Сколько точек на плоскости, равноудаленных от всех сторон треугольника? а) 1
По теореме точка плоскости, равноудалённая от сторон треугольника, лежит на пересечении биссектрис углов данного треугольника.
Три биссектрисы углов треугольника, пересекаются в одной точке по теореме. Эта точка является центром окружности, вписанной в данный треугольника. Такая точка единственная на плоскости для данного треугольника
Геометрические места точек
Геометрическим местом точек (ГМТ) называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые удовлетворяют какому-либо определенному условию.
Окружность — это множество всех точек на плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром окружности, указанное расстояние — ее радиусом.
Круг. — это множество всех точек плоскости, удаленных от данной точки не более, чем на длину данного отрезка. Указанная точка называется центром, а данный отрезок—радиусом круга.
1. (Теорема.) Докажите, что геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек Л и Б, является серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
2. Даны отрезок АВ и прямая. В каком случае на прямой а) существуют две точки, равноудаленные от Л и Б? б) таких точек нет?
3. Дан треугольник АВС. Где на плоскости находится такая точка М, что AM = ВМ = СМ?
4. Дан четырехугольник ABCD. Где находится такая точка О, что АО = СО, ВО = DO? Сколько может быть таких точек?
5. Дан четырехугольник ABCD. Оказалось, что на плоскости существуют две такие точки О, что АО = DO, ВО = СО. Докажите, что стороны ВС и AD параллельны.
6. Дан треугольник АВС. Некоторая точка М такова, что AM = 1, ВЫ = 2, СМ = 3. Докажите, что такая точка единственна.
7. На рисунке даны два равных отрезка АВ и CD. Найдите все такие точки М на плоскости, что треугольники АВМ и CDM равны. Сколько существует таких точек?
8. Дана точка О. Нарисуйте на плоскости множество всех таких точек М, что а) ОМ = 3 см; б) ОМ < 3 см; в) 2 см < ОМ < 3 см.
9. Дан квадрат. Закрасьте внутри него множество всех таких точек М, расстояния от которых до четырех вершин квадрата не больше его стороны.
10. Дан отрезок АВ. Закрасьте на плоскости множество всех таких точек М, что AM < АВ < ВЫ.
11. (Теорема.) Дан отрезок АВ. Докажите, что геометрическим местом таких точек М, что AM < ВЫ, является полуплоскость, расположенная по ту же сторону от серединного перпендикуляра к отрезку АВ, что и точка А.
12. Дан отрезок АВ. Где расположены на плоскости все такие точки М, что AM — наименьшая сторона треугольника АМВ? Ответ представьте в виде заштрихованной области.
13. В равностороннем треугольнике АВС взята точка О так, что угол АВО больше 30°. Докажите, что АО > СО.
14. Дан равносторонний треугольник АВС. Изобразите множество всех таких точек М внутри него, что ВЫ меньше AM и СМ.
15. Точка О — середина отрезка МК. Известно, что AM < ВМ, АК < ВК. Докажите, что АО < ВО.
16. Дан квадрат ABCD. Где находятся все такие точки М, что AM<bm<cm<dm7< p=»»></bm<cm<dm7<>
*17. Диагонали четырехугольника равны. Известно, что серединный перпендикуляр к одной его стороне пересекает противоположную сторону. Докажите, что это верно и для противоположной стороны.
18. (Теорема.) Дан угол меньше развернутого. Докажите, что геометрическим местом точек внутри угла, равноудаленных от его сторон, является биссектриса данного угла.
19. Даны две пересекающиеся прямые. Где расположены на плоскости все точки, равноудаленные от этих прямых?
20. Биссектрисы углов Л и С треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите, что эта точка принадлежит и биссектрисе угла В.
21. Дан шестиугольник, никакие стороны которого не параллельны. Сколько существует точек, которые равноудалены от трех его данных несмежных сторон?
22. Дан выпуклый четырехугольник, у которого нет параллельных сторон. Где находится такая точка, которая одновременно равноудалена от двух пар его противоположных сторон? Сколько может быть таких точек?
23. В четырехугольнике ABCD внешний угол при вершине А равен углу BCD, AD = CD. Докажите, что BD — биссектриса угла
Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.
Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.
Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.
Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.
В шестиугольнике нет параллельных сторон сколько существует точек которые равноудалены
1. (Теорема.) Докажите, что геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек Л и Б, является серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
Per Aspera Ad Astra
DAT
Просмотр профиля
| QUOTE (DJ Gotya @ Nov 19 2005, 03:45) |
| Красиво, мне понравилось. |
kostik
Просмотр профиля
DAT
Просмотр профиля
| QUOTE (kostik @ Nov 21 2005, 17:10) |
| Я бы продолжил 3 стороны, не имеющие общих точек, до треугольника. Тогда линии, соединяющие середины противоположных сторон, будут лежать на медианах этого треугольника. |
kostik
Просмотр профиля
В шестиугольнике нет параллельных сторон сколько существует точек которые равноудалены
Дан выпуклый многоугольник, никакие две стороны которого не параллельны. Для каждой из его сторон рассмотрим угол, под которым она видна из вершины, наиболее удалённой от прямой, содержащей эту сторону. Докажите, что сумма всех таких углов равна 180°.
Решение
Можно считать, что среди сторон многоугольника нет горизонтальных. Проведём горизонтальные опорные прямые l и m этого многоугольника, то есть прямые, проходящие через некоторые его вершины (в данном случае это верхняя вершина X и нижняя – A), но не содержащие его внутренних точек. Назовём диагональ (или сторону) AX ведущим отрезком для опорных прямых l и m. Будем поворачивать прямые l и m против часовой стрелки так, чтобы они оставались параллельными и опорными, и следить за тем, как меняется ведущий отрезок. Впервые такое переключение произойдёт, когда одна из прямых l или m попадёт на сторону многоугольника.
На рис. l попадает на сторону AB, после чего ведущим станет отрезок XB. Заметим, что ведущий отрезок повернулся против часовой стрелки на угол AXB, под которым сторона AB видна из самой далекой от неё вершины X.
Замечания
Если у многоугольника есть пары параллельных сторон, то утверждение останется верным, только под углом, соответствующим стороне AB || CD, надо понимать полусумму углов ACB и ADB.