные волны с сильно отличающимися друг от друга частотами, и имеющие благодаря этому существенно различными свойствами. Классификация свойств электромагнитных волн в зависимости от их частоты (или длины волны) носит название шкалы электромагнитных волн. Кратко это можно записать в таком виде:
- Низкочастотные волны с частотой <10 5 Гц (т. е. С длиной волны больше нескольких км). Волны такого диапазона излучает большинство бытовых электроприборов.
- Радиоволны — с частотой от 10 5 до 10 12 Гц называются. Им соответствуют длины волны от нескольких км до нескольких мм. Применяются в радиосвязи, телевидения, радиолокации, сотовой связи.
Электромагнитные волны являются поперечными. Колебания векторов напряженности переменного электрического поля и магнитной индукции переменного магнитного поля взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной к вектору скорости волны. Электромагнитные волны переносят энергию в направлении своего распространения.
Плотность потока или интенсивность — это электромагнитная энергия, переносимая через поверхность единичной площади за единицу времени. Обозначается буквой I, измеряется в ваттах на квадратный метр (Вт/м 2 ). Электромагнитные волны оказывают давление на вещество, что свидетельствует о наличии у них импульса
Электромагнитные волны обладают общими для любых волн свойствами, такими как поглощение, рассеяние, отражение, преломление, интерференция, дифракция, поляризация.
Что такое Контур Томсона и для чего он нужен
Периодические изменения электрических и магнитных параметров электроцепи называют электромагнитными колебаниями. Самой простой системой, с помощью которой может быть реализован данный процесс, является колебательный контур.
История открытия
Первый в истории колебательный контур создал в 1853 году английский физик Уильям Томсон (1824-1907). Несмотря на то, что ученый придумал такую схему, он не смог объяснить ее работу. Например, зная, что между пластинами конденсатора не проходит постоянный ток, он не объяснил, как электричество работает в данной конструкции. Это сделали позже на основе открытых Максвеллом законов функционирования электромагнитного поля.
Уильям Томсон был разносторонним и плодотворным учёным. Контур, получивший его имя, является только одним из его открытий. При жизни Томсон получил рыцарское звание и стал бароном Кельвином, в честь которого была названа шкала измерения температуры.
Как работает колебательный контур
Он представляет собой схему, в которой присутствует катушка, конденсатор и источник тока. Катушка имеет вид металлического стержня, на который намотан провод. Конденсатор включает в себя две металлические параллельные пластины, разделенные диэлектриком или воздухом.
Приведённая на рисунке схема начинает работать после замыкания ключа. Предварительно необходимо провести зарядку конденсатора. После замыкания цепи в контуре возникают периодические колебания.
Если в рассматриваемой модели активное сопротивление пренебрежимо мало, то контур может функционировать без дополнительной энергетической подпитки в течение длительного времени. Его работа состоит из следующих этапов:
- Батарея подключается таким образом, чтобы её клеммы были соединены с обкладками конденсатора. В течение небольшого времени заряд на пластинах увеличивается. При этом на одной обкладке он будет положительным, на другой – отрицательным. Величина зарядов будет равна. Когда они достигнут максимума, источник питания можно отключить.
- После того как накопится заряд на обкладках и будет отсоединена батарея, конденсатор начнёт разряжаться. В результате в контуре появится ток, который пройдёт через катушку. Он будет увеличиваться, что приведёт к возникновению в катушке самоиндукции.
- Благодаря электромагнитному полю начнёт возникать ток, который будет противоположным по направлению к существующему. Он обеспечит процесс зарядки конденсатора. В результате работы электромагнитного поля заряды на его пластинах станут увеличиваться, а сила тока в контуре постепенно уменьшаться.
- Действие самоиндукции постепенно прекратится, а конденсатор вновь станет полностью заряженным. Затем он вновь начнёт разряжаться, что приведёт к повторению описанного здесь процесса.
Если потери энергии на активное сопротивление пренебрежимо малы, то колебания в контуре происходят на протяжении длительного времени.
На приведённом изображении левое положение ключа соответствует зарядке аккумулятора. После того как заряд на обкладках станет максимальным (соответствующим ёмкости конденсатора), ключ переводят в правое положение. После этого колебательный контур начнёт работать. Здесь не изображён резистор, поскольку подразумевается, что активное сопротивление является пренебрежимо малым.
Что такое контур Томсона
Колебательным контуром называется схема, реализация которой обеспечивает периодические изменения магнитного поля. Он обычно состоит из ёмкости, индуктивности, источника питания, активного сопротивления и соединительных проводов.
Наличие активного сопротивления способствует тому, что из контура постепенно уходит энергия, из-за чего колебания затухают. Томсоном была придумана математическая модель, которая помогла обосновать формулировку важнейших закономерностей рассматриваемой схемы. Контур колебаний Томсона – это идеальная модель, в которой отсутствует активное сопротивление. Следовательно, утечка энергии в нем также отсутствует.
В процессе работы электрическая энергия в контуре Томсона циклически переходит из одного состояния в другое без затухания. На практике рассматриваемое понятие можно применять в тех случаях, когда активное сопротивление пренебрежимо мало. Суммарная энергия в идеальном контуре определяется по формуле:
Поскольку в рассматриваемом случае общее количество энергии изменяться не будет, то её производная равняется нулю. Таким образом, можно утверждать, что верна следующая формула:
Чтобы лучше осознать смысл приведённого равенства, выражение необходимо перевести в эквивалентную форму:
Нужно учитывать, что величина заряда на конденсаторе и сила тока в контуре здесь являются функциями времени. На основании приведённого равенства можно утверждать, что скорость изменения энергии индуктивности по абсолютной величине равна скорости изменения энергии индуктивности, но при этом имеет противоположный знак.
Воспользовавшись методами математического анализа можно привести формулу для производной к другому виду. Для этого необходимо применить правило получения производной сложной функции:
Для дальнейшего преобразования надо учесть, что производная заряда по времени представляет собой силу тока. Таким образом, производная силы тока будет равна второй производной заряда по времени.
Эту формулу можно переписать в другом виде. Для этого будет введено такое обозначение:
Подставив это обозначение в полученную раннее формулу и преобразовав её, можно написать следующее:
Теперь можно видеть, что речь идёт об уравнении гармонических колебаний. Буквой «омега» обозначена их круговая частота. Чтобы получить период колебаний можно воспользоваться такой формулой:
Данной выражение называют формулой Томсона, она используется для определения периода колебаний.
Чем отличается контур Томсона от реального
Идеальный колебательный контур и формула Томсона позволяют узнать важные закономерности работы колебательного контура, найти для них числовое выражение. Однако в реальности не существует точно такой схемы. Отличия заключаются в следующем:
- Наличие активного сопротивления способствует тому, что часть энергии тратится на нагрев. Это приводит к её утечке.
- Происходит постоянное перемагничивание сердечника, что тоже забирает энергию из контура.
- Изменяется поляризация используемого диэлектрика.
Из-за перечисленных потерь для постоянной работы контура потребуется постоянный приток новой электроэнергии. В противном случае произойдут потери энергии, и возникнет постепенное затухание колебаний.
Характеристики работы контура
Чтобы производить расчёты, можно воспользоваться формулами, которые характеризуют работу контура:
- Формула Томсона, вывод которой был приведён выше, позволяет узнать период колебаний контура. Её открытие было важным шагов в изучении электричества.
- Эффективность характеризует относительную величину энергетических потерь при работе этой схемы. Она равна отношению энергии колебательного контура к величине потерь, которые возникают в течение одного цикла колебаний.
- Резонансная частота. При её использовании активное сопротивление становится равно реактивному.
Количественные оценки параметров позволяют создавать схемы, которые обладают нужными для пользователя свойствами.
Примеры применения
Распространённым способом использования является осуществление частотной фильтрации. Дело в том, что колебательный контур по-разному пропускает различные частоты. Регулируя ёмкость и индуктивность деталей, можно подстраивать такие характеристики фильтра, которые помогут получить только нужные частоты, заглушив остальные.
Способность фильтровать частоты может быть использована для автоматизации управления. Применяя несколько контуров, можно определять поступающую частоту и делать выбор в соответствии с её величиной.
Идеальный колебательный контур. Формула Томсона
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Идеальный колебательный контур. Формула Томсона»
На прошлом уроке мы с вами познакомились с электромагнитными колебаниями. Напомним, что так называют периодические изменения со временем электрических и магнитных величин в электрической цепи.
Рассмотрев качественную сторону теории процессов в колебательном контуре, перейдём к её количественной стороне. Для этого рассмотрим идеальный колебательный контур, то есть контур, активное сопротивление которого пренебрежимо мало.
В таком контуре, как мы показали ранее, полная электромагнитная энергия в любой момент времени равна сумме энергий электрического и магнитного полей, и она не меняется с течением времени:
А раз энергия контура неизменная, то производная полной энергии по времени равна нулю:
Напомним, что в записанной формуле заряд и сила тока в цепи являются функцией времени.
Чтобы понять физический смысл этого уравнения, перепишем его так:
Из такой записи видно, что скорость изменения магнитного поля по модулю равна скорости изменения энергии электрического поля. А знак минус в формуле показывает на то, что увеличение энергии магнитного поля происходит за счёт убыли энергии поля электрического.
Вычислим производные в записанном уравнении, воспользовавшись для этого формулой вычисления производной сложной функции.
А теперь вспомним, что производная заряда по времени есть сила мгновенного тока (то есть сила тока в данный момент времени):
Поэтому предыдущее уравнение можно переписать так, как показано на экране:
Производная силы тока по времени есть не что иное, как вторая производная заряда по времени, подобно тому, как производная скорости по времени (то есть ускорение) есть вторая производная координаты по времени:
Перепишем предыдущее равенство с учётом этой поправки:
Разделив левую и правую части этого уравнения на «Эль И» (Li), получим основное уравнение, описывающее свободные гармонические электрические колебания в контуре:
Данное уравнение аналогично уравнению, описывающему гармонические механические колебания:
Отсюда видно, что величина, обратная квадратному корню из произведения индуктивности и ёмкости, является циклической частотой свободных электрических колебаний:
Зная циклическую частоту колебаний, нетрудно найти и их период, то есть минимальный промежуток времени, через который процесс в колебательном контуре полностью повторяется:
Эта формула впервые была получена английским физиком Уильямом Томсоном 1853 году, и в настоящее время носит его имя.
Из формулы видно, что период колебательного контура определяется параметрами составляющих его элементов: индуктивностью катушки и ёмкостью конденсатора. Из формулы Томсона также следует, что, например, при уменьшении ёмкости или индуктивности период колебаний должен уменьшиться, а их частота — увеличиться и наоборот.
Но вернёмся к уравнению свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре. Его решением является уравнение, выражающее зависимость заряда конденсатора от времени:
В записанной формуле qm — это начальное (или амплитудное) значение заряда, сообщённому конденсатору. Из этой формулы следует, что заряд на конденсаторе изменяется со временем по гармоническому закону.
Если взять первую производную заряда конденсатора по времени, то мы получим уравнение, описывающее изменение силы тока в контуре:
Величина, равная произведению максимального заряда конденсатора и циклической частоты колебаний, является амплитудным значением силы тока:
Перепишем уравнение для силы тока с учётом последнего равенства, а также воспользовавшись формулой приведения:
Из такой записи хорошо видно, что сила тока в колебательном контуре также совершает гармонические колебания с той же частотой, но по фазе она смещена на π/2 относительно колебаний заряда.
Для закрепления материала, решим с вами такую задачу. Конденсатор ёмкостью 2 мкФ зарядили до напряжения 100 В, а затем замкнули на катушку с индуктивностью 5 мГн. Определите заряд конденсатора через 0,025π мс после замыкания.
В заключение отметим, что в реальных колебательных контурах всегда имеется активное сопротивление, поэтому часть энергии контура всегда превращается во внутреннюю проводников, которая выделяется в виде излучения. Кроме того, часть энергии теряется на перемагничивание сердечника и изменение поляризации диэлектрика. Поэтому полная энергия контура с течением времени уменьшается, в результате уменьшается и амплитуда колебаний. Следовательно, реальные электромагнитные колебания в контуре являются затухающими.