Как возводить матрицы в степень

Онлайн калькулятор. Возведение матрицы в степень

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто возвести матрицу в степень.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для возведения матрицы в степень, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения таких задач, а также закрепить пройденный материал.

Возвести матрицу в степень

Ввод данных в калькулятор для возведения матрицы в степень

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для возведения матрицы в степень

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши , , и на клавиатуре.

Теория. Возведение матрицы в степень

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Возведение матрицы в степень

Другими словами, для того, чтобы выполнить возведение матрицы в степень $ n $ нужно умножить её саму на себя $ n $ раз.

При возведении в степень матрицу удобно применять свойство: $$ A^ = A^n \cdot A^m $$

a) Возведем сначала в степень $ n = 2 $. По формуле умножаем матрицу саму на себя $ n = 2 $ раза:

Выполняем умножение двух матриц обычным способом:

b) Возвести в степень $ n = 4 $ можно аналогично перемножив матрицу $ A $ саму на себя 4 раза. Но это делать не удобно, потому что необходимо выполнить 4 операции умножения. Чтобы облегчить эту задачу используем свойство степени и того останется всего 1 операция умножения. А именно $ A^4 = A^2 \cdot A^2 $

Зная чему равна матрица $ A^2 $ из предыдущего пункта имеем:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Как возвести матрицу в степень?

Иногда может возникнуть необходимость выполнить возведение матрицы в степень. В этой статье мы рассмотрим, каким образом и в каком порядке выполняется данная операция.

Если говорить простыми словами, то вся суть возведения матрицы в степень n заключается в том, чтобы умножить матрицу на саму себя, сделав это n-е число раз. Однако существует ряд условий:

— правило справедливо лишь для квадратных матриц, которые имеют одинаковое (равное) число строк и столбцов;

— показатель степени должен быть натуральным (2, 3, 4, 5, 6, 7…).

Квадрат матрицы

Для примера давайте возведем матрицу в квадрат (то есть во вторую степень). Представим, что у нас есть квадратная матрица А 2 . Как уже было сказано выше, для получения нужного результата ее нужно умножить на саму себя:

В каком порядке и как нужно выполнять расчет, чтобы возвести А в квадрат?

Представьте, что строки 1-й матрицы представляют собой столики в кафетерии. Тогда столбцы 2-й матрицы (ниже обозначены разными цветами) — это официанты. Поначалу «столики обслуживают» официанты из красного столбца, потом зеленого, потом синего. Таким образом происходит последовательный перебор столбцов слева направо. Вот такой вот мысленный прием.

Решение:

Напоследок скажем, что сегодня существует множество онлайн-калькуляторов, позволяющих выполнять широкий спектр математических матричных операций:

— возведение матриц в степень;

— умножение на число;

— сложение и вычитание;

— нахождение обратной матрицы;

— нахождение ранга и определителя.

На этом все, очень надеемся, что у вас больше не будет возникать вопросов о том, как и в каком порядке возводить матрицу в степень.

1.5. Возведение матриц в степень. Нильпотентные матрицы. След матрицы

В начале этого раздела рассмотрим различные способы возведения матрицы в степень.

Первый способ основан на представлении матрицы А в виде , где J – жорданова форма А, и на использовании формулы и формулы для из упражнения 5 предыдущего раздела.

Упражнение 1. Вычислить , где .

Решение. Найдем собственные значения матрицы А, т.е. решения уравнения .

.

Отсюда . По теореме Жордана найдется матрица Т такая, что выполнено равенство , или, что то же самое, . Определим матрицу Т. Пусть . Тогда матричное уравнение

приводит к системе

одним из решений которой будет

Отсюда и

.

Второй способ. Индуктивный метод вычисления . Этот метод основан на вычислении нескольких первых степеней матрицы А, установлении закономерностей изменения элементов и строгом доказательстве методом математической индукции.

Упражнение 2. Вычислить , где .

Решение. Для начала вычислим

Заметим, что элементы главной диагонали равны 1. Элементы над главной диагональю совпадают со степенью матрицы А, а для элемента матрицы при m = 2, 3, 4 выполнено равенство

.

Теперь мы можем сделать индуктивное предположение

Что и требовалось доказать. Это означает, что

Третий способ основан на применении матричного аналога формулы бинома Ньютона.

Теорема 1. Если матрицы А и В перестановочны (то есть выполнено равенство АВ = ВА), то

Если матрица B в условии теоремы 1 нильпотентна (то есть для не-которого ), то для всех верна формула

Фактически мы уже пользовались этим результатом при нахождении степеней жордановой клетки при решении упражнения 5.

Применим формулу бинома Ньютона для решения упражнения 2 раздела 1.5. Запишем А в виде суммы перестановочных матриц:

Таким образом, для получаем

где согласно формуле суммы m первых членов арифметической прогрессии 1, 2, 3, … .

Для m = 2 матрица вычисляется непосредственно.

Замечание. Отметим, что использование первого способа не всегда оправдано для матриц больших размерностей, так как для вычисления элементов матрицы T уже при n = 4 требуется решать систему из 16 уравнений. С другой стороны, применение второго и третьего способов затруднительно для вычисления степеней простейших матриц второго порядка типа (предлагаем читателям проверить это самостоятельно).

Определение 1. Следом квадратной матрицы А назы-вается сумма элементов главной диагонали и обозначается .

Лемма.. Пусть А и В – квадратные матрицы порядка n. Тогда выполнено равенство .

Доказательство. Используем метод математической индукции.

1. Для n = 2 утверждение проверяется непосредственно.

2. Предположим, что утверждение верно для некоторого .

3. Покажем, что оно верно для .

.

Обозначим строки и столбцы матриц и следующим образом:

Заметим, что и

– матрицы порядка n – 1 и

В силу индуктивного предположения 2 Отсюда следует равенство .

Упражнение 3. Пусть А – матрица размерности , причем . Вычислить , где .

Решение. Пусть – жорданова форма матрицы А и – ее собственные значения, тогда

Так как – верхняя треугольная матрица и на ее главной диагонали стоят элементы то

Значит, согласно задаче 14 (см. задачи для самостоятельного решения ниже) ,

Итак, .