Как посчитать интеграл пуассона

Интеграл Пуассона.

Пусть f(z) есть функция, аналитическая внутри и на границе круга К радиуса R (за центр круга мы примем, например, начало координат). Для произвольной точки 2 = лежащей внутри К_у мы имеем по формуле Коши:

Рассмотрим точку z*-, симметричную относительно К с точкой г,

т. е. z* = —= — е 1 ?. Так как точка z* лежит вне К, то функция

будет аналитической внутри и на границе круга К, а потому по теореме Коши получим:

Вычитая из (81) равенство (82), находим:

которое после элементарных преобразований примет вид:

Сравнивая действительные части слева и справа последнего равенства, получим формулу

которая носит название интегральной формулы Пуассона. Так как каждая гармоническая функция и может быть рассматриваема как действительная часть аналитической функции, то с помощью этой формулы выражается значение любой гармонической функции внутри круга через её граничные значения.

Заметим ещё, что мы получим из формулы (84) частные производные функции и относительно г и 0, когда п неограниченно возрастает. С другой стороны, сравнивая последнюю формулу с равенством

п cos ^ sin т 1 д v

Следовательно, в каждой точке Р области G* имеем:

Так как = то

Из очевидной формулы: f_n (z) =f’_n (ч) dZ -j- f_n (0) выводим нера-

где p обозначает максимум z для области G*. Так как М_п —? 0 и /_я(0)—?О, то последнее неравенство доказывает равномерную сходимость к нулю функций f_n(z) в области О*.

7. Интеграл Эйлера–Пуассона

Определение. Несобственный интеграл называется интегралом Эйлера–Пуассона.

Известно, что не выражается через элементарные функции,

поэтому для вычисления интеграла Эйлера–Пуассона используем двойной интеграл от функции по различным специального вида областям.

Рассмотрим три области:

– 1-я четверть круга радиуса R; x 2 +y 2 ≤ R 2 (x ≥ 0; y ≥ 0).

– квадрат со стороной R в 1-й четверти; x=R; y=R; x=0; y=0.

– 1-я четверть круга радиуса : x 2 +y 2 ≤ 2R 2 (x ≥ 0; y ≥ 0).

По каждой из этих областей вычислим двойной интеграл .

Так как при любых (x; y) D и , то:

Так как и положительны при любых значениях R, то

По теореме о пределе трёх функций: .

8. Некоторые приложения двойного интеграла

1) Площадь плоской области D:

2) Объём цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , снизу областью D на плоскости 0XY, сбоку цилиндрической поверхностью, параллельной оси 0Z (рис. 1):

3) Площадь поверхности :

где – проекция данной поверхности на плоскость 0XY.

4) Масса пластинки, занимающей область D плоскости 0XY и имеющей плотность :

При этом статистические моменты пластинки относительно осей 0X и 0Y:

Координаты центра тяжести пластинки:

В случае однородной пластинки и координаты центра тяжести однородной пластинки имеют вид:

§2. Тройной интеграл

1. Определение тройного интеграла

Пусть задана функция на замкнутой области D R 3 .

Определение 1. Сумма , где точка , – объём i-й части разбиения области D на , называется интегральной суммой функции в области D. Определение 2. Тройным интегралом от функции по области D R 3 называется предел интегральной суммы при условиях:

а) и (стягиваясь в точку);

б) этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части , ни от выбора точек в области .

где – элемент области D R 3 .

Теорема (достаточное условие существования тройного интеграла)

Если функция непрерывна в области D R 3 , то тройной интеграл от этой функции по области D существует.

2. Физический и геометрический смысл тройного интеграла

1) Если при D R 3 , то тройной интеграл от такой функции по области D равен объёму тела D:

2) Если в каждой точке объёмной области D задана плотность распределения масс , то тройной интеграл от этой плотности по области D равен массе тела, занимающего область D:

3. Основные свойства тройного интеграла

1) Если функция непрерывна в объёмной области D и , то

2) Если k постоянная величина, то

3) Если функции и непрерывны в области D R 3 , то

Если для любых значений D R 3 выполняется неравенство: , то

Теорема (о среднем значении тройного интеграла)

Если функция непрерывна в замкнутой области D R 3 , то внутри области D найдётся хотя бы одна точка , для которой выполняется равенство:

где – объём тела, занимающего область D.

4. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат

Для вычисления тройного интеграла от функции по области D R 3 проецируем область D на плоскость 0XY. Обозначим эту проекцию . Пусть область D будет такой, что любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области D параллельно оси 0Z, пересекает поверхность S, ограничивающую область D, только в двух точках. Пусть и – уравнения поверхностей, ограничивающих область D снизу и сверху соответственно (рис. 1).

Тогда можно записать:

Если область G окажется правильной в направлении, например, оси 0Y, т.е. , то

Замечание 1. При сведении тройного интеграла к трём повторным интегралам не обязательно проецировать область D на плоскость 0XY, можно проецировать либо на 0XZ, либо на 0YZ – как удобнее. Замечание 2. Следует сначала вычислять внутренний интеграл по z, считая x и y постоянными, а затем вычислять двойной интеграл от полученной функции по области G, тогда:

Пример. Вычислить

Объёмная область D – треугольная пирамида с основанием AOB и вершиной в точке C (рис. 2). Пр – треугольник AOB.

5. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах

Переход от декартовых координат к цилиндрическим проводится по формулам: (рис. 3). . Тогда тройной интеграл от по области преобразуется следующим образом:

6. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах

Переход от декартовых координат к сферическим проводится по формулам (рис. 4):

Тогда тройной интеграл от по области D R 3 преобразуется следующим образом:

7. Некоторые приложения тройного интеграла

1) Объём тела, занимающего область D R 3 :

2) Масса тела, занимающего область D R 3 :

где – плотность тела.

3) Координаты центра тяжести тела, занимающего область D R 3 :

Если тело однородное, т.е. , то координаты его центра тяжести:

§ 3. Криволинейные интегралы

1. Криволинейные интегралы I рода (по дуге)

Пусть функция z = f (x; y) определена и непрерывна в точках дуги AB, принадлежащей гладкой кривой l, имеющей уравнение . Разобьём дугу AB произвольным образом на n дуг точками пусть – длина дуги . На каждой из n дуг выберем произвольно точку и умножим значение функции в этой точке на длину .

Определение 1. Интегральной суммой для функции f (x; y) по дуге AB называется сумма вида: . Определение 2. Криволинейным интегралом от функции f (x; y) по дуге AB (или криволинейным интегралом I рода) называется предел интегральной суммы вида

1) ; 2) этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения дуги AB на части, ни от выбора на каждой из частей точек .

Криволинейный интеграл I рода вычисляется по формуле:

если кривая AB задана функцией .

Если кривая AB задана параметрически: x = x(t), y = y(t), где , то криволинейный интеграл I рода от функции по такой кривой вычисляется по формуле:

Аналогично определяется и вычисляется криволинейный интеграл от функции , определенной и непрерывной в точках дуги AB гладкой пространственной кривой l. Пусть эта кривая задана параметрическими уравнениями: x = x(t), y = y(t), z = z(t) ( ), тогда

Если , то криволинейный интеграл I рода представляет собой массу кривой l, имеющей переменную плотность .

Интеграл Пуассона

Интегра́л Пуассо́на — общее название математических формул, выражающих решение краевой задачи или начальной задачи для уравнений с частными производными некоторых типов.

Содержание

Задача Дирихле для уравнения Лапласа

Интеграл Пуассона для задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре выглядит следующим образом.

Пусть для гармонической в шаре функции u(r, φ) поставлено условие равенства на границе функции u₀: u(R, φ) = u₀(φ), при этом функции принадлежат следующим классам гладкости: [math]\displaystyle< u(r, \varphi)\in C^2(D)\cap C(\overline),\ u_0(\varphi)\in C^1(\partial D) >[/math] , где ∂D — граница шара D, а [math]\displaystyle < \overline>[/math]  — его замыкание. Тогда решение такой задачи Дирихле представимо в виде интеграла Пуассона:

где ω_n — площадь единичной сферы, а n — размерность пространства.

Вывод формулы в двумерном случае

Известно, что функция

является решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Преобразуем это выражение с учётом выражений для коэффициентов Фурье:

[math]\displaystyle< u(r,\varphi)=\frac<1><2\pi>\int\limits_0^<2\pi>u_0(\psi)d\psi+\frac<1><\pi>\sum_^\infty\left (\frac\right)^n\left (\cos n\varphi\int\limits_0^<2\pi>u_0(\psi)\cos n\psi d\psi+\sin n\varphi\int\limits_0^<2\pi>u_0(\psi)\sin(n\psi)d\psi\right )= >[/math] [math]\displaystyle< =\frac<1><\pi>\int\limits_0^<2\pi>u_0(\psi)\left (\sum_^\infty\left ( \frac\right ) ^n(\cos n\varphi\cos n\psi+\sin n\varphi\sin n\psi)\right ) d\psi+\frac<1><2\pi>\int\limits_0^<2\pi>u_0(\psi)d\psi= >[/math] [math]\displaystyle< =\frac<1><\pi>\int\limits_0^<2\pi>u_0(\psi)\left ( \frac<1><2>+\sum_^\infty\left ( \frac\right )^n\cos n(\varphi-\psi)\right )d\psi. >[/math]

Последнюю сумму можно вычислить при 0≤r<R:

Таким образом, в преобразованном виде интеграл Пуассона для круга приобретает вид:

Также формула может быть получена методом конформных отображений. Действительная и мнимая часть голоморфной на области [math]\displaystyle< U >[/math] функции удовлетворяют на ней двумерному уравнению Лапласа. Известно, что при конформном отображении области [math]\displaystyle< U >[/math] плоскости [math]\displaystyle< z=x+iy >[/math] на область [math]\displaystyle< V >[/math] плоскости [math]\displaystyle< w=\xi+i\eta >[/math] уравнение Лапласа для функции [math]\displaystyle< u(x,y) >[/math] переходит в уравнение [math]\displaystyle< \triangle u(\xi,\eta) = 0 >[/math] . С помощью дробно-линейной функции легко получить отображение исходного круга радиуса [math]\displaystyle< R >[/math] на единичный круг, при котором произвольная точка [math]\displaystyle < z_0=r_0e^>[/math] переходит в центр. Такая функция имеет вид:

где [math]\displaystyle< \lambda >[/math] выбирается так, чтобы граничные точки исходного круга перешли в точки [math]\displaystyle< | w |=1 >[/math] , при этом [math]\displaystyle< | \lambda |=\frac >[/math] , а [math]\displaystyle< (\lambda) >[/math] произволен. Искомая функция [math]\displaystyle< u(r,\varphi) >[/math] перейдёт в функцию [math]\displaystyle< U(\rho,\psi) >[/math] . Граничная функция [math]\displaystyle< u_0(\varphi) >[/math] перейдёт в [math]\displaystyle< U_0(\psi)=u_0(\varphi(1,\psi)) >[/math] . Тогда по теореме о среднем:

Из этого выражения можно получить явное выражение для решения задачи Дирихле в круге, если выразить [math]\displaystyle< U_0(\psi) >[/math] через [math]\displaystyle< u_0(\varphi) >[/math] . Для граничных точек круга [math]\displaystyle< | z | \leqslant R >[/math] и круга [math]\displaystyle< | w | \leqslant 1 >[/math] формула дробно-линейного преобразования даёт

Производя замену переменной в интеграле, получим искомое выражение:

Это выражение эквивалентно вышеприведённому:

Задача Коши для уравнения теплопроводности

Однородное уравнение

Рассмотрим задачу Коши для однородного уравнения теплопроводности:

[math]\displaystyle< \begin \displaystyle \frac<\partial u> <\partial t>— a^2 \Delta u = 0, \quad x \in \mathbb^n, \; t\gt 0, \\ <>\qquad u(x,\;0)=\varphi(x), \quad x \in \mathbb^n, \\ \end >[/math]

где [math]\displaystyle< \varphi(x) >[/math]  — начальная функция, непрерывная и ограниченная на всём пространстве, и искомая функция [math]\displaystyle< u=u(x,t) >[/math] является непрерывной и ограниченной при [math]\displaystyle< t \geq 0 >[/math] и всех значениях аргумента [math]\displaystyle< x >[/math] .

Фундаментальным решением или ядром уравнения теплопроводности называется решение задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности с начальным условием [math]\displaystyle< \varphi(x)=\delta(x) >[/math] , где [math]\displaystyle< \delta(x) >[/math]  — дельта-функция Дирака. Оно имеет вид:

Интеграл Пуассона задает единственное непрерывное и ограниченное решение данной задачи Коши по следующей формуле [1] :

Неоднородное уравнение

Рассмотрим задачу Коши для неоднородного уравнения теплопроводности:

[math]\displaystyle< \begin \displaystyle \frac<\partial u> <\partial t>— a^2 \Delta u = f(x,t), \quad x \in \mathbb^n, \; t\gt 0, \\ <>\qquad u(x,\;0)=\varphi(x), \quad x \in \mathbb^n. \\ \end >[/math]

В этом случае интеграл Пуассона имеет вид [2] :

Обобщения

По теореме Римана об области, связная односвязная область в [math]\displaystyle< \Complex >[/math] конформно эквивалентна диску с метрикой Пуанкаре, то есть плоскости Лобачевского. Она допускает описание как однородное пространство, а именно [math]\displaystyle< \mathrm(2,1)/\mathrm(2) >[/math] . Его ближайшими родственниками служат многомерное пространство Лобачевского [math]\displaystyle < \Lambda^= \mathrm(n+1,1)/\mathrm(n+1) >[/math] , а также комплексное [math]\displaystyle< \Lambda^_ <\Complex>= \mathrm(n+1,1)/\mathrm(n+1) >[/math] и кватернионное [math]\displaystyle< \Lambda^_<\mathbb> = \mathrm(n+1,1)/\mathrm(n+1) >[/math] пространства Лобачевского.

В случае вещественного пространства Лобачевского аналог преобразования Пуассона для внешних форм Картана был найден П.-И. Гэйяром. Оно сопоставляет внешней форме, определённой на абсолюте, гармоническую козамкнутую форму на пространстве Лобачевского. Именно, пространство [math]\displaystyle < \Lambda^\times S^n >[/math] , где [math]\displaystyle < S^n = \partial \Lambda^>[/math]  — абсолют, является однородным пространством для группы [math]\displaystyle< \mathrm(n+1,1)/\mathrm(n+1) >[/math] . На нём имеются инвариантные внешние формы [math]\displaystyle< \pi_k \in \Omega^(\Lambda^ \times S^n) >[/math] (то есть такие, которые, быть может, принимают ненулевые значения только при подстановке в них [math]\displaystyle< k >[/math] векторных полей, касающихся сомножителя [math]\displaystyle < \Lambda^>[/math] и [math]\displaystyle< n-k >[/math] векторных полей, касающихся сомножителя-абсолюта). Если [math]\displaystyle< \alpha \in \Omega^(S^n) >[/math] , то интеграл Пуассона от неё определяется как послойный интеграл внешнего произведения [math]\displaystyle< p^*_\alpha \wedge \pi_k >[/math] , где [math]\displaystyle < p_\colon \Lambda^ \times S^n \to S^n >[/math]  — проекция на сомножитель. Эти формы, в сущности, являются высшими ядрами Пуассона. Инвариантные формы на однородном пространстве могут быть заданы в одной точке, и взаимно однозначно соответствуют тривиальным подпредставлениям внешней степени соответствующего присоединённого представления группы, относительно которой пространство однородно; в случае вещественного пространства Лобачевского такие формы единственны с точностью до пропорциональности в силу одномерности соответствующего тривиального подпредставления.

В случае комплексного и кватернионного пространств Лобачевского эти подпредставления уже не одномерны, поэтому определить подобным образом какое-либо каноническое преобразование Пуассона не представляется возможным. Это, однако, возможно с учётом более тонкой геометрической структуры на абсолюте: именно, абсолют [math]\displaystyle < S^<2n+1>>[/math] комплексного пространства Лобачевского [math]\displaystyle< \Lambda^_ <\Complex>>[/math] (как и вообще граница всякого комплексного многообразия) имеет КР-структуру, то есть вполне неинтегрируемое распределение (которое, если реализовать сферу [math]\displaystyle < S^<2n+1>>[/math] как единичную сферу в пространстве [math]\displaystyle < \Complex^>[/math] можно определить в каждой точке [math]\displaystyle < x \in S^<2n+1>>[/math] как максимальное комплексное подпространство, содержащееся в касательном пространстве [math]\displaystyle < T_xS^<2n+1>>[/math] к сфере). В случае кватернионного пространства Лобачевского аналогичную роль играет так называемая кватернионно-контактная структура. Со всяким вполне неинтегрируемым распределением связан комплекс Рюмина, аналогичный комплексу де Рама гладкого многообразия. Его аналог, который может быть определён чисто в алгебраических терминах теории представлений, называется комплексом Бернштейна — Гельфанда — Гельфанда. В нём имеются естественные операции, родственные элементу Казимира. Дополнительные условия на то, как должно себя вести ядро Пуассона относительно таких операций, позволяют выбрать его однозначно с точностью до пропорциональности. [3]

Интеграл Эйлера — Пуассона. Подробно о способах вычисления

В статье подробно, вплоть до самых мелочей, рассмотрены три способа взятия интеграла Эйлера-Пуассона. В одном из способов выводится вспомогательная формула редукции. Для нахождения некоторых сложных интегралов можно использовать формулы редукции, которые позволяют понизить степень подынтегрального выражения и вычислить соответствующие интегралы за конечное число шагов.

Данный интеграл берется от гауссовой функции:
Здесь есть очень интересный математический способ. Чтобы найти исходный интеграл, сначала ищут квадрат этого интеграла, а потом от результата берут корень. Почему? Да потому что так гораздо проще и безболезненно можно перейти в полярный координаты. Поэтому, рассмотрим квадрат Гауссового интеграла:

Мы видим, что у нас получается двойной интеграл от некоторой функции . В конце этого поверхностного интеграла стоит элемент площади в декартовой системе координат .
Теперь давайте переходить в полярную систему координат:

Тут нужно заметить, что r может изменяться в пределах от 0 до +∞, т.к. x изменялось в таких же пределах. А вот угол φ изменяется от 0 до π/2, что описывают область интегрирования в первой четверти декартовой системы координат. Подставляя в исходный, получим:

В силу симметричности интеграла и положительной области значений подынтегральной функции, можно заключить, что

Давайте поищем ещё какие-нибудь решения? Это ведь интересно! 🙂

Рассмотрим функцию
А теперь вспомним школьную математику и проведем простейшее исследование функции с помощью производных и пределов. Не то, чтобы мы здесь будем считать сложные пределы (ведь в школе их не проходят), а просто порассуждаем что будет с функцией, если её аргумент стремится к нулю или к бесконечности, таким образом прикинем асимптотическое поведение, что в математике всегда очень важно. Это похоже на качественную оценку того, что происходит.

Она ограничена сверху единицей на интервале (-∞;+∞) и нулем на интервале [-1;+∞).

Cделаем следующую замену переменных
И получим:

Ограничим в первом неравенстве изменение (0,1), а во втором — промежутком (0;+∞), возведём оба неравенства в степень n, так как неравенства с положительными членами можно возводить в любую положительную степень. Получим:

Давайте для наглядного доказательства неравенств построим графики при n = 1

Теперь попробуем проинтегрировать неравенства в пределах, которые указаны в соответствующих системах. И сразу объединим всё в одно неравенство:

Опять таки, если посмотреть на графики, то данное неравенство справедливо.

С учетом небольшой замены, легко увидеть, что:

Т.е. в том большом неравенстве в середине у нас интеграл Эйлера-Пуассона, а вот теперь нам нужно найти интегралы, которые стоят на границах данного неравенства.

Найдем интеграл от левой границы:

Для того, чтобы его посчитать и оценить, давайте сначала найдем интеграл общего вида. Сейчас я покажу вам как можно вывести формулу редукции ( в математике под такими формулами подразумевают понижения степени ) для данного интеграла.

Теперь если с помощью формулы редукции рассмотреть тот же интеграл, но с нашими пределами от 0 до π/2, то можно сделать некоторые упрощения:

Как мы видим, понижать можно до бесконечности (зависит от n). Однако, и тут есть одна тонкость. Формула изменяется в зависимости то того, является ли n четным числом или не является.
Для этого рассмотрим два случая.

Где n!! — двойной факториал. Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1, n], имеющих ту же чётность что и n

В силу того, что 2n+1 — нечетное число при любом значении n, получим для левой границы нашего неравенства:

Найдем интеграл от правой границы:
(здесь используем ту же формулу редукции, которую доказали ранее)

После того, как мы оценили левую и правую части неравенства, сделаем некоторые преобразования, чтобы оценить пределы левой и правой частей неравенства при условии, что n стремится к ∞:

Возведем обе части неравенства в квадрат:

Теперь сделаем небольшое лирическое отступление. В 1655 году Джон Валлис (английский математик, один из предшественников математического анализа.) предложил формулу для определения числа π. Дж. Валлис пришёл к ней, вычисляя площадь круга. Это произведение сходится крайне медленно, поэтому для практического вычисления числа π формула Валлиса мало пригодна. Но для оценки нашего выражения она отлично подходит 🙂

Теперь преобразуем наше неравенство так, чтобы мы могли увидеть где подставить формулу Валлиса:

Из формулы Валлиса следует, что и левое, и правое выражение стремятся к π/4 при n → ∞
В силу того, что функция exp[-x²] является четной, мы смело полагаем, что

Впервые одномерный гауссов интеграл вычислен в 1729 году Эйлером, затем Пуассон нашел простой приём его вычисления. В связи с этим он получил название интеграла Эйлера — Пуассона.

Давайте еще попробуем вычислить Гауссов интеграл. Его можно написать в разных видах. Ведь ничего не меняет изменение название переменной, по которой идет интегрирование.

Можно перейти от трехмерных декартовых к сферическим координатам и рассмотреть куб интеграла Гаусса.

Якобиан этого преобразования можно посчитать следующим образом:

Посчитаем интегралы последовательно, начиная с внутреннего.

Тогда в результате получим:

Интеграл Эйлера-Пуассона часто применяется в теории вероятностей.

Надеюсь, что для кого-нибудь статья будет полезной и поможет разобраться в некоторых математических приемах 🙂