Как решать диофантовы уравнения алгоритмом евклида

7

Алгоритм евклида с примерами в решении диофантового уравнения

Диофантовым уравнением называется уравнение вида ах + bу = с (а ≠ 0, b ≠ 0), где а, b, с, х и у – целые числа.

Если c делится на НОД(а; b), то уравнение ах + bу = с имеет решение в целых числах. Если c не делится на НОД (а; b), то уравнение ах + bу = с не имеет решений в целых числах.

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Определение диофантова уравнения.

Пусть дано уравнение ах + bу = с (а ≠ 0, b ≠ 0), где а, b, с – целые числа. Если поставлена задача найти только такие его решения (х₀; у₀), где х_0, у₀ – целые числа, то это уравнение называют линейным диофантовым уравнением.

Диофантовы уравнения связаны с именем древнегреческого математика Диофанта Александрийского. О подробностях жизни Диофанта Александрийского практически ничего не известно. С одной стороны, Диофант цитирует Гипсикла (II век до нашей эры); с другой стороны, о Диофанте пишет Теон Александрийский (около 350 года нашей эры). Откуда можно сделать вывод, что жил он приблизительно в III веке нашей эры.

Решение диофантовых уравнений.

Решим линейное диофантово уравнение

Выразим у через х:

Из этого равенства видно, что у будет целым только тогда, когда целое число х делится на 3, т.е. х = 3х_1, где х_{1 –} некоторое целое число. Тогда у = 2 -2х₁.

Таким образом, решениями уравнения являются все пары чисел (3х_1;2 -2х₁).

Приведём некоторые частные решения этого уравнения.

Если х₁ = 0, то х = 3х_{1 =} 0, а у = 2 — 2 х₁ = 2; решением уравнения является пара (0;2).

Если х_{1 =} 1, то х = 3х_{1 =} 3, а у = 2 — 2 х₁ = 0;

решением уравнения является пара (3; 0)

Аналогично можно найти и другие частные решения, их бесконечно много.

Решение задач при помощи линейных диофантовых уравнений.

Линейные диофантовы уравнения возникают при решении некоторых задач.

У покупателя и продавца имеются монеты только по 2р. и 5р. Сможет ли покупатель заплатить за покупку стоимостью 1р.?

Если покупатель даст х монет по 2р. и у монет по 5 р., то он заплатит (2х + 5у) р. А по условию задачи это 1р. Составим уравнение:

Выразим х через у из уравнения:

Из равенства видно, что х будет целым только тогда, когда у будет нечетным числом: у = 2m + 1, где m – целое число.

Таким образом, решением уравнения являются все пары чисел (-5m – 2; 2m + 1), где m – любое целое число.

Таким образом, способов оплаты товара стоимостью 1р. Бесконечно много. Если х окажется отрицательным, то это означает, что покупатель должен получить сдачу: х монет по 2р.

Например, пара (-2; 1) является решением уравнения. Это означает, что покупатель далодну монету по 5 р. и получил сдачу 2 монеты по 2р.

Разрешимость диофантова уравнения.

Не каждое диофантово уравнение имеет решение в целых числах.

Рассмотрим на примере уравнения

3х + 6у = 2 алгоритм, с помощью которого можно определить, имеет оно решение в целых числах.

1 шаг. Надо найти наибольший общий делитель чисел 3 и 6. НОД(3; 6) = 3.

2 шаг. Определить, делится ли 2 на НОД(3; 6).

3 шаг. Если 2 делится на НОД(3; 6), то уравнение имеет решение в целых числах.

Если 2 не делится на НОД (3; 6), то уравнение не имеет решений в целых числах.

Расширенный алгоритм Евклида для решения диофантовых уравнений.

Для нахождения наибольшего общего делителя двух целых неотрицательных чисел используют алгоритм Евклида. Рассмотрим его реализацию на примере чисел 24 и 17.

Разделим большее из этих чисел на меньшее, то есть 24 на 17.

Получаем 24 : 17 = 1 (ост. 7), что можно записать в виде равенства:

Теперь разделим делитель на остаток, то есть 17 на 7, получим:

Снова разделим делитель на остаток:

Выполним деление еще раз:

Мы получили остаток, равный нулю, так как 3 делится на 1 без остатка.

В представленной последовательности действий мы получали остатки: 7, 3, 1, 0. Последний остаток, не считая 0, является наибольшим общим делителем чисел 24 и 17. То есть, НОД(24; 17) = 1.

Рассмотрим еще один пример: НОД(612; 342)?

612 = 342 ∙ 1 + 270,

342 = 270 ∙ 1 + 72,

Теперь выполним действия «в обратном направлении», то есть выразим 18 (остаток) через числа 612 и 342.

Для этого в каждой строчке последовательности Евклида выразим остатки через делимое и делитель (второй столбик таблицы):

612 = 342 ∙ 1 + 270

342 = 270 ∙ 1 + 72

270 = 612 – 342 ∙ 1

72 = 342 – 270 ∙ 1

Получаем, 18 = 72 – 54 ∙ 1 = 72 – (270 – 72 ∙ 3) = 342 – 270 ∙ 1 – (270 – (342 — 270 ∙ 1) ∙3) =

342 – ((612 – 342 ∙1) ∙ 1) – (612 – 342 ∙ 1 – (342 – (612 – 342 ∙ 1)) ∙3) = 342 – 612 + 342 – 612 + 342 + 342 ∙ 3 – 612 ∙ 3 + 342 ∙ 3 = 342 ∙ 9 – 612 ∙ 5 = 342 ∙ 9 + 612 ∙ (-5).

То есть 18 = 9 ∙ 342 + (-5) ∙ 612.

Умение выполнять действия алгоритма «в обратном направлении» понадобится нам в решении диофантовых уравнений при помощи расширенного алгоритма Евклида.

Пример: решите уравнение 24x−17y=2.

Найдем при помощи алгоритма Евклида НОД(24, 17):

Выполним действия «в обратном направлении»:

1 = 7 – 3 · 2 = 7 − (17 – 7 · 2) · 2 = 7 – 17 · 2 + 7 · 4 + 5 · 7 – 2 · 17 = 5 · (24 – 17 · 1) – 2 · 17 = 5 · 24 – 5 · 17 – 2 · 17 = 5 · 24 – 7 · 17 = 24 · 5 – 17 · 7.

24 · 5 – 17 · 7 = 1; В исходном уравнении в правой части стоит число 2. Поэтому умножим обе части уравнения на 2. Получим:

24 · 10 – 17 · 14 = 2.

То есть, x₀ = 10, y₀ = 14 – частные решения уравнения 24x −17y = 2.Если уравнение имеет одно решение в целых числах, то оно имеет бесконечное множество других решений.

Прибавим коэффициент b к значению х.

Чтобы значение исходного уравнения не изменилось, при прибавлении одного числа к х нужно вычесть другое число изу:

(-7; -10) – еще одно решение уравнения.

Значения x будут равны сумме исходного решения (х₀) и любого кратного коэффициента b. То есть х = 10 + (-17t), где t – целое число.

А значение у – равны разности у₀ и любого кратного коэффициента а. То есть у = 14 – 24t.

Ответ: (10 − 17t, 14 − 24t), t ∈ Z.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. Решите задачу:

Некий чиновник купил ослов и быков за 1770 талеров. За каждого осла он уплатил по 31 талеру, а за каждого быка – по 21 талеру. Сколько ослов и быков купил чиновник?

Пусть чиновник купил х ослов и у быков. Тогда 31х + 21у = 1770.

По смыслу задачи х и у – натуральные числа. Так как 21 и 1770 делятся на 3, то 31х делится на 3, т. е. х делится на 3: х = 3n, где n – натуральное число. Тогда 31n + 7у = 590. Откуда n =

Очевидно, что n будет целым, если 7у – 1 делится на 31.

Наименьшее натуральное у, при котором это произойдет, равно 9. При этом n = 17, х = 51. Первое решение найдено: (51; 9).

Заметим, что следующие целые n будут получаться в результате увеличения у = 9 на число, кратное 31.

При у = 9 + 21 = 40 имеем n = 10, х = 30.

При у = 40 + 9 имеем n = 3, х = 9.

При следующих значениях у значения n отрицательны. Таким образом, исходное уравнение имеет 3 решения: (51, 9), (30, 40), (9, 71).

Ответ: (51, 9), (30, 40), (9, 71).

2. Решение уравнения.

Разделите уравнения на 2 группы: уравнение имеет решение в целых числах, уравнение не имеет решений в целых числах.

1) НОД(7; 5) = 1, 2 делится на 1, следовательно, 7х – 5у = 2 имеет решение в целых числах.

2) НОД(3; 5) = 1, 10 делится на 1, следовательно, 3х + 5у = 10 имеет решение в целых числах.

3) НОД(2; 4) = 2, -1 не делится на 2, следовательно, 2х + 4у = -1 не имеет решений в целых числах.

4) НОД(3; 9) = 3, 10 не делится на 3, следовательно, 3х – 9у = 10 не имеет решений в целых числах.

5) НОД(6; 9) = 3, 2 не делится на 3, следовательно, 6х + 9у = 2 не имеет решений в целых числах.

6) НОД(2; 5) = 1, 15 делится на 1, следовательно, 2х – 5у = 15 имеет решение в целых числах.

Линейное диофантово уравнение и 4 способа его решения

Разделы: Математика

Првило 1. Если с не делится на d, то уравнение ах + ву = с не имеет решений в целых числах. Н.О.Д.(а,в) = d.

Правило 2. Чтобы найти решение уравнения ах + ву = с при взаимно-простых а и в, нужно сначала найти решение (Х_о ; у_о) уравнения ах + ву = 1; числа СХ_о , Су_о составляют решение уравнения ах + ву = с.

Решить в целых числах (х,у) уравнение

Первый способ. Нахождение частного решения методом подбора и запись общего решения.

Знаем, что если Н.О.Д.(а;в) =1, т.е. а и в взаимно-простые числа, то уравнение (1)

имеет решение в целых числах х и у. Н.О.Д.(5;8) =1. Методом подбора находим частное решение: Х_о = 7; у_о =2.

Итак, пара чисел (7;2) — частное решение уравнения (1).

Значит, выполняется равенство: 5 x 7 – 8 x 2 = 19 … (2)

Вопрос: Как имея одно решение записать все остальные решения?

Вычтем из уравнения (1) равенство (2) и получим: 5(х -7) – 8(у — 2) =0.

Отсюда х – 7 = . Из полученного равенства видно, что число (х – 7) будет целым тогда и только тогда, когда (у – 2) делится на 5, т.е. у – 2 = 5n, где n какое-нибудь целое число. Итак, у = 2 + 5n, х = 7 + 8n, где n Z.

Тем самым все целые решения исходного уравнения можно записать в таком виде:

Второй способ. Решение уравнения относительно одного неизвестного.

Решаем это уравнение относительно того из неизвестных, при котором наименьший (по модулю) коэффициент. 5х — 8у = 19 х = .

Остатки при делении на 5: 0,1,2,3,4. Подставим вместо у эти числа.

Если у = 2, то х = = = 7 Z.

Итак, частным решением является пара (7;2).

Тогда общее решение: n Z.

Третий способ. Универсальный способ поиска частного решения.

Для решения применим алгоритм Евклида. Мы знаем, что для любых двух натуральных чисел а, в, таких, что Н.О.Д.(а,в) = 1 существуют целые числа х,у такие, что ах + ву = 1.

1. Сначала решим уравнение 5m – 8n = 1 используя алгоритм Евклида.

2. Затем найдем частное решение уравнения (1)по правилу 2.

3. Запишем общее решение данного уравнения (1).

1. Найдем представление: 1 = 5m – 8n. Для этого используем алгоритм Евклида.

Из этого равенства выразим 1. 1 = 3 — 2 = 3 – (5 — 3 ) =

= 3 — 5 = 3 = (8 — 5 — 5 82 -5

= 5(-2). Итак, m = -3, n = -2.

2. Частное решение уравнения (1): Х_о = 19m; у_о =19n.

Пара (-57; -38)- частное решение (1).

3. Общее решение уравнения (1): n Z.

Четвертый способ. Геометрический.

1. Решим уравнение 5х – 8у = 1 геометрически.

2. Запишем частное решение уравнения (1).

3. Запишем общее решение данного уравнения (1).

Отложим на окружности последовательно друг за другом равные дуги, составляющие

-ю часть полной окружности. За 8 шагов получим все вершины правильного вписанного в окружность 8-угольника. При этом сделаем 5 полных оборотов.

На 5 – ом шаге получили вершину, соседнюю с начальной, при этом сделали 3 полных оборота и еще прошли — ю часть окружности, так что х = у + .

Итак, Х_о = 5, у_о =3 является частным решением уравнения 5х – 8у = 1.

2. Частное решение уравнения (1): Х_о = 19 у_о =19

3. Общее решение уравнения (1): n Z.

Диофантовы уравнения

Что такое «решение задач подбором», и можно ли их решать иначе?

По отзывам сибмам, настоящим камнем преткновения в школьном курсе математики не только для учеников, но и для родителей становятся диофантовы уравнения. Что это такое и как их правильно решать? Разобраться нам помогли учитель математики образовательного центра «Горностай» Аэлита Бекешева и кандидат физико-математических наук Юрий Шанько.

Кто такой Диофант?

Еще древние египтяне для удобства рассуждений придумали специальное слово, обозначавшее неизвестное число, но в то время не было еще знаков действий и знака равенства, поэтому и записывать уравнения они не умели.

Первым, кто придумал, как можно записать уравнение, был замечательный ученый Диофант Александрийский. Александрия была большим культурным, торговым и научным центром древнего мира. Этот город существует и сейчас, он находится на Средиземноморском побережье Египта.

Жил Диофант, по-видимому, в III веке н.э. и был последним великим математиком античности. До нас дошли два его сочинения — «Арифметика» (из тринадцати книг сохранилось шесть) и «О многоугольных числах» (в отрывках). Творчество Диофанта оказало большое влияние на развитие алгебры, математического анализа и теории чисел.

А ведь вы знаете кое-что о диофантовых уравнениях…

Диофантовы уравнения знают все! Это задачки для учеников младших классов, которые решаются подбором.

” Например, «сколькими различными способами можно расплатиться за мороженое ценой 96 копеек, если у вас есть только копейки и пятикопеечные монеты?»

Если дать диофантовому уравнению общее определение, то можно сказать, что это алгебраическое уравнение с дополнительным условием: все его решения должны быть целыми числами (а в общем случае и рациональными).

” Зачастую мамы (особенно те, кто окончил школу еще при развитом социализме) полагают, что основная цель таких задач – научить детей расплачиваться мелочью за мороженое. И вот, когда они искренне убеждены, что раскладывание мелочи кучками осталось далеко в прошлом, их любимый семиклассник (или восьмиклассник) подходит с неожиданным вопросом: «Мама, как это решать?», и предъявляет уравнение с двумя переменными. Раньше таких задачек в школьном курсе не было (все мы помним, что уравнений должно быть столько же, сколько и переменных), так что мама не-математик нередко впадает в ступор. А ведь это та же самая задача про мелочь и мороженое, только записанная в общем виде!

Кстати, а зачем к ней вдруг возвращаются в седьмом классе? Все просто: цель изучения диофантовых уравнения – дать основы теории целых чисел, которая дальше развивается как в математике, так и в информатике и программировании. Диофантовы уравнения часто встречаются среди задач части «С» единого госэкзамена. Трудность, прежде всего в том, что существует множество методов решения, из которых выпускник должен выбрать один верный. Тем не менее, линейные диофантовы уравнения ax + by = c могут быть решены относительно легко с помощью специальных алгоритмов.

Алгоритмы для решения диофантовых уравнений

— Изучение диофантовых уравнения начинается в углубленном курсе алгебры с 7 класса. В учебнике Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюка приводятся некоторые задачи и уравнения, которые решают с использованием алгоритма Евклида и метода перебора по остаткам, — рассказывает Аэлита Бекешева. — Позже, в 8 – 9 классе, когда уже рассматриваем уравнения в целых числах более высоких порядков, показываем ученикам метод разложения на множители, и дальнейший анализ решения этого уравнения, оценочный метод. Знакомим с методом выделения полного квадрата. При изучении свойств простых чисел знакомим с малой теоремой Ферма, одной из основополагающих теорем в теории решений уравнений в целых числах. На более высоком уровне это знакомство продолжается в 10 – 11 классах. В это же время мы подводим ребят к изучению и применению теории «сравнений по модулю», отрабатываем алгоритмы, с которыми знакомились в 7 – 9 классах. Очень хорошо это материал прописан в учебнике А.Г. Мордковича «Алгебра и начала анализа, 10 класс» и Г.В. Дорофеева «Математика» за 10 класс.

Алгоритм Евклида

Сам метод Евклида относится к другой математической задаче – нахождению наибольшего общего делителя: вместо исходной пары чисел записывают новую пару – меньшее число и разность между меньшим и большим числом исходной пары. Это действие продолжают до тех пор, пока числа в паре не уравняются – это и будет наибольший общий делитель . Разновидность алгоритма используется и при решении диофантовых уравнений — сейчас мы вместе с Юрием Шанько покажем на примере, как решать задачи «про монетки».

— Рассматриваем линейное диофантово уравнение ax + by = c, где a, b, c, x и y — целые числа. Как видите, одно уравнение содержит две переменных. Но, как вы помните, нам нужны только целые корни, что упрощает дело — пары чисел, при которых уравнение верно, можно найти.

Впрочем, диофантовы уравнения не всегда имеют решения. Пример: 4x + 14y = 5. Решений нет, т.к. в левой части уравнения при любых целых x и y будет получаться четное число, а 5 — число нечетное. Этот пример можно обобщить. Если в уравнении ax + by = c коэффициенты a и b делятся на какое-то целое d, а число c на это d не делится, то уравнение не имеет решений. С другой стороны, если все коэффициенты (a, b и c) делятся на d, то на это d можно поделить все уравнение.

Например, в уравнении 4x + 14y = 8 все коэффициенты делятся на 2. Делим уравнение на это число и получаем: 2�� + 7�� = 4. Этот прием (деления уравнения на какое-то число) позволяет иногда упростить вычисления.

Зайдем теперь с другой стороны. Предположим, что один из коэффициентов в левой части уравнения (a или b) равен 1. Тогда наше уравнение уже фактически решено. Действительно, пусть, например, a = 1, тогда мы можем в качестве y взять любое целое число, при этом x = c − by. Если научиться сводить исходное уравнение к уравнению, в котором один из коэффициентов равен 1, то мы научимся решать любое линейное диофантово уравнение!

Я покажу это на примере уравнения 2x + 7y = 4.

Его можно переписать в следующем виде: 2(x + 3y) + y = 4.

Введем новую неизвестную z = x + 3y, тогда уравнение запишется так: 2z + y = 4.

Мы получили уравнение с коэффициентом один! Тогда z — любое число, y = 4 − 2z.

Осталось найти x: x = z − 3y = z − 3(4 − 2z) = 7z − 12.

” В этом примере важно понять, как мы перешли от уравнения с коэффициентами 2 и 7 к уравнению с коэффициентами 2 и 1. В данном случае (и всегда!) новый коэффициент (в данном случае — единица) это остаток от деления исходных коэффициентов друг на друга (7 на 2).

В этом примере нам повезло, мы сразу после первой замены получили уравнение с коэффициентом 1. Такое бывает не всегда, но и мы можем повторять предыдущий трюк, вводя новые неизвестные и выписывая новые уравнения. Рано или поздно после таких замен получится уравнение с коэффициентом 1.

Давайте попрообуем решить более сложное уравнение, предлагает Аэлита Бекешева.

Рассмотрим уравнение 13x — 36y = 2.

Шаг №1

36/13=2 (10 в остатке). Таким образом, исходное уравнение можно переписать следующим образом: 13x-13 * 2y-10y=2. Преобразуем его: 13(x-2y)-10y=2. Введем новую переменную z=x-2y. Теперь мы получили уравнение: 13z-10y=2.

Шаг №2

13/10=1 (3 в остатке). Исходное уравнение 13z-10y=2 можно переписать следующим образом: 10z-10y+3z=2. Преобразуем его: 10(z-y)+3z=2. Введем новую переменную m=z-y. Теперь мы получили уравнение: 10m+3z=2.

Шаг №3

10/3=3 (1 в остатке). Исходное уравнение 10m+3z=2 можно переписать следующим образом: 3 * 3m+3z+1m=2. Преобразуем его: 3(3m+z)+1m=2. Введем новую переменную n=3m+z. Теперь мы получили уравнение: 3n+1m=2.

Ура! Мы получили уравнение с коэффициентом единица!

m=2-3n, причем n может быть любым числом. Однако нам нужно найти x и y. Проведем замену переменных в обратном порядке. Помните, мы должны выразить x и y через n, которое может быть любым числом.

y=z-m; z=n-3m, m=2-3n ⇒ z=n-3 * (2-3n), y=n-3*(2-3n)-(2-3n)=13n-8; y=13n-8

x=2y+z ⇒ x=2(13n-8)+(n-3*(2-3n))=36n-22; x=36n-22

Пусть n=5. Тогда y=57, x=158. 13_*(158)-36 _* (57)=2

Да, разобраться не очень просто, зато теперь вы всегда сможете решить в общем виде задачи, которые решаются подбором!

Решаем задачи на подбор чисел

Примеры задач для учеников младших классов, которые решаются подбором: посоревнуйтесь с ребенком, кто решит их быстрее: вы, используя алгорит Евклида, или школьник — подбором?

Задача про лапы

Условия

В клетке сидят куры и кролики. Всего у них 20 лап. Сколько там может быть кур, а сколько — кроликов?

Решение

Пусть у нас будет x кур и y кроликов. Составим уравнение: 2х+4y=20. Сократим обе части уравнения на два: x+2y=10. Следовательно, x=10-2y, где x и y — это целые положительные числа.

Ответ

Число кроликов и куриц: (1; 8), (2; 6), (3; 4), (4; 2), (5; 0)

Согласитесь, получилось быстрее, чем перебирать «пусть в клетке сидит один кролик. »

Задача про монетки

Условия

У одной продавщицы были только пяти- и двухрублевые монетки. Сколькими способами она может набрать 57 рублей сдачи?

Решение

Пусть у нас будет x двухрублевых и y пятирублевых монеток. Составим уравнение: 2х+5y=57. Преобразуем уравнение: 2(x+2y)+y=57. Пусть z=x+2y. Тогда 2z+y=57. Следовательно, y=57-2z, x=z-2y=z-2(57-2z) ⇒ x=5z-114. Обратите внимание, переменная z не может быть меньше 23 (иначе x, число двухрублевых монеток, будет отрицательным) и больше 28 (иначе y, число пятирублевых монеток, будет отрицательным). Все значения от 23 до 28 нам подходят.

Диофантовы уравнения — методы, алгоритмы и примеры решения

Решением линейных уравнений начали заниматься ещё в Древнем Вавилоне и Греции. Особого успеха в их вычислении смог добиться древнегреческий философ и математик правителя Греции — Диофант Александрийский. В третьем веке до нашей эры он издал свой труд под названием «Арифметика», в котором описал возможные решения различных математических задач. Большая часть их была посвящена уравнениям, которые и были позже названы в его честь.

Диофантовыми уравнениями принято называть линейные выражения вида: a1x1 + a2x2 + … + anxn = c. В этих равенствах икс обозначает искомое неизвестное, а коэффициенты a и c являются целыми числами. Греческий учёный предложил несколько способов решения таких уравнений:

• полный перебор;
• разложение на множители;
• выражение одной переменной через другую с выделением целой части при решении системы;
• поиск частного решения;
• алгоритм Евклида;
• геометрический метод.

Методы решения диофантовых уравнений позволяют найти целые или рациональные решения для алгебраических равенств или их систем. Но при этом число переменных в выражении не должно превышать двух. Как правило, такие уравнения имеют несколько решений, поэтому их другое популярное название — неопределённые.

Чтобы воспользоваться способами, предложенными математиком при рассмотрении задач, нужно попробовать проанализировать исходные данные и свести их к линейному равенству или системе уравнений. При этом коэффициенты, как стоящие возле неизвестных, так и свободные, должны быть целыми. Ответом же должно получиться тоже целое число, обычно натуральное.

Чтобы понимать возможности применения уравнений в тех или иных исследовательских вычислениях, необходимо предварительно ответить на два вопроса: могут ли быть у задания целочисленные решения и ограничено ли число действительных ответов. Поэтому использование способов подходит только для простейших уравнений первой и второй степени. Для выражений высших порядков, например, 4x 3 + 6Y 3 — 2z 4 = 23, определить, является ли решением целое число, довольно проблематично.

Методы решения

Для начала следует рассмотреть однородное линейное уравнение вида: ax + by = 0. Это простой многочлен первой степени. Для него характерно то, что если для коэффициентов можно подобрать один делитель, то обе части возможно сократить на его величину не нарушив принципы записи. Наиболее простым способом определить этот делитель является метод разработанный великим математиком своего времени Евклидом.

Решение диофантовых уравнений по алгоритму Евклида заключается в нахождении общего делителя натуральных чисел с использованием деления с остатком. Для этого нужно взять большее число и просто разделить его на наименьшее. Затем полученный остаток нужно снова разделить на меньшее из чисел. Это действие необходимо повторять до тех пор, пока результатом операции не станет единица, то есть выполнится деление без остатка. Последнее полученное число и будет являться наибольшим общим делителем (НОД).

Существует три теоремы, которые используются при решении уравнений первой степени:

1. В случае, когда НОД равняется единице, выражение будет обязательно иметь хотя бы одну пару целого решения.
2. Если коэффициенты выражения больше единицы, и при этом свободный член нельзя нацело разделить на них, то корни равенства не имеют целого значения.
3. Когда коэффициенты равняются единице, все решения, состоящие из целых чисел, находятся с помощью формул: x = x0c + bt и y = y0c — at, где: х0, y0 — целые ответы, t — множество чисел.

Например, пусть есть равенство вида 54x + 37y = 1. Используя то, что a = 54, а b =37, можно записать: 54 — 37 *1 = 17. Теперь можно выполнить следующие вычисления:

• 37 — 17 * 2 = 3;
• 71 — 3 * 5 = 2;
• 3 — 2 * 1 = 1.

Далее нужно выразить значения коэффициентов через остаток:

• 3 — (17 — 3 * 5) = 1;
• 1 = 17 — 3 * 4;
• 1 = 17 — (37- 17 * 2) * 4;
• 1 = 17 — 37 * 4+17 * 8;
• 1 = 17 * 9 — 37 * 4;
• 1 = (54 — 37 * 1) * 9 — 37 * 4;
• 1 = 54 * 9 — 37 * 9 — 37 * 4;
• 1 = 54 * 9 — 37 * 13;
• 1 = 54х + 37у.

Исходя из приведённого следует, что x0 равняется девяти, а игрек нулевой — минус тринадцать. Таким образом, рассматриваемое уравнение будет иметь вид:

Этим же способом можно и определить, что целых решений в выражении быть не может, как, например, для равенства 17x + 36y = 7. В этом случае НОД не делится на два, поэтому и целых решений нет.

Способ подбора и разложения

Метод подбора используется для нахождения корней простых уравнений. Пожалуй, это самый простой способ, но вместе с тем и требующий повышенного внимания и большого количества операций. Его суть заключается в полном переборе всех допустимых значений переменных, входящих в равенство. Например, эта задача которая будет интересна и школьникам, только знакомящимся с уравнениями.

Пусть имеется зоопарк, в котором находятся птицы и млекопитающие. Всего у животных двадцать лап. Определить, какое количество может быть птиц, а какое — млекопитающих. Для нахождения ответа методом перебора следует принять число одних животных, равное x (пусть это будут четырёхпалые), а других — y (птицы). Таким образом, получится уравнение: 2x + 4 y = 20. Для простоты выражение можно упростить, сократив на два: x + 2y = 10.

Полученное выражение нужно преобразовать, разделив неизвестные знаком равно: x = 10 — 2y. Зная, что ответом могут быть только целые числа, вместо y нужно пробовать подставлять возможные варианты: 1 — 8; 2 — 6; 3 — 4; 4 — 2; 5 — 0. Это и есть все возможные ответы на поставленную задачу.

Разложение выражения на множители можно выполнять различными способами. Вот основные из них:

• вынесение общего множителя: если каждый член многочлена можно разделить на одно и то же число, то его можно вынести за скобку;
• использование формулы сокращённого умножения: оно выполняется по формуле: an — bn = (a-b) * (an-1 + an-2 * b +… a2bn-3 + abn-2 + bn-1);
• применение свойства полного квадрата: это самый эффективный способ, заключающийся в вынесении полного квадрата за скобку с последующим использованием формул разности квадратов;
• группировкой — в его основе лежит вынесение общего множителя таким образом, чтобы появилась возможность перегруппировки выражения, после которой получится значение, присутствующее во всех членах равенства.

Например, пусть имеется нелинейное уравнение вида: 8×4 + 32×2 = 8. Все его члены можно перенести в одну сторону, а равенство приравнять к нулю, при этом сократив каждый член на восемь: x4 + 4×2 — 1 = 0. Для преобразования такого выражения удобнее всего применить метод квадратов. Таким образом, уравнение можно расписать следующим образом: x4 + 2 * 2 * x2 + 4 — 4 — 1 = (x2 + 2)2 — 5 = (x2 + 2 — √5) * (x2 + 2 +√5).

Геометрический подход

Этот метод удобно применять для системы уравнений. Его принцип построен на изображении графиков уравнений и определения их точки пересечения. При этом координаты этой точки и будут являться корнями рассматриваемой системы.

Из этого утверждения можно сделать следующие выводы:

• если графики уравнений представляют пересекающиеся прямые, то решением будет только одно число;
• когда графики уравнений не имеют общих точек, то решения у системы уравнений нет;
• в случае, когда графики совпадают, система будет иметь бесконечное множество корней.

Применять этот метод можно для уравнений, порядок которых не превышает единицы. В равенствах высшего порядка построить график обычно сложно. Например, дана система:

Из первого и второго равенства можно выразить одно неизвестное через другое, используя несколько произвольных чисел. Затем, подставляя их вместо неизвестного, можно построить график. Как только две прямые будут построены, можно будет определить, что точка их пересечения имеет координаты -2; 5. Эти значения и будут искомыми корнями.

Занимательная задача

На самом деле примеры диофантовых уравнений можно встретить в повседневной жизни. Например, при покупке чего-либо в магазине. На эту тему математики смогли придумать интересные задачи, обычно предлагающиеся ученикам на дополнительных занятиях.

Вот одна из них, появившаяся из реальной истории. Однажды математик пришёл в магазин приобрести свитер. Его цена составляла 19 рублей. У учёного же были с собой только купюры номиналом три рубля, а у кассира — пятирублёвки. Задача состоит в том, чтобы выяснить, сможет ли состояться сделка. Иными словами, необходимо найти, сколько нужно математику дать купюр, и какое их количество он получит от кассира.

Рассуждать нужно следующим образом. В задачи есть два неизвестных: количество трёхрублёвых и пятирублёвых купюр. Поэтому можно составить уравнение: 3x — 5y = 19. По сути, уравнение с двумя неизвестными может иметь бесчисленное число решений, но не всегда из них может найтись хотя бы одно целое положительное.

Итак, зная, что неизвестные должны быть целыми положительными числами, нужно выразить неизвестное с меньшим коэффициентом через остальные члены. Получится равенство: 3 x = 19 + 5 y. Левую и правую часть можно разделить на три, а после выполнить простейшие преобразования: x = (19 + 5y) / 3 = 6 + y + (1 + 2y) / 3. Учитывая, что неизвестные и свободный член это целые числа, выражение (1 + 2y) / 3 можно заменить буквой r, также являющимся каким-то целым числом.

Тогда уравнение можно переписать как x = 6 + y + t. Отсюда t = (1 + 2y) / 3 или y = t + (t — 1) / 2. Снова можно сделать вывод, что (t — 1) / 2 — какое-то целое число. Если заменить его на t1, выражение примет вид: y = t + t1.

Подставив t = 2t1 + l в равенство можно получить, что x = 8 + 5t1, а y = 1 + 3t1. Таким образом, решением уравнения будут полученные равенства. Исходя из того, что результат должен быть положительным, равенства можно переписать в неравенства вида:8 + 5t1> 0, 1 + 3t1 > 0. Отсюда определить диапазон, ограничивающий t1. Беря во внимание только плюсовую часть диапазона, можно сделать заключение, что возможные варианты решения лежать в пределе от нуля до плюс бесконечности.

Подставляя по очереди числа, можно определить значения x и y. Искомый ряд будет выглядеть следующим образом: 1 = 8, 13, 18, 23, …, n; <у = 1 + 3t>1 = 1, 4, 7, 10,…, m. То есть математик, дав восемь купюр, получит одну на сдачу, а если он отдаст 13 купюр, то продавец должен будет ему выдать четыре пятирублёвки. Этот ряд можно продолжать до бесконечности.

Использование онлайн-калькулятора

Существуют сайты, рассчитывающие линейные уравнения в автоматическом режиме. Они называются математическими онлайн-калькуляторами. Пользователю, желающему воспользоваться их услугами, нужно иметь лишь подключение к интернету и любой веб-браузер.

Свои услуги сервисы предоставляют бесплатно. При этом часто на их страницах содержится краткий теоретический материал, посвящённый решению диофантовых уравнений. Кроме того, пользователю предоставляется возможность ознакомиться с решением типовых примеров.

Из нескольких десятков таких сайтов на русском языке можно отметить следующие:

• HostCiti;
• PocketTeacher;
• Upbyte;
• Planetcalc;
• Math24.

Все приведённые сайты имеют интуитивно понятный интерфейс и бесплатны. После того как пользователь введёт в предложенную форму нужные уравнения и запустит расчётчик, онлайн-сервисы не только выдадут ответ, но и выведут на экран пошаговое решение с объяснениями. Таким образом, эти сервисы помогают не только быстро и верно найти решение, но и дают возможность пользователю понять принципы вычисления, проверить самостоятельно выполненный расчёт.

Неопределенные (диофантовы) уравнения

Неопределенные уравнения – уравнения, содержащие более одного неизвестного. Под одним решением неопределенного уравнения понимается совокупность значения неизвестных, которая обращает данное уравнение в верное равенство.

В данном параграфе будут рассмотрены задачи, связанные с нахождением только целых решений неопределенного уравнения. При этом будут рассмотрены как уравнения первой степени с двумя неизвестными, так и уравнения степени выше первой и с количеством неизвестных два и более. Для решения уравнений второго типа, имеющихся в этом параграфе, оказывается достаточным использовать известные факты о делимости целых чисел.

Определение 1. Диофантовым уравнением 1-й степени с n неизвестными называется уравнение вида , (1)

Где все коэффициенты и неизвестные – целые числа и хотя бы одно .

Определение 2. Решением диофантова уравнения (1) называется комплекс целых чисел , удовлетворяющий этому уравнению.

Теорема 1. При взаимно простых коэффициентах и при b=1 диофантово уравнение (1) имеет решение в целых числах.

Пусть . Диофантово уравнение (1) имеет решение тогда и только тогда, когда . Число решений такого уравнения равно либо нулю, либо бесконечности.

Для решения в целых числах уравнения (2), где — целые числа, отличные от нуля, приведем ряд теоретических положений, которые позволят установить правило решения. Эти положения основаны также на уже известных фактах теории делимости.

Теорема 2. Если , то существуют такие целые числа x и y, что имеет место равенство (3).

Это равенство называется линейной комбинацией или линейным представлением наибольшего общего делителя двух чисел через сами эти числа. Доказательство теоремы основано на использовании равенств алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (наибольший общий делитель данных чисел выражается через неполные частные и остатки, начиная с последнего равенства в алгоритме Евклида).

Теорема 3. Если в уравнении (4) , то уравнение (4) имеет, по крайней мере, одно целое решение.

Справедливость этой теоремы следует из теоремы 2. Таким образом, чтобы найти одно целое решение уравнения (4), если , достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел a и b.

Теорема 4. Если в уравнении (5) и c не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Для доказательства теоремы достаточно предположить противное.

Теорема 5. Если в уравнении (6) и , то оно равносильно уравнению (6’), в котором .

При доказательстве теоремы следует показать, что произвольное целое решение первого уравнения является также решением второго уравнения и обратно.

Теорема 6. Если пара целых чисел , удовлетворяет уравнению (6) , где — целые числа, отличные от нуля и , то

, , (7)

где t – произвольное целое число, является общим решением этого уравнения в целых числах.

Доказательство. По условию теоремы (8) Вычитая почленно из уравнения (6) равенство (8), получим уравнение

, (9)

равносильное уравнению (6). Покажем, что формулы (7) задают множество всех целых решений уравнения (9), а, следовательно, и уравнения (6). Очевидно, что каждая пара целых чисел, заданная формулами (7) , удовлетворяет уравнению (9). Наоборот, если пара целых чисел , удовлетворяет уравнению (9), то есть ,то . Отсюда, поскольку , вытекает, что , то есть , аналогично, доказывается, что , где t – некоторое целое число. Следовательно, каждая пара целых чисел , удовлетворяющая уравнению (9), задается формулами (7). Что и требовалось доказать.

Таким образом, чтобы решить уравнение (6) в целых числах, надо найти какое-нибудь частное решение этого уравнения или частное решение уравнения (4) и умножит это решение на c, получим частное решение уравнения (6).

Сделать это можно, либо через нахождение линейной комбинации НОД двух целых чисел, либо с помощью конечных цепных дробей, воспользовавшись разложением числа в цепную дробь.

Теорема 7. Общее решение в целых числах уравнения (6) ,где — целые числа, отличные от нуля и , можно представить в виде

, , (10)

где t – произвольное целое число, а и — числитель и знаменатель предпоследней подходящей дроби разложения числа в цепную дробь.

Доказательство. Пусть = — разложение числа в цепную дробь, а (s=1,2,…,n) – подходящие дроби этого разложения. Тогда =. По условию дробь — несократимая и дробь также несократимая, поэтому , . По свойству подходящих дробей , то есть . Умножив обе части последнего равенства на , получим равенство . Это равенство означает, что пара чисел и является целым решением уравнения (6).

Примеры. 1. Найти целые решения уравнения .

Решение. Упрощаем данное уравнение, приводя его к виду . Решаем уравнение . 256=37·6+34, 37=34·1+3, 34=3·11+1. 1=34 – 3·11= 256 – 37∙6 – 11(37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 – 37∙83 =

= 37∙(-83) – 256∙(-12), то есть . Общий вид всех целых решений данного уравнения:

.

2.Транспортной организации, имеющей грузовые автомашины грузоподъемностью 3,5 и 4,5 т, предложено перевезти 53т груза. Определить, сколько грузовых автомашин того и другого типа должен выделить диспетчер для перевозки указанного груза одним рейсом при условии полного использования грузоподъемности всех выделенных автомашин.

Решение. Пусть x,y – число выделенных машин грузоподъемностью соответственно 3,5 и 4.5т. для получения ответа нужно решить уравнение то есть в целых числах с учетом того, что . Разложив дробь в цепную дробь, будем иметь . Подсчитаем подходящие дроби : . Предпоследней подходящей дробью является . Следовательно, по формулам общим решением в целых числах заданного уравнения является: , где t – любое целое число. Теперь из всех решений выберем неотрицательные:. Учитывая, что t – целое число, получим: или , то есть или .

Линейные диофантовы уравнения

Линейные диофантовы уравнения и методы их решения в школьном курсе математики не изучаются. Их можно встретить, в основном, лишь в олимпиадных заданиях. В данной работе рассматриваются следующие способы решения линейных диофантовых уравнений: алгоритм Евклида, метод перебора, метод спуска, метод рассмотрения остатков от деления, а также приведены примеры решения линейных диофантовых уравнений с тремя неизвестными.

Просмотр содержимого документа
«Линейные диофантовы уравнения»

Линейные диофантовы уравнения

Исследовательская работа по алгебре

ученика 9 класса МОУ «Упшинская ООШ»

Антонова Юрия

«Если вы хотите научиться плавать, то

смело входите в воду, а если хотите

научиться решать задачи, то решайте их.»

Руководитель – Софронова Н.А .

Для настилки пола шириной в 3 метра имеются доски шириной в 11 см и 13 см. Сколько нужно взять досок того и другого размера?

Если х – число досок шириной в 11 см, а у – число досок шириной в 13 см, то нам надо решить уравнение:

11 х + 13 у = 300

Особенности уравнения 11 х + 13 у = 300: ▪ Коэффициенты 11, 13, 300 – целые числа. ▪ Число неизвестных превышает число уравнений. ▪ Решения данного уравнения х и у должны быть целыми положительными числам

Алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, в которых число неизвестных превышает число уравнений и для которых надо найти целые решения, называют неопределенными или диофантовыми, по имени греческого математика Диофанта .

Примеры диофантовых уравнений

1 . Найдите все пары целых чисел

x , y , для которых верно равенство

2 . Покажите, что уравнение

имеет бесконечное множество решений

целых числах

• Всегда ли можно найти для конкретного неопределенного уравнения все целые решения или доказать отсутствие таковых?

• Какиеметодысуществуютдлярешения диофантовых уравнений?

• Найти и изучить методы решениялинейныхдиофантовых уравнений с двумя переменными.

• Рассмотреть возможности теории линейных диофантовых уравнений.

Пифагоровы тройки

• Неопределенные уравнения в целых числах решались еще до Диофанта. Большой интерес вызывало, например, алгебраическое уравнениеx2+y2=z2,связывающее стороныx,у,zпрямоугольного треугольника. Натуральные числаx,yиz, являющиеся решениями этого уравнения, называются«пифагоровыми тройками».

Уравнение Ферма

• К работам Диофанта имеют непосредственное отношение и математические исследования французского математика Пьера Ферма. Считается, что именно с работ Ферма началась новая волна в развитии теории чисел. И одна из его задач — это знаменитое уравнение Ферма

х n + y n = z n

Ни один крупный математик не прошел мимо теории диофантовых уравнений.

Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс, Чебышев оставили неизгладимый след в этой интересной теории.

1, ( Каталана); ах 2 + bxy + су 2 + dx + еу + f = 0 , где а , b , с , d , е , f — целые числа, т. е. общее неоднородное уравнение второй степени с двумя неизвестными (П.Ферма, Дж. Валлис, Л. Эйлер, Ж. Лагранж и К.Гаусс) » width=»640″

Примеры неопределенных уравнений решаемых великими математиками 19-го и 20-го столетий: x 2 − ny 2 = 1 , где n не является точным квадратом (Ферма, Пелля); x z − y t = 1 , где z , t 1, ( Каталана); ах 2 + bxy + су 2 + dx + еу + f = 0 , где а , b , с , d , е , f — целые числа, т. е. общее неоднородное уравнение второй степени с двумя неизвестными (П.Ферма, Дж. Валлис, Л. Эйлер, Ж. Лагранж и К.Гаусс)

Диофантовы уравнения в 20 веке

1900 год. Международный математический конгресс.

10-я проблема Гильберта

Задано Диофантово уравнение с некоторым числом неизвестных и рациональными целыми коэффициентами. Необходимо придумать процедуру, которая могла определить за конечное число операций – является ли уравнение разрешимым в рациональных целых числах.

Русский математик Юрий Матиясевич доказал :

10-ая проблема Гильберта неразрешима — требуемого в ней алгоритма не существует.

Всегда ли можно найти для конкретного неопределенного уравнения все целые решения или доказать отсутствие таковых?

• Проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений первой степени с двумя или тремя неизвестными.
• ДУ второй степени с двумя неизвестными решаются уже с большим трудом.
• ДУ второй степени с числом неизвестных больше двух решены лишь в отдельных частных случаях, например уравнениеx2+y2=z2.
• ДУ степени выше второй имеют, как правило, лишь конечное число решений (в целых числах).
• Для уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными достаточно трудной является даже задача существования целочисленных решений. Например, неизвестно, имеет ли уравнение

x 3 + y 3 + z 3 = 30 хотя бы одно целочисленное решение.

• Для решения отдельных ДУ, а иногда и для конкретных уравнений, приходится изобретать новые методы. Очевидно, что алгоритма, который позволял бы находить решения произвольных ДУ не существует.

Линейные диофантовы уравнения

ЛДУ с двумя переменными:

a х + by = c

ЛДУ с тремя переменными:

a х + by + cz = d

ЛДУ с двумя неизвестными

ЛДУ с двумя переменными:

a х + by = c

x = х 0 — bt

у = у 0 + at

a х + by = 0

x = — bt

у = at

Поиск частного решения

Методы решения:

• Метод кратных.
• Применение алгоритма Евклида.
• Метод перебора.
• Метод спуска.

• Метод рассмотрения остатков от деления
• Метод рассмотрения остатков от деления

Метод кратных

Решить уравнение 11 х + 2 у = 69

Ищем сумму, равную 69: 55 + 14 = 69 Частное решение уравнения

х 0 = 5, у 0 = 7