Основные тригонометрические формулы и тождества sin, cos, tg, ctg
Основные формулы тригонометрии — это формулы, устанавливающие связи между основными тригонометрическими функциями. Синус, косинус, тангенс и котангенс связаны между собой множеством соотношений. Ниже приведем основные тригонометрические формулы, а для удобства сгруппируем их по назначению. С использованием данных тригонометрических формул можно находить и решать практически любую задачу из стандартного курса тригонометрии. Сразу отметим, что ниже приведены лишь все тригонометрические формулы, а не их вывод, которому будут посвящены отдельные статьи.
Основные тождества тригонометрии
Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую (посредством преобразования).
sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α · c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α
Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg) и их свойств.
Основные формулы приведения в тригонометрии
Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов, то есть, преобразовывать их.
sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin — α + 2 π z = — sin α , cos — α + 2 π z = cos α t g — α + 2 π z = — t g α , c t g — α + 2 π z = — c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = — sin α t g π 2 + α + 2 π z = — c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = — t g α sin π 2 — α + 2 π z = cos α , cos π 2 — α + 2 π z = sin α t g π 2 — α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 — α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = — sin α , cos π + α + 2 π z = — cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π — α + 2 π z = sin α , cos π — α + 2 π z = — cos α t g π — α + 2 π z = — t g α , c t g π — α + 2 π z = — c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = — cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = — c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = — t g α sin 3 π 2 — α + 2 π z = — cos α , cos 3 π 2 — α + 2 π z = — sin α t g 3 π 2 — α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 — α + 2 π z = t g α
Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.
Все формулы сложения в тригонометрии
Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.
Тригонометрические формулы сложения
sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β — sin α · sin β cos α — β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α · t g β c t g α ± β = — 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла.
Формулы кратного угла: двойного, тройного и т.д.
sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α , cos 2 α = 1 — 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α — 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 — t g 2 α с t g 2 α = с t g 2 α — 1 2 · с t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α — sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α — 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α — 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = — 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α — t g 3 α 1 — 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α — 3 c t g α 3 c t g 2 α — 1
Формулы половинного угла
Формулы половинного угла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают соотношения между основными функциями половинного угла и косинусом целого угла.
Формулы половинного угла
sin 2 α 2 = 1 — cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 — cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 — cos α
Формулы понижения степени
sin 2 α = 1 — cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α — sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 — 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8
Часто при расчетах действовать с громоздкими степенями неудобно. Формулы понижения степени позволяют понизить степень тригонометрической функции со сколь угодно большой до первой. Приведем их общий вид:
Общий вид формул понижения степени
для четных n решение
sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 ∑ k = 0 n 2 — 1 ( — 1 ) n 2 — k · C k n · cos ( ( n — 2 k ) α ) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 ∑ k = 0 n 2 — 1 C k n · cos ( ( n — 2 k ) α )
sin n α = 1 2 n — 1 ∑ k = 0 n — 1 2 ( — 1 ) n — 1 2 — k · C k n · sin ( ( n — 2 k ) α ) cos n α = 1 2 n — 1 ∑ k = 0 n — 1 2 C k n · cos ( ( n — 2 k ) α )
Сумма и разность тригонометрических функций
Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Разложение на множители разностей синусов и косинусов очень удобно для применения при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.
Сумма и разность тригонометрических функций
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 · cos α — β 2 sin α — sin β = 2 sin α — β 2 · cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 · cos α — β 2 cos α — cos β = — 2 sin α + β 2 · sin α — β 2 , cos α — cos β = 2 sin α + β 2 · sin β — α 2
Произведение тригонометрических функций
Если формулы суммы и разности функций позволяют перейти к их произведению или умножению, то формулы произведения (здесь нужно умножать) тригонометрических функций осуществляют обратный переход — от произведения к сумме. Рассматриваются формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.
Формулы произведения тригонометрических функций
sin α · sin β = 1 2 · ( cos ( α — β ) — cos ( α + β ) ) cos α · cos β = 1 2 · ( cos ( α — β ) + cos ( α + β ) ) sin α · cos β = 1 2 · ( sin ( α — β ) + sin ( α + β ) )
Универсальная тригонометрическая подстановка
Все основные тригонометрические функции — тангенс, котангенс, синус, косинус — могут быть выражены через тангенс половинного угла.
Универсальная тригонометрическая подстановка
sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 — t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 — t g 2 α 2 c t g α = 1 — t g 2 α 2 2 t g α 2
Тригонометрические уравнения и преобразования
Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.
Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.
$1$ радиан $=<180>/<π>≈57$ градусов
$1$ градус $=<π>/<180>$ радиан
Значения тригонометрических функций некоторых углов
| $α$ | $ 0$ | $<π>/<6>$ | $<π>/<4>$ | $<π>/<3>$ | $<π>/<2>$ | $π$ |
| $sinα$ | $ 0$ | $ <1>/<2>$ | $ <√2>/<2>$ | $ <√3>/<2>$ | $ 1$ | $ 0$ |
| $cosα$ | $ 1$ | $ <√3>/<2>$ | $ <√2>/<2>$ | $ <1>/<2>$ | $ 0$ | $ -1$ |
| $tgα$ | $ 0$ | $ <√3>/<3>$ | $ 1$ | $ √3$ | $ -$ | $ 0$ |
| $ctgα$ | $ -$ | $ √3$ | $ 1$ | $ <√3>/<3>$ | $ 0$ | $ -$ |
Периоды повтора значений тригонометрических функций
Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$
Знаки тригонометрических функций по четвертям
Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.
Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить, что:
- если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется; (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ ($<π>/<2>$ и $<3π>/<2>$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
- чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.
Преобразовать $сos(90° + α)$. Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол $90$, поэтому $cos$ измениться на $sin$.
Чтобы определить знак перед $sinα$, предположим, что угол $α$ острый, тогда угол $90° + α$ должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому, перед $sinα$ нужен знак $-$.
$сos(90° + α)= — sinα$ — это конечный результат преобразования
Четность тригонометрических функций
Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$
Синус, тангенс и котангенс нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$
Тригонометрические тождества
- $tgα=
/ $ - $ctgα=
/ $ - $sin^2α+cos^2α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)
Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса
- $tgα·ctgα=1$
- $1+tg^2α=<1>/
- $1+ctg^2α=<1>/
Вычислить $sin t$, если $cos t = <5>/ <13>; t ∈(<3π>/<2>;2π)$
Найдем $sin t$ через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как $t ∈(<3π>/<2>;2π)$ -это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус
Как выразить икс из синуса
сos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – 2 sin 2 x = 2 cos 2 x – 1;
sin 2x = 2 sin x cos x;
tg 2x = 2 tg x/1 – tg x;
ctg 2x = (ctg 2 x – 1)/2 ctg x;
sin 3x = 3 sin x – 4 sin 3 x;
cos 3x = 4 cos 3 x – 3 cos x;
tg 3x = (2 tg x – tg 3 x)/(1 – 3 tg 2 x);
sin 2 x/2 = (1 – cos x)/2; сos 2 x/2 = (1 + cos x)/2;
tg 2 x = (1 – cos x)/(1 + cos x);
ctg 2 x = (1 + cos x)/(1 – cos x);
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b;
sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b;
cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b;
cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b;
tg (a + b) = ( tg a + tg b)/(1 – tg a tg b);
tg (a – b) = ( tg a – tg b)/(1 + tg a tg b);
sin a = 2 tg (a/2)/(1 + (tg 2 (a/2));
cos a = (1 – tg 2 (a/2))/(1 + (tg 2 (a/2));
tg a = 2 tg a/2/(1 – tg 2 (a/2));
sin x + sin 2x + sin 3x +…+ sin mx = (cos (x/2) -cos (2m + 1)x)/(2 sin (x/2));
cos x + cos 2x + cos 3x +…+ cos mx = (sin (2m+ 1)x/2 – sin (x/2))/(2 sin (x/2));
sin a + sin b = 2 sin(a + b)/2 cos (a – b)/2;
sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;
cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;
cos a – cos b = -2 sin(a + b)/2 sin (b – a)/2;
tg a + tg b = sin (a + b)/(cos a cos b);
tg a – tg b = sin (a – b)/(cos a cos b).
2 cos 3/2х cos х/2 + 2 cos 7/2х cos х/2 = 0,
- cos х/2 = 0, х/2 = /2 + k, k€z, х = + 2k, k€z;
- cos 5/2х = 0, 5/2х = /2 + k, k€z, х = /5 + 2/5k, k€z;
- cos х = 0, х = /2 + k, k€z.
sin a + sin b = 2 sin (a + b)/2 cos (a – b)/2;
sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;
cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;
cos a – cos b = -2 sin (a + b)/2 sin (b – a)/2.
sin 8 х – cos 5 х sin 2 х + cos 2 х = 1.
sin 8 х = sin 2 х, cos 5 х = cos 2 х,
1/4 D = 4 (cos 4 3х – cos 2 3х).
1-1/2 sin 2 2х = 7/4 sin 2х.
сos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – 2 sin 2 x = 2 cos 2 x – 1;
2 cos x = – 2 (1/2 cos 2х + 3/2 sin 2х),
2 cos x = – 2 (cos а cos 2х + sin а sin 2х),
cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b;
Для синуса:
Для косинуса:
Для тангенса и котангенса:
Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:
- с помощью тригонометрических формул преобразовать его до простейшего;
- решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
`sin x — 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Решение уравнения sinx=a
учебно-методический материал
Решение уравнений sin 
=a. Арксинус.
Синусом угла 
называется ордината (то есть координата по оси ОУ ) точки на единичной окружности, соответствующей повороту на данный угол .
1. Решим уравнение 
Этому уравнению удовлетворяют все такие значения угла поворота 
, которые соответствуют точкам окружности, ордината которых равна 
Отметим на оси ординат точку с ординатой 
Проведем горизонтальную линию параллельно оси абсцисс до пересечения с окружностью. Мы получим две точки, лежащие на окружности и имеющие ординату .Эти точки соответствуют углам поворота на 
и 
радиан:
Если мы, выйдя из точки, соответствующей углу поворота на радиан, обойдем полный круг, то мы придем в точку, соответствующую углу поворота на 
радиан и имеющую ту же ординату. То есть это угол поворота также удовлетворяет нашему уравнению. Мы можем делать сколько угодно «холостых» оборотов, возвращаясь в ту же точку, и все эти значения углов будут удовлетворять нашему уравнению. Число «холостых» оборотов обозначим буквой k (или n). Так как мы можем совершать эти обороты как в положительном, так и в отрицательном направлении, k (или n ) могут принимать любые целые значения, записывается это так k 
— множество целых чисел.
+ 2 
— множество целых чисел (1)
+ 2 — множество целых чисел (2)
Как вы догадались, в основе этой серии решений лежит точка окружности, соответствующая углу поворота на 
.
х =( 
+ 
/
х = 
2. 
х = 
+ 2 
3. 
х = — +2 
, где n 
x = 
arcsina + πk , k ∈ Z
Если | a |≤1 , то arcsina (арксинус a ) — это такое число из отрезка [ 
] , синус которого равен a .
аrcsina = x ⇒ sinx = a , где | a |≤1, x ∈ [ − 
] .
Найти arcsiт
Выражение arcsiт
Точка , находящаяся на оси y , соответствует точке на числовой окружности.
Значит, arcsin =
Если sin = , то arcsin 
=
Например: arcsin (- 
) = — arcsin 
= — 
x = arcsina + πk , k ∈ Z
х =
х = + 2
х = — +2 , где n
Формулы: arcsin(sin 
Это частный случай. Если синус равен 1, то угол равен + 2 
2х = + 2 
х = + 
Ответ: х = +
2. 2sin 
— 
= 0
2 sin =
sin 
= arcsin 
+ πk , k ∈ Z
= 
+ πk , k ∈ Z,
х = 
πk , k ∈ Z,
Ответ: х = 
πk , k ∈ Z,
3. sin(x- 
) = 0.
Это частный случай. Синус равен нулю, если угол равен
В нашем случае угол равен x- 
x- =
х = + . Ответ: х = + .
2х = 
+ πk , k ∈ Z,
2х = 
0,3 + πk , k ∈ Z
х= 
, k ∈ Z
Ответ: , k ∈ Z
5. sin4xcos2x = cos4xsin2x
sin4xcos2x – cos4xsin2x = 0,
2x = 
х = 
, 
Ответ: х = ,
Тригонометрические уравнения
Тригонометрия – одна из самых важных тем на ЕГЭ по профильной математике. Она может встретиться в №1 (простейшие уравнения), №4 (преобразование выражений, в том числе тригонометрических), знание свойств тригонометрических функций может пригодится в №9, №11 (производные) и в задании из второй части №12 (тригонометрические уравнения).
Как видите, потенциально хорошие знания по тригонометрии могут принести вам до 6 первичных баллов на ЕГЭ. Конечно, вряд ли тригонометрия будет сразу во всех перечисленных номерах, но без нее написать хорошо профильную математику будет сложно.
Самой сложной темой из тригонометрии являются тригонометрические уравнения. Здесь вам понадобятся все ваши умения по работе с тригонометрической окружностью, знание тригонометрических формул, умение работать с тригонометрическими выражениями и переводить градусы в радианы и наоборот. Тригонометрические уравнения почти всегда попадаются в 12-м номере ЕГЭ, а это уже вторая часть, и за это задание дают целых два первичных балла.
Что такое тригонометрические уравнения?
Итак, если в уравнении переменная \(x\) (или какое-то выражение от \(x\)) содержится внутри функций синуса, косинуса, тангенса или котангенса, то такое уравнение называется тригонометрическим. Например: $$3\sin(2x)-2\cos(x)^2=0;$$ Но будьте внимательными, если уравнения имеет вид: $$\cos(x)+2x=3;$$ То такое уравнение уже будет называться смешанным, так как в нем есть и тригонометрическая функция \((\cos(x))\), и линейная \((2x)\). Такое уравнение уже значительно сложнее, и в ЕГЭ они если и встречаются, то очень редко. Здесь смешанные уравнения мы рассматривать не будем.
Но начинать изучение мы будем с простейших тригонометрических уравнений. Это фундамент, на котором строится все остальное. Простейшие уравнения имеют такой вид: $$\sin(f(x))=a;$$ $$\cos(f(x))=a;$$ $$tg(f(x))=a;$$ $$ctg(f(x))=a;$$ где \(a\) — некоторое число, а \(f(x)\) – некоторое выражение, зависящее от \(x\);
Примеры простейших тригонометрических уравнений: $$\sin(x)=\frac<1><2>;$$ $$\cos(3x)=-1;$$
Как решать тригонометрические уравнения?
Существует два основных метода решения:
- При помощи единичной окружности;
- С использованием готовых формул;
Лично я сторонник решения при помощи единичной окружности. С использованием формул решать, на мой взгляд, не очень удобно, потому что нужно их учить и теряется, как и при любой зубрежке, элемент понимания того, что ты делаешь. Но мы разберем оба способа.
Решение тригонометрического уравнения с синусом на окружности
Здесь необходимо идеальное знание тригонометрической окружности. Если его нет (а без нее в тригонометрии, в любом случае, делать нечего), то рекомендую почитать про нее по ссылке, либо же переходите сразу к методу решения через формулы.
Будем учиться на примере простейшего тригонометрического уравнения:
Пример 1 $$\sin(x)=\frac<1><2>;$$ Что такое решить уравнение? Значит найти такие значения углов \(x\), синус от которых будет равен \(\frac<1><2>\). Чтобы найти эти самые углы, нарисуем тригонометрическую окружность. (Рис.1)
На оси синусов (вертикальная ось) отметим значение \(\frac<1><2>\), обозначим эту точку за \(K\). Для того, чтобы понять, какие углы соответствуют этому значению, необходимо провести перпендикуляр (прямая \(a\)) к оси синусов через точку \(K\). Этот перпендикуляр пересечет нашу единичную окружность в двух точках \(M\) и \(N\). Эти точки как раз и будут соответствовать углам, синус от которых будет равен \(\frac<1><2>\). На рисунке 1 эти углы отмечены как \(\angle
А чтобы найти эти самые углы, мы воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций. Видим, что синус равен \(\frac<1><2>\) от угла в \(30^o\) или, если в радианах,\(\frac<\pi><6>\).
Но в таблице дан только один угол, синус от которого \(\frac<1><2>\). И этот угол, если вспомнить, что все положительные углы на единичной окружности отсчитываются от отрезка \(OA\) против часовой стрелки, судя по всему, соответствует углу \(\angle
И тут нам опять поможет единичная окружность. Посмотрите на рисунок 1: он абсолютно симметричен относительно оси синусов, его можно сложить, как открытку, и правая часть окружности полностью совпадет с левой. Это значит, что углы \(\angle
Итак, из равенства \(\angle
Мы нашли значения обоих углов. Получается, что теперь можем записать значения искомого в уравнении \(x\): $$x_<1>=30^o=\frac<\pi><6>;$$ $$x_<2>=150^o=\frac<5\pi><6>;$$ Но, к сожалению, ответ пока записывать рано. Потому что есть еще один очень важный момент!
Если вы внимательно изучали предыдущие темы по тригонометрии, то должны знать, что если прибавить к углам \(\angle
Кроме того, я могу прибавить не один оборот, а хоть миллион оборотов, и опять попаду в те же самые точки \(M\) и \(N\), соответствующие синусу \(\frac<1><2>\). А углы еще бывают отрицательные, и еще можно вычитать полные обороты и опять попадать в эти точки.
Другими словами, у функции синуса есть период, равный (\(360^o=2\pi\)), то есть каждый полный оборот значение синуса будет повторяться.
Для нас это все означает, что существует БЕСКОНЕЧНОЕ количество углов, синус от которых будет \(\frac<1><2>\) c периодом \(360^o=2\pi\)).
И вот теперь мы можем записать ответ. Он записывается в виде правила, которое описывает это бесконечное количество решений нашего уравнения (правил у нас будет два, каждое соответствует точкам \(M\) и \(N\)). И запишу я ответ в радианах, так как в градусах его никто не пишет: $$x_<1>=\frac<\pi><6>+2\pi*n, \quad n \in Z;$$ $$x_<2>=\frac<5\pi><6>+2\pi*n, \quad n \in Z;$$
Обратите внимание, что к нашим первоначальным корням \(x_<1>=30^o=\frac<\pi><6>\) и \(x_<2>=150^o=\frac<5\pi><6>\) теперь прибавляется слагаемое \(2\pi*n\), где \(n\) — это некоторое целое число. Подставляя вместо \(n\) различные целые числа, вы будете получать углы, удовлетворяющие нашему уравнению. Например, при \(n=3\) получим корни: $$x_<1>=\frac<\pi><6>+2\pi*3=\frac<\pi><6>+6\pi=\frac<37\pi><6>;$$ $$x_<2>=\frac<5\pi><6>+2\pi*3=\frac<5\pi><6>+6\pi=\frac<41\pi><6>;$$ А при \(n=-2\) корни: $$x_<1>=\frac<\pi><6>+2\pi*(-2)=\frac<\pi><6>-4\pi=-\frac<23\pi><6>;$$ $$x_<2>=\frac<5\pi><6>+2\pi*(-2)=\frac<5\pi><6>-4\pi=-\frac<19\pi><6>;$$ И так можно подставлять абсолютно любые \(n\) и получать корни.
Таким образом, тригонометрические уравнения обычно имеют бесконечное количество решений, которые записываются в виде некоторых правил, как в нашем примере. Запомните это, почему-то немногие это понимают.
Ответ: $$x_<1>=\frac<\pi><6>+2\pi*n, \quad n \in Z;$$ $$x_<2>=\frac<5\pi><6>+2\pi*n, \quad n \in Z.$$
Пример 2 $$\sin(x)=-\frac<\sqrt<2>><2>;$$ Этот пример так подробно, как предыдущий, разбирать не будем, а только распишем алгоритм решения: