Введение в задачи с параметром: решение уравнений с параметром
Мы привыкли, что в уравнении коэффициенты не меняются. Но возможно ли из одного уравнения составить бесконечное множество различных его вариантов? Узнаем об этом в статье.
Что такое параметр
Утром на термометре было некоторое количество градусов, которое мы обозначим за х. В обед температура воздуха изменилась в несколько раз. Во сколько раз должна была измениться температура воздуха, чтобы на термометре было 20 градусов?
Такие задачи достаточно легко решаются. Если бы изначально было пять градусов, то искомое число было бы равно \(\frac<20> <5>= 4\). А если было 10 градусов, то искомое число было бы равно \(\frac<20> <10>= 2\).
Но не все так просто. Мы не знаем, какой изначально была температура. Также мы не знаем, во сколько раз она изменилась. То есть мы получили уравнение с двумя неизвестными переменными.
Обозначим вторую переменную a, у нас получится уравнение вида ax=20. Только что введенная нами переменная “a” называется параметр.
Параметр — это условная буква, вместо которой можно подставить число.
То есть параметр — это еще одна переменная, которая может принять несколько значений.
Как решать уравнения с параметром, если у нас целых две (а то и больше) неизвестных переменных? Нужен иной подход, чем при решении обычного уравнения.
Решить уравнение с параметром — это найти такие числовые значения параметра, при которых условие выполняется.
Мы ищем не единственное значение параметра, а все возможные его значения для заданного условия.
Линейные уравнения с параметром
Вернемся к нашей погоде. У нас получилось уравнение ax = 20. Как найти, сколько градусов было изначально? Разделить все уравнение на число a.
Какие значения может принимать параметр? Любые. Например, при a = 1 x = 20.
При a = 2 x = 10.
При a = 40 x = 0,5
Что, если a=0? Мы получаем уравнение \(x = \frac<20><0>\), у которого нет решения, поскольку на 0 делить нельзя.
Если мы не будем преобразовывать изначальное уравнение, то получится 0*x=20, то есть уравнение не будет выполняться: какое бы число мы ни умножили на 0, получится 0.
Получается, решение есть при любых значениях a, кроме 0. Таким образом, мы и нашли ответ: при a = 0 решений нет, при a \(\neq\) 0 — x = 20a.
Добавим немного теории. Представим наше уравнение в виде ax = b, где a, b — действительные числа. Рассмотрим несколько случаев.
Предположим, Пете необходимо в несколько раз увеличить скорость х, пробежать дистанцию и поставить рекорд. Чтобы поставить рекорд, он должен бежать со скоростью 15 км/ч — это и будет коэффициент b.
Получаем уравнение ax = 15. Как найти начальную скорость Пети? \(x = \frac<15>\).
Такое уравнение мы уже решали выше. Получаем два случая:
- Если a = 0 — решений нет.
- Если a \(\neq\) 0, то изначальная скорость Пети была равна \(x = \frac<15>\).
Мы получаем уравнение ax = 0. Также разберем два случая значений параметра:
- a = 0. Мы получаем уравнение 0 * x = 0. Какое значение х нужно подставить, чтобы уравнение выполнялось?
Какое бы число мы ни умножили на 0, получим 0. Получаем бесконечное множество решений.
- a \(\neq\) 0. Здесь получается, что равен 0 уже х: \(x = \frac<0>= 0\).
Подведем итог. Как можно решить уравнение вида ax = b?
- Если a = 0, b = 0 — бесконечное множество решений.
- Если a = 0, b \(\neq\) 0 — решений нет.
- Если a \(\neq\) 0, b \(\neq\) 0 — решением будет \(x = \frac\).
Квадратные уравнения с параметром
Прежде чем приступать к изучению следующего материала, рекомендуем ознакомиться с понятием квадратного уравнения в статье «Линейные, квадратные и кубические уравнения». Также важно ориентироваться в графиках параболы из статьи «Основные элементарные функции».
Квадратное уравнение имеет вид ax 2 + bx + c = 0, а графиком функции y = ax 2 + bx + c будет парабола.
Как работать с такими уравнениями, если в них присутствует параметр? В первую очередь, важны рассуждения. Любое задание с параметром можно решить, проанализировав функцию.
Решение квадратного уравнения опирается на понятие дискриминанта. В зависимости от его значений может получиться разное количество корней:
- При D > 0 уравнение имеет два корня.
- При D = 0 уравнение имеет один корень.
- При D < 0 уравнение не имеет корней.
Как это проверить на графике? Корни уравнения — это точки, в которых парабола пересекает ось абсцисс, то есть ось х.
Рассмотрим три уравнения.
1) x 2 — x — 2 = 0
Решим уравнение с помощью дискриминанта.
D = 1 2 — 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9
Поскольку дискриминант больше 0, то уравнение имеет два корня.
Проверим с помощью графика функции. Построим параболу и заметим, что она действительно дважды пересекает ось абсцисс, а координаты этих точек равны (−1; 0) и (2; 0) .
2) x 2 -4x + 4 = 0
Решим уравнение с помощью дискриминанта.
D = 16 — 4 * 1 * 4 = 16 — 16 = 0
Поскольку дискриминант равен 0, у уравнения всего один корень.
Проверим на графике. И действительно, парабола касается оси х только один раз в вершине, координаты которой (2; 0).
3) x 2 — 5x + 7 = 0
Решим уравнение с помощью дискриминанта.
D = 25 — 4 * 1 * 7 = 25 — 28 = -3
Поскольку дискриминант отрицательный, у уравнения нет корней. И это отлично видно, если посмотреть на график функции: парабола лежит выше оси х и никогда ее не пересечет.
Где можно применить эти знания, решая параметры?
Пример 1. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение x 2 + (3a + 11)x + 18,25 + a = 0 имеет два различных решения.
Решение. Перед нами квадратное уравнение с коэффициентами b = 3a + 11, c = a + 18,25. В каких случаях это уравнение будет иметь два различных корня?
Квадратное уравнение имеет два корня, если D > 0. Нужно найти все значения параметра, при которых дискриминант будет положительным.
1. Для начала найдем сам дискриминант.
D = (3a + 11) 2 — 4 * 1 * (a + 18,25) = 9a 2 + 66a + 121 — 4a — 73 = 9a 2 + 62a + 48
2. Поскольку дискриминант должен быть больше 0, то получаем неравенство 9a 2 + 62a + 48 > 0
4. Дискриминант будет положительным при \(a \in (-\infty; -6) \cup (-\frac<8><9>; +\infty)\). Это и будет ответ.
Ответ: \(a \in (-\infty; -6) \cup (-\frac<8><9>; +\infty)\).
Важно: в уравнении мы указываем не сами решения уравнения, а значения параметра, при которых уравнение имеет два решения.
Пример 2. При каких значениях параметра a уравнение (2a + 1)x 2 — ax + 3a + 1 = 0 имеет два различных решения?
Решение. Этот пример похож на предыдущий, однако здесь есть одна важная особенность. Что произойдет с уравнением, если 2a+1 = 0?
Мы получим уравнение 0,5x — 0,5 = 0, то есть линейное уравнение. У уравнения будет всего одно решение, что уже не подходит под условие задачи.
1. Поскольку по условию должно быть 2 решения, мы получаем, что a \(\neq\) -0,5.
2. Найдем дискриминант уравнения. Он должен быть строго больше 0, чтобы у уравнения было два решения.
D = a 2 — 4 * (2a + 1) * (3a + 1) = a 2 — 24a 2 — 20a -4 = -23a 2 — 20a — 4
3. Составим неравенство и решим его:
4. Разложим уравнение на множители:
5. Получаем неравенство:
6.Тогда \(a \in (\frac <-2\sqrt<2>— 10><23>; \frac <2\sqrt<2>— 10><23>)\). Вспомним, что a \(\neq\) -0,5, следовательно, мы получаем ответ \(a \in (\frac <-2\sqrt<2>— 10><23>; -0,5) \cup (-0,5; \frac <2\sqrt<2>— 10><23>)\).
Теорема Виета
Дискриминант — не единственный способ решить квадратное уравнение. Обратимся к теореме Виета. Если нам дано уравнение ax 2 + bx + c = 0, то его корни можно найти с помощью следующей системы:
Теорему Виета удобно использовать, если на корни уравнения наложены дополнительные ограничения.
Пример 3. При каких значениях параметра a корни уравнения x 2 — 3ax — a(a — 1) = 0 удовлетворяют условию x1 = 5x2.
Решение. 1. Корни уравнения — это два различных числа. Значит, дискриминант должен быть строго больше 0:
D = 9a 2 — 4 * 1 * (-a 2 + a) = 9a 2 + 4a 2 — 4a = 13a 2 — 4a = a(13a — 4)
Получаем неравенство a(13a — 4) > 0, следовательно, \(a \in (-\infty; 0) \cup (\frac<4><13>; +\infty)\).
2. По теореме Виета найдем корни уравнения:
5. Мы нашли значения параметра, при которых выполняется условие. Осталось проверить, чтобы при этих значениях у уравнения было два корня.
a = 0 не подходит, поскольку ограничение \(a \in (-\infty; 0) \cup (\frac<4><13>; +\infty)\) не включает точку 0.
\(a = \frac<4><9>\) подходит, поскольку \(\frac<4> <9>> \frac<4><13>\).
Ответ: \(a = \frac<4><9>\)
Условия на корни квадратного трехчлена
Однако могут встретиться еще более сложные задания с параметрами. Рассмотрим каждый из этих случаев.
1. Корни квадратного трехчлена меньше, чем число N.
Построим параболу. Вспомним, что ветви параболы могут быть направлены или вверх, или вниз.
Если ветви параболы направлены вверх. Отметим на оси х точку N так, чтобы она лежала правее обоих корней уравнения. Так мы зададим условие, что корни уравнения меньше, чем число N.
Представим, что мы идем по холмистой местности, и у нас есть ее карта. Имея перед собой плоскую картинку, мы понимаем, как относительно друг друга располагаются точки в пространстве. Но посмотрев на рельеф сбоку, заметим, что точки имеют разную высоту.
Пусть в точках, где парабола пересекает ось х, будут привалы на экскурсионном маршруте, а в точке N будет смотровая площадка.
Что можно сказать про смотровую площадку на этой карте? Она находится выше, чем привалы, и лежит правее, чем самая низкая точка рельефа.
Рассмотрим эти условия на графике. В точке N значение функции f(x) больше, чем в корнях уравнения. Более того, она лежит правее, чем вершина параболы, то есть ее абсцисса больше абсциссы параболы.
Почему эти условия так важны? Пусть точка N будет лежать левее вершины параболы. Тогда не выполняется условие, что корни меньше, чем N.
В этом случае на нашем экскурсионном маршруте смотровая площадка будет лежать до привалов.
А если значение функции в точке N будет меньше, чем в корнях уравнения? Точка N будет лежать между ними.
В этом случае смотровая площадка окажется между привалами.
Аналогичным способом можно проследить изменение условий при любом положении точки N на графике.
Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена ax 2 + bx + c были меньше, чем число N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
Что произойдет, если ветви параболы будут направлены вниз? Наш экскурсионный маршрут немного поменяется: появится гора, а не овраг.
Где теперь располагается смотровая площадка? Она будет ниже, чем привалы, и дальше, чем самая высокая точка горы.
Мы можем сделать вывод, что точка N на графике будет лежать правее вершины параболы, а значение функции в ней будет меньше, чем значение функции в корнях уравнения.
Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена ax 2 + bx + c были меньше, чем число N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
2. Корни квадратного трехчлена больше, чем число N.
Рассуждаем так же, как и в предыдущей функции, однако теперь точка N перемещается левее параболы.
Если ветви параболы направлены вверх, то функция в точке N принимает большее значение, чем в корнях уравнения, а сама точка N будет лежать левее параболы.
Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена ax 2 + bx + c были больше, чем число N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
Теперь направим ветви параболы вниз. Значение функции в точке N будет меньше, чем в корнях уравнения.
Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена ax 2 + bx + c были больше, чем число N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
С помощью анализа расположения точек на графике функций можно задать условия для любой ситуации, даже если точек будет несколько.
Достаточно начертить примерный график функции и расставить на оси х нужные точки. Чтобы составить систему, необходимо:
В итоге должна получиться система, с помощью которой можно решить задачу.
Фактчек
- Параметр — это буква a, вместо которой можно подставить число. Решить уравнение с параметром — это найти такие числовые значения параметра, при которых условие выполняется.
- При решении линейного уравнения ax=b в зависимости от значения коэффициентов может получиться несколько вариантов решений. Если a = 0, b = 0 — бесконечное множество решений. Если a = 0, b \(\neq\) 0 — решений нет. Если a \(\neq\) 0, b \(\neq\) 0 — решением будет \(x = \frac\).
- При решении квадратного уравнения обязательно проверять коэффициент перед x 2 . Если коэффициент будет равен 0, то уравнение станет линейным.
- При решении квадратного уравнения важно учитывать значение дискриминанта: если он строго больше 0, то корней у уравнения два, если дискриминант равен 0, то у уравнения один корень, если дискриминант меньше 0, то у уравнения нет корней.
- Решить квадратное уравнение можно и с помощью теоремы Виета.
- Если в задаче даны дополнительные условия на корни уравнения (например, они должны быть больше или меньше определенного числа), то задать их можно с помощью системы. Неравенства в системе можно составить с помощью анализа примерного графика функций.
Проверь себя
Задание 1.
Что такое параметр?
- Это буква a, вместо которой можно подставить число.
- Это коэффициент перед x 2 в квадратном уравнении.
- Это переменная х.
- Это значение функции в определенной точке.
Задание 2.
Дано уравнение ax = b. Сколько решений оно имеет, если a = 0 и b = 0?
- Решений нет.
- Одно решение.
- Бесконечное множество решений.
- Невозможно определить количество решений.
Задание 3.
При каких значениях дискриминанта уравнение будет иметь корни?
- D > 0
- D = 0
- D < 0
- D \(\neq\) 0
Задание 4.
Корни квадратного уравнения меньше числа А. Где будет лежать вершина параболы относительно точки А?
- Справа.
- Слева.
- Совпадать с точкой А.
- Невозможно определить расположение вершины.
Задание 5.
Меньший корень квадратного уравнения больше числа А, но меньше числа В. Ветви параболы направлены вниз. Чему будет равно значение функции в точке В?
- Значение функции в точке В будет меньше 0.
- Значение функции в точке В будет равно 0.
- Значение функции в точке В будет больше 0.
- Невозможно определить значение функции.
Ответы: 1. — 1 2. — 3 3. — 4 4. — 2 5. — 3.
Уравнения с параметром — алгоритмы и примеры решения
Уравнением является любое математическое тождество или физический закон, в котором присутствуют неизвестные величины. Последние необходимо находить. Этот процесс называется поиском корней. Однако не во всех случаях у равенства с переменными бывают решения, а это также нужно доказать.
Корень — величина или диапазон, превращающие искомое выражение в верное равенство. Например, в 5s=10 переменная эквивалентна 2, поскольку только это значение позволяет получить верное тождество, то есть 5*2=10.
Примером диапазона или интервала решений является выражение следующего вида: 0/t=0. Его корнем может быть любое действительное число, кроме нуля. Записывается решение в таком виде: t ∈ (-inf;0)U (0;+inf), где «∈» — знак принадлежности, «-inf» и «inf» — минус и плюс бесконечно большие числа соответственно.
Параметром в уравнении называется некоторая величина, от которой зависит поведение равенства на определенном интервале. Следует отметить, что он также влияет на значение корня, когда входит с ним в различные арифметические операции: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и так далее. Тождества такого типа называют также параметрическими. Далее необходимо разобрать классификацию уравнений.
Классификация уравнений
Уравнения делятся на определенные виды, от которых зависит выбор методики их решения. Они бывают следующими: алгебраическими, дифференциальными, функциональными, трансцендентными и тригонометрическими. Кроме того, все они могут содержать некоторую величину — параметр. Его часто обозначают литерой «р» или «а».
Алгебраический тип является наиболее простым, поскольку не содержит сложные элементы. Дифференциальные тождества с неизвестными — одни из самых сложных выражений с точки зрения алгоритма. Они бывают первого, второго, третьего, а также высших порядков. Для нахождения их корней необходимо знать правила дифференцирования и интегрирования.
Практически все функциональные уравнения содержат один или более параметров. Основное их отличие от остальных заключается в функции, которая задается сложным выражением. Последнее может включать несколько неизвестных и параметрических элементов. Примером такого тождества является функция Лапласа, содержащая интеграл обыкновенного типа, а также экспоненту.
К трансцендентным относятся выражения, содержащие показательную, логарифмическую и радикальную (знак корня). Последний тип — тригонометрические. Они содержат любое равенство, содержащее следующие функции: sin, cos, tg и ctg. Однако в математике встречаются также их производные: arcsin, arccos, arcctg, arctg и гиперболические тождества.
Специалисты рекомендуют освоить на начальных этапах обучения методики, позволяющие решать уравнения с параметром линейного типа. После этого можно переходить к более сложным тождествам — функциональным, трансцендентным и так далее.
Алгебраический вид
Алгебраические не содержат в своем составе сложных функций, но в них могут присутствовать компоненты со степенным показателем.
На основании последней характеристики они делятся на 5 типов:
- Линейные.
- Квадратные (квадратичные).
- Кубические.
- Биквадратные.
- Высших порядков.
Линейные — выражения с переменной, которая имеет только первую степень (равную единице). Если показатель эквивалентен двойке, то такое тождество называется квадратным. В математической интерпретации его еще называют квадратным трехчленом. Когда показатель при неизвестной эквивалентен тройке, тогда это равенство называется кубическим.
Наиболее сложными по своей структуре являются биквадратные (содержат 4 степень). Однако на этом виды линейных уравнений не заканчиваются, поскольку бывают равенства с более высокими показателями. Их называют уравнениями высших порядков. Кроме того, любые тождества могут объединяться в системы уравнений. Их особенностью являются общие решения.
Линейные и квадратичные
Линейное — это самое простое уравнение, которое имеет всего одно решение. Оно решается по следующей методике:
- Записывается искомое выражение.
- При необходимости раскрываются скобки и приводятся подобные элементы.
- Неизвестные (переменные) остаются в левой части тождества, а все константы (числа) — переносятся вправо.
- Правая часть сокращается на коэффициент при неизвестной.
- Записывается результат.
- Выполняется проверка посредством подстановки корня в исходное выражение.
Следует отметить, что линейное выражение с переменной может не иметь решений, поскольку иногда невозможно выполнить операцию сокращения. Например, 0t=85. Равенство не имеет корней, поскольку на нулевое значение делить нельзя, так как при этом получается пустое множество.
Следующим типом является уравнение квадратичной формы At 2 +Bt+C=0. Оно может иметь один или два решения. Однако бывают случаи, при которых корней нет вообще. Для получения результата вводится понятие дискриминанта «D=(-B)^2−4*А*С». Для решения следует воспользоваться следующим алгоритмом:
- Записать выражение.
- Выполнить при необходимости математические преобразования по раскрытию скобок и приведению подобных слагаемых.
- Вычислить значение D (D<0 — корней нет, D=0 — один корень, D>0 — два решения).
- При D=0 формула корня имеет такой вид: t=-В/(2А).
- Если D>0, то решения определяются по следующим соотношениям: t1=[-В-D^(½)]/(2А) и t2=[-В+D^(½)]/(2А).
- Записать результат.
- Выполнить проверку по отсеиванию ложных корней.
Следует отметить, что ложный корень — значение переменной, полученное по соответствующей формуле, но при подстановке в исходное выражение не выполняет условие равенства нулевому значению.
Кроме того, нужно обратить внимание на типы квадратных уравнений. Они бывают полными и неполными. Первые содержат все коэффициенты (А, В и С), а во вторых — некоторые из них могут отсутствовать, кроме А, так как тогда тождество должно содержать вторую степень при неизвестной.
Неполные решаются методом разложения на множители. Например, «v 2 −81=0» раскладывается следующим образом (формула сокращенного умножения — разность квадратов): (v-9)(t+9)=0. Анализируя последнее равенство, можно сделать вывод о понижении степени. Корнями уравнения являются два значения, t1=-9 и t2=9.
Кубичеcкие и биквадрaтные
Кубические и биквадратные равенства с неизвестным рекомендуется решать при помощи замены переменной. Однако в некоторых случаях можно применить формулы понижения степени или разложения на множители. Иными словами, суть решения алгебраических уравнений, степень которых превышает двойку, сводится к ее понижению различными методами.
Замена переменной производится на другую неизвестную величину. В примере (t 3 −2)+2t 3 −4=0 можно ввести следующий элемент — v=t 3 −2. В результате этого получится равенство такого вида: v+2v=0. Оно решается очень просто:
- Приводятся подобные элементы: 3v=0.
- Находится корень: v=0.
- Приравнивается к выражению, которое заменяли: t 3 −2=0.
- Находится корень (один, поскольку у радикала нечетная степень): t=[2]^(1/3).
- Проверяется условие: 2^(1/3)^3−2+2*(2^(1/3)^3)-4=4−4=0 (истина).
Биквадратные тождества решаются таким же методом. Однако существует еще один способ — разложение на множители. Его необходимо разобрать на примере решения выражения «4m 4 −324=0». Решать нужно по такому алгоритму:
- Упростить (вынести четверку за скобки и сократить на нее): 4 (m 4 −81)=m 4 −81=0.
- Разложить на множители (разность квадратов): (m 2 −9)(m 2 +9)=(m-3)(m+3)(m 2 +9)=0/
- Решить три уравнения: m1=3, m2=-3, m3=-3 и m4=3.
- Результат: m1=-3 и m2=3.
- Проверка: 4*(-3)^4−324=0 (истинно) и 4*(3)^4−324=0 (истинно).
Каждый из методов решения выбирается в зависимости от самого уравнения. При чтении условия задачи необходимо определить способ решения. Последний должен быть простым и удобным, а главное — количество шагов решения должно быть минимальным, что существенно сказывается на затраченном времени при вычислениях. Далее нужно рассмотреть подробный алгоритм решения уравнения с параметром.
Пример решения
На основании изученного материала можно приступить к практике решения уравнения с параметром, которое имеет следующий вид: 2v 4 −32−4p-(v 2 +4)+(v-2)(v+2)-v 4 +16=-4, где р — некоторый параметр. Корни и величину р необходимо искать по следующему алгоритму:
- Записать равенство с неизвестным и параметром: 2v 4 −32−4p-(v 2 +4)+(v-2)(v+2)-v 4 +16=-4.
- Выполнить математические преобразования: 2v 4 −32−4p-v 2 +4+v 2 −4-v 4 +16+4=v 4 −16+4p+4=0.
- Ввести замену v 4 −16=m: m+4p+4=0.
- Вывести формулу нахождения параметра: р=-(m/4)-1.
- Подставить величину m: р=-1-(v 4 +16)/4.
- C учетом соотношения равенство будет иметь такой вид: v 4 −16+4[-(v 4 +16−4)/4]+4=-32+8=0 (корней нет, поскольку -24<0).
- Решение без учета параметра (p=0): m+4=0 (m=-4).
- Подставить в исходное тождество замены: v 4 −12=0.
- Корни: v1=[12]^(¼) и v2=-[12]^(¼).
- Отрицательного корня v2 не существует, поскольку показатель радикала — четное число.
- Результат: v1=[12]^(¼).
- Проверка: <[12]^(¼)>^4−16+4=16−16=0 (истина).
Следует отметить, что v2 — ложный корень, а также параметр p, равный какому-либо значению, превращает уравнение в пустое множество. Для проверки можно воспользоваться специальным приложением, которое называется онлайн-калькулятором.
Таким образом, уравнения с параметром являются наиболее сложными, поскольку необходимо искать их корни, а также некоторое значение, влияющее на логику выражения. Для их решения необходимо следовать специальному алгоритму, предложенному математиками.
Линейные уравнения с параметром
Рассмотрим линейные уравнения с параметром вида: $$p(a)x-q(a)=0,$$ где \(p(a)\) и \(q(a)\)- выражения, которые зависят от параметра. Для того, чтобы решить такое уравнение, нужно найти все \(x\) при всех значениях параметра \(a\). Приведем наше уравнение к виду: $$p(a)x=q(a),$$ Отсюда единственное решение: \(x=\frac
Решить уравнение \(ax-5a=7x-3\) при всех возможных \(a\).
Перенесем все одночлены с \(x\) влево, а оставшиеся члены – вправо. И вынесем \(x\) за скобку, как общий множитель: $$x(a-7)=5a-3;$$ Первый случай, когда \((a-7)≠0\). Тогда мы можем поделить все уравнение на \(a-7\) и выразить: $$x=\frac<5a-3>
Ответ: При \(a=7\) \(x∈∅;\)
при \(a≠7\) \(x=\frac<5a-3>
Найдите все \(a\), при которых корнем уравнения $$ax+5a-2(3x+2)=-5x+a^2$$ будет любое число.
Раскроем скобки и перенесем все члены, содержащие \(x\), влево, а остальные – вправо. $$ax-6x+5x=-5a+4+a^2$$ Приведем подобные: $$ax-x=a^2-5a+4$$ И вынесем за скобку \(x\) и разложим квадратный многочлен на множители: $$x(a-1)=a^2-5a+4$$ $$x(a-1)=(a-1)(a-4)$$ Первый случай: \((a-1)=0\),т.е. \(a=1\) $$x*0=(a-1)(a-4)$$ $$x*0=0.$$ Решением уравнения будет любое число.
Второй случай: \((a-1)≠0\), т.е. \(a≠1\) $$x=\frac<(a-1)(a-4)>
Ответ: \(a=1.\)
Из ОДЗ видно, что \(5a+x≠0\) и \(x-5a≠0,\) таким образом, \(x≠±5a.\) Приведем уравнение к общему знаменателю \(x^2-25a^2\) и умножим на него все уравнение: $$x^2-5ax-x^2-10ax-25a^2=-100a^2$$ $$-15ax=-75a^2$$ $$ax=5a^2.$$
После преобразований получили линейное уравнение.
Первый случай: \(a=0.\) Получаем уравнение \(0*x=0.\) Решениями этого уравнения будет любое число, кроме \(x=0\) (ОДЗ \(x≠±5a\)).
Ответ: При \(a=0\) решениями уравнения будут все действительные числа, кроме \(x=0.\) Если \(a≠0,\) то решений нет.
Что такое параметр? Простые задачи с параметрами
Толковый словарь (в который полезно время от времени заглядывать) дает ответ: «Параметр — это величина, характеризующая какое-нибудь основное свойство устройства, системы, явления или процесса».
Хорошо, параметр — это какая-либо характеристика, свойство системы или процесса.
Вот, например, ракета выводит космический аппарат в околоземное пространство. Как вы думаете — какие параметры влияют на его полет?
Если корабль запустить с первой космической скоростью, приближенно равной 7,9 км/с, он выйдет на круговую орбиту.
Вторая космическая скорость, приближенно равная 11,2 км/с, позволяет космическому кораблю преодолеть поле тяжести Земли. Третья космическая скорость, приближенно равная 16,7 км/с, дает возможность преодолеть гравитационное притяжение Земли и Солнца и покинуть пределы Солнечной системы.
А если скорость меньше первой космической? Значит, тонны металла, топлива и дорогостоящей аппаратуры рухнут на землю, сопровождаемые репликой растерянного комментатора: «Кажется, что-то пошло не так».
Скорость космического корабля можно — параметр, от которого зависит его дальнейшая траектория и судьба. Конечно, это не единственный параметр. В реальных задачах науки и техники, задействованы уравнения, включающие функции многих переменных и параметров, а также производные этих функций.
1. Теперь пример из школьной математики.
Все мы помним, что такое квадратное уравнение. Это уравнение вида , где коэффициент а не равен нулю.
Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.
Дискриминант квадратного уравнения:
Если , квадратное уравнение имеет два корня: и
Если , квадратное уравнение имеет единственный корень
Если , квадратное уравнение не имеет действительных корней. Рассмотрим уравнение . Его дискриминант равен Если , то есть , это квадратное уравнение имеет два корня.
Если при , уравнение имеет единственный корень.
Если , то есть с > 1, корней нет.
В нашем уравнении с — параметр, величина, которая принимать любые значения. Но от этого параметра с зависит количество корней данного уравнения.
Для того чтобы уверенно решать задачи с параметрами, необходимо отличное знание и алгебры, и планиметрии.
И еще две простые задачи с параметром.
2. Найдите значение параметра p, при котором уравнение имеет 2 различных корня.
Квадратное уравнение имеет два различных корня, когда .
Найдем дискриминант уравнения
Вспомним, как решаются квадратичные неравенства (вы проходили это в 9 классе).
Найдем корни квадратного уравнения . Это и
Разложим левую часть неравенства на множители:
Рисуем параболу с ветвями вверх. Она пересекает ось р в точках и
3. При каких значениях параметра k система уравнений не имеет решений?
Оба уравнения системы — линейные. График линейного уравнения — прямая. Запишем уравнения системы в привычном для нас виде, выразив у через х:
Первое уравнение задает прямую с угловым коэффициентом . Второе уравнение — прямую с угловым коэффициентом -2.
Система уравнений не имеет решений, если эти прямые не пересекаются, то есть параллельны. Это значит, что и .
Действительно, в этом случае первое уравнение задает прямую , а второе — параллельную ей прямую
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Что такое параметр? Простые задачи с параметрами» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.