Как найти угол между вектором и осью

Проекция вектора на ось

Мы уже находили длину и направление вектора по его координатам.

Теперь решим обратную задачу: пользуясь длиной и направлением вектора, найдем его координаты.

На плоскости (две оси) легко разложить вектор на проекции, если известны:

• длина вектора и
• угол между вектором и какой-либо осью (угол обозначается дугой).

Алгоритм действий для разложения вектора на проекции

1. Проводим прямоугольник так, чтобы вектор стал его диагональю.
2. Диагональ разделит прямоугольник на треугольники. Эти два треугольника прямоугольные.
3. Выберем треугольник, в котором угол отмечен дугой.
4. Дуга одним своим концом всегда касается гипотенузы, а вторым концом – одного из катетов.

Важно! Вектор, который мы раскладываем, всегда является гипотенузой.

Формулы разложения вектора на проекции

Формулы разложения легко запомнить с помощью фразы:

Гипотенузу умножаем на косинус (угла), получаем катет, который касается (дуги).

На языке математики эта фраза запишется так:

\[ |\vec| \cdot cos(\alpha) = m_ \]

Катет \( m_ \) – это «x» координата вектора.

Если длину вектора умножим на синус, то получим второй катет:

\[ |\vec| \cdot sin(\alpha) = m_ \]

Катет \( m_ \) – это «y» координата вектора.

Обе формулы запишем в виде системы:

\[ \large \boxed <\begin\left|\vec\right| \cdot cos(\alpha) = m_ \\ \left|\vec\right| \cdot sin(\alpha) = m_ \end> \]

Косинус угла между вектором и осью

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →

Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .

Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.

Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.

Нахождение угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

Решение

Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,

Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4

Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:

cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

Решение

1. Для решения задачи можем сразу применить формулу:

cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70

1. Также можно определить угол по формуле:

cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,

но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .

Решение

Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )

Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13

Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:

A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,

b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^

и отсюда выведем формулу косинуса угла:

cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →

Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:

Косинус угла между вектором и осью

Проекция вектора на ось есть скалярная величина, равная произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между положительными направлениями оси и вектора (см. рисунок).

Проекция вектора на ось обозначается через a_l или , а угол между осью и вектором будем обозначать так: . Таким образом,

(2)

Если — углы, образованные вектором с координатными осями Ox, Oy и Oz прямоугольной системы координат, то проекции вектора на координатные оси будут равны

(3)

В дальнейшем предполагается, что система координат — прямоугольная.

Модуль вектора через его проекции на оси прямоугольной системы координат вычисляется по формуле

(4)

т. е. модуль вектора равен арифметическому значению квадратного корня из суммы квадратов его проекций.

Вектор равен нулю, если все три его проекции равны нулю (этим положением пользуются, например, в механике при выводе необходимых и достаточных условий равновесия тела под действием системы сил, проходящих через одну точку).

Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Рассмотрим на оси / ненулевой направленный отрезок АВ (рис.23). Величиной направленного отрезка АВ на оси I называется число, равное длине отрезка АВ, взятой со знаком «+», если направление отрезка АВ совпадаете направлением оси и со знаком «-», если эти направления противоположны. Рассмотрим теперь произвольный вектор , определяемый связанным вектором АВ.

Опуская из его начала и конца перпендикуляры на заданную ось I, построим на ней направленный отрезок CD (рис. 24). Определение. Проекцией вектора АВ на ось I называется величина направленного отрезка CD, построенного указанным выше способом. Основные свойства проекций 1. Проекция вектора АВ на какую-либо ось I равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и этим вектором (рис. 25) 2.

Проекция суммы векторов на какую-либо ось J равна сумме проекций векторов на ту же ось. Например, (рис.26). §5. Скалярное произведение векторов Пусть имеем два вектора а и I». Определение. Скалярным произведением вектора а на вектор b называется число, обозначаемое символом (а,Ь) и определяемое равенством где или в иной записи (а, !>), есть угол между векторами а и b (рис. 27 а).

Заметив, что (b| cosy> есть проекция вектора b на направление вектора а, можем написать (рис. 27 6) и,аналогично, (рис.27 в), т.е. скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, помноженной на проекцию на него другого вектора. В случае, если один из векторов а или Ь — нулевой, будем считать, что Проекция вектора на ось.

Скалярное произведение векторов 5.1.

Свойства скалярного произведения 1. Скалярное произведение обращается в нуль в том и только в том случае, когда по крайней мере один из перемножаемых векторов является нулевым или когда векторы а и Ь ортогональны, a J.h. Это следует из формулы (1), определяющей скалярное произведение. Поскольку направление нулевого вектора не определено, мы можем его считать ортогональным любому вектору. Поэтому указанное свойство скалярного произведения можно сформулировать так: 2.

Скалярное произведение коммутативно: Справедливость утверждении вытекает из формулы (I), если учесть четность функции 3. Скалярное произведение обладает распределительным свойством относительно сложения: 4 Действительно, 4. Числовой множитель Л можно выносить за знак скалярного произведения « Действительно, пусть А > 0. Тогда поскольку при A > 0 углы (aj>) и (Аа, h) равны (рис.28). Аналогично рассматривается случай . При 0 свойство 4 очевидно. Замечание. В обшем случае ). 5.2.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Скалярное произведение векторов, заданных координатами Пусть векторы а и Ь заданы своими координатами в ортонор миро ванном базисе Рассмотрим скалярное произведение векторов и и Ь: Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов Пользуясь распределительным свойством скалярного произведения, находим Учитывая, что Тоесть, если векторы а и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат. Пример.

Найти скалярное произведение векторов

Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом: Применяя формулу (4) при b =а, найдем С другой стороны, так что из (5) следует, что — в ортонормированном базисе длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат. 5.3. Косинус угла между векторами. Направляющие косинусы Согласно определению где —угол между векторами а и Ь. Из этой формулы получаем (предполагается, что векторы а и b — ненулевые). Пусть .

Тогда формула (7) примет следующий вид cos Пример. Найти угол между векторами Пользуясь формулой (8), находом Пусть b = i, т.е. b = . Тогда для всякого вектора О имеем Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов или, в координатной записи, где q есть угол, образованный вектором а с осью Ох.

Аналогично получаем формулы Формулы (9)-(l 1) определяют направляющие косинусы вектора а, т.е. косинусы углов, образуемых вектором а с осями координат (рис. 29). Пример. Найти координаты единичного вектора . По условию |п°| = I. Пусть Тогда (n°,k)=sz = cos 7. Таким образом, координатами единичного вектора являются косинусы углов, образованных этим вектором с осями координат: Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов Отсюда получаем Пример. Пусть единичный вектор п° ортогонален оси г: (рис.30). Тогда его координаты х и у соответственно равны Тем самым.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Головизин_Лекции / Лекция 4. ДСК на прямой

Лекция 4. Проекция вектора на ось и декартовая система координат на прямой.

Краткое содержание: угол между векторами, угол между вектором и осью, проекция вектора на ось, определение декартовой координаты вектора оси, теорема Шаля, свойства проекции вектора на ось, координатная форма записи вектора оси, радиус-вектор точки оси, координата точки оси, координатная прямая (числовая ось), вычисление декартовой координаты вектора числовой оси и расстояния между её двумя точками, деление отрезка в данном отношении, деление отрезка внутренним и внешним образом, вычисление отношения, в котором точка делит отрезок, вычисление координаты точки деления отрезка, координаты середины отрезка.

Глава 4. Проекция вектора на ось и декартовая система координат на прямой.

п.1. Угол между векторами. Угол между вектором и осью.

Определение. Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

Обозначение. . Из определения следует, что .

Мы полагаем очевидным, что при параллельном переносе любого из двух векторов угол между ними остается неизменным, только в этом случае поворот одного из векторов осуществляется либо в общей для обоих векторов плоскости, либо в плоскости параллельной другому вектору.

Введем понятие угла между вектором и осью.

Определение. Углом между вектором и осью называется угол между данным вектором и любым правоориентированным вектором этой оси.

Обозначение. .

п.2. Проекция вектора на ось.

Пусть дан вектор и ось L. Через точки А и В проведем соответственно плоскости и перпендикулярные оси L и точки пересечения оси L с этими плоскостями обозначим соответственно через и . Тогда по определению, точка является проекцией точки А на ось L, а точка – проекция точки В на ось L.

Определение. Проекцией вектора на ось L называется число равное модулю вектора , если он правоориентированный на оси L или противоположное ему число в противном случае. Здесь – проекция точки А на ось L, – проекция точки В на ось L.

. (1)

Теорема. (О вычислении проекции вектора на ось.)

Проекция вектора на ось не зависит от выбора точки его начала и может быть вычислена по формуле:

(2)

Доказательство.1) Рассмотрим сначала ситуацию, когда вектор отложен от точки А оси L. Здесь возможны два случая, когда угол между данным вектором и данной осью является острым или тупым.

В первом случае (рис.4) и по определению проекции вектора на ось

,

где последнее равенство следует из прямоугольного треугольника .

Во втором случае (рис.5) и тогда , ч.т.д.

2) Пусть теперь вектор отложен от произвольной точки А пространства точек S. Найдем проекцию вектора на ось L (см. рис.3). Далее, через точку проведем прямую параллельно прямой АВ и обозначим через С точку её пересечения с плоскостью . Смотри, далее, рисунок 6.

Рассмотрим четырехугольник . Сторона по построению, стороны , как линии пересечения параллельных плоскостей и плоскостью четырехугольника . Таким образом, четырехугольник – параллелограмм и . А так как точка С лежит на плоскости , то точка – проекция точки С на ось L и, следовательно, . Из равенства векторов следует равенство их модулей и равенство углов между этими векторами и осью L, откуда, по уже доказанной в первой части этого доказательства формуле, получаем:

, ч.т.д. Теорема доказана.

п.2. Декартовая координата вектора оси.

Пусть L произвольная ось и . Отложим вектор от какой-нибудь точки . Обозначим через конец вектора .

В А В L

На рис.7 совмещены два возможных случая: и , т.к. вектор может быть правоориентированным на оси L или левоориентированным.

Определение. Декартовой координатой вектора оси называется проекция этого вектора на эту ось.

Обозначим декартовую координату вектора оси L через . Тогда по определению

. (3)

Если , то декартовую координату вектора на оси L будем обозначать

.

Из определения декартовой координаты вектора оси сразу же вытекает следующая теорема.

Теорема. (О знаке декартовой координаты вектора оси.)

Декартовая координата вектора оси неотрицательна и равна его модулю, если вектор правоориентированный на оси. Декартовая координата вектора оси отрицательна и противоположна его модулю, если вектор левоориентированный на оси.

. (4)

Доказательство. Смотрим рисунок 7. Если вектор – правоориентированный на оси L, то угол и

.

Если же вектор – левоориентированный на оси L, то угол и

.

Замечания 1) В дальнейшем, мы часто будем иметь дело с координатными осями Ох, Оу, Оz. В соответствии с этим декартовые координаты вектора на этих осях мы будем обозначать соответственно или .

2) Во многих учебниках аналитической геометрии то, что мы назвали декартовой координатой вектора оси называют величиной вектора оси и часто имеют другие обозначения. Будьте очень внимательны к обозначениям!

Следствие. (О декартовых координатах противоположных векторах оси.)

Пусть – два противоположных друг другу вектора оси L. Тогда .

Доказательство. Из определения противоположных векторов следует, что они имеют равные модули, и на оси противоположно ориентированы. Осталось применить теорему. (См. также формулу (4)).

п.3. Теорема Шаля.

Теорема. (М. Шаль, 1830г.)

Для любых трех точек А, В, С оси L справедливо равенство:

, (5)

где – декартовые координаты векторов оси L соответственно.

Доказательство. 1) Рассмотрим сначала случай, когда точка С находится на отрезке АВ:

В этом случае векторы и правоориентированные и их проекции на ось L равны их модулям, т.е. , и . Т.к. , и , то по свойству функции расстояния .

Отсюда следует равенство и , ч.т.д.

2) Теперь рассмотрим какой-нибудь другой случай расположения точек А, В, С на оси L. См., например, рис.9:

Так как точка А находится на отрезке ВС, то используя только что доказанный случай, имеем равенство: . По следствию о декартовых координатах противоположных векторов , , откуда следует и , ч.т.д.

Аналогично доказываются все оставшиеся случаи расположения точек А, В, С на оси L.

п.4. Свойства проекции вектора на ось.

Теорема. (Свойства проекции.)

Для любых векторов , для любого действительного числа k и любой оси L выполняются равенства:

1) ; 2) .

Коротко оба свойства можно сформулировать так:

Проекция суммы равна сумме проекций и скалярный множитель можно выносить за знак проекции.

Доказательство. 1) Отложим вектор от произвольной точки А и сложим с вектором по правилу треугольника:

Пусть – проекции точек А, В и С на ось L. В каком бы порядке не располагались точки на оси L, по теореме Шаля имеем:

, (6)

где – декартовые координаты векторов на оси L. С другой стороны, по определению декартовой координаты вектора на ось,

, , . Подставляя в (6), получаем . А так как , , , то , ч.т.д.

2) Рассмотрим два случая: а) ; б) .

а) Пусть . По теореме о вычислении проекции

вектора на ось и по определению умножения вектора на число .

Отсюда следует (см. рис.11), что и

, ч.т.д.

б) Пусть (см. рис.12). Имеем и . Обозначив , получаем:

, ч.т.д.

Следствие. (О декартовых координатах векторов оси.)

Пусть L – произвольная ось и – произвольные векторы этой оси. Пусть – произвольное действительное число. Тогда:

1) если , то ;

2) если , то .

Другими словами можно сказать, что при сложении векторов оси их декартовые координаты складываются, а при умножении вектора оси на действительное число его декартовая координата умножается на это число.

Доказательство. По определению декартовой координаты вектора

,

, ч.т.д.

Замечание. Нетрудно показать, исходя из определения декартовой координаты вектора оси, что любой вектор оси L однозначно определяется своей декартовой координатой . Другими словами, существует взаимно однозначное соответствие между всеми векторами пространства и полем скаляров R, т.е. , причем это соответствие сохраняет операции сложения и умножения на скаляр (см. следствие о декартовых координатах векторов оси). В современной алгебре, такое соответствие называется изоморфизмом векторных пространств. Это позволяет отождествить вектор оси с его декартовой координатой и писать:

Такая форма записи вектора оси называется координатной.

Отсюда сразу же вытекает следующая теорема.

Теорема. (О равенстве векторов.)

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их декартовые координаты.

п.5. Числовая (координатная) ось.

Пусть дана произвольная ось. Выберем и зафиксируем на этой оси произвольную точку О, которую будем называть началом координат (точкой отсчета), а саму ось будем обозначать Ох. Пусть А произвольная (текущая) точка оси Ох.

Определение. Вектор , где О – начало координат, называется радиус-вектором точки А и обозначается:

. (7)

Обозначим через декартовую координату радиус-вектора :

.

Определение. Координатой точки А оси Ох называется декартовая координата её радиус-вектора .

Таким образом, из определений координаты точки оси, декартовой координаты вектора оси и проекции вектора на ось следуют равенства:

(8)

Изобразим на оси Ох возможные расположения точки А относительно начала координат.

А О А х

В одном случае, точка А следует за точкой О (радиус-вектор точки А является правоориентированным) и из формулы (8) следует, что

.

В другом, точка А предшествует точке О (радиус-вектор точки А является левоориентированным) и

.

Отложим на оси Ох точку Е с координатой .

| |

Определение. Отрезок ОЕ, где О – начало координат, а координата точки Е равна , называется масштабом на оси L.

Замечание. Выбирая масштаб на оси, мы тем самым задаем функцию расстояния на этой оси.

Определение. Прямая, на которой выбрано положительное направление, начало координат, масштаб и для каждой точки которой определена её координата, называется координатной прямой или числовой осью. Говорят также, что на прямой введена декартовая система координат.

Теорема. Между множеством точек координатной оси Ох и множеством действительных чисел R существует взаимно однозначное соответствие (биекция).

Доказательство. Устроим отображение по правилу: каждой точке поставим в соответствие её координату .

Из определения координаты точки (см. формулу (8)) следует, что каждая точка оси имеет единственную координату. Таким образом, данное правило действительно задает отображение.

Далее, из определения координаты точки следует, что любые две различные точки имеют различные координаты, т.е. данное отображение является инъекцией.

И, наконец, пусть – произвольное действительное число. Отложим на оси Ох вектор с декартовой координатой . Т.к. , то такой вектор существует для любого . Тогда .

Следовательно, любое число является образом некоторой точки при этом отображении, т.е. отображение является сюръекцией. Отображение, которое является одновременно инъекцией и сюръекцией является биекцией, т.е. взаимно однозначным отображением, ч.т.д.

Замечание. В силу только что доказанной теоремы, мы можем отождествить точку числовой оси и число, которое равно ее координате.

Поэтому после буквы обозначающей точку, в круглых скобках пишут ее координату: и т.д.

Определение. Положительной полуосью называется та часть координатной оси, все точки которой имеют положительные координаты (все эти точки следуют за началом координат). Отрицательной полуосью называется та часть координатной оси, все точки которой имеют отрицательные координаты (все эти точки предшествуют началу координат).

п.6. Расстояние между двумя точками на координатной оси и замечание о его обозначении.

Замечание . В геометрии и в школьной геометрии, в частности, принято обозначать одинаково и сам отрезок и его длину. Если имеется отрезок прямой, ограниченный точками А и В, то этот отрезок как геометрический объект обозначается АВ.

С другой стороны длина отрезка, т.е. расстояние между точками А и В обозначается точно также АВ.

Мы же, в нашем курсе, уже встретились с различными обозначениями длины отрезка:

.

Но и это еще не все. Если речь идет об отрезке на оси L, то есть, когда , то длину отрезка АВ мы можем обозначить и так:

.

А если ось мы обозначим другой буквой, например, Ох или Оу, то могут появиться и другие обозначения.

В дальнейшем мы будем стараться придерживаться традиционного обозначения и обозначать длину отрезка АВ также, как и сам отрезок: АВ.

Теорема. (О вычислении декартовой координаты вектора и расстоянии между точками числовой оси.)

Пусть Ох координатная ось, А, В – две её произвольные точки, – их координаты, – декартовая координата вектора . Тогда:

1) ; 2) .

Доказательство. По правилу треугольника сложения векторов имеем:

.

Применяя следствие о декартовых координатах векторов оси, получаем

.

2) Из определения декартовой координаты вектора оси следует, что . Подставляя сюда доказанное уже равенство , получаем .

Замечание. Используя доказанную теорему, можно сформулировать два правила:

1) Для того, чтобы найти координату вектора на числовой оси, нужно из координаты его конца вычесть координату его начала.

2) Расстояние между двумя точками числовой оси равно модулю разности их координат.

п.7. Деление отрезка в данном отношении.

Определение. Пусть L – произвольная прямая, – её произвольные точки, причем . Говорят, что точка С делит отрезок АВ, считая от точки А, в отношении , если .

Нахождение угла между векторами

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →

Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .

Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.

Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.

Нахождение угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

Решение

Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,

Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4

Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:

cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

Решение

1. Для решения задачи можем сразу применить формулу:

cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70

1. Также можно определить угол по формуле:

cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,

но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .

Решение

Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )

Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13

Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:

A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,

b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^

и отсюда выведем формулу косинуса угла:

cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →

Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.