Признак делимости на 6, примеры, доказательство
Данная статья раскрывает смысл признака делимости на 6 . Будет введена его формулировка с примерами решений. Ниже приведем доказательство признака делимости на 6 на примере некоторых выражений.
Признак делимости на 6, примеры
Формулировка признака делимости на 6 включает в себя признак делимости на 2 и на 3 : если число оканчивается на цифры 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , а сумма цифр делится без остатка на 3 , значит, такое число делится на 6 ; при отсутствии хотя бы одного условия заданное число на 6 не поделится. Иначе говоря, число будет делиться на 6 , когда оно поделится на 2 и на 3 .
Применение признака делимости на 6 работает в 2 этапа:
- проверка делимости на 2 , то есть число должно оканчиваться на 2 для явной делимости на 2, при отсутствии цифр 0 , 2 , 4 , 6 , 8 в конце числа деление на 6 невозможно;
- проверка делимости на 3 , причем проверка производится при помощи деления суммы цифр числа на 3 без остатка, что означает возможность делимости всего числа на 3 ; исходя из предыдущего пункта видно, что все число делится на 6 , так как выполняются условия для деления на 3 и на 2 .
Проверить, может ли число 8 813 делиться на 6 ?
Решение
Очевидно, что для ответа нужно обратить внимание на последнюю цифру числа. Так как 3 не делится на 2 , отсюда следует, что одно условие не выполняется. Получаем, что заданное число на 6 не поделится.
Узнать, возможно ли деление числа 934 на 6 без остатка.
Решение
Обращаем внимание на последнюю цифру заданного числа. Так как 4 удовлетворяет первому признаку, то есть делится на 2 , то следует проверить на выполнимость второе условие. В данном случае сумма цифр должна поделиться на 6 . Получаем, что из числа 934 полагается сумма 9 + 3 + 4 = 16 . Так как 16 на 3 не делится, то отсюда делаем вывод, что заданное число на 6 не поделится.
Проверить делимость на 6 числа − 7 269 708 .
Решение
Переходим к последней цифре числа. Так как ее значение равняется 8 , то первое условие выполнимо, то есть 8 делится на 2 . Переходим к проверке на выполнимость второго условия. Для этого складываем цифры заданного числа 7 + 2 + 6 + 9 + 7 + 0 + 8 = 39 . Видно, что 39 делится на 3 без остатка. То есть получаем ( 39 : 3 = 13 ) . Очевидно, что оба условия выполняются, значит, что заданно число разделится на 6 без остатка.
Ответ: да, делится.
Чтобы проверить делимость на 6 , можно выполнить непосредственно деление на число 6 без проверки признаков делимости на него.
Доказательство признака делимости на 6
Рассмотрим доказательство признака делимости на 6 с необходимыми и достаточными условиями.
Для того, чтобы целое число a делилось на 6 , необходимо и достаточно, чтобы это число делилось на 2 и на 3 .
Для начала необходимо доказать, что делимость числа a на 6 обуславливает его делимость на 2 и на 3 . Использование свойства делимости: если целое число делится на b , тогда произведение m·a с m, являющимся целым числом, также делится на b .
Отсюда следует, что при делении a на 6 можно использовать свойство делимости для того, чтобы представить равенство в виде a = 6 · q , где q является некоторым целым числом. Такая запись произведения говорит о том, что наличие множителя дает гарантию деления на 2 и на 3 . Необходимость доказана.
Для полного доказательства делимости на 6 , следует доказать достаточность. Для этого нужно доказать, что если число делится на 2 и на 3 , то оно делится и на 6 без остатка.
Необходимо применение основной теоремы арифметики. Если произведение нескольких целых положительных и не равных единицам множителей делится на простое число p , тогда хотя бы один множитель делится на p .
Имеем, что целое число a поделится на 2 , тогда существует такое число q , когда a = 2 · q . Это же выражение делится на 3 , где 2 · q делится на 3 . Очевидно, что 2 на 3 не делится. Из теоремы следует, что q должно делиться на 3 . Отсюда получим, что имеется целое число q 1 , где q = 3 · q 1 . Значит, полученное неравенство вида a = 2 · q = 2 · 3 · q 1 = 6 · q 1 говорит о том, что число a будет делиться на 6 . Достаточность доказана.
Другие случаи делимости на 6
В данном пункте рассматриваются способы доказательств делимости на 6 с переменными. Такие случаю предусматривают другой метод решения. Имеем утверждение: если один из целых множителей в произведении делится на заданное число, то и все произведение поделится на это число. Иначе говоря, при представленном заданном выражении в виде произведения хотя бы один из множителей делится на 6 , то все выражение будет делиться на 6 .
Такие выражения проще решать при помощи подстановки формулы бинома Ньютона.
Определить, будет ли выражение 7 n — 12 n + 11 делиться на 6 .
Решение
Представим число 7 в виде суммы 6 + 1 . Отсюда получаем запись вида 7 n — 12 n + 11 = ( 6 + 1 ) n — 12 n + 11 . Применим формулу бинома Ньютона. После преобразований имеем, что
7 n — 12 n + 11 = ( 6 + 1 ) n — 12 n + 11 = = ( C n 0 · 6 n + C n 1 · 6 n — 1 + . . . + + C n n — 2 · 6 2 · 1 n — 2 + C n n — 1 · 6 · 1 n — 1 + C n n · 1 n ) — 12 n + 11 = = ( 6 n + C n 1 · 6 n — 1 + . . . + C n n — 2 · 6 2 + n · 6 + 1 ) — 12 n + 11 = = 6 n + C n 1 · 6 n — 1 + . . . + C n n — 2 · 6 2 — 6 n + 12 = = 6 · ( 6 n — 1 + C n 1 · 6 n — 2 + . . . + C n n — 2 · 6 1 — n + 2 )
Полученное произведение делится на 6 , потому как один из множителей равняется 6 . Отсюда следует, что n может быть любым целым натуральным числом, причем заданное выражение поделится на 6 .
Когда выражение задается при помощи многочлена, тогда следует произвести преобразования. Видим, что требуется прибегнуть к разложению многочлена на множители. получим, что переменная n примет вид и запишется как n = 6 · m , n = 6 · m + 1 , n = 6 · m + 2 , … , n = 6 · m + 5 , число m является целым. Если делимость при каждом n будет иметь смысл, то делимость заданного числа на 6 при любом значении целого n будет доказана.
Доказать, что при любом значении целого n выражение n 3 + 5 n поделится на 6 .
Решение
Для начала разложим на множители заданное выражение и получим, что n 3 + 5 n = n · ( n 2 + 5 ) . Если n = 6 · m , тогда n · ( n 2 + 5 ) = 6 m · ( 36 m 2 + 5 ) . Очевидно, что наличие множителя числа 6 говорит о том, что выражение делится на 6 для любого целого значения m .
Если n = 6 · m + 1 , получаем
n · ( n 2 + 5 ) = ( 6 m + 1 ) · 6 m + 1 2 + 5 = = ( 6 m + 1 ) · ( 36 m 2 + 12 m + 1 + 5 ) = = ( 6 m + 1 ) · 6 · ( 6 m 2 + 2 m + 1 )
Произведение будет делиться на 6 , так как имеет множитель, равняющийся 6 .
Если n = 6 · m + 2 , то
n · ( n 2 + 5 ) = ( 6 m + 2 ) · 6 m + 2 2 + 5 = = 2 · ( 3 m + 1 ) · ( 36 m 2 + 24 m + 4 + 5 ) = = 2 · ( 3 m + 1 ) · 3 · ( 12 m 2 + 8 m + 3 ) = = 6 · ( 3 m + 1 ) · ( 12 m 2 + 8 m + 3 )
Выражение будет делиться на 6 , так как в записи имеется множитель 6 .
Таким же образом выполняется и для n = 6 · m + 3 , n = 6 · m + 4 и n = 6 · m + 5 . При подстановке придем к тому, что при любом целом значении m эти выражения будут делиться на 6 . Отсюда следует, что заданное выражение поделится на 6 при любом целом значении n .
Теперь рассмотрим на примере решения при помощи задействования метода математической индукции. Будет произведено решение по условию первого примера.
Доказать, что выражение вида 7 n — 12 n + 11 будет делиться на 6 , где примет любые целые значения выражения.
Решение
Данный пример решим по методу математической индукции. Алгоритм выполним строго пошагово.
Произведем проверку делимости выражения на 6 при n = 1 . Тогда получаем выражение вида 7 1 — 12 · 1 + 11 = 6 . Очевидно, что 6 поделится само на себя.
Возьмем n = k в исходном выражении. Когда оно будет делиться на 6 , тогда можно считать, что 7 k — 12 k + 11 будет делиться на 6 .
Перейдем к доказательству деления на 6 выражения вида 7 n — 12 n + 11 при n = k + 1 . Отсюда получим, что необходимо доказать делимость выражения 7 k + 1 — 12 · ( k + 1 ) + 11 на 6 , причем следует учитывать то, что 7 k — 12 k + 11 делится на 6 . Преобразуем выражение и подучим, что
7 k + 1 — 12 · ( k + 1 ) + 11 = 7 · 7 k — 12 k — 1 = = 7 · ( 7 k — 12 k + 11 ) + 72 k — 78 = = 7 · ( 7 k — 12 k + 11 ) + 6 · ( 12 k — 13 )
Очевидно, что первое слагаемое будет делиться на 6 , потому как 7 k — 12 k + 11 делится на 6 . Второе слагаемое также делится на 6 , потому как один из множителей равен 6 . Отсюда делаем вывод, что все условия соблюдены, а значит, что вся сумма будет делиться на 6 .
Метод математической индукции доказывает, что заданное выражение вида 7 n — 12 n + 11 будет делиться на 6 , когда n примет значение любого натурального числа.
Делимость чисел
Число делится на 11, если сумма цифр, занимающих четные места, равна сумме цифр, занимающих нечетные места, или разность суммы цифр нечетных мест и суммы цифр четных мест кратна 11. Например:
655787 (6 + 5 + 8 = 19 и 5 + 7 + 7 = 19);
9 163 638 (9 + 6 + б + 8 = 29 и 1 + 3 + 3 = 7);
29 — 7 = 22; 22 : 11 = 2).
Признак делимости на 25
Число делится на 25,если , две последние цифры которых — нули или составляют число, которое делится на 25.
1 700; 375 ( 75 : 25 = 3);
Признаки делимости на 6 и 12
Например, проверим, делится ли на 6 число 2304. Это число оканчивается на 2, поэтому оно делится на 2. Сумма цифр этого числа равна 2 + 3 + 0 + 4 = 9, поэтому число делится на 3. Следовательно, число делится на 6.
Например, проверим, делится ли на 12 число 2304. Мы выяснили, что это число делится на 3. Это число также делится и на 4: число, составленное из двух последних цифр числа 2304 равно 04 = 4, а 4 делится на 4. Поэтому число 2304 делится на 12.
3 ответа к “Признаки делимости на 6 и 12”
Число 171 делится на 3 (1+7+1=9) и сумма двух последних цифр равно 8, делится на 4, но число 171 на 12 не делится.
Вывод о том, что 171 делится на 3, сделан верно, а вот признак делимости на 4 использован неправильно — на 4 должно делиться число из двух последних цифр, то есть 71, а не сумма 7 + 1 = 8. Так как 71 не делится на 2, то и на 4 оно тоже не делится.
Посмотрите признак делимости на 4.
Так как 171 не делится на 4, то и на 12 оно также не делится.
Вы не поняли, на 4 делится число, если составленное число из двух последних цифр делится на 4. В числе 171 последние две цифры 7 и 1, эти числа нужно не сложить, а поставить друг возле друга. То есть, выйдет не восемь, а 71. 71 на четыре не делится (40 и 31, 31 на 4 не делится).
Признаки делимости чисел
В данной публикации мы рассмотрим признаки делимости на числа от 2 до 11, сопроводив их примерами для лучшего понимания.
Признак делимости – это алгоритм, используя который можно сравнительно быстро определить, является ли рассматриваемое число кратным заранее заданному (т.е. делится ли на него без остатка).
- Признак делимости на 2
- Признак делимости на 3
- Признак делимости на 4
- Признак делимости на 5
- Признак делимости на 6
- Признак делимости на 7
- Признак делимости на 8
- Признак делимости на 9
- Признак делимости на 10
- Признак делимости на 11
Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.
Примеры:
- 4, 32, 50, 112, 2174 – последние цифры этих чисел четные, значит они делятся на 2.
- 5, 11, 37, 53, 123, 1071 – не делятся на 2, т.к. их последние цифры являются нечетными.
Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на три.
Примеры:
- 18 – делится на 3, т.к. 1+8=9, а число 9 делится на 3 (9:3=3).
- 132 – делится на 3, т.к. 1+3+2=6, а 6:3=2.
- 614 – не кратно 3, т.к. 6+1+4=11, а 11 не делится без остатка на 3
Признак делимости на 4
Двузначное число
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма удвоенной цифры в разряде его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на четыре.
- 64 – делится на 4, т.к. 6⋅2+4=16, а 16:4=4.
- 35 – не делится на 4, т.к. 3⋅2+5=11, а .
Число разрядов больше 2
Число кратно 4, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на четыре.
- 344 – делится на 4, т.к. 44 кратно 4 (по алгоритму выше: 4⋅2+4=12, 12:4=3).
- 5219 – не кратно 4, т.к. 19 не делится нацело на 4.
Примечание:
Число делится на 4 без остатка, если:
- в его последнем разряде стоят цифры 0, 4 или 8, а предпоследний разряд при этом является четным;
- в последнем разряде – 2 или 6, а в предпоследнем – нечетные цифры.
Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – это 0 или 5.
Примеры:
- 10, 65, 125, 300, 3480 – делятся на 5, т.к. оканчиваются на 0 или 5.
- 13, 67, 108, 649, 16793 – не делятся на 5, т.к. их последние цифры – не 0 или 5.
Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда он одновременно кратно и двум, и трем (см. признаки выше).
Примеры:
- 486 – делится на 6, т.к. делится на 2 (последняя цифра 6 – четная) и на 3 (4+8+6=18, 18:3=6).
- 712 – не делится на 6, т.к. оно кратно только 2.
- 1345 – не делится на 6, т.к. не является кратным ни 2, ни 3.
Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.
- 91 – делится на 7, т.к. 9⋅3+1=28, а 28:7=4.
- 105 – делится на 7, т.к. 10⋅3+5=35, а 35:7=5 (в числе 105 – десять десятков).
- 812 – делится на 7. Здесь следующая цепочка: 81⋅3+2=245, 24⋅3+5=77, 7⋅3+7=28, а 28:7=4.
- 302 – не делится на 7, т.к. 30⋅3+2=92, 9⋅3+2=29, а число 29 на 7 не делится.
Признак делимости на 8
Трехзначное число
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифры в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и учетверенной в разряде сотен делится на восемь.
- 264 – делится 8, т.к. 2⋅4+6⋅2+4=24, а 24:8=3.
- 716 – не делится 8, т.к. 7⋅4+1⋅2+6=36, а .
Число разрядов больше 3
Число делится на 8, когда три последние цифры образуют число, делящееся на 8.
- 2336 – делится на 8, т.к. 336 кратно 8.
- 12547 – не кратно 8, т.к. 547 не делится без остатка на восемь.
Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на девять.
Примеры:
- 324 – делится на 9, т.к. 3+2+4=9, а 9:9=1.
- 921 – не делится на 9, т.к. 9+2+1=12, а
Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.
Примеры:
- 10, 110, 1500, 12760 – кратные 10 числа, последняя цифра – 0.
- 53, 117, 1254, 2763 – не делятся на 10.
Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.