Как сравнить иррациональные числа

Как сравнить иррациональные числа: Сравнение иррациональных чисел | Видеоурок

правила, примеры, сравнение рациональных чисел с разными знаками

В статье рассмотрим основные моменты по теме сравнения рациональных чисел. Изучим схему сравнения чисел с различными знаками, сравнения нуля с любым рациональным числом, а также более детально разберем сравнение положительных рациональных чисел и сравнение отрицательных рациональных чисел. Всю теорию закрепим практическими примерами.

Сравнение рациональных чисел с разными знаками

Сравнение заданных чисел с разными знаками является простым и очевидным.

Любое положительное число больше любого отрицательного, а любое отрицательное число меньше любого положительного.

Приведем простые примеры для иллюстрации: из двух рациональных чисел 47 и -0,13 больше число 47, т.к. оно является положительным. При сравнении чисел -6,53 и 0,00(1) очевидно, что число -6,53 меньше, т.к. оно – отрицательное.

Сравнение рационального числа с нулем

Любое положительное число больше нуля; любое отрицательное число – меньше нуля.

Простые примеры для наглядности: число 14 больше, чем 0. В свою очередь 0 меньше, чем

число 14. Число -6,57 меньше нуля, с другой стороны нуль больше, чем число -6,57.

Отдельно нужно сказать про сравнение нуля с нулем: нуль равен нулю, т.е. 0 = 0.

Стоит также уточнить, что число нуль может быть представлено в виде, отличном от 0. Нулю будет соответствовать любая запись вида 0n (n – любое натуральное число) или 0, 0, 0, 00,…, до 0,(0). Таким образом, сравнивая два рациональных числа, имеющих записи, например, 0,00 и 03, делаем вывод, что они равны, т.к. этим записям соответствует одно и то же число – нуль.

Сравнение положительных рациональных чисел

Производя действие сравнения положительных рациональных чисел, нужно в первую очередь сравнить их целые части.

Большим является то число, у которого целая часть больше. Соответственно меньшим является число, целая часть которого меньше.

Необходимо определить, какое из рациональных чисел меньше: 0,57 или 323?

Решение

Рациональные числа, заданные для сравнения, являются положительными. При этом очевидно, что целая часть числа 0,57 (равна 0) меньше, чем целая часть числа 323 (равна трем). Таким образом, 0,57<323, т.е. из двух заданных чисел меньшим является число 0,57.

Ответ: 0,57

Рассмотрим на практическом примере один нюанс используемого правила: ситуацию, когда одно из сравниваемых чисел – периодическая десятичная дробь с периодом 9.

Необходимо сравнить рациональные числа 17 и 16,(9).

Решение

16,(9) – это периодическая дробь с периодом 9, являющаяся одной из форм записи числа 17. Таким образом, 17 = 16,(9).

Ответ: заданные рациональные числа равны.

Мы рассмотрели практические примеры, когда целые части рациональных чисел не равны и подлежат сравнению. Если целые части заданных чисел равны, получить результат поможет сравнение дробных частей заданных чисел. Дробную часть всегда возможно записать в виде обыкновенной дроби вида m\n, конечной дроби или периодической десятичной дроби. Т.е. по сути сравнение дробных частей положительных чисел – это сравнение обыкновенных или десятичных дробей. Логично, что бОльшим из двух чисел с равными целыми частями является то, чья дробная часть больше.

Необходимо произвести сравнение положительных рациональных чисел: 4,8 и 435

Решение

Очевидно, что целые части чисел, подлежащих сравнению, равны. Тогда следующим шагом станет сравнение дробных частей: 0,8 и 35 . Здесь возможно использовать два способа:

1. Произведем перевод десятичной дроби в обыкновенную, тогда 0,8 = 810. Сравним обыкновенные дроби 810 и 35. Приведя их к общему знаменателю, получаем: 810>610, т.е. 810>35, соответственно 0,8>35 . Таким образом, 4,8 > 435.
2. Произведем перевод обыкновенной дроби в десятичную, получим: 35=0,6. Сравним полученные десятичные дроби 0,8 и 0,6: 0,8 > 0,6. Следовательно: 0,8 > 35, а 4,8 > 435.

Мы видим, что в результате применения обоих способов получен одинаковый результат сравнения заданных исходных рациональных чисел.

Ответ: 4,8 > 435.

Если равны целые и дробные части положительных рациональных чисел, которые мы сравниваем, то эти числа являются равными друг другу. При этом записи чисел могут различаться (например, 6,5=612), либо полностью совпадать (например, 7,113 = 7,113 или 5134=5134).

Сравнение отрицательных рациональных чисел

При сравнении двух отрицательных чисел бОльшим будет то число, модуль которого меньше и, соответственно, меньшим будет то число, модуль которого больше.

По сути указанное правило приводит сравнение двух отрицательных рациональных чисел к сравнению положительных, принцип которого мы разобрали выше.

Необходимо сравнить числа -14,3 и -3911.

Решение

Заданные числа являются отрицательными. Для сравнения определим их модули: |-14,3|= 14,3 и -3911=3911 _formula_. Сравнение начнем с оценки целых частей заданных чисел: очевидно, что 14 > 3, таким образом 14,3 > 3911. />Применим правило сравнения отрицательных чисел, которое гласит, что больше то число, модуль которого меньше и тогда получим: -14,3 <- 3911.

Ответ: -14,3 < -3911.

Необходимо сравнить отрицательные рациональные числа -2,12 и -2425.

Решение

Определим модули сравниваемых чисел. |-2,12| = 2,12 и -2425=2425. Мы видим, что целые части заданных чисел равны, значит необходимо произвести сранение их дробных частей: 0,12 и 425. Воспользуемся способом перевода обыкновенной дроби в десятичную, тогда: 425=0,16 и 0,12 < 0,16, т.е. 2,12 < 2425. Применим правило сравнения отрицательных рациональных чисел и получим: -2,12 > -2425.

Ответ:

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Сравнение иррациональных чисел — СРАВНЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ — ЧИСЛА И ВЫРАЖЕНИЯ — АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

ВНЕШНЕЕ НЕЗАВИСИМОЕ ОЦЕНИВАНИЕ И ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

Раздел И. ЧИСЛА И ВЫРАЖЕНИЯ

§ 22. СРАВНЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

1. Сравнение иррациональных чисел.

Если где n — натуральное число, n ≥ 2 .

Пример 2. Сравнить:

Решения. 1) Поскольку

Внесем множители обоих выражений под знак корня: Поскольку 50 > 48, то > , а потому 5 > 4 .

Пример 3. Сравнить и .

Решения. Так то Так .

Сравнение иррациональных чисел

1. Если радикалы двух иррациональных чисел имеют форму

оцените значение каждого иррационального числа и сравните их.

2. Если два иррациональных числа представлены в виде

возведите в квадрат каждое иррациональное число, чтобы избавиться от квадратного корня. Затем сравните их.

Сравните (√3 + 5) и (3 + √5) и напишите или = между ними.

√3 находится между 1 и 2

√5 находится между 2 и 3.

Используйте ваши приближения в приведенных выше шагах, чтобы оценить значения заданных иррациональных чисел.

√3 + 5 между 6 и 7

3 + √5 между 5 и 6

Сравните (√2 + 4) и (2 + √4) и напишите или = между ними.

Приблизительно √2. />

√2 находится между 1 и 2

Используйте ваши приближения в предыдущих шагах, чтобы оценить значения заданных иррациональных чисел.

√2 + 4 между 5 и 6

Сравните 4√2 и 3√3 и напишите или = между ними.

Сравнение (1) и (2),

Сравните (√12 + 6) и (12 + √6) ) и напишите или = между ними.

√12 находится между 3 и 4

√6 находится между 2 и 3

Используйте ваши приближения в предыдущих шагах, чтобы оценить значения заданных иррациональных чисел.

√12 + 6 — между 9 и 10

12 + √6 — между 12 и 14

√12 + 6 или = между ними.

√5 находится между 2 и 3

√6 находится между 2 и 3

Используйте ваши приближения в предыдущих шагах, чтобы оценить значения заданных иррациональных чисел.

√5 + 6 составляет от 8 до

5 + √6 — между 7 и 8

(√3 + 3) и (√3 + √9) и напишите или = между ними.

Сравнивая (1) и (2),

Пожалуйста, отправьте ваш отзыв на [email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

©Все права защищены. onlinemath5all.com

Сравните размер иррациональных чисел и поместите их в числовую строку: CCSS.Math.Content.8.NS.A.2

All Common Core: Математические ресурсы для 8-го класса

7 диагностических тестов 75 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 Следующая →

Common Core: Справка по математике для 8-го класса » Система счисления » Сравните размер иррациональных чисел и поместите их на числовую прямую: CCSS.Math.Content.8.NS.A.2

Какая точка на числовой прямой лучше всего представляет

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Чтобы решить эту задачу, мы можем представить идеальные квадраты вокруг

Это означает, что должно быть между и на числовой прямой, но ближе к , потому что ближе к , чем . Основываясь на предоставленной числовой прямой, точка L лучше всего представляет

Сообщить об ошибке

Какая точка на числовой прямой лучше всего представляет

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Чтобы решить эту задачу, нам сначала нужно узнать, какое число представляет:

Мы ищем точку на числовой прямой, которая находится между и , примерно прямо между ними. На основании представленной числовой строки точка A лучше всего представляет

Сообщить об ошибке

Какая точка на числовой прямой лучше всего представляет

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Чтобы решить эту задачу, нам сначала нужно узнать, какое число представляет:

Мы ищем точку на числовой прямой, которая находится на . Основываясь на предоставленной числовой прямой, точка B лучше всего представляет

Сообщить об ошибке

Какая точка на числовой прямой лучше всего представляет

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Чтобы решить эту задачу, нам сначала нужно узнать, какое число представляет:

Мы ищем точку на числовой прямой, которая находится на . Основываясь на предоставленной числовой прямой, точка D лучше всего представляет

Сообщить об ошибке

Какая точка на числовой прямой лучше всего представляет

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Чтобы решить эту задачу, мы можем представить идеальные квадраты вокруг

Это означает, что должно быть между и на числовой прямой. Основываясь на предоставленной числовой прямой, точка E лучше всего представляет

Сообщить об ошибке

Какая точка на числовой прямой лучше всего представляет

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Чтобы решить эту задачу, мы можем представить идеальные квадраты вокруг

Это означает, что должно быть между и на числовой прямой. Основываясь на предоставленной числовой прямой, точка F лучше всего представляет

Сообщить об ошибке

Какая точка на числовой прямой лучше всего представляет

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Чтобы решить эту задачу, нам сначала нужно узнать, какое число представляет:

Мы ищем точку на числовой прямой, которая находится на . Основываясь на предоставленной числовой прямой, точка G лучше всего представляет

Сообщить об ошибке

Какая точка на числовой прямой лучше всего представляет

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Чтобы решить эту задачу, мы можем представить идеальные квадраты вокруг

Это означает, что должно быть между и на числовой прямой, но ближе к , потому что ближе к чем . На основании предоставленной числовой строки точка H является лучшим представлением

Сообщить об ошибке

Какая точка на числовой прямой лучше всего представляет

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Чтобы решить эту задачу, мы можем представить идеальные квадраты вокруг

Это означает, что должно быть между и на числовой прямой, но ближе к , потому что ближе к , чем .

Сравните иррациональные числа √2+√5 √15+√25 √10-√15

Числа (√2 + √5) и (√15 + √25) — положительные, так как каждое из чисел образовано сложением двух положительных чисел.

Рассмотрим иррациональное число (√10 — √15). Так как 15 > 10, то и √15 > √10. Следовательно, (√10 — √15) < 0. Значит это число отрицательное. А так как числа (√2 + √5) и (√15 + √25) — положительные, то √10 — √15 меньше этих чисел.

Рассмотрим числа (√2 + √5) и (√15 + √25). Чтобы сравнить иррациональные числа, нужно возвести их в квадрат. Больше из данных чисел будет то, у которого квадрат числа будет больше.

Используя формулу квадрата суммы (a + b)^2 = a^2 + 2 * a * b + b^2, получим:

(√2 + √5)^2 = 2 + 2 * √2 * √5 + 5 = 7 + 2 * √10;

(√15 + √25)^2 = 15 + 2 * √15 * √25 + 25 = 40 + 2 * √15 * √25 = 40 + 2 * √375.

Целые части чисел (√2 + √5) и (√15 + √25) равны соответственно 7 и 40, причём 7 < 40. √10 < √375 (так как 10 < 375), а значит 2 * √10 < 2 * √375. Следовательно, (7 + 2 * √10) < (40 + 2 * √375), а значит (√2 + √5) < (√15 + √25).

Как сравнить иррациональные числа

Сравнение иррациональных чисел

Список дополнительных материалов

При наличии калькулятора не возникнет трудностей со сравнением даже изощренных иррациональных выражений, ведь все будет приведено к десятичным дробям. Но что делать, если вы на экзамене и там дают либо прямое указание расставить «плохие» числа в порядке возрастания, либо в различных задачах, например, неравенствах, нужно расставить полученные числа в правильном порядке на числовой прямой, а среди этих чисел могут быть «некрасивые» решения квадратных уравнений.

В этом уроке мы рассмотрим различные идеи сравнения выражений с квадратными корнями. Одни из них базируются на приближенном нахождении корня, другие требуют более совершенной техники сравнения. Например, как показать без калькулятора, что

Я покажу вам красивую и простую технику решения таких задач, тем более, что многие учителя используют весьма странную методику, которую можно назвать скорее филологической, чем математической. После этого урока сравнение иррациональных чисел перестанет быть чем-то мистическим.

Урок 8. Иррациональные числа. Понятие действительного числа. Сравнение действительных чисел

Число, которое можно записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, называют рациональным.

Бесконечная периодическая десятичная дробь – это бесконечная дробь, у которой одна цифра или группа цифр повторяются. Повторяющаяся группа цифр называется периодом и записывается в скобках.

Число, которое можно записать в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, называют иррациональным числом.

Рациональные и иррациональные числа называются действительными числами.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Рассмотрим положительную бесконечную непериодическую дробь 0,10110111011110…

После запятой записаны группы единиц, разделённые нулём. Эта дробь не может быть десятичным разложением какого – либо рационального числа.

Её называют иррациональным (нерациональным) числом.

Иррациональное число – бесконечная непериодическая десятичная дробь.

Примеры иррациональных чисел:

Самое знаменитое иррациональное число π = 3,1415926…

Понятие действительного числа:

Рациональные и иррациональные числа называют действительными.

Таким образом, любое действительное число можно представить в виде бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби.

Если дробь периодическая – число рациональное.

Если дробь непериодическая – число иррациональное.

Число, образованное цифрами до запятой, называют целой частью, после запятой дробной частью.

Для записи произвольной бесконечной десятичной дроби, отличной от нуля, пользуются буквами:

α_0,α₁ α₂ α₃… α_n…, причем хотя бы одна из цифр отлична от нуля.

Противоположные числа

Противоположные числа отличаются только знаками:

Обозначают: а, если а положительное число,

-а, если а отрицательное число.

Абсолютная величина числа (модуль) числа

Абсолютной величиной числа (модулем) действительного числа называют:

• само числоа,еслиа –положительное
• 0,еслиа = 0
• число-а,еслиа –отрицательное число.

Обозначается: а, если а > 0,

|а| = 0, если а = 0,

а = 0,10110111… |а| = 0,10110111…

b = -2,1234567…… |b| = 2,1234567…

c = 0,(0) |c| = 0

Сравнение действительных чисел.

Два действительных числа равны, если они имеют одинаковые знаки и их абсолютные величины имеют одинаковые целые и дробные части.

Отрицательное число меньше 0 и меньше любого положительного числа.

Число 0 меньше любого положительного числа.

Если целые части положительных чисел разные, то больше то, у которого целая часть больше.

Если целые части положительных чисел одинаковые, то больше то, у которого цифра в наименьшем разряде дробной части больше.

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого абсолютная величина меньше.

Сравнение чисел обозначают с помощью знаков: > = <

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Изобразите числовые множества с помощью кругов Эйлера.

Определите, какому множеству принадлежат числа: 2,(3) и 2,1234?

Число 2,(3) принадлежит множествам рациональных и действительных чисел.

Число 2,1234 принадлежит множествам иррациональных и действительных чисел.