Как выделить дробную часть

Что такое числовая дробь

Хотите почувствовать себя сапером? Тогда этот урок — для вас! Потому что сейчас мы будем изучать дроби — это такие простые и безобидные математические объекты, которые по способности «выносить мозг» превосходят весь остальной курс алгебры.

Главная опасность дробей состоит в том, что они встречаются в реальной жизни. Этим они отличаются, например, от многочленов и логарифмов, которые можно пройти и спокойно забыть после экзамена. Поэтому материал, изложенный в данном уроке, без преувеличения можно назвать взрывоопасным.

(или просто дробь) — это пара целых чисел, записанных через косую или горизонтальную черту.

Дроби, записанные через горизонтальную черту:

Те же самые дроби, записанные через косую черту:
5/7; 9/(−30); 64/11; (−1)/4; 12/1.

Обычно дроби записываются через горизонтальную черту — так с ними проще работать, да и выглядят они лучше. Число, записанное сверху, называется числителем дроби, а записанное снизу — знаменателем.

Любое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1. получилась дробь из приведенного выше примера.

Вообще, в числитель и знаменатель дроби можно поставить любое целое число. Единственное ограничение — знаменатель должен быть отличен от нуля. Вспомните старое доброе правило: «На ноль делить нельзя!»

Если в знаменателе все-таки стоит ноль, дробь называется неопределенной. Такая запись не имеет смысла и не может участвовать в вычислениях.

Основное свойство дроби

Дроби a / b и c / d называются ,

Из этого определения следует, что одну и ту же дробь можно записать по-разному. Например, , поскольку 1 · 4 = 2 · 2. Разумеется, существует множество дробей, которые не равны друг другу. Например, , поскольку 1 · 4 ≠ 3 · 5.

Возникает резонный вопрос: как найти все дроби, равные данной? Ответ дадим в форме определения:

— числитель и знаменатель можно умножать на одно и то же число, отличное от нуля. При этом получится дробь, равная данной.

Это очень важное свойство — запомните его. С помощью основного свойства дроби можно упрощать и сокращать многие выражения. В будущем оно постоянно будет «всплывать» в виде различных свойств и теорем.

Неправильные дроби. Выделение целой части

Если числитель меньше знаменателя, такая дробь называется правильной. В противном случае (т.е. когда числитель больше или хотя бы равен знаменателю) дробь называется неправильной, и в ней можно выделить целую часть.

Целая часть записывается крупным числом спереди перед дробью и выглядит так (отмечена красным):

Чтобы выделить целую часть в неправильной дроби, надо выполнить три простых шага:

1. Найдите, сколько раз знаменатель помещается в числителе. Другими словами, найдите максимальное целое число, которое при умножении на знаменатель все равно будет меньше числителя (в крайнем случае — равно). Это число и будет целой частью, поэтому записываем его спереди;
2. Умножьте знаменатель на целую часть, найденную в предыдущем шаге, а результат вычтите из числителя. Полученный «огрызок» называется остатком от деления, он всегда будет положительным (в крайнем случае — ноль). Записываем его в числитель новой дроби;
3. Знаменатель переписываем без изменений.

Ну как, сложно? На первый взгляд, может быть и сложно. Но стоит немного потренироваться — и вы будете делать это почти устно. А пока взгляните на примеры:

Задача. Выделите целую часть в указанных дробях:

Во всех примерах целая часть выделена красным цветом, а остаток от деления — зеленым.

Обратите внимание на последнюю дробь, где остаток от деления оказался равным нулю. Получается, что числитель полностью разделился на знаменатель. Это вполне логично, ведь 24 : 6 = 4 — суровый факт из таблицы умножения.

Если все делать правильно, числитель новой дроби обязательно будет меньше знаменателя, т.е. дробь станет правильной. Отмечу также, что лучше выделять целую часть в самом конце задачи, перед записью ответа. Иначе можно значительно усложнить вычисления.

Переход к неправильной дроби

Существует и обратная операция, когда мы избавляемся от целой части. Она называется переходом к неправильной дроби и встречается намного чаще, поскольку работать с неправильными дробями значительно проще.

Переход к неправильной дроби также выполняется в три шага:

1. Умножить целую часть на знаменатель. В результате могут получаться довольно большие числа, но нас это не должно смущать;
2. Прибавить полученное число к числителю исходной дроби. Результат записать в числитель неправильной дроби;
3. Переписать знаменатель — опять же, без изменений.

Вот конкретные примеры:

Задача. Переведите в неправильную дробь:

Для наглядности целая часть снова выделена красным цветом, а числитель исходной дроби — зеленым.

Вынесение минуса за знак дроби

Рассмотрим случай, когда в числителе или знаменателе дроби стоит отрицательное число. Например:

В принципе, ничего криминального в этом нет. Однако работать с такими дробями бывает неудобно. Поэтому в математике принято выносить минусы за знак дроби.

Сделать это очень просто, если вспомнить правила:

1. «Плюс на минус дает минус». Поэтому если в числителе стоит отрицательное число, а в знаменателе — положительное (или наоборот), смело зачеркиваем минус и ставим его перед всей дробью;
2. «Минус на минус дает плюс». Когда минус стоит и в числителе, и в знаменателе, просто зачеркиваем их — никаких дополнительных действий не требуется.

Разумеется, эти правила можно применять и в обратном направлении, т.е. можно вносить минус под знак дроби (чаще всего — в числитель).

Случай «плюс на плюс» мы намеренно не рассматриваем — с ним, думаю, и так все понятно. Лучше посмотрим, как эти правила работают на практике:

Задача. Вынесите минусы из четырех дробей, записанных выше.

Обратите внимание на последнюю дробь: перед ней уже стоит знак минус. Однако он «сжигается» по правилу «минус на минус дает плюс».

Также не стоит перемещать минусы в дробях с выделенной целой частью. Эти дроби сначала переводят в неправильные — и лишь затем приступают к вычислениям.

Смешанные числа

Запомните!

У правильной дроби числитель меньше знаменателя. Поэтому правильная дробь всегда меньше единицы.

Рассмотрим две оставшиеся дроби.

Дробь

имеет числитель равный знаменателю (такие дроби равны единицы), а дробь

имеет числитель больший знаменателя. Такие дроби называют неправильными.

Запомните!

У неправильной дроби числитель равен или больше знаменателя. Поэтому неправильная дробь или равна единице или больше единицы.

Любая неправильная дробь всегда больше правильной.

Как выделить целую часть

У неправильной дроби можно выделить целую часть. Рассмотрим, как это можно сделать.

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть надо:

числитель на знаменатель;
1. полученное неполное частное записываем в целую часть дроби;
2. остаток записываем в числитель дроби;
3. делитель записываем в знаменатель дроби.

• Разделим в столбик числитель на знаменатель.
• Теперь запишем ответ.

Запомните!

Полученное число выше, содержащее целую и дробную часть, называют смешанным числом.

Мы получили смешанное число из неправильной дроби, но можно выполнить и обратное действие, то есть представить смешанное число в виде неправильной дроби.

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби надо:

1. умножить его целую часть на знаменатель дробной части;
2. к полученному произведению прибавить числитель дробной части;
3. записать полученную сумму из пункта 2 в числитель дроби, а знаменатель дробной части оставить прежним.

Пример. Представим смешанное число в виде неправильной дроби.

Умножаем целую часть на знаменатель.

Любое смешанное число можно представить как сумму целой и дробной части.

Запомните!

Любое натуральное число можно записать дробью с любым натуральным знаменателем.

Частное от деления числителя на знаменатель такой дроби будет равно данному натуральному числу.

Правильная и неправильная дроби

АЛГЕБРА

Дадим определение правильной и неправильной дроби. Эти понятия часто используются в математике. Как понять – какая дробь правильная, а какая неправильная – даем определения. Пример правильной дроби и пример неправильной дроби – в этом материале.

Правильная дробь

Определение правильной дроби:

Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называется правильной. Например, – правильная дробь.

Неправильная дробь

Определение неправильной дроби:

Дробь, в которой числитель равен знаменателю или больше его, называется неправильной дробью. Например, , – неправильные дроби.

Обращение числа с целой и дробной частями в неправильную дробь

Число, состоящее из целой и дробной частей, можно обратить в неправильную дробь. Например,

Как выделить целую часть из неправильной дроби

Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть. Для этого нужно разделить с остатком числитель на знаменатель. Частное от деления будет целой частью числа, остаток – числителем, а делитель – знаменателем. Например, .

Как делить обыкновенные и десятичные дроби

Деление одной дроби на другую — это умножение её на вторую дробь в перевёрнутом виде. В отличие от сложения и вычитания, при делении неважно, какие у дробей знаменатели: одинаковые или разные. Просто умножьте числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель и, если у вас получится неправильная дробь, выделите из неё целую часть.

Например, вам нужно разделить 3 /₅ на 4 /₉. Для этого поменяйте местами числитель и знаменатель второй дроби — она превратится в 9 /₄ — и умножьте 3 /₅ на неё.

Если в примере изначально есть смешанные числа, как 1 7 /₂₀, сначала нужно перевести их в неправильные дроби (в данном случае получится 27 /₂₀), а потом делить, как описано выше.

На целое число

Чтобы разделить обыкновенную дробь на целое число, нужно представить его также в виде обыкновенной дроби: в числителе будет оно само, а в знаменателе единица. А затем делить как дробь на дробь. Например:

Можно действовать и ещё проще: умножить знаменатель на данное в примере число, а числитель оставить как есть.

А чтобы, наоборот, разделить целое число на обыкновенную дробь, нужно перевернуть эту дробь и умножить число на неё. Например:

Как делить десятичные дроби

На другую дробь

Это можно сделать двумя способами.

Первый — превратить десятичные дроби в обыкновенные. Например, 1,2 — это то же самое, что 1 2 /₁₀, или 12 /₁₀ в виде неправильной дроби, или 6 /₅ — если её сократить. Соответственно, процесс деления будет выглядеть так:

Теперь осталось перевести обыкновенную дробь обратно в десятичную. Для этого нужно умножить её на такое число, чтобы знаменатель получился кратным 10: 10, 100, 1 000 и так далее. В данном случае 4 /₅ умножаем на 2. Мы получим 8 /₁₀. Добавляем к этому нашу целую часть — 4 — и получаем итоговый результат 4,8.

Второй способ деления десятичных дробей — сначала превратить их в целые числа, а потом поставить запятую в получившемся результате.

• Найдите дробь, в которой больше всего знаков после запятой.
• Умножьте все дроби в примере на число, кратное 10, с таким же количеством нулей. Например, если у вас есть дробь 4,25 — это будет 100, а если 1,578 — 1 000.
• Разделите целые числа друг на друга столбиком.
• Отсчитайте слева направо столько знаков, сколько было добавлено нулей при умножении, и поставьте запятую.

Например: 7,44 ÷ 0,4 = (7,44 × 100) ÷ (0,4 × 100) = 744 ÷ 40 = 18,6.

На целое число

Десятичные дроби на целое число делите так же, как и обычные числа, столбиком. Когда в делимом (слева) закончится целая часть, поставьте запятую в частном (справа под чертой). Если делимое не удаётся разделить без остатка, добавляйте к нему нули, пока не получите конечный результат.