Как найти наименьший период функции

Периодичность функций

Функция называетсяпериодической, если существует такое число , что для любого значениях из области определения выполняется равенство

,

число Т называется периодом функции.

Примеры периодических функций: ,,,.

Заметим, что периодическую функцию достаточно исследовать в пределах одного периода, т.е. при .

Пример. Найти наименьший период функции .

Решение. Период для функций иравен. Функцияимеет период в 3 раза меньше, т.е.,. Наименьший период суммыдолжен быть таким, чтобыипомещались в нем целое число раз. В данном случае.

Задание 3. Найти наименьший период функции

1)

16)

2)

17)

3)

18)

4)

19)

5)

20)

6)

21)

7)

22)

8)

23)

9)

24)

10)

25)

11)

26)

12)

27)

13)

28)

14)

29)

15)

30)

Простейшие преобразования графиков

Пусть в данной системе координат вычерчен график некоторой функции

Из этого графика с помощью специальных приемов легко получить график сходных функций; таких как

,

а также более общего вида

,

где — некоторые константы.

График функции получается растяжением или сжатиемвm раз исходного графика вдоль оси Оy.

Если же , то, построив сначала график функции, затем строим симметричный с ним относительно осиОх искомый график функции .

График функции получается с помощью параллельного переноса (сдвига) графика вдоль осиОy вверх или внизнаn единиц.

График функции получается из графика сжатиемили растяжениемего ва раз вдоль оси Ох. (т.е. к оси Оy).

График функции y=f(x+b) получается из графика y=f(x) с помощью параллельного переноса (сдвига) его вдоль оси Ох влево (b>0) или вправо (b<0) на b единиц.

Построение графиков подобного рода в общем случае

сводится к проведению в соответствующем порядке операций 1-4.

Пример. Построить график функции .

Строим график ;

сжимаем его вдоль осив 2 раза, получаем график;

сдвигаем график влево наи получаем график;

растягиваем график вдоль осив 2 раза и получаем требуемый график.

Пример. Построить график функции .

1) строим график ;

2) сдвигаем его влево по осина 1, получаем график функции;

3) сжимаем график вдоль осив 2 раза и строим симметричный ему относительно оси, получаем график;

4) поднимаем график функции по оси Оy вверх на две единицы, получаем искомый график.

Как найти наименьший период функции

Функция, значения которой повторяются через определенное число, называется периодической. То есть сколько бы периодов вы ни прибавили к значению х, функция будет равна одному и тому же числу. Любое исследование периодических функций начинается с поиска наименьшего периода, чтобы не выполнять лишнюю работу: достаточно изучить все свойства на отрезке, равном периоду.

Воспользуйтесь определением периодической функции. Все значения х в функции замените на (х+Т), где Т – наименьший период функции. Решите полученное уравнение, считая Т неизвестным числом.

В результате вы получите некое тождество, из него попробуйте подобрать минимальный период. Например, если получилось равенство sin(2T)=0,5, следовательно, 2Т=П/6, то есть Т=П/12.

Если равенство получается верным только при Т=0 или параметр Т зависит от х (например, получилось равенство 2Т=х), делайте вывод о том, что функция не периодична.

Для того чтобы узнать наименьший период функции, содержащей лишь одно тригонометрическое выражение, воспользуйтесь правилом. Если в выражении стоит sin или cos, периодом для функции будет 2П, а для функций tg, ctg ставьте наименьший период П. Учтите при этом, что функция не должна быть возведена в какую-либо степень, а переменная под знаком функции не должна быть умножена на число, отличное от 1.

Если cos илиsin внутри функции возведены в четную степень, уменьшите период 2П в два раза. Графически вы можете увидеть это так: график функции, расположенный ниже оси ох, симметрично отразится вверх, поэтому функция будет повторяться в два раза чаще.

Чтобы найти наименьший период функции при том, что угол х умножен на какое либо число, действуете так: определите стандартный период этой функции (например, для cos это 2П). Затем разделите его на множитель перед переменной. Это и будет искомый наименьший период. Уменьшение периода хорошо видно на графике: он сжимается ровно во столько раз, на сколько умножен угол под знаком тригонометрической функции.

Обратите внимание, если перед х стоит дробное число меньше 1, период увеличивается, то есть график, напротив, растягивается.

Если в вашем выражении две периодические функции умножены друг на друга, найдите наименьший период для каждой по отдельности. Затем определите наименьший общий множитель для них. Например, для периодов П и 2/3П наименьший общий множитель будет 3П (он делится без остатка как на П, так и на 2/3П).

Периодические функции

С периодическими функциями мы встречаемся в школьном курсе алгебры. Это функции, все значения которых повторяются через определенный период. Как будто мы копируем часть графика — и повторяем этот паттерн на всей области определения функции. Например, — периодические функции.

Дадим определение периодической функции:

Функция называется периодической, если существует такое число , не равное нулю, что для любого из ее области определения

Другими словами, это функция, значения которой не изменяются при добавлении к значениям её аргумента некоторого фиксированного ненулевого числа . Число называется периодом функции. Как правило, говоря о периоде, мы имеем в виду наименьший положительный период функции.

Например, — периодические функции.

Для функций и период ,

Для функций и период

Но не только тригонометрические функции являются периодическими. Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задачи:

1. Периодическая функция определена для всех действительных чисел. Ее период равен двум и Найдите значение выражения

График функции может выглядеть, например, вот так:

Отметим точку М (1; 5), принадлежащую графику функции . Поскольку период функции равен 2, значения функции в точках будут также равны пяти. Здесь k — целое число.

Как ведет себя функция в других точках — мы не знаем. Но знаем, что ее график состоит из повторяющихся элементов длиной 2, что и нарисовано.

Значения функции в точках -3 и 7 равны пяти. Мы получим:

2. График четной периодической функции совпадает с графиком функции на отрезке от 0 до 1; период функции равен 2. Постройте график функции и найдите f(4 ).

Построим график функции при

Поскольку функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат. Построим часть графика при симметричную части графика от 0 до 1.

Период функции равен 2. Повторим периодически участок длины 2, который уже построен.

3. Найдите наименьший положительный период функции

Наименьший положительный период функции равен

График функции получается из графика функции сжатием в 3 раза по оси X (смотри тему «Преобразование графиков функций).

Значит, у функции частота в 3 раза больше, чем у функции , а наименьший положительный период в 3 раза меньше и равен . Значит, на отрезке укладывается ровно 3 полных волны функции

Рассуждая аналогично, получим, что для функции наименьший положительный период равен На отрезке укладывается ровно 5 полных волн функции

Числа 3 и 5 — взаимно простые. Поэтому наименьший положительный период функции равен .

4. Период функции равен 12, а период функции равен 8. Найдите наименьший положительный период функции

По условию, период функции равен 12. Это значит, что все значения повторяются через 12, через . Если мы выберем любую точку на графике функции то через значение функции будет такое же, как и в точке

Аналогично, все значения функции повторяются через . В этих точках значения будут такие же, как и в точке

На каком же расстоянии от точки расположена точка, в которой значение функции такое же, что и в точке ? Очевидно, на расстоянии Это значит, что число делится и на 12, и на 8, то есть является их наименьшим общим кратным. Значит, .

Наименьший положительный период суммы функций равен наименьшему общему кратному периодов слагаемых.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Периодические функции» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Уроки математики и физики для школьников и родителей

Функцию у = f (х) , х ∈ Х , называют периодической , если существует такое отличное от нуля число Т , что для любого х из области определения функции справедливо равенство:

f (х + Т) = f (х) = f (х – Т) .

Число Т называют периодом функции у = f (х) .

Из этого определения сразу следует, что если Т – период функции

у = f (х) , то

2Т, 3Т, 4Т, –Т, –2Т, –3Т, –4Т

– также периоды функций. Значит у периодической функции бесконечно много периодов.

Если Т – период функции, то число вида k Т , где k – любое целое число, также является периодом функции.

Чаще всего (но не всегда) среди множества положительных периодов функции можно найти наименьший. Его называют основным периодом .

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

Графики периодических функций обладают следующей особенностью. Если Т – основной период функции у = f (х) , то для построения её графика достаточно построить ветвь графика на одном из промежутков оси х длиной Т , а затем осуществить параллельный перенос этой ветви по оси х на

(– Т / ₂ ; 0) и ( Т / ₂ ; 0) или

(0; 0) и (Т; 0) .

Рассмотрим функцию

у = х – [х] , где [х] – целая часть числа. Если к произвольному значение аргумента этой функции добавить 1 , то значение функции от этого не изменится :

f (x + 1) = (x +1) – [x + 1] = x + 1 – [x] – 1 = x – [x] = f (x).

Следовательно, при любом значении х

f (x + 1) = f(x).

А это значит, что рассматриваемая функция периодическая, период которой равен 1 . Любое целое число также является периодом данной функции, но обычно рассматривают только маленький положительный период функции.

Возьмём произвольный угол α и построим подвижной радиус ОМ единичной окружности такой, что угол, составленный с осью Ох этим радиусом, равен α .

Если мы к углу прибавим 2π или 360 ° (то есть полный оборот), то углу α + 2π или α + 360 ° будет соответствовать то же положение подвижного радиуса ОМ , что для угла α .

sin (α + 2π) = sin α или

sin (α + 360 ° ) = sin α

cos (α + 2π) = cos α или

cos (α + 360 ° ) = cos α .

Таким образом, функции sin α и cos α от прибавления к аргументу α одного полного оборота ( 2π или 360 ° ) не меняют своих значений.

Точно так же, прибавляя к углу α любое целое число полных оборотов, мы не изменим положения подвижного радиуса ОМ , а потому:

sin (α + 2 k π ) = sin α или

sin (α + 360 ° k ) = sin α

cos (α + 2 k π ) = cos α или

cos (α + 360 ° k ) = cos α ,

где k – любое целое число.

Функции, обладающие таким свойством, что их значения не изменяются от прибавления к любому допустимому значению аргумента определённого постоянного числа, называются периодическими .

Следовательно, функции sin α и cos α – периодические.

Наименьшее положительное число, от прибавления которого к любому допустимому значению аргумента не изменяется значение функции, называется периодом функции.

Периодом функции sin α и cos α является 2π или 360 ° .

Функции tg α и с tg α также периодические и их периодом является число π или 180 ° .

В самом деле, пусть α – произвольный угол, составленный с осью Ох подвижным радиусом ОМ единичной окружности.

Построим точку М ‘,

Если х и у – координаты точки М , то точки М ‘ будут –х и –у . Поэтому

sin α = у, cos α = х,

sin (α + π) = –у,

cos (α + π) = –х.

tg (α + π) = tg α,

с tg (α + π) = с tg α .

отсюда следует, что значения tg α и с tg α не изменяются, если к углу α прибавить любое число полуоборотов:

tg (α + k π ) = tg α,

с tg (α + k π ) = с tg α .

где k – любое целое число.

y = A sin ( ωx + φ ) и

y = A cos ( ωx + φ )

вычисляются по формуле

T = 2π /_ω ,

а период функции

y = A tg ( ωx + φ )

T = π /_ω .

Если период функции y = f ( x ) равен T ₁ , а период функции y = g ( x ) равен T ₂ , то период функций

y = f ( x ) + g ( x ) и

y = f ( x ) – g ( x )

равен наименьшему числу, при делении которого на T ₁ и T ₂ получаются целые числа.

Найти период функции

y = 3 sin (x – 2) + 7 со s π x .

Период функции

y = 3 sin ( x – 2)

T ₁ = 2π / ₁ = 2π .

Период функции

y = 7 со s π x

T ₂ = 2π /_π = 2 .

Периода у функции

y = 3 sin ( x – 2) + 7 со s π x

не существует, так как такого числа, при делении которого на 2π и на 2 получались бы целые числа, нет.

Периода не существует.

Доказать следующее утверждение :

tg 3850 ° = tg 250 ° .

Так как тангенс – периодическая функция с минимальным периодом 20 ∙ 180 ° , то получим :

tg 3850 ° = tg (20 ∙ 180 ° + 250 ° ) = tg 250 ° .

Доказать следующее утверждение :

Так как косинус – чётная и периодическая функция с минимальным периодом 2π , то получим :

сos (–13π) = сos 13π = сos (π + 6 ∙ 2π) = сos π = –1.

Доказать следующее утверждение :

Так как синус – нечётная и периодическая функция с минимальным периодом 20 ∙ 360 ° , то получим :

ПРИМЕР :

Найти основной период функции

Пусть Т основной период функции, тогда:

sin 7х = sin 7(х + t ) = sin (7х + 7 t )

так как 2 πk период синуса, то получим :

sin (7х + 7 t ) = sin (7х + 2 πk ),

Найти основной период функции

Пусть Т основной период функции, тогда:

со s 0,3х = со s 0,3(х + t ) = со s (0,3х + 0,3 t )

так как 2 πk период косинуса, то получим :

со s (0,3х + 0,3 t ) = со s (0,3х + 2 πk ),

Найти период функции :

y = 5 sin 2 x + 2 ctg 3х.

Период функции

y = 5 sin 2 x

равен Т ₁ = 2 �� / ₂ = π ,

а период функции

y = 2 ctg 3х

равен Т ₂ = �� / ₃ .

Наименьшее число, при делении которого на

Т ₁ = π и Т ₂ = �� / ₃

– получаются целые числа будет число π . Следовательно, период заданной функции равен Т = π .

Найти период функции :

y = 9 sin (5 x + π / ₃ ) – 4 c о s (7х + 2).

Находим периоды слагаемых. Период функции

y = 9 sin (5 x + π / ₃ )

равен Т ₁ = 2 �� / ₅ ,

а период функции

y = 4 c о s (7х + 2)

равен Т ₂ = 2 �� / ₇ .

Очевидно, что период заданной функции равен

Т = 2π .

Найти период функции :

y = 3 sin π x + 8 tg (х + 5).

Период функции

y = 3 sin π x

равен Т ₁ = 2 π / _π = 2,

а период функции

y = 8 tg (х + 5)

равен Т ₂ = �� / ₁ = π.

Периода у заданной функции не существует, так как нет такого числа, при делении которого на 2 и на π одновременно получались бы целые числа.

Найти период функции :

y = sin 3 x + со s 5х.

Период функции

y = sin 3 x

равен Т ₁ = 2 π / ₃ ,

а период функции

y = со s 5х

равен Т ₂ = 2 π / ₅ .

Приведём к общему знаменателю периоды :

Т ₁ = 10 π / ₁₅ , Т ₂ = 6 π / ₁₅ .

Похожие публикации:

1. Ram загружен на 100 что делать
2. Silent mode что это
3. Как очистить массив в с
4. Как перевести программу с одного языка программирования на другой