Как проверить дифференцируемость функции на отрезке

11. Дифференцируемость функции в точке. Функции, дифференцируемые на интервале и их свойства: Теоремы, Роля, Лагранжа.

Пусть функция y=f(x) определена на интервале (a,b), x-некоторая фиксированное значение аргумента из указанного интервала, x-любое приращение аргумента.

Опр. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в данной точке x, если приращение y этой функции в точке x, соответствующее приращению аргумента x, может быть представлено в виде y=Ax + x, где А — некоторое число, не зависящее от x, а — функция аргументаx, является бесконечно малой при x0.

Теорема. Для того чтобы функция y=f(x) являлась дифференцируемой в данной точке x, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Док-во: 1) Необходимость: пусть функция y=f(x) дифференцируема в данной точке x, то есть ее приращение y в этой точке представимо в виде y=Ax + x. Предположив, что x#0 поделим это равенство на x. Получим =A+. Из этого равенства вытекает существование производной, т.е.lim(x0)=A

2) Достаточность: пусть функция y=f(x) имеет в данной точке x конечную производную, т.е. существует предельное значение lim(x0) =f ’(x)

В силу определения предельного значения функция =-f’’(x) аргумента x является бесконечно малой при x0, т.е. y= f’’(x) x +x, где lim(x0)=0. Это представление совпадает с представлениемy=Ax + x, если обозначать через А не зависящее от x число f’’(x). Т.е. функция y=f(x) дифференцируема в точке x.

Теорема. Если каждая из функций u(x) и v(x) дифференцируема в данной точке x, то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в этой точке:

[ u(x) ]’ = u’(x)v’(x),

Опр. Функция y=f(x) называется дифференцируемой на интервале, если она дифференцируема во всех внутренних точках этого интервала.

Теорема Ферма. Если функция y=f(x) дифференцируема в точке c и имеет в этой точке локальный экстремум, то f ’(c)=0.

Опр. локального max(min): Говорят, что функция y=f(x) имеет в точке c локальный max(min), если найдется такая окрестность точки с, в пределах которой значение f(с) является наибольшим (наименьшим) среди всех значений этих функций.

Док-во: По условию теоремы существует конечная производная f ‘(с). Так как функция y=f(x) имеет в точке с локальный экстремум, то она не может в этой точке с не возрастать, ни убывать. Значит в силу леммы о достаточном условии возрастания и убывания функции в точке ( Если функция y=f(x) дифференцируема в точке с и f ’(c) >0 ( f ‘(c)<0 ), то функция y=f(x) возрастает (убывает) в точке с ), f ‘(c) не может быть ни положительной, ни отрицательной. Следовательно, f ‘(c)=0. ч.

Геометрически теорема Ферма утверждает, что если в той точке кривой y=f(x), в которой достигается локальный экстремум, существует касательная к этой кривой, то эта касательная обязательно параллельна оси Оx.

Опр., которые встречаются в теореме Ролля:

Опр непрерывности: Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если предельное значение этой функции в точке а существует и равно частному значению f(a).

Опр производной функции: Производная функции y=f(x) в данной фиксированной точке x называется предел при x0 разностного отношения

(при условии, что этот предел существует).

Опр: Функция f(x) называется ограниченной сверху(снизу), на множестве , если найдется такое вещественное число М(число m), что для всех значений аргумента x на множестве справедливо неравенство: f(x)M (f(x)m) при этом М — верхняя грань (m-нижняя грань) функции f(x).

Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши)

Теорема Коши. Если каждая из двух функций f(x) и g(x) непрерывна на сегменте [a,b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента и если, кроме того, производная g ‘(x) отлична от нуля всюду внутри сегмента [a,b], то внутри этого сегмента найдется точка ζ, такая, что — обобщенная формула конечных приращений или формула Коши.

Док-во: Докажем, что g(a)g(b). В самом деле, если бы это было не так, то для функции g(x) были бы выполнены все условия теоремы Роля и по этой теореме внутри сегмента [a,b]нашлась бы точка ζ : g ‘(ζ)=0. А это противоречит условию теоремы. Итак, g(a) g(b), поэтому можно рассмотреть следующую вспомогательную функцию:

. В силу требований, наложенных на функции f(x) и g(x), функция F(x) непрерывна на сегменте [a,b] и дифференцируема во всех внутренних точках сегмента. Кроме того, очевидно, что F(a)=F(b)=0. Т.е. для F(x) выполнены все условия теоремы Роля. Согласно этой теореме внутри сегмента найдется точка ζ : F(ζ)=0. Т.к. имеем. Учитывая, чтоg’(ζ) 0 получим формулу Коши.

4.02. Дифференцируемость функции в точке и на промежутке

Производная функции, согласно ее математического определения (1.5) и (1.6) – это некий предел. Но, как и всякий предел, он может оказаться:

А) конечным; б) бесконечным; в) вообще не существовать.

Если для данного X имеет место вариант (а), то есть если при заданном X производная функции Существует и конечна, то эта функция называется Дифференцируемой в точке x.

Функция, дифференцируемая в Каждой точке X некоторого промежутка оси Ох (например, интервала (A; B) или отрезка [A; B]) называется Дифференцируемой на этом промежутке. Кстати, сама процедура вычисления производной функции называется ее Дифференцированием (продифференцировать функцию – это значит найти ее производную).

Из геометрического смысла производной функции, определяемого равенством (1.11) и рис. 4.5, вытекают следующие два наглядные необходимые и достаточные условия дифференцируемости заданной функции в заданной точке X:

1) Существование касательной к графику функции в его точке с абсциссой X.

2) Невертикальность этой касательной (ибо не существует).

Например, функция , график которой изображен на рис. 4.7, не дифференцируема в точках X1, X2 и X3.

Действительно, точке X1 соответствует на графике функции точка M1 с вертикальной касательной. Точке X2 (точке максимума функции) соответствует остроконечная вершина M2, касательная в которой не существует. Точке X3 соответствует точка M3 – точка излома графика функции, в которой тоже касательная не существует.

Во всех же остальных точках M графика функции касательную к графику провести можно, и она невертикальна. Значит, для всех остальных X, отличных от (X1; X2; X3), существует производная функции. То есть во всех остальных точках X функция дифференцируема.

Научный форум dxdy

Дифференцируемость функции на отрезке — хочу разобраться

Недавно я уже задавал здесь вопрос про определение дифференцируемости функции на отрезке, но после этого основательно прошерстил учебники и у меня возник новый вопрос по этой теме.
Итак, есть четыре определения.
1. Для функции нескольких переменных определение дифференцируемости на открытом множестве (приводимое во многих учебниках по матанализу) выглядит следующим образом.
Пусть $$X \subset \mathbb<R>^n$» /> — открытое множество. Функция <img decoding=$ .

2. В учебнике М. Спивака «Математический анализ на многообразиях» для функции нескольких переменных дается определение дифференцируемости на произвольном (не обязательно открытом множестве).
Функция $$f: X \subset \mathbb<R>^n \to \mathbb<R>$» /> называется дифференцируемой, если ее можно продолжить до дифференцируемой функции на некотором открытом множестве, содержащем <img decoding=$ . Другими словами, если существует расширение этой функции $\tilde f$ , дифференцируемое на некотором открытом множестве $U \supset X$ .

3. Рассмотрим случай $n=1$ и отрезок $$X = [a,b] \subset \mathbb<R>$» />, тогда определение из п.2 будет выглядеть следующим образом. <br />Функция <img decoding=$ , дифференцируемое на некотором открытом множестве $U \supset [a,b]$ .

4. Однако, в учебниках по матанализу дается следующее определение дифференцируемости функции на отрезке.
Функция $$f: [a,b] \to \mathbb<R>$» /> называется дифференцируемой, если она дифференцируема на интервале <img decoding=$ ( т.е. у нее существует производная в каждой точке этого интервала ), а также если у у нее существует правая производная в точке $a$ и левая производная в точке $b$ .

Похоже, что определения из п.3 и п.4 не являются эквивалентными. Получается, что в математике нет общепринятого определения дифференцируемости функции на отрезке?? Или же случай $$X = [a,b] \subset \mathbb<R>$» /> следует особым частным случаем, для которого предпочтительно использовать определение из п.4?</p> <p>Определения из 3 и 4 эквивалентны (вне отрезка <img decoding=$ функцию можно доопределить линейно).

анализ — Как исследовать на дифференцируемость функцию?

В ответах сказано, что она дифференцируема всюду. Что нужно сделать, чтобы это понять?

задан 17 Янв ’12 11:40

2 ответа

Для начала сосчитаем предел $$\lim_\frac < e^<-\frac <1>>>=0 $$ Например, заменой x=-1/z, затем правило Лопиталя.$$$$Дифференцируемость функции следует проверить только в точке (стыковки графиков) x=0. Находим f(0)=0.Вспоминаем определение производной в точке $%x_0=0$% Имеем $$f'(x_0)= \lim_ \frac $$. Докажем, что $%f'(0)=0$%

Значит, надо доказать равенства $$f'(0)= \lim_ \frac << e^<-\frac <1>>>-0> = \lim_ \frac =0$$. Одно равенство очевидно, $$\lim_ \frac =0$$. А первый предел нами уже рассмотрен. ЧТД.

отвечен 17 Янв ’12 14:23

Думаю, что надо представлять график функции для начала. Я представляю его как-то так:

alt text

Графики построены с помощью приложения Маткад. Из условия следует, что до x=0 на графике — красная линия, при x>0 график функции — синия штрих-пунктирная линия. теперь про дифференцируемость: если нет разрывов, т.е. график не уходит в бесконечность, и нет никаких скачков (резкого увеличения значения функции), то функция дифференцируема, ну это в простом случае (как ваш, например). Более сложные ситуации может быть кто-то изложит ещё.

отвечен 17 Янв ’12 13:29

@sangol Картинка вставляется в сообщение путем нажатия на соответствующую кнопку в редакторе.

хорошо, замучал я Вас наверное своими картинками)) третью уже вставляете)) попробую в следующий раз сам сделать

Здравствуйте

Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.