Как построить двуполостный гиперболоид

§ 130. Двуполостный гиперболоид.

Определение. Двуполостным гиперболоидом назы-вается поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе коор-динат, имеет вид: . (7)

Начало координат является центром симметрии (центр) двуполостного гиперболоида. Оси координат — осями симметрии (главные оси), координатные плос-кости — плоскостями симметрии (главные плоскости).

Если в уравнении (7) , то двуполостный гиперболоид называется гиперболоидом вращения, так как может быть получен вращением гиперболы:вокруг его действительной оси (См. рис.202).

Рис. 202. Рис. 203

Вершинами двуполостного гиперболоида называются точки его пересечения с главной осью . Двуполостный гиперболоид (7) имеет две вершины.

Плоскости ипересекает двуполостный гиперболоид (7) по гиперболам:,, и,.

Сечения двуполостного гиперболоида (7) плоскостью выражается уравнениями:

; .

Если , то первое уравнение не имеет действительных решений — плоскостьне пересекает поверхности.

Если , то, откуда, т.е. это две точки.

Если , то уравнение линии пересечения можно переписать в виде:

; .

Этими уравнениями выражается эллипс с полуосями ,с центром в точкеи осями, соответственно параллельными осями.

Плоскость пересекает поверхность двуполостного гиперболоида (7) по линии, выражаемой уравнениями:;.

Или ;,

т.е. по гиперболе с центром в точке , лежащей в плоскости. Действительная ось этой гиперболы, параллельна оси, мнимая — оси.

Аналогично исследуются сечения поверхности (7) плоскостями (См. рис. 203).

Двуполостный гиперболоид можно получить из двуполостного гиперболоида вращения: ,производя равномерное сжатие.,к плоскости. Двуполостный гиперболоид (7) можно получить из равностороннего двуполостного гиперболоида враще-ния:, производя равномерные сжатия,,соответственно к плоскостям,ис коэффициентами сжатия.

§ 131. Конус второго порядка.

Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой спе-циально выбранной прямоугольной системе коор-динат, имеет вид: . (8)

Считаем, что в этом уравнении . Начало координат, оси координат и координатные плоскости являются соответственно, центром симметрии, осями симметрии и плоскостями симметрии и называются вершиной, главными осями и главными плоскостями.

Осью конуса (8) обычно называют ось . Основное свойство конуса — это, если на конусе лежит точка(не совпадающая с вершиной), то на нём лежат все точки прямой, проходящей через вершинуи эту точку.

В самом деле, если — произвольная точка, лежащая на прямой, то,,и поэтому:

.

Таким образом, поверхность (8) образована прямыми, проходящими через начало координат. Поэтому для представления вида этой поверхности достаточно рассмотреть её сечение какой-нибудь плоскостью , параллельной плоскости. В сечении получится эллипс, уравнения которого имеют вид:,. Центр этого эллипсалежит на осив точке, а значит, поверхность (8) образована прямыми, соединяющими начало ко-ординат со всеми точками эллипса. (См. рис. 204).

Конус (8) может быть получен в результате равномерного сжатия ,,к плоскостиконуса вращения, полученного вращением вокруг осипрямой,, или в результате равномерного сжатия к плоскостям,и:,,равностороннего конуса вращения.

Гиперболоиды: однополостный и двуполостный

В уравнениях (4.48), (4.49) — положительные параметры, характеризующие гиперболоиды, причем .

Начало координат называют центром гиперболоида. Точки пересечения гиперболоида с координатными осями называются его вершинами. Это четыре точки однополостного гиперболоида (4.48) и две точки двуполостного гиперболоида (4.49). Три отрезка координатных осей, соединяющих вершины гиперболоидов, называются осями гиперболоидов. Оси гиперболоидов, принадлежащие координатным осям , называются поперечными осями гиперболоидов, а ось, принадлежащая оси аппликат , — продольной осью гиперболоидов. Числа , равные половинам длин осей, называются полуосями гиперболоидов.

Плоские сечения однополостного гиперболоида

Подставляя в уравнение (4.48), получаем уравнение линии пересечения однополостного гиперболоида с координатной плоскостью . Это уравнение в плоскости определяет эллипс, который называется горловым. Линии пересечения однополостного гиперболоида с другими координатными плоскостями являются гиперболами. Они называются главными гиперболами. Например, при , а при — главную гиперболу

Рассмотрим теперь сечение однополостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости . Подставляя — произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.48), получаем

При любом значении параметра уравнение определяет эллипс с полуосями . Следовательно, сечение однополостного гиперболоида плоскостью , горловой эллипс (при ) является эллипсом с наименьшими полуосями.

Таким образом, однополостный гиперболоид можно представить как поверхность, образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных гиперболах (рис.4.42,а)

Плоские сечения двуполостного гиперболоида

Сечения двуполостного гиперболоида координатными плоскостями и представляют собой гиперболы (главные гиперболы).

Рассмотрим теперь сечения двуполостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости . Подставляя — произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.49), получаем

При уравнение не имеет действительных решений (правая часть уравнения отрицательная, а левая неотрицательная), т.е. плоскость . Следовательно, плоскости касаются двуполостного гиперболоида в его вершинах . При получаем уравнение эллипса с полуосями . Следовательно, сечение двуполостного гиперболоида плоскостью представляет собой эллипс с центром на оси аппликат, вершины которого лежат на главных гиперболах.

Таким образом, двуполостный гиперболоид можно представить как поверхность образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных гиперболах (рис.4.43,а).

Гиперболоиды вращения

Гиперболоид, у которого поперечные полуоси равны , называется гиперболоидом вращения . Такой гиперболоид является поверхностью вращения, а его сечения плоскостями ) представляют собой окружности с центрами на оси аппликат. Однополостный или двуполостный гиперболоиды можно получить, вращая вокруг оси гиперболу (рис.4.42,б) или сопряженную гиперболу (рис.4.43,б) соответственно. Заметим, что уравнение последней можно записать в форме .

Гиперболоид, у которого поперечные оси различны , называется трехосным (или общим).

1. Плоскости определяют в пространстве основной прямоугольный параллелепипед , вне которого находится двуполостный гиперболоид (рис.4.43,в). Две грани параллелепипеда касаются гиперболоида в его вершинах.

2. Сечение однополостного гиперболоида плоскостью, параллельной оси аппликат и имеющей одну общую точку с горловым эллипсом (т.е. касающейся его), представляет собой две прямые, пересекающиеся в точке касания. Например, подставляя в уравнение (4.48), получаем уравнение двух пересекающихся прямых (см. рис.4.42,а).

3. Однополостный гиперболоид является линейчатой поверхностью, т.е. поверхностью, образованной движением прямой (см. рис.4.42,в). Например, однополостный гиперболоид вращения можно получить, вращая прямую вокруг другой прямой, скрещивающейся с ней (но не перпендикулярной).

4. Начало канонической системы координат является центром симметрии гиперболоида, координатные оси — осями симметрии гиперболоида, координатные плоскости — плоскостями симметрии гиперболоида.

В самом деле, если точка принадлежит гиперболоиду, то точки с координатами при любом выборе знаков также принадлежат гиперболоиду, поскольку их координаты удовлетворяют уравнению (4.48) или (4.49) соответственно.

math serfer .narod.ru

где , , — положительные числа.

Исследуем форму однополостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому

Это уравнение на плоскости задает эллипс с полуосями и (рис. 13.8). Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому

Это уравнение гиперболы на плоскости , где действительная полуось равна , а мнимая полуось равна . Построим эту гиперболу (рис. 13.8).

Рис. 13 . 8 .Сечения однополостного гиперболоида двумя плоскостями

Сечение плоскостью также является гиперболой с уравнением

Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью (рис. 13.9).

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями , . Уравнения этих линий

Первое уравнение преобразуем к виду

( 13 .7)

где , . Уравнение (13.7) является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости , с коэффициентом подобия и полуосями и . Нарисуем полученные сечения (рис. 13.9).

Рис. 13 . 9 .Изображение однополостного гиперболоида с помощью сечений

Привычное для глаза изображение однополостного гиперболоида приведено на рисунке 13.10.

Рис. 13 . 10 .Однополостный гиперболоид

Если в уравнении (13.6) , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости , являются окружностями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости , вокруг оси (рис. 13.11).

Рис. 13 . 11 .Однополостный гиперболоид вращения

( 13 .8)

где , , — положительные числа.

Исследуем форму двуполостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид и однополостный гиперболоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому

Координаты ни одной точки плоскости не могут удовлетворять данному уравнению. Следовательно, двуполостный гиперболоид не пересекает эту плоскость. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому

Это уравнение гиперболы на плоскости , где действительная полуось равна , а мнимая полуось равна . Построим эту гиперболу (рис. 13.12).

Рис. 13 . 12 .Сечения двуполостного гиперболоида плоскостью

Сечение плоскостью также является гиперболой, с уравнением

Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью (рис. 13.13).

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями , . Уравнения этих линий

Очевидно, что ни одна точка не может удовлетворять этим уравнениям, если . Если или , то плоскость имеет с исследуемой поверхностью только одну точку или . Эти точки называются вершинами гиперболоида.

Пусть . Первое уравнение преобразуем к виду

( 13 .9)

где , . Уравнение (13.9) является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости , с коэффициентом подобия и полуосями и . Нарисуем полученные сечения (рис. 13.13).

Рис. 13 . 13 .Изображение двуполостного гиперболоида с помощью сечений

Привычное для глаза изображение двуполостного гиперболоида приведено на рисунке 13.14.

Рис. 13 . 14 .Двуполостный гиперболоид

Если в уравнении (13.8) , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости , являются окружностями. В этом случае поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости , вокруг оси (рис 4.15).

3.5.3. Двуполостный гиперболоид

Величины положительны и называются полуосями двуполостного гиперболоида.

1. Двуполостный гиперболоид — центральная поверхность с центром в начале координат; оси координат являются его осями симметрии, а координатные плоскости – плоскостями симметрии двуполостного гиперболоида.

2. Рассмотрим сечения этой поверхности координатными плоскостями. Сечение плоскостью XOZ задается уравнениями:

И представляет собой гиперболу, расположенную симметрично относительно координатных осей OX, OZ и пересекающую ось OZ в точках (0,0,с) и (0,0, — с).

Сечение плоскостью YOZ определяется уравнениями

и задает гиперболу, расположенную симметрично относительно осей OY и OZ и пересекающую ось OZ в точках (0,0,с) и (0,0, — с).

Рассмотрим теперь сечения данного гиперболоида плоскостями, параллельными координатной плоскости XOY (z = h), эти сечения задаются уравнениями

Отсюда видно, что при > c плоскость z = h пересекает двуполостный гиперболоид по эллипсу с полуосями , , расположенному симметрично относительно плоскостей XOZ и YOZ; при возрастании величины , возрастают; если , убывая, приближается к , то , убывают, причем при имеем =0, =0; это означает, что эллипс, образуемый сечением плоскостью z = c, или z = — c, вырождается в точку, т. е. плоскости касаются гиперболоида; при <c сечения определяют мнимый эллипс, т. е. при <c плоскость z=h не пересекается с двуполостным гиперболоидом.