Конденсатор состоит из двух круглых пластин между которыми находится диэлектрик

Поле в такой системе будет как между пластинами конденсатора, так и между стенками коробки и пластинами. Систему можно заменить эквивалентной схемой из трех конденсаторов (рис.). Конденсатор емкости $\epsilon C$ образован пластинами с диэлектриком между ними, а конденсаторы $2C$ — стенками коробки и каждой из пластин. Общая емкость системы равна $C_ <общ>= \epsilon C + C$. Значит, отношение $k = \frac > < \epsilon C>= 1 + \frac<1> < \epsilon>= \frac<3><2>$.

29.1 Электроемкость. Конденсаторы: задачи без решений с ответами

(Все задачи по электростатике и ответы к ним находятся в zip-архиве (347 кб), который можно скачать и открыть на своем компьютере. Попробуйте решить задачи самостоятельно и только потом сравнивать свои ответы с нашими. Желаем успехов!)

29.1. Найти емкость уединенного проводящего шара радиусом R. [смотрите ответ в общем файле]

29.2. Сферический конденсатор состоит из двух концентрических сферических поверхностей радиусами R₁ и R₂, между которыми находится диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε. Определить емкость конденсатора. [смотрите ответ в общем файле]

29.3. Найти емкость конденсатора, состоящего из двух шаров радиусом r, находящихся в диэлектрике с проницаемостью ε на расстоянии R >> r друг от друга. [смотрите ответ в общем файле]

29.4. Найти емкость проводящего шара радиусом r = 100 мм, окруженного слоем диэлектрика с проницаемостью ε = 6 и внешним радиусом R = 200 мм. Диэлектрик вплотную прилегает к шару. [1.9 пФ]

29.5. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено двумя слоями диэлектрика с проницаемостями ε₁ и ε₂ толщиной d₁ и d₂ соответственно (рис.). Какова емкость такого конденсатора, если площадь пластин равна S. [смотрите ответ в общем файле]

29.6. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено двумя слоями диэлектрика как показано на рисунке. Высота слоев равна a₁ и a₂, а их диэлектрическая проницаемость ε₁ и ε₂ соответственно. Найти емкость такого конденсатора. Площадь пластин конденсатора равна S, а расстояние между ними d. [смотрите ответ в общем файле]

29.7. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора равна S, расстояние между ними d. Между пластинами параллельно им вставили третью металлическую пластину толщиной a и площадью S (рис.). Найти емкость получившегося конденсатора. [смотрите ответ в общем файле]

29.8. Два проводника емкостью C₁ и C₂ удалены друг от друга на очень большое расстояние. Какова емкость конденсатора, образованного этими проводниками? [смотрите ответ в общем файле]

29.9. Два проводника емкостью C₁ и C₂, заряженные до потенциалов φ₁ и φ₂, находятся на большом расстоянии друг от друга. Каким будет потенциал проводников, если соединить их тонкой проволокой? [смотрите ответ в общем файле]

29.10. Два проводника, заряженные одинаковым зарядом, имеют потенциалы φ₁ = 40 В и φ₂ = 60 В. Проводники находятся на большом расстоянии друг от друга. Каким будет потенциал проводников, если соединить их тонкой проволокой? [48 В]

29.11. Два проводника находятся на большом расстоянии друг от друга. Первый, емкостью C₁ = 10 −5 мкФ, заряжен до потенциала φ₁ = 6 кВ, а второй, емкостью C₂ = 2×10 −5 мкФ — до φ₂ = 12 кВ. Какое количество теплоты выделится, если соединить проводники тонкой проволокой? [12×10 −5 Дж]

29.12. Два одинаковых шара находятся на большом расстоянии друг от друга. Поле первого шара имеет энергию W₁ = 16×10 −4 Дж, а второго — W₂ = 36×10 −4 Дж. Какое количество теплоты выделится при соединении этих шаров тонкой проволокой? [2×10 −4 Дж]

29.13. Между пластинами плоского конденсатора находится пластина диэлектрика с проницаемостью ε. Емкость конденсатора C, его заряд q. Какую работу надо совершить, чтобы вытащить пластину из конденсатора? Трения нет, конденсатор отключен от источника напряжения. [смотрите ответ в общем файле]

29.14. Решить предыдущую задачу в предположении, что конденсатор от источника напряжения не отключен. [смотрите ответ в общем файле]

29.15. Емкость плоского конденсатора равна C. Одна его пластина имеет заряд q, а другая не заряжена. Найти разность потенциалов между пластинами. [смотрите ответ в общем файле]

29.16. Как изменится сила притяжения пластин плоского воздушного заряженного конденсатора, если расстояние между пластинами увеличить в 3 раза? Рассмотреть случаи: а) конденсатор отключен; б) конденсатор не отключен от источника напряжения. [смотрите ответ в общем файле]

29.17. Одну пластину незаряженного конденсатора емкостью C заземляют, а другую присоединяют длинным проводом к удаленному металлическому шару радиусом r, имеющему заряд q_o. Какой заряд останется на шаре? [смотрите ответ в общем файле]

29.18. Одну пластину конденсатора емкостью C соединяют с удаленным незаряженным металлическим шаром радиусом R, а другую — с удаленным металлическим шаром радиусом r, заряженным зарядом q_o. Какой заряд окажется на первом шаре? [смотрите ответ в общем файле]

29.19. Плоский воздушный конденсатор емкостью C, состоящий из двух металлических пластин массой m каждая, заряжен до напряжения U. Одну из пластин конденсатора отпускают. Какую скорость она приобретет к моменту, когда расстояние между пластинами уменьшится вдвое? Трения нет, силу тяжести не учитывать, конденсатор отключен от источника напряжения. [смотрите ответ в общем файле]

29.20. Решить предыдущую задачу в предположении, что конденсатор от источника напряжения не отключен. [смотрите ответ в общем файле]

29.21. В плоский конденсатор с размерами пластин a × b вдвигают параллельно стороне a с постоянной скоростью v диэлектрик толщиной d, равной расстоянию между пластинами конденсатора. Конденсатор подключен к источнику напряжения U. Определить силу тока в цепи. Диэлектрическая проницаемость диэлектрика равна ε. [смотрите ответ в общем файле]

29.22. С какой силой втягивается диэлектрическая пластина в плоский конденсатор, заряженный зарядом q? Диэлектрическая проницаемость пластины ε, ее толщина d равна расстоянию между пластинами конденсатора, размеры всех трех пластин a × b, пластина вдвинута в конденсатор на величину x (рис.). Силы трения нет. [смотрите ответ в общем файле]

29.23. Три одинаковые параллельные пластины площадью S расположены на одинаковом расстоянии d друг от друга. Крайние пластины объединены (рис.). Определить емкость этой системы. [смотрите ответ в общем файле]

29.24. Между замкнутыми пластинами плоского конденсатора находится металлическая пластина с зарядом q. Размеры всех трех пластин одинаковы и все они параллельны. Внутреннюю пластину переместили параллельно самой себе на расстояние x (рис.). Какой заряд прошел по проводу замыкания? Расстояние между пластинами конденсатора равно d. [смотрите ответ в общем файле]

29.25. Четыре одинаковые металлические пластаны площадью S = 220 см 2 расположены на расстоянии d = 1 мм друг от друга и соединены как показано на рис. Найти емкость такой системы. [≅ 0.29 нФ]

29.26. Одна из пластин плоского конденсатора неподвижна, а вторая может двигаться, но связана с неподвижной стенкой пружиной жесткости k (рис.). Площадь пластин S, расстояние между ними в отсутствии напряжения равно d. Какое максимальное напряжение можно подать на конденсатор? Силу тяжести не учитывать. [смотрите ответ в общем файле]

29.27. Конденсатор емкостью C₁ = 1 мкФ выдерживает напряжение не более U₁ = 6 кВ, а конденсатор емкостью C₂ = 2 мкФ — не более U₂ = 4 кВ. Какое максимальное напряжение можно подать на систему из этих двух конденсаторов, соединенных последовательно? [9 кВ]

29.28. В некоторой цепи имеется участок, показанный на рис. Потенциалы точек 1, 2 и 3 равны φ₁, φ₂ и φ₃ соответственно. Определить потенциал точки O. [смотрите ответ в общем файле]

29.29. Определить емкость системы конденсаторов (рис.). [смотрите ответ в общем файле]

29.30. Определить емкость бесконечной цепи конденсаторов (рис.). [смотрите ответ в общем файле]

29.31. Определить емкость системы конденсаторов (рис.). [смотрите ответ в общем файле]

29.32. Два одинаковых воздушных конденсатора емкостью C соединены параллельно и заряжены до напряжения U. Какую работу необходимо совершить, чтобы раздвинуть пластины одного из конденсаторов на расстояние вдвое большее? Конденсаторы отключены от источника напряжения.

29.33. Решить предыдущую задачу в предположении, что конденсаторы не отключены от источника напряжения. [смотрите ответ в общем файле]

29.34. В участке цепи, представленном на рис.: C₁ = 1мкФ, C₂ = 2мкФ, Ε = 10 В, φ_A − φ_B = 5 В. Найти напряжение на каждом конденсаторе. [10 В; 5 В]

29.35. В участке цепи, представленном на рис.: C₁ = 20 мкФ, C₂ = 30 мкФ, C₃ = 60 мкФ, Ε₁ = 1 В, Ε₂ = 2 В, φ_A − φ_B = 3 В. Найти напряжение на конденсаторах. [смотрите ответ в общем файле]

Конденсатор состоит из двух круглых пластин между которыми находится диэлектрик

источнику присоединили конденсатор

Задача 10238

Плоский конденсатор состоит из двух круглых пластин радиусом R = 10 см каждая. Расстояние между пластинами d = 2 мм. Конденсатор присоединен к источнику напряжения U = 80 В. Определить заряд Q и напряженность Е поля конденсатора в двух случаях: а) диэлектрик — воздух; б) диэлектрик — стекло.

Задача 10710

Плоский конденсатор состоит из двух круглых пластин радиусом R = 20 см каждая. Расстояние между пластинами d = 5 мм. Конденсатор присоединен к источнику напряжения U = 3 кВ. Определить заряд и напряженность поля конденсатора, если диэлектриком будут: а) воздух; б) стекло.

Задача 14826

Батарея последовательно соединенных конденсаторов присоединена к источнику постоянной ЭДС. Пластины одного из конденсаторов раздвигают. Как при этом изменяются: а) электроемкость батареи; б) ее заряд?

Задача 21011

До какого потенциала зарядится конденсатор С, присоединенный к источнику тока с ЭДС ε = 3,6 В, изображенный на рис. 9? Какой заряд будет при этом на обкладках конденсатора, если его емкость равна 2 мкФ? Сопротивления в цепи равны R₁ = 4 Ом, R₂ = 7 ОМ, R 3 = 3 Ом, r = 1 Ом.

с инета для метод

б) Начальную емкость конденсатора можно найти из решения задачи 4.3.9 , где найдена емкость плоского конденсатора, заполненного двумя слоями диэлектрика (слой толщиной d 1 с проницаемостью ε 1 и слой толщиной d 2 = d – d 1 c проницаемостью ε 2 ):

В условиях нашей задачи, следует положить ε 1 = 1, ε 2 = ε и d 1 = (1 – η) d , d 2 = η d . Тогда начальную емкость конденсатора можно записать как

Изменение энергии конденсатора при удалении диэлектриче-

ской пластины равно

где Q = C 1 U . Подставляя найденное выражение для C 1 , находим:

A = W = 2 ( ε (1 − η ) + η ) 2 = 0,8мДж .

Работа против электрических сил полностью пошла на увеличение энергии конденсатора.

Ответ: а) A = 2(1 − η ) 2 = 1,5 мДж ;

б) A = 2 ( ε (1 − η ) + η ) 2 = 0,8 мДж .

Задача 5.3.12. Внутри плоского конденсатора с площадью пластин S = 200 см 2 и расстоянием между ними d = 0,1 см находится пластина из стекла (ε = 5), целиком заполняющая пространство между пластинами конденсатора. Какую механическую работу надо

162 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

затратить на удаление пластины, если конденсатор все время присоединен к батарее с ЭДС, равной U = 300 В?

Если в процессе удаления пластины источник ЭДС остается подключенным к конденсатору, то для расчета запасенной в кон-

денсаторе энергии следует воспользоваться формулой W = CU 2 . В 2

условиях данной задачи емкость конденсатора уменьшается; следовательно, и его энергия будет уменьшаться. Изменение энергии конденсатора равно

W = (1 − ε ) CU 2 < 0 . 2

Заряд на обкладках конденсатора не остается постоянным – часть заряда перемещается через источник ЭДС, увеличивая его потенциальную энергию. Элементарная работа, совершаемая против ЭДС батареи, равна dA = Udq . Если изменения происходят квазистатически, то по окончании процесса полная работа будет равна

где q = (ε – 1) CU – полное изменение величины заряда на обкладках. Согласно закону сохранения энергии механическая работа, совершаемая при удалении стеклянной пластины, равна

A 1 = A + W = ( ε − 1) CU 2 . 2

Подставляя значения параметров, получаем численный ответ:

Ответ: A 1 = ( ε − 1) CU 2 = 3,2·10 -5 Дж. 2

Задача 5.3.13. Конденсатор емкости C 1 = 1 мкФ, предварительно заряженный до напряжения U = 300 В и отсоединенный от источника ЭДС, подключили параллельно к незаряженному конденсатору емкости C 2 = 2 мкФ. Найти изменение электрической энергии этой системы к моменту установления равновесия.

При соединении конденсаторов первоначальный заряд q = C 1 U перераспределится так, чтобы напряжение U 1 на двух конденсато-

Гл. 5. Энергия электрического поля

рах стало одинаковым. Электрические силы совершат работу по перемещению зарядов и, следовательно, потенциальная энергия системы уменьшится.

энергии W = C U 2

Изменение энергии системы

W = W 1 – W найдем, если опре-

делим величину U 1 . Это можно сделать, используя закон сохране-

q = C 1 U = ( C 1 + C 2 ) U 1 ,

В итоге получаем W = −

Замечание. Вся потерянная системой энергия перешла главным образом в тепло за счет омического сопротивления схемы. При малом омическом сопротивлении и достаточно большой индуктивности системы будут наблюдаться затухающие колебания величины заряда на конденсаторах вплоть до достижения равновесного состояния, когда вся избыточная энергия перейдет в тепло и электромагнитное излучение.

Задача 5.3.14. Незаряженный металлический шар радиуса R помещен в однородное внешнее поле, напряженность которого равна E 0 . Какую работу необходимо совершить, чтобы переместить этот шар в область, где поле практически отсутствует?

Если проводящий шар находится во внешнем однородном электрическом поле E 0 , то явление электростатической индукции приведет к тому, что на его поверхности появятся поверхностные заряды ( рис. 5.4 ), которые обеспечивают равенство нулю напряженности поля внутри шара. Эти заряды можно представить себе как результат малого сдвига на вектор d вдоль направления поля друг относительно друга двух равномерно заряженных по объему шаров того же радиуса R , несущих заряды противоположных зна-

164 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ков q и – q . Поле каждого из этих шаров во внешней по отношению к ним области совпадает с полем точечного заряда, равного заряду шара и расположенного в центре шара. Таким образом, суммарное поле этих двух шаров будет полем точечного диполя, т.е. шар приобретет некоторый дипольный момент. Величину этого момента можно рассчитать, учитывая, что поле внутри этих шаров должно полностью компенсировать внешнее поле.

Рис. 5.4. Распределение поверхностных зарядов, возникающих на проводящем шаре во внешнем электрическом поле (задача 5.3.14 )

Так как напряженность поля внутри однородно заряженного по

объему с плотностью ρ шара E = 3 ε 0 r , находим для суммы полей двух шаров

E = − 3 ε 0 d = − E 0 ,

где ρ = q , V = 4 π R 3 – объем шара. Отсюда находим дипольный

момент металлического шара во внешнем однородном поле E 0 :

p = q d = 4 πε 0 R 3 E 0 .

Этот шар обладает энергией W = – ( pE 0 ), и, чтобы удалить шар в область, где поле отсутствует, необходимо затратить работу

A = − W = 4 πε 0 R 3 E 0 2 .

Ответ: A = 4 πε 0 R 3 E 0 2

Определение сил, действующих на проводники и диэлектрики в электрическом поле и моментов этих сил.

Методы решения. В разных условиях возможны разные подходы: применение формулы, выражающей действующую на заряд

Гл. 5. Энергия электрического поля

силу через известную напряженность поля; вычисление энергии системы с последующим применением формул (5.6) – (5.9); рассмотрение максвелловских натяжений и давлений (5.10) – (5.14).

Задача 5.3.15 (базовая задача). Между обкладками плоского воздушного конденсатора помещена диэлектрическая пластина толщиной d 1 с диэлектрической проницаемостью ε ( рис. 5.5 ). Между поверхностями пластины и обкладками конденсатора остались воздушные зазоры, суммарная толщина которых равна d 2 . Определить силу притяжения F между обкладками, если разность потенциалов между ними равна V , а площадь пластин S .

По определению сила F , действующая на пластину конденсатора, равна произведению заряда q , находящегося на этой пластине, на напряженность электрического поля E 1 , создаваемую всеми остальными зарядами системы (напря-

Рис. 5.5. К определению силы притяжения между обкладками плоского конденсатора (задача

жённость поля одной пластины). Ясно, что E 1 = E , где E – напря- 2

женность поля в воздушном зазоре конденсатора. Заряд пластины можно найти, используя определение емкости: q = CV . Емкость С определяем по правилу сложения емкостей последовательно соединенных конденсаторов:

откуда следует C =

Напряженность поля в конденсаторе найдем, вычисляя разность потенциалов между обкладками:

. В итоге получаем

166 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 5.3.16. Обкладки плоского конденсатора имеют форму квадрата со стороной a и соединены с источником напряжения. Расстояние и разность потенциалов между обкладками соответственно равны d и U . В пространство между обкладками частично вдвинута пластина толщиной в форме квадрата со стороной a . Ее поверхности и стороны параллельны поверхностям и сторонам обкладок, а диэлектрическая проницаемость равна ε. Найти силу, с которой пластина втягивается в пространство между обкладками конденсатора.

При постоянном напряжении на конденсаторе его потенциальная энергия W = CU 2 2 изменяется только с изменением его емко-

сти С , которая в свою очередь

стины. Если координатную ось

х направить вдоль пластины, а

начало координат поместить у

Рис.5.6. К определению силы, с кото-

рой диэлектрическая пластина втяги-

вается в конденсатор (задача 5.3.16 )

функцией одной переменной –

координаты х конца вдвинутой пластины и действующую на пластину силу можно рассчитать по формуле (5.8):

Конденсатор с вдвинутой пластиной можно рассматривать как два соединенных параллельно конденсатора – воздушный, площади S 1 = ax и частично заполненный диэлектриком, площадь которого S 2 = a ( a – x ). Его емкость согласно правилу сложения емкостей равна С = С 1 + С 2 , где

Гл. 5. Энергия электрического поля

Вычисляя производную dC , находим проекцию на ось х дей- dx

ствующей на диэлектрическую пластину силы:

Знак минус соответствует силе притяжения.

Задача 5.3.17 (базовая задача). Плоский конденсатор расположен горизонтально так, что одна его пластина находится над поверхностью жидкости, другая – под ее поверхностью. Диэлектрическая проницаемость жидкости ε, ее плотность ρ. На какую высоту поднимется уровень жидкости в конденсаторе после сообщения его пластинам заряда с поверхностной плотностью σ?

На поверхность жидкости в конденсаторе будет действовать направленная вверх сила, поверхностная плотность которой определена формулой (5.12):

f = ( ε − 1) D 2 . 2 εε 0 n

При равновесии эта сила скомпенсирована гидростатическим давлением:

Поскольку в нашем случае D = D n = σ, находим ответ:

h = σ 2 ( ε − 1) . 2 εε 0 ρ g

Ответ: h = 2 εε 0 ρ g .

Замечание. Подъём жидкости реально связан с объемными силами, возникающими в области неоднородности поля у края конденсатора, хотя в приведенном энергетическом расчете краевые эффекты явно не фигурируют.

168 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 5.3.18. Коэффициент поверхностного натяжения сферического мыльного пузыря λ = 0,05 Н/м, его радиус R = 1 см, наружное атмосферное давление р = 10 5 Па. Какой заряд q надо изотермически сообщить пузырю, чтобы его радиус увеличился вдвое?

При равновесии незаряженного мыльного пузыря радиуса R давление в его внутренней области р 1 уравновешивает наружное атмосферное давление р и давление за счет поверхностного натя-

жения 4 λ (здесь учтено, что мыльная пленка имеет две поверхно-

сти – внутреннюю и внешнюю)

Давление газа внутри пузыря при постоянной температуре об-

ратно пропорционально объему, т.е. p 1 = a , где а – коэффициент

пропорциональности. Если пузырю сообщается заряд q , то к внутреннему давлению добавляется давление электростатических сил р 2 . Тогда условие равновесия принимает вид:

где p 1 ′ = p 1 R 3 r 3 ( r – увеличившийся радиус пузыря). Рассчитаем величину р 2 . Для этого выделим на поверхности пузыря малую площадку dS и определим действующую на нее силу. Поверхност-

ная плотность заряда на пузыре равна σ = 4 π r 2 .

Известно (глава 1, задача 1.3.19 ), что напряженность поля, созданного у поверхности сферы всеми ее зарядами, кроме заряда

dq = σ dS , находящегося на элементе dS , равна E = 2 ε 0 , поэтому на заряд dq будет действовать сила

и эта сила будет создавать давление

Гл. 5. Энергия электрического поля

Решая систему уравнений (5.17) – (5.18) с учетом условия r = 2 R , находим ответ:

q 2 = (64 πε 0 R 3 )(12 λ + 7 pR ) .

Если R >> λ/ р = 5 10 -5 см (как и определено условиями задачи),

q = 8 π R 2 7 ε 0 p = 6,2 10 − 6 Кл . Ответ: q = 8 π R 2 7 ε 0 p = 6,2 10 − 6 Кл .

Задача 5.3.19. Конденсатор переменной емкости состоит из двух неподвижных металлических пластин, расположенных на расстоянии d друг от друга, и подвижной диэлектрической пластины, которая может поворачиваться и входить в зазор между металлическими пластинами ( рис. 5.7 ). Все пластины имеют форму полукруга радиуса R , причем зазоры между диэлектрической пластиной и пластинами конденсатора пренебрежимо малы по сравнению с d . Пренебрегая краевыми эффектами, найти момент сил М , действующих на диэлектрическую пластину, когда она выведена из положения равновесия. Конденсатор поддерживается при разности потенциа-

лов V , диэлектрическая проницаемость подвижной пластины равна ε.

Рис. 5.7. Конденсатор переменной

емкости (задача 5.3.19 )

Конденсатор с выведенной из

положения равновесия на угол θ диэлектрической пластиной можно заменить эквивалентной схемой двух включенных параллельно

конденсаторов, у одного из которых площадь пластин S 1 = R 2 θ 2 и между пластинами находится воздух, а у другого площадь пластин

S 2 = R 2 ( π − θ ) 2 и между пластинами находится диэлектрик ε. Емкость такого конденсатора равна

C = C 1 + C 2 = ε 0 ( S 1 + ε S 2 ) . d

Для определения момента силы М применим формулу (5.9), записав энергию конденсатора в виде W = CV 2 2. Выполняя диффе-

ренцирование, получаем ответ: M = ε 0 ( ε − 1) R 2 V 2 . 4 d

170 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Ответ: M = ε 0 ( ε − 1) R 2 V 2 . 4 d

§ 5.4. Задачи для самостоятельного решения

5.4.1. Насколько изменится полная энергия уединенного металлического шара R 1 с зарядом q , если его окружить концентрическим сферическим слоем диэлектрика с диэлектрической проницаемо-