MATLAB – Интеграция
Интеграция имеет дело с двумя принципиально разными типами проблем.
В первом типе дается производная функции, и мы хотим найти функцию. Поэтому мы в основном обращаем вспять процесс дифференциации. Этот обратный процесс известен как антидифференцирование, или нахождение примитивной функции, или нахождение неопределенного интеграла .
Второй тип проблем включает сложение очень большого количества очень маленьких величин, а затем определение предела, когда размер величин приближается к нулю, а число членов стремится к бесконечности. Этот процесс приводит к определению определенного интеграла .
В первом типе дается производная функции, и мы хотим найти функцию. Поэтому мы в основном обращаем вспять процесс дифференциации. Этот обратный процесс известен как антидифференцирование, или нахождение примитивной функции, или нахождение неопределенного интеграла .
Второй тип проблем включает сложение очень большого количества очень маленьких величин, а затем определение предела, когда размер величин приближается к нулю, а число членов стремится к бесконечности. Этот процесс приводит к определению определенного интеграла .
Определенные интегралы используются для определения площади, объема, центра тяжести, момента инерции, работы, выполняемой силой, и во многих других приложениях.
Поиск неопределенного интеграла с помощью MATLAB
По определению, если производная функции f (x) есть f ‘(x), то мы говорим, что неопределенный интеграл от f’ (x) по x равен f (x). Например, поскольку производная (по x) x 2 равна 2x, мы можем сказать, что неопределенный интеграл от 2x равен x 2 .
f ‘(x 2 ) = 2x , следовательно,
∫ 2xdx = x 2 .
Неопределенный интеграл не является уникальным, потому что производная x 2 + c для любого значения константы c также будет 2x.
Это выражается в символах как –
∫ 2xdx = x 2 + c .
Где c называется «произвольной константой».
MATLAB предоставляет команду int для вычисления интеграла выражения. Чтобы вывести выражение для неопределенного интеграла функции, мы пишем –
Например, из нашего предыдущего примера –
MATLAB выполняет приведенный выше оператор и возвращает следующий результат –
Пример 1
В этом примере давайте найдем интеграл некоторых часто используемых выражений. Создайте файл сценария и введите в нем следующий код –
Когда вы запускаете файл, он показывает следующий результат –
Пример 2
Создайте файл сценария и введите в нем следующий код –
Обратите внимание, что функция pretty возвращает выражение в более читаемом формате.
Когда вы запускаете файл, он показывает следующий результат –
Нахождение определенного интеграла с помощью MATLAB
По определению, определенный интеграл в основном является пределом суммы. Мы используем определенные интегралы, чтобы найти области, такие как область между кривой и осью x и область между двумя кривыми. Определенные интегралы могут также использоваться в других ситуациях, где требуемое количество может быть выражено как предел суммы.
Функция int может использоваться для определенной интеграции, передавая пределы, по которым вы хотите вычислить интеграл.
Например, для расчета стоимости 
мы пишем –
MATLAB выполняет приведенный выше оператор и возвращает следующий результат –
Ниже приведен октавный эквивалент приведенного выше расчета –
Octave выполняет код и возвращает следующий результат –
Альтернативное решение может быть дано с помощью функции quad (), предоставляемой Octave следующим образом:
Octave выполняет код и возвращает следующий результат –
Пример 1
Вычислим площадь, заключенную между осью x и кривой y = x 3 -2x + 5 и ординатами x = 1 и x = 2.
Требуемая площадь определяется как –
Создайте файл сценария и введите следующий код –
Когда вы запускаете файл, он показывает следующий результат –
Ниже приведен октавный эквивалент приведенного выше расчета –
Octave выполняет код и возвращает следующий результат –
Альтернативное решение может быть дано с помощью функции quad (), предоставляемой Octave следующим образом:
Модуль-3-210700 / 2Дисциплина ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ППП-210700 / Раздел-05-ППП-MatLab / Учебное пособие / Тема-05-04-MatLab
int(S)– возвращает символьное значение неопределенного интеграла от символьного выражения или массива символьных выражений S по переменной, которая автоматически определяется функцией findsym. Если S– скаляр или матрица, то вычисляется интеграл по переменной ‘х’.
int(S, v)– возвращает неопределенный интеграл от S по переменной v.
int(S, a, b)– возвращает определенный интеграл от S с пределами интегрирования от а до b, причем пределы интегрирования могут быть как символьными, так и числовыми.
int(S, v, a, b)– возвращает определенный интеграл от S по переменной v с пределами от а до b.
Пример 4.4-1.
» int(sin(x)^3, x)
» int(log(2*x), x)
— 2/3*1og(2) + 2/3*1og(31) + 2/3*3^(l/2)*atan(11/3*3^(l/2)) -.
» int([x^3 sin(x) exp(x)], x)
[ l/4*x^4, -cos(x), exp(x)]
» int(log(sin(x)),x,0,pi/2)
С помощью функции int() можно вычислять имеющие аналитическое решение сложных интегралов, например с бесконечными пределами (или одним из пределов), а также кратные интегралы.
Пример 4.4-2.
Пример 4.4-2.
» int(log(1+exp(-x),x,0,inf)
» syms x a b
» int(int(int(x^2 + y^2)*z, x, 0, a), y, 0, a), z, 0, a)
В системе MatLab вычисление интегралов реализовано численными методами трапеции, Симпсона, Ньютона-Котеса. Рассмотрим технологию использования этих методов.
Для вычисления интеграла по формуле трапеции в MatLab используется функция trapz(x,y ). Эта функция возвращает значение интеграла от функции y=f(x) – 
При этом y может быть вектором или матрицей. Длины векторов x и y должны быть одинаковы. Если f(x) – матрица, то функция возвращает вектор значений интеграла каждого столбца матрицы. Если вектор узлов не задан — trapz(y), то в качестве ординат x используются их индексы (x=1:length(y)). Узлы по оси x могут быть и не равноотстоящими.
Пример 4.4-3. Вычислить значение интеграла 
методом трапеции.
Пример 4.4-3
>>% Точное значение интеграла от функции y=log(x),
>>% которое берется аналитически, равно 0.3863
Пример 4.4-4. Вычислить значение интеграла 
методом трапеции, если функция f(x) задана вектором y=[1 3 57 9].
Пример 4.4-4
>>y=[1 3 5 7 9];
>>trapz(x,)
>>% Точное значение интеграла от функции y=log(x),
>>% которое берется аналитически, равно 0.3863
Пример 4.4-5. Вычислить значения интегралов 
методом трапеции, если функции fi(x) (i=1:5) заданы матрицей y=[1 3 5 ; 3 5 7 ; 4 6 8; 4 7 9; 5 7 10].
Пример 4.4-5
>>y=[1 3 5 ; 3 5 7 ; 4 6 8; 4 7 9; 5 7 10];
Пример 4.4-6. Вычислить значение интеграла 
методом трапеции, для функции yn=log(xn) с неравномерным шагом по оси x.
Пример 4.4-6
0.3859
Пример 4.4-7. Вычислить значение интеграла 
методом трапеции, если аргумент x и функция f(x) заданы векторами x=[1 3 7 9 10], y=[1 3 5 7 9].
Пример 4.4-7
Пример 4.4-8. Вычислить значение интеграла 
методом трапеции, если аргумент xзадан вектором x=[1 3 7 9 10], а функция f(x) задана матрицей y=[1 3 5; 3 5 7; 4 6 8; 4 7 9; 5 7 10].
Пример 4.4-8
>>y=[1 3 5; 3 5 7; 4 6 8; 4 7 9; 5 7 10];
Накопительное суммирование по формуле трапеции в MatLab осуществляется с помощью функции cumtrapz(x,y). Она возвращает вектор, i—й компонент которого представляет сумму первых i слагаемых формулы трапеции. Значение функции cumtrapz(x,y) можно рассматривать как дискретный аналог интеграла с переменным верхним пределом.
Для вычисления интеграла по формуле Симпсона в MatLab применяется функция quad(). При обращении к ней шаг интегрирования не задается, используется требуемая точность вычисления интеграла. Основную часть вычислений в этой функции выполняет рекурсивная подфункция quadstep( ), в которой используется формула Симпсона (yi=f(xi),i=0,1,…,n=2m) с небольшим числом узлов: 3 (m=1) и 5 (m=2). Найденные по этим формулам значения сравниваются. Если разница между ними больше допустимой погрешности, отрезок интегрирования разбивается на две равные части, функция quadstep() рекурсивно применяется к каждой половине, и результаты складываются.
Из описания способа вычислений функции quad() вытекает, что невозможно ограничиться заданием значений интегрируемой функции в каких-то заранее известных узлах (как для trapz()), а необходимо уметь вычислять ее значения в любой точке интервала интегрирования. Невозможно также использовать остаточный член для оценки точности, достигнутой функцией quad(), поскольку неизвестен окончательный шаг h, необходимый при интегрировании. К тому же он не обязательно одинаков на всем отрезке интегрирования.
Минимальная форма обращения к функции – q=quad(f,a,b). В качестве первого аргумента задается указатель на подынтегральную функцию, второй и третий аргументы определяют пределы интегрирования, а указатель f может быть задан одним из способов:
именем m—функции, заключенным в одинарные кавычки;
указателем @f, где f имя функции;
строкой, содержащей любую формулу с одной независимой переменной.
Функция quad() допускает задания четвертого входного параметра – абсолютной погрешности eps: q=quad(f, a, b, eps). По умолчанию эта погрешность принимается равной1.0Е10 -6 . Если задать ее более высокой, (например, 1.0e-16), интеграл будет вычисляться точнее, зато существенно медленнее. О степени замедления можно судить по количеству обращений к вычислению значений подынтегральной функции (f(х)).
Вычисление интеграла аналитическими методами осуществляется в системе MatLab с помощью функции int(f(x), a, b), где f(x) – подынтегральная функция; a, b – пределы интегрирования.
Эта функция может вычислить:
неопределенный интеграл с символьными переменными ;
определенный интеграл с символьными значениями пределов интегрирования;
определенный интеграл от алгебраической функции;
Технология аналитического вычисления интегралов заключается в следующем:
Определение символьных переменных с помощью оператора syms.
Ввод подынтегрального выражения с присвоением ему имени: y=f(x).
Ввод функции int(y), если вычисляется неопределенный интеграл, или функции int(y,a,b), если вычисляется определенный интеграл в пределах [a;b].
Пример 4.4-9. Вычислить неопределенный интеграл 
.
Пример 4.4-9
Пример 4.4-10. Вычислить определенный интеграл 
.
Пример 4.4-10
1/2*log(1+b^2) – 1/2*log(1+a^2)
Пример 4.4-11. Вычислить определенный интеграл
.
Пример 4.4-11
1/2*log(13)
Для получения численного значения интеграла необходимо активизировать строку ответа и нажать <ENTER>:
Пример 4.4-12. Вычислить двойной неопределенный интеграл 
.
Пример 4.4-12
-1/2*log(x-1) – 1/2*log(x+1)
Пример 4.4-12
Matlab Integral
By 
Priya Pedamkar
Introduction to Matlab Integral
Matlab Integral is useful in finding areas under the curves. It is the reverse of differentiation in calculus and hence the functions are integrated by finding their anti-derivatives.
Integrals are of 2 types:
Hadoop, Data Science, Statistics & others
1. Indefinite integrals (Integrals without limits)
2. Definite integrals (Integrals with limits)
Syntax
Let us now understand the syntax of ‘integral function’ in MATLAB:
A = integral (Fx, Xminimum, Xmaximum)
Explanation:
1. ‘integral function’ will calculate the numeric integration of input function ‘Fx’
2. ‘Xminimum’ and ‘Xmaximum’ will be used as a minimum and maximum limits for integration respectively
3. If we want to use more specific options for integral, we can use the syntax:
A = integral (Fx, Xminimum, Xmaximum, Name, Value)
Examples to Implement Matlab Integral
Let us now understand how the code for ‘integral function’ looks like in MATLAB with the help of various examples:
Example #1
In this example, we will use a simple polynomial function of degree 2 and will integrate it between the limits 0 to 4. We will follow the following 2 steps:
Step 1: Create the function of degree 2 in MATLAB
Step 2: Use the integral function to calculate the integration
Code:
syms x
[Initializing the variable ‘x’] Fx = @(x) 4*x.^2
[Creating the polynomial function of degree 2] A = integral (Fx, 0, 4)
[Passing input function ‘Fx’ and the required limits to the ‘integral function’] [Mathematically, the integral of 4*x ^ 2, between the limits 0 to 4 is 85.3333]
Output:
Explanation: As we can see in the output, we have obtained integral of our input function ‘Fx’ as 85.3333 using ‘integral function’, which is the same as expected by us.
Example #2
In this example, we will use a polynomial function of degree 4 and will integrate it between the limits 0 to 2. We will follow the following 2 steps:
Step 1: Create the function of degree 4 in MATLAB
Step 2: Use the integral function to calculate the integration
Code:
syms x
[Initializing the variable ‘x’] Fx = @ (x) (4 * x.^4 + x.^3 -2 * x.^2 +1)
[Creating the polynomial function of degree 4] A = integral (Fx, 0, 2)
[Passing input function ‘Fx’ and the required limits to the ‘integral function’] [Mathematically, the integral of 4 * x. ^ 4 + x. ^ 3 -2 * x. ^ 2 +1, between the limits 0 to 2 is 26.2667]
Output:
Explanation: As we can see in the output, we have obtained integral of our input function ‘Fx’ as 26.2667 using ‘integral function’, which is the same as expected by us.
Example #3
In this example, we will learn how to integrate a function between the limits 0 and infinity. For this example, we will use a function which is a combination of logarithmic and exponential functions. The code will comprise of the following 2 steps:
Step 1: Create a function containing logarithmic and exponential functions
Step 2: Use the integral function to calculate the integration
Code:
syms x
[Initializing the variable ‘x’] Fx = @(x) exp(-x. ^3). * log(2 * x). ^3;
[Creating the function containing the exponential and logarithmic functions] A = integral (Fx, 0, inf)
[Passing input function ‘Fx’ and the required limits to the ‘integral function’. Note that we have passed ‘inf’ which signifies infinity, as the upper limit] [Mathematically, the integral of exp (-x. ^3). * log (2 * x). ^3, between the limits 0 to infinity is -2.9160]
Output:
Explanation: As we can see in the output, we have obtained integral of our input function ‘Fx’ as -2.9160 using ‘integral function’, which is the same as expected by us.
Example #4
In this example, we will learn how to use the syntax A = integral (Fx, Xminimum, Xmaximum, Name, Value)
For this example, we will use a vector function which is of the form [log(x) log(2x) log (3x) log (4x)]. The code will comprise of the following 2 steps:
Step 1: Create a function containing vector values
Step 2: Use the integral function to calculate the integration and add a ‘name-value pair’ argument
Code:
syms x
[Initializing the variable ‘x’] Fx = @(x) log((1 : 4) * x);
[Creating the function containing vector values] A = integral(Fx, 0, 2, ‘ArrayValued’, true)
[Passing input function ‘Fx’ and the required limits to the ‘integral function’. Note that we have passed ‘ArrayValued’, ‘true’, as the name value pair; which is used to calculate the integral of vector values]
Output:
Explanation: As we can see in the output, we have obtained integral of all the vector values in our array using integral function and ‘name-value pair’ argument.
Conclusion
‘integral function’ can be used in MATLAB to calculate the integration of any function. We can set the desired limits on the integration using the arguments of the integral function. It is also possible to apply specific conditions using ‘name-value pair’ arguments.
Recommended Articles
This is a guide to Matlab Integral. Here we discuss an introduction to Matlab Integral, syntax with explanation, examples with code, and output. You can also go through our other related articles to learn more –
matlab Integral
In maths, Integral allots numbers to functions in a manner that portrays relocation, region, volume, and different ideas that emerge by consolidating tiny information. The way toward discovering integrals is called integration.
What role it plays in mathematics?
Alongside differentiation, integration is a central, fundamental activity of calculus, and fills in as an apparatus to tackle issues in math and physical science including the space of a self-assertive shape, the length of a bend, and the volume of a strong, among others.
The integrals identified here are those named clear integrals, which can be deciphered officially as the marked space of the district in the plane that is limited by the diagram of a given function capacity between two focuses in the genuine line. Traditionally, regions over the flat graph of the plane are positive while regions breadth are negative. Integrals likewise allude to the idea of an antiderivative, a capacity whose subordinate is the given capacity. For this situation, they are called endless integrals. The crucial hypothesis of calculus relates distinct integrals with differentiation and gives a strategy to register the unmistakable necessary of a capacity when its antiderivative is known.
Matlab Integration
Integration manages two basically various kinds of problems.
- In the main kind, derivative of a function is given and we need to discover the function. In this way, we fundamentally switch the interaction of differentiation. This opposite cycle is known as hostile to separation, or tracking down the crude capacity, or tracking down an indefinite integral.
- The second kind of problem include including an exceptionally enormous number of minuscule amounts and afterward accepting a breaking point as the size of the amounts approaches zero, while the quantity of terms keep an eye on boundlessness. This interaction prompts the meaning of the definite integral
Clear integrals are utilized for discovering region, volume, focus of gravity, snapshot of latency, work done by a power, and in various different applications.
Indefinite Integral in MATLAB
By the given formal definition, if the function f1(x) and it’s derivative is f1′(x), then we declare that f1′(y) an indefinite integral related to y is f(y). For instance, since the obtained derivative (with respect to y) of y 4 is as shown 4y, we can declare that an of 4y indefinite integral is y 4 .
Example 1
Create a script file code and run through command prompt.
Output:
Note:
The pretty() function returns an defined labelled expression in a more understandable format.
Example 2:
Indefinite integrals are defined without any given or mentioned limits and containing any arbitrary constant.
Step 1: we use Inline () function for integration function creation.
Step 2: Create a symbolic function.
Step 3: Use int to find out the integration.
Step4: Consolidated code and Output on Matlab’s command prompt:
Definite Integral in MATLAB
Definite integral is essentially the restriction of an entirety. We utilize positive integrals to discover regions like the region between a bend and the x-axis and the region between two curve bends. Positive integrals can likewise be utilized in different circumstances, where the amount required can be communicated as the constraint of an entirety.
The int() function for definite integration can be used by sending the limits over to which we want to compute the integral.
To calculate we can write,
For instance, to compute the value of function we write —
MATLAB executes and returns as follows-
Example 1
Find the area under the curve: f1(z) = z 2 cos(z) for -5 = z = 9.
Create a script file code and run through command prompt.
When you run the file, MATLAB plots the graph —
Output result:
Example 2:
In this instance, we will take a function of degree 3, simple polynomial and will try to integrate it in the limits 0 to 5. We will complete this task in the following 4 steps:
Step 1: create symbols used in the function that is k.
Step2: To perform integration we create degree 3 function in MATLAB environment.
Step 3: Use the function to call it and pass argument to calculate the integration of values.
Step 4: we get the desired output after the code is executed.
Code:
Output:
Explanation: As we can observe in our desired output, we have obtained integral of our input argument function ‘Gk’ as 95.4333 using predefined ‘integral function’, which is the same as expected output by the user like us.