Как найти точку касания гиперболы и окружности

7

§6. Касательные к кривым 2го порядка

Касательную к окружности, эллипсу, гиперболе и параболе можно определить как прямую, имеющую с кривой одну общую точку, за исключением двух случаев: 1) прямая, параллельная асимптоте гиперболы, пересекает ее в одной точке, но не является касательной; 2) прямая, параллельная оси параболы, пересекает параболу в одной точке, но не является касательной.

Касательную к окружности можно определить и как прямую, проходящую через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку.

II Уравнения касательных

Методами математического анализа можно получить (нужно уметь!) уравнения касательных к линиям, заданными своими каноническими уравнениями. Пусть точка (x₀ ,y₀) лежит на линии. Тогда:

касательная к эллипсу имеет вид;

касательная к гиперболе имеет вид;

касательная к параболе y 2 =2px имеет вид y₀y=p(x+x₀).

Замечание. Окружность понимаем как частный случай эллипса.

III Некоторые свойства касательных

Фокусы эллипса расположены по одну сторону от любой его касательной, а фокусы гиперболы – по разные стороны.

Фокальные радиусы любой точки эллипса (гиперболы) образуют равные углы с касательной, проходящей через эту точку.

Произведение расстояний от фокусов эллипса (гиперболы) до любой касательной к линии есть величина постоянная.

Отрезок касательной к гиперболе, заключенный между ее асимптотами, делится пополам точкой касания.

Площадь треугольника, образованного касательной к гиперболе и ее асимптотами, есть величина постоянная.

Касательная к параболе в любой ее точке образует равные углы с фокальным радиусом этой точки и лучом, исходящим из нее и идущим параллельно оси параболы в ту сторону, куда парабола бесконечно простирается.

Касательные к эллипсу (гиперболе), проведенные в концах одного и того же диаметра, параллельны.

Как найти точку касания окружности и гиперболы

Касательная к графику функции — алгоритм составления уравнения, формула, свойства, примеры

Однако следует разобраться в основных терминах и соотношениях.

Специалисты рекомендуют пользоваться специальным алгоритмом, позволяющим правильно находить точку касания прямой с какой-либо фигурой.

Общие сведения

Касательной называется прямая, имеющая с фигурой или графиком заданной функции одну общую точку. Однако иногда она проходит через 2 точки. В этом случае ее называют секущей. Прямая задается следующим уравнением: y = kx + b. Значение «k» — это угловой коэффициент.

Для решения задач следует разобрать основные понятия, определения, формулы и свойства касательной.

Кроме того, очень важно понять ее геометрический смысл, поскольку без него будет сложно разобраться в более сложных дисциплинах с физико-математическим уклоном.

Определения и понятия

У касательной есть определенный параметр — угол наклона (а).

Его необходимо отсчитывать от оси абсцисс (только положительное направление) к прямой, заданной графиком y = kx + b.

От него зависит ее расположение.

Коэффициент «к» равен значению тангенса угла наклона, т. е. tg(a).

Математики сделали некоторые выводы, которые основываются на значении углового коэффициента:

В первом, втором и третьем случаях коэффициент является положительным, а в последнем — отрицательным. Эти факты следует учитывать при решении задач. Касательная прямая может являться и секущей, т. е. соприкасаться с графиком функции сразу в двух и более точках. Следует отметить, что при параллельности прямой оси ОХ (y = b), она может пересекать функцию бесконечное число раз.

Существует еще одно определение: касательной к функции вида y = f(x) в точке (х0, f(x0)) является прямая, которая проходит через эту точку с тем условием, что отрезок имеет множество значений, близких к ней (х -> x0).

Геометрический смысл

Пусть дана некоторая функция y = f(x) и секущая АВ (рис. 1). Координаты последней в точках А и В следующие: А(х0;f(x0)) и В(х0+zx;f(x0+zx)). Величина «zx» — приращение аргумента по х, которое показано стрелками. Если подставить координаты в функцию, то она имеет такой вид: zy = zf(x) = f(x0+zx) — f(zx).

Рисунок 1. Геометрический смысл.

Соотношение, которое было получено выше, называется производной. Если к графику в точке проведена секущая или касательная, то тангенс угла будет равен самой производной заданной функции в точке с координатой х0.

Из этого определения можно сделать вывод о существовании производной. Если значение последней равно 0, то, следовательно, не существует общих точек с заданной фигурой.

Касательные к фигурам и графикам

При решении задач следует обратить внимание на частные случаи. Нужно произвести расчеты уравнения прямой или найти точки соприкосновения с окружностью, эллипсом, гиперболой или параболой. Очень распространенная задача встречается также в механике о ременной передаче.

Частные случаи позволят найти оптимальное решение и метод расчета, поскольку экономия времени является важным элементом при научных исследованиях, написании контрольных работ и сдаче экзаменов. Важный этап — идентификация типа задачи. Касательная к вышеперечисленным фигурам — основной тип заданий, но существуют и более сложные функции.

Например, сложно составить уравнение прямой, которая имеет точки касания с какой-либо сложной функцией.

В некоторых случаях необходимо перед выполнением расчетов ее упростить, т. е. привести подобные слагаемые, раскрыть скобки или воспользоваться другими приемами для упрощения выражения.

Одна и несколько окружностей

Радиус, который проводится через точку касания, составляет с касательной прямой угол (перпендикулярен). Перпендикуляр к касательной, проходящий через точку касания, является радиусом или диаметром заданного круга. Из этого следует, что радиус является нормалью по отношению к прямой. Секущая — прямая, которая проходит через график или фигуру, но имеет от двух и более точек пересечения.

Формула окружности с центром в точке О (xc;yc) и радиусом R имеет следующий вид: sqr(х-хc) + sqr(y-yc) = R^2.

Для решения следует выразить значение у, но при этом нужно рассматривать 2 случая:

Две функции являются полукругами и вместе образуют окружность. Чтобы составить график круга в точке (х0;у0), нужно уравнение в этой точке. В точках с координатами (хц;yц+R) и (хц;yц-R) уравнения касательных к окружности задаются следующими уравнениями: y = yц + R и y = yц — R. Если взять точки (хц+R;yц) и (хц-R;yц), они будут иметь такую форму: x = xц + R и x = xц — R.

В случае для двух окружностей всего можно провести до 4 касательных (2 внешних и 2 внутренних). Это зависит от случая расположения фигур. Точкой пересечения внешних считается внешняя гомотетия (подобие), а внутренних — в центре внутреннего подобия. Внешними называются прямые, которые касаются внешних точек круга. Если касательные являются внутренними, то они пересекают линию, соединяющую центры окружностей.

Следует отметить, что внешний и внутренний центры гомотетии лежат на некоторой прямой. Она проходит через центры заданных окружностей. Это был рассмотрен случай, когда одна окружность меньше другой.

Однако при равенстве их диаметров появляются некоторые свойства: внешние касательные параллельны и внешнего центра гомотетии не существует.

Основные соотношения можно вывести, используя уравнение прямой (касательной) и расстояние от точки до прямой. Пусть окружности с радиусами R1 и R2 имеют следующие координаты центров: с1(х1;у1) и с2(х2;у2). Уравнение прямой записывается таким образом: ах + by + c = 0. Расстояния до прямой от точек с1 и с2 вычисляются таким образом: ах1 + by1 + c = R1 и ах2 + by2 + c = R2. Формула находится с помощью вычитания первого уравнения из второго: а(х2 — х1) + b(y2 — у1) = R2 — R1. Следовательно, расстояние вычисляется по следующей формуле: d = sqrt[(х2 — х1)^2 + (y2 — у1)^2].

Эллипс, гипербола и парабола

Пусть задан эллипс с полуосями a и b.

Его центром является точка с координатами (xц;уц). Уравнение, описывающее фигуру имеет такой вид: [(х — хц)^2 / a^2] + [(y — yц)^2 / b^2] = 1. Необходимо выразить переменную y. Функция будет состоять из двух полуэллипсов: y = (b/a) * sqrt[a^2 — (x-xц)^2] + yц и y = -(b/a) * sqrt[a^2 — (x-xц)^2] + yц. Касательные к геометрической фигуре могут быть параллельными оси ОХ или ОУ.

В некоторых случаях график задан уравнениями кривых, к которым относятся гипербола и парабола. Пусть первая имеет координаты центра (xц;уц) с вершинами (xц+а;уц) и (xц-a;уц). Ее уравнение принимает такой вид: [(х — хц)^2 / a^2] — [(y — yц)^2 / b^2] = 1. Если же ее вершины имеют такие координаты (xц;уц+b) и (xц;уц-b), то она описывается следующим равенством [(х — хц)^2 / a^2] — [(y — yц)^2 / b^2] = -1. В последнем равенстве меняется знак. При решении нужно разбить на две объединенные функции:

1. y = (b/a) * sqrt[(x-xц)^2 — a^2] + yц и y = -(b/a) * sqrt[(x-xц)^2 — a^2] + yц.
2. y = (b/a) * sqrt[(x-xц)^2 + a^2] + yц и y = -(b/a) * sqrt[(x-xц)^2 + a^2] + yц.

В первом случае прямые параллельны оси ординат, а во втором — абсцисс. Чтобы написать уравнение прямой, нужно определить, к какой из функций принадлежит точка, выполнив подстановку в текущие равенства. После этого их следует проверить на тождественность.

Чтобы записать уравнение прямой-касательной к параболе y = ax^2 + bx + c в точке с координатами (x0;y(x0)), нужно привести равенство к следующему виду: y = y'(x0) * (x-x0) + y(x0). Из формулы можно сделать вывод о том, что прямая параллельна оси абсцисс. Параболу нужно рассматривать, как объединение двух функций (x = ay^2 + by + c). Рекомендуется решить его относительно y. Дискриминант вычисляется таким образом: D = b^2 — 4a(c — x).

В зависимости от его значения находятся корни:

Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной

Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.

Определения и понятия

Угол наклона прямой y = k x + b называется угол α , который отсчитывается от положительного направления оси о х к прямой y = k x + b в положительном направлении.

На рисунке направление о х обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.

Угловой коэффициент прямой y = k x + b называют числовым коэффициентом k .

Угловой коэффициент равняется тангенсу наклона прямой, иначе говоря k = t g α .

• Угол наклона прямой равняется 0 только при параллельности о х и угловом коэффициенте, равному нулю, потому как тангенс нуля равен 0 . Значит, вид уравнения будет y = b .
• Если угол наклона прямой y = k x + b острый, тогда выполняются условия 0 α π 2 или 0 ° α 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α > 0 , причем имеется возрастание графика.
• Если α = π 2 , тогда расположение прямой перпендикулярно о х . Равенство задается при помощи равенства x = c со значением с , являющимся действительным числом.
• Если угол наклона прямой y = k x + b тупой, то соответствует условиям π 2 α π или 90 ° α 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Секущей называют прямую, которая проходит через 2 точки функции f ( x ) . Иначе говоря, секущая – это прямая, которая проводится через любые две точки графика заданной функции.

По рисунку видно, что А В является секущей, а f ( x ) – черная кривая, α — красная дуга, означающая угол наклона секущей.

Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника А В С можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.

Получаем формулу для нахождения секущей вида:

k = t g α = B C A C = f ( x B ) — f x A x B — x A , где абсциссами точек А и В являются значения x A , x B , а f ( x A ) , f ( x B ) — это значения функции в этих точках.

Очевидно, что угловой коэффициент секущей определен при помощи равенства k = f ( x B ) — f ( x A ) x B — x A или k = f ( x A ) — f ( x B ) x A — x B , причем уравнение необходимо записать как y = f ( x B ) — f ( x A ) x B — x A · x — x A + f ( x A ) или
y = f ( x A ) — f ( x B ) x A — x B · x — x B + f ( x B ) .

Секущая делит график визуально на 3 части: слева от точки А , от А до В , справа от В . На располагаемом ниже рисунке видно, что имеются три секущие, которые считаются совпадающими, то есть задаются при помощи аналогичного уравнения.

По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.

Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у = 0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.

Касательная к графику функции f ( x ) в точке x 0 ; f ( x 0 ) называется прямая, проходящая через заданную точку x 0 ; f ( x 0 ) , с наличием отрезка, который имеет множество значений х , близких к x 0 .

Рассмотрим подробно на ниже приведенном примере. Тогда видно, что прямая, заданная функцией y = x + 1 , считается касательной к y = 2 x в точке с координатами ( 1 ; 2 ) . Для наглядности, необходимо рассмотреть графики с приближенными к ( 1 ; 2 ) значениями. Функция y = 2 x обозначена черным цветом, синяя линия – касательная, красная точка – точка пересечения.

Очевидно, что y = 2 x сливается с прямой у = х + 1 .

Для определения касательной следует рассмотреть поведение касательной А В при бесконечном приближении точки В к точке А . Для наглядности приведем рисунок.

Секущая А В , обозначенная при помощи синей линии, стремится к положению самой касательной, а угол наклона секущей α начнет стремиться к углу наклона самой касательной α x .

Касательной к графику функции y = f ( x ) в точке А считается предельное положение секущей А В при В стремящейся к А , то есть B → A .

Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.

Геометрический смысл производной функции в точке

Перейдем к рассмотрению секущей А В для функции f ( x ) , где А и В с координатами x 0 , f ( x 0 ) и x 0 + ∆ x , f ( x 0 + ∆ x ) , а ∆ x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид ∆ y = ∆ f ( x ) = f ( x 0 + ∆ x ) — f ( ∆ x ) . Для наглядности приведем в пример рисунок.

Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник А В С . Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение ∆ y ∆ x = t g α . Из определения касательной следует, что lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . По правилу производной в точке имеем, что производную f ( x ) в точке x 0 называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где ∆ x → 0 , тогда обозначим как f ( x 0 ) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Отсюда следует, что f ‘ ( x 0 ) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x , где k x обозначают в качестве углового коэффициента касательной.

То есть получаем, что f ’ ( x ) может существовать в точке x 0 причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной x 0 , f 0 ( x 0 ) , где значение углового коэффициента касательной в точке равняется производной в точке x 0 . Тогда получаем, что k x = f ‘ ( x 0 ) .

Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.

Уравнение касательной прямой

Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x 0 при пересечении.

Уравнение касательной к графику функции y = f ( x ) в точке x 0 , f 0 ( x 0 ) принимает вид y = f ‘ ( x 0 ) · x — x 0 + f ( x 0 ) .

Имеется в виду, что конечным значением производной f ‘ ( x 0 ) можно определить положение касательной, то есть вертикально при условии lim x → x 0 + 0 f ‘ ( x ) = ∞ и lim x → x 0 — 0 f ‘ ( x ) = ∞ или отсутствие вовсе при условии lim x → x 0 + 0 f ‘ ( x ) ≠ lim x → x 0 — 0 f ‘ ( x ) .

Расположение касательной зависит от значения ее углового коэффициента k x = f ‘ ( x 0 ) . При параллельности к оси о х получаем, что k k = 0 , при параллельности к о у — k x = ∞ , причем вид уравнения касательной x = x 0 возрастает при k x > 0 , убывает при k x 0 .

Произвести составление уравнения касательной к графику функции y = e x + 1 + x 3 3 — 6 — 3 3 x — 17 — 3 3 в точке с координатами ( 1 ; 3 ) с определением угла наклона.

Решение

По условию имеем, что функция определяется для всех действительных чисел. Получаем, что точка с координатами, заданными по условию, ( 1 ; 3 ) является точкой касания, тогда x 0 = — 1 , f ( x 0 ) = — 3 .

Необходимо найти производную в точке со значением — 1 . Получаем, что

y ‘ = e x + 1 + x 3 3 — 6 — 3 3 x — 17 — 3 3 ‘ = = e x + 1 ‘ + x 3 3 ‘ — 6 — 3 3 x ‘ — 17 — 3 3 ‘ = e x + 1 + x 2 — 6 — 3 3 y ‘ ( x 0 ) = y ‘ ( — 1 ) = e — 1 + 1 + — 1 2 — 6 — 3 3 = 3 3

Значение f ’ ( x ) в точке касания является угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.

Тогда k x = t g α x = y ‘ ( x 0 ) = 3 3

Отсюда следует, что α x = a r c t g 3 3 = π 6

Ответ: уравнение касательной приобретает вид

y = f ‘ ( x 0 ) · x — x 0 + f ( x 0 ) y = 3 3 ( x + 1 ) — 3 y = 3 3 x — 9 — 3 3

Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.

Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает в увеличенном виде.

Выяснить наличие существования касательной к графику заданной функции
y = 3 · x — 1 5 + 1 в точке с координатами ( 1 ; 1 ) . Составить уравнение и определить угол наклона.

Решение

По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.

Перейдем к нахождению производной

y ‘ = 3 · x — 1 5 + 1 ‘ = 3 · 1 5 · ( x — 1 ) 1 5 — 1 = 3 5 · 1 ( x — 1 ) 4 5

Если x 0 = 1 , тогда f ’ ( x ) не определена, но пределы записываются как lim x → 1 + 0 3 5 · 1 ( x — 1 ) 4 5 = 3 5 · 1 ( + 0 ) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ и lim x → 1 — 0 3 5 · 1 ( x — 1 ) 4 5 = 3 5 · 1 ( — 0 ) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , что означает существование вертикальной касательной в точке ( 1 ; 1 ) .

Ответ: уравнение примет вид х = 1 , где угол наклона будет равен π 2 .

Для наглядности изобразим графически.

Найти точки графика функции y = 1 15 x + 2 3 — 4 5 x 2 — 16 5 x — 26 5 + 3 x + 2 , где

1. Касательная не существует;
2. Касательная располагается параллельно о х ;
3. Касательная параллельна прямой y = 8 5 x + 4 .

Решение

Необходимо обратить внимание на область определения. По условию имеем, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Раскрываем модуль и решаем систему с промежутками x ∈ — ∞ ; 2 и [ — 2 ; + ∞ ) . Получаем, что

y = — 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ — ∞ ; — 2 1 15 x 3 — 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ — 2 ; + ∞ )

Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что

y ‘ = — 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 ‘ , x ∈ — ∞ ; — 2 1 15 x 3 — 6 x 2 + 9 x + 12 ‘ , x ∈ [ — 2 ; + ∞ ) ⇔ y ‘ = — 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) , x ∈ — ∞ ; — 2 1 5 x 2 — 4 x + 3 , x ∈ [ — 2 ; + ∞ )

Когда х = — 2 , тогда производная не существует, потому что односторонние пределы не равны в этой точке:

lim x → — 2 — 0 y ‘ ( x ) = lim x → — 2 — 0 — 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 = — 1 5 ( — 2 ) 2 + 12 ( — 2 ) + 35 = — 3 lim x → — 2 + 0 y ‘ ( x ) = lim x → — 2 + 0 1 5 ( x 2 — 4 x + 3 ) = 1 5 — 2 2 — 4 — 2 + 3 = 3

Вычисляем значение функции в точке х = — 2 , где получаем, что

1. y ( — 2 ) = 1 15 — 2 + 2 3 — 4 5 ( — 2 ) 2 — 16 5 ( — 2 ) — 26 5 + 3 — 2 + 2 = — 2 , то есть касательная в точке ( — 2 ; — 2 ) не будет существовать.
2. Касательная параллельна о х , когда угловой коэффициент равняется нулю. Тогда k x = t g α x = f ‘ ( x 0 ) . То есть необходимо найти значения таких х , когда производная функции обращает ее в ноль. То есть значения f ’ ( x ) и будут являться точками касания, где касательная является параллельной о х .

Когда x ∈ — ∞ ; — 2 , тогда — 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) = 0 , а при x ∈ ( — 2 ; + ∞ ) получаем 1 5 ( x 2 — 4 x + 3 ) = 0 .

— 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) = 0 D = 12 2 — 4 · 35 = 144 — 140 = 4 x 1 = — 12 + 4 2 = — 5 ∈ — ∞ ; — 2 x 2 = — 12 — 4 2 = — 7 ∈ — ∞ ; — 2 1 5 ( x 2 — 4 x + 3 ) = 0 D = 4 2 — 4 · 3 = 4 x 3 = 4 — 4 2 = 1 ∈ — 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ — 2 ; + ∞

Вычисляем соответствующие значения функции

y 1 = y — 5 = 1 15 — 5 + 2 3 — 4 5 — 5 2 — 16 5 — 5 — 26 5 + 3 — 5 + 2 = 8 5 y 2 = y ( — 7 ) = 1 15 — 7 + 2 3 — 4 5 ( — 7 ) 2 — 16 5 — 7 — 26 5 + 3 — 7 + 2 = 4 3 y 3 = y ( 1 ) = 1 15 1 + 2 3 — 4 5 · 1 2 — 16 5 · 1 — 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y ( 3 ) = 1 15 3 + 2 3 — 4 5 · 3 2 — 16 5 · 3 — 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Отсюда — 5 ; 8 5 , — 4 ; 4 3 , 1 ; 8 5 , 3 ; 4 3 считаются искомыми точками графика функции.

Рассмотрим графическое изображение решения.

Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.

1. Когда прямые располагаются параллельно, то угловые коэффициенты равны. Тогда необходимо заняться поиском точек графика функции, где угловой коэффициент будет равняться значению 8 5 . Для этого нужно решить уравнение вида y ‘ ( x ) = 8 5 . Тогда, если x ∈ — ∞ ; — 2 , получаем, что — 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) = 8 5 , а если x ∈ ( — 2 ; + ∞ ) , тогда 1 5 ( x 2 — 4 x + 3 ) = 8 5 .

Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что

— 1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 — 4 · 43 = — 28 0

Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда

1 5 ( x 2 — 4 x + 3 ) = 8 5 x 2 — 4 x — 5 = 0 D = 4 2 — 4 · ( — 5 ) = 36 x 1 = 4 — 36 2 = — 1 ∈ — 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ — 2 ; + ∞

Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что

y 1 = y ( — 1 ) = 1 15 — 1 + 2 3 — 4 5 ( — 1 ) 2 — 16 5 ( — 1 ) — 26 5 + 3 — 1 + 2 = 4 15 y 2 = y ( 5 ) = 1 15 5 + 2 3 — 4 5 · 5 2 — 16 5 · 5 — 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Точки со значениями — 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 являются точками, в которых касательные параллельны прямой y = 8 5 x + 4 .

Ответ: черная линия – график функции, красная линия – график y = 8 5 x + 4 , синяя линия – касательные в точках — 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 .

Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.

Написать уравнения всех имеющихся касательных функции y = 3 cos 3 2 x — π 4 — 1 3 , которые располагаются перпендикулярно прямой y = — 2 x + 1 2 .

Решение

Для составления уравнения касательной необходимо найти коэффициент и координаты точки касания, исходя из условия перпендикулярности прямых. Определение звучит так: произведение угловых коэффициентов, которые перпендикулярны прямым, равняется — 1 , то есть записывается как k x · k ⊥ = — 1 . Из условия имеем, что угловой коэффициент располагается перпендикулярно прямой и равняется k ⊥ = — 2 , тогда k x = — 1 k ⊥ = — 1 — 2 = 1 2 .

Теперь необходимо найти координаты точек касания. Нужно найти х , после чего его значение для заданной функции. Отметим, что из геометрического смысла производной в точке
x 0 получаем, что k x = y ‘ ( x 0 ) . Из данного равенства найдем значения х для точек касания.

y ‘ ( x 0 ) = 3 cos 3 2 x 0 — π 4 — 1 3 ‘ = 3 · — sin 3 2 x 0 — π 4 · 3 2 x 0 — π 4 ‘ = = — 3 · sin 3 2 x 0 — π 4 · 3 2 = — 9 2 · sin 3 2 x 0 — π 4 ⇒ k x = y ‘ ( x 0 ) ⇔ — 9 2 · sin 3 2 x 0 — π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 — π 4 = — 1 9

Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.

3 2 x 0 — π 4 = a r c sin — 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 — π 4 = π — a r c sin — 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 — π 4 = — a r c sin 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 — π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 — a r c sin 1 9 + 2 πk или x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z — множество целых чисел.

Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у :

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 — π 4 — 1 3

y 0 = 3 · 1 — sin 2 3 2 x 0 — π 4 — 1 3 или y 0 = 3 · — 1 — sin 2 3 2 x 0 — π 4 — 1 3

y 0 = 3 · 1 — — 1 9 2 — 1 3 или y 0 = 3 · — 1 — — 1 9 2 — 1 3

y 0 = 4 5 — 1 3 или y 0 = — 4 5 + 1 3

Отсюда получаем, что 2 3 π 4 — a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 — 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; — 4 5 + 1 3 являются точками касания.

Ответ: необходимы уравнения запишутся как

y = 1 2 x — 2 3 π 4 — a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 — 1 3 , y = 1 2 x — 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk — 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.

Рисунок показывает, что расположение функции идет на промежутке [ — 10 ; 10 ] , где черная прямя – график функции, синие линии – касательные, которые располагаются перпендикулярно заданной прямой вида y = — 2 x + 1 2 . Красные точки – это точки касания.

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.

Касательная к окружности

Для задания окружности с центром в точке x c e n t e r ; y c e n t e r и радиусом R применяется формула x — x c e n t e r 2 + y — y c e n t e r 2 = R 2 .

Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:

y = R 2 — x — x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = — R 2 — x — x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.

Для составления уравнения окружности в точке x 0 ; y 0 , которая располагается в верхней или нижней полуокружности, следует найти уравнение графика функции вида y = R 2 — x — x c e n t e r 2 + y c e n t e r или y = — R 2 — x — x c e n t e r 2 + y c e n t e r в указанной точке.

Когда в точках x c e n t e r ; y c e n t e r + R и x c e n t e r ; y c e n t e r — R касательные могут быть заданы уравнениями y = y c e n t e r + R и y = y c e n t e r — R , а в точках x c e n t e r + R ; y c e n t e r и
x c e n t e r — R ; y c e n t e r будут являться параллельными о у , тогда получим уравнения вида x = x c e n t e r + R и x = x c e n t e r — R .

Касательная к эллипсу

Когда эллипс имеет центр в точке x c e n t e r ; y c e n t e r с полуосями a и b , тогда он может быть задан при помощи уравнения x — x c e n t e r 2 a 2 + y — y c e n t e r 2 b 2 = 1 .

Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что

y = b a · a 2 — ( x — x c e n t e r ) 2 + y c e n t e r y = — b a · a 2 — ( x — x c e n t e r ) 2 + y c e n t e r

Если касательные располагаются на вершинах эллипса, тогда они параллельны о х или о у . Ниже для наглядности рассмотрим рисунок.

Написать уравнение касательной к эллипсу x — 3 2 4 + y — 5 2 25 = 1 в точках со значениями x равного х = 2 .

Решение

Необходимо найти точки касания, которые соответствуют значению х = 2 . Производим подстановку в имеющееся уравнение эллипса и получаем, что

x — 3 2 4 x = 2 + y — 5 2 25 = 1 1 4 + y — 5 2 25 = 1 ⇒ y — 5 2 = 3 4 · 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Тогда 2 ; 5 3 2 + 5 и 2 ; — 5 3 2 + 5 являются точками касания, которые принадлежат верхнему и нижнему полуэллипсу.

Перейдем к нахождению и разрешению уравнения эллипса относительно y . Получим, что

x — 3 2 4 + y — 5 2 25 = 1 y — 5 2 25 = 1 — x — 3 2 4 ( y — 5 ) 2 = 25 · 1 — x — 3 2 4 y — 5 = ± 5 · 1 — x — 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 — x — 3 2

Очевидно, что верхний полуэллипс задается с помощью функции вида y = 5 + 5 2 4 — x — 3 2 , а нижний y = 5 — 5 2 4 — x — 3 2 .

Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2 ; 5 3 2 + 5 будет иметь вид

y ‘ = 5 + 5 2 4 — x — 3 2 ‘ = 5 2 · 1 2 4 — ( x — 3 ) 2 · 4 — ( x — 3 ) 2 ‘ = = — 5 2 · x — 3 4 — ( x — 3 ) 2 ⇒ y ‘ ( x 0 ) = y ‘ ( 2 ) = — 5 2 · 2 — 3 4 — ( 2 — 3 ) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y ‘ ( x 0 ) · x — x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 ( x — 2 ) + 5 3 2 + 5

Получаем, что уравнение второй касательной со значением в точке
2 ; — 5 3 2 + 5 принимает вид

y ‘ = 5 — 5 2 4 — ( x — 3 ) 2 ‘ = — 5 2 · 1 2 4 — ( x — 3 ) 2 · 4 — ( x — 3 ) 2 ‘ = = 5 2 · x — 3 4 — ( x — 3 ) 2 ⇒ y ‘ ( x 0 ) = y ‘ ( 2 ) = 5 2 · 2 — 3 4 — ( 2 — 3 ) 2 = — 5 2 3 ⇒ y = y ‘ ( x 0 ) · x — x 0 + y 0 ⇔ y = — 5 2 3 ( x — 2 ) — 5 3 2 + 5

Графически касательные обозначаются так:

Касательная к гиперболе

Когда гипербола имеет центр в точке x c e n t e r ; y c e n t e r и вершины x c e n t e r + α ; y c e n t e r и x c e n t e r — α ; y c e n t e r , имеет место задание неравенства x — x c e n t e r 2 α 2 — y — y c e n t e r 2 b 2 = 1 , если с вершинами x c e n t e r ; y c e n t e r + b и x c e n t e r ; y c e n t e r — b , тогда задается при помощи неравенства x — x c e n t e r 2 α 2 — y — y c e n t e r 2 b 2 = — 1 .

Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида

y = b a · ( x — x c e n t e r ) 2 — a 2 + y c e n t e r y = — b a · ( x — x c e n t e r ) 2 — a 2 + y c e n t e r или y = b a · ( x — x c e n t e r ) 2 + a 2 + y c e n t e r y = — b a · ( x — x c e n t e r ) 2 + a 2 + y c e n t e r

В первом случае имеем, что касательные параллельны о у , а во втором параллельны о х .

Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.

Составить уравнение касательной к гиперболе x — 3 2 4 — y + 3 2 9 = 1 в точке 7 ; — 3 3 — 3 .

Решение

Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что

x — 3 2 4 — y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x — 3 2 4 — 1 ⇒ y + 3 2 = 9 · x — 3 2 4 — 1 ⇒ y + 3 = 3 2 · x — 3 2 — 4 и л и y + 3 = — 3 2 · x — 3 2 — 4 ⇒ y = 3 2 · x — 3 2 — 4 — 3 y = — 3 2 · x — 3 2 — 4 — 3

Необходимо выявить, к какой функции принадлежит заданная точка с координатами 7 ; — 3 3 — 3 .

Очевидно, что для проверки первой функции необходимо y ( 7 ) = 3 2 · ( 7 — 3 ) 2 — 4 — 3 = 3 3 — 3 ≠ — 3 3 — 3 , тогда точка графику не принадлежит, так как равенство не выполняется.

Для второй функции имеем, что y ( 7 ) = — 3 2 · ( 7 — 3 ) 2 — 4 — 3 = — 3 3 — 3 ≠ — 3 3 — 3 , значит, точка принадлежит заданному графику. Отсюда следует найти угловой коэффициент.

y ‘ = — 3 2 · ( x — 3 ) 2 — 4 — 3 ‘ = — 3 2 · x — 3 ( x — 3 ) 2 — 4 ⇒ k x = y ‘ ( x 0 ) = — 3 2 · x 0 — 3 x 0 — 3 2 — 4 x 0 = 7 = — 3 2 · 7 — 3 7 — 3 2 — 4 = — 3

Ответ: уравнение касательной можно представить как

y = — 3 · x — 7 — 3 3 — 3 = — 3 · x + 4 3 — 3

Наглядно изображается так:

Касательная к параболе

Чтобы составить уравнение касательной к параболе y = a x 2 + b x + c в точке x 0 , y ( x 0 ) , необходимо использовать стандартный алгоритм, тогда уравнение примет вид y = y ‘ ( x 0 ) · x — x 0 + y ( x 0 ) . Такая касательная в вершине параллельна о х .

Следует задать параболу x = a y 2 + b y + c как объединение двух функций. Поэтому нужно разрешить уравнение относительно у . Получаем, что

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c — x = 0 D = b 2 — 4 a ( c — x ) y = — b + b 2 — 4 a ( c — x ) 2 a y = — b — b 2 — 4 a ( c — x ) 2 a

Графически изобразим как:

Для выяснения принадлежности точки x 0 , y ( x 0 ) функции, нежно действовать по стандартному алгоритму. Такая касательная будет параллельна о у относительно параболы.

Написать уравнение касательной к графику x — 2 y 2 — 5 y + 3 , когда имеем угол наклона касательной 150 ° .

Решение

Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что

— 2 y 2 — 5 y + 3 — x = 0 D = ( — 5 ) 2 — 4 · ( — 2 ) · ( 3 — x ) = 49 — 8 x y = 5 + 49 — 8 x — 4 y = 5 — 49 — 8 x — 4

Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x 0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.

k x = y ‘ ( x 0 ) = t g α x = t g 150 ° = — 1 3

Отсюда определим значение х для точек касания.

Первая функция запишется как

y ‘ = 5 + 49 — 8 x — 4 ‘ = 1 49 — 8 x ⇒ y ‘ ( x 0 ) = 1 49 — 8 x 0 = — 1 3 ⇔ 49 — 8 x 0 = — 3

Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150 ° для такой функции не существует.

Вторая функция запишется как

y ‘ = 5 — 49 — 8 x — 4 ‘ = — 1 49 — 8 x ⇒ y ‘ ( x 0 ) = — 1 49 — 8 x 0 = — 1 3 ⇔ 49 — 8 x 0 = — 3 x 0 = 23 4 ⇒ y ( x 0 ) = 5 — 49 — 8 · 23 4 — 4 = — 5 + 3 4

Имеем, что точки касания — 23 4 ; — 5 + 3 4 .

Ответ: уравнение касательной принимает вид

Кривые второго порядка — определение и построение с примерами решения

Содержание:

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру — значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде

1. Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения
2. если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если , то есть (а, b) — решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

1. дано уравнение />и надо построить фигуру Ф, уравнением которой является />;
2. дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

1. Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с b. В этом случае а называется большой полуосью, a b — малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку координаты которой задаются формулами будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением

Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами . Их длины и задаются формулами Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а — правой. Так как для эллипса и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая — правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим через а. По условию, а 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А — произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть . Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты .

Тогда А расстояние Подставив в формулу r=d, будем иметь. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

или

(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения также определяют параболы.

Легко показать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а О. Для этого выделим полный квадрат:

и сделаем параллельный перенос по формулам

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: где р — положительное число, определяется равенством .

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстоянию, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F — фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условию, запишем это равенство с помощью координат: , или после упрощения . Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число — мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b — соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки называют вершинами эллипса, а — его фокусами (рис. 12).

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы и характеризует форму эллипса. Для окружности Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

— каноническое уравнение эллипса с центром в точке большей полуосью а=3 и меньшей полуосью

Найдем эксцентриситет эллипса:

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке а оси параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е.

В новой системе координат координаты вершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Переходя к старым координатам, получим:

Построим график эллипса.

Задача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Касательная к эллипсу, гиперболе и параболе

Убедимся, что каждая из кривых , являющихся эллипсом, гиперболой или параболой, представляет собой объединение графиков двух функций. Рассмотрим, например, каноническое уравнение эллипса Из этого уравнения следует, что часть эллипса, точки которой имеют неотрицательные ординаты y, есть график функции

а часть эллипса, точки которой имеют неположительные ординаты, есть график функции

Обращаясь к каноническому уравнению гиперболы найдем, что гипербола представляет собой объединение графиков функций

а из канонического уравнения параболы (3.6) вытекает, что эта кривая есть объединение график функций

• 1. Найдем уравнение касательной к эллипсу в его точке , считая при этом (пусть ради определённости ). Пусть — текущие координаты точки касательной. Так как ее угловой коэффициент , где , а в точке производная функции (3.2). Тогда уравнения касательной имеет вид
• 2.

Учитывая, что точка лежит на эллипсе (т. е. её координаты удовлетворяет уравнениям (3.1) и (3.2)), т.е. Тогда

Данное уравнения умножим на и получим,

После преобразований уравнения касательной к эллипсу получим:

уравнение касательный эллипс

3. Найдем уравнение касательной к гиперболе в его точке , считая при этом (пусть ради определённости ). Пусть — текущие координаты точки касательной. Так как ее угловой коэффициент , где , а в точке производная функции (3.5). Тогда уравнения касательной имеет вид

Учитывая, что точка лежит на гиперболе (т. е. её координаты удовлетворяет уравнениям (3.4) и (3.5)), т.е. Тогда

Данное уравнения умножим на и получим,

После преобразований уравнения касательной к гиперболе получим:

4. Найдем уравнение касательной к параболе в его точке , считая при этом , а . Так как ее угловой коэффициент , где , а в точке , производная функции (3.6). Тогда уравнения касательной имеет вид

Учитывая, что точка лежит на параболе (т. е. её координаты удовлетворяет уравнениям (3.6) и (3.7)), т.е. . Т.к.

Раскроем скобки и получим

После преобразований уравнение касательной к параболе получим:

Составить уравнения касательной к эллипсу проведенной из точки .

Уравнение касательной к эллипсу имеет вид , где ( точка касания. Уравнение касательной к данному эллипсу будет иметь вид

Так как касательная проходит через точку , то координаты точки A должны удовлетворять этому уравнению подставляя в последнее уравнение вместо координаты точки A, получим

Но точки прикосновения ( лежит на данном эллипсе, поэтому

Решим систему из (2) и (3) уравнения:

Решая систему (2) и (3), нашли 2 решения:

Искомых касательных 2, их уравнения получим, подставляя в уравнение (1) вместо найденные значения:

Составить уравнения касательной к гиперболе проведенной из точки .

Уравнение касательной к гиперболе имеет вид , где ( точка касания. Уравнение касательной к данной гиперболе будет иметь вид

Так как касательная проходит через точку , то координаты точки A должны удовлетворять этому уравнению подставляя в последнее уравнение вместо координаты точки A, получим

Но точки прикосновения ( лежит на данной гиперболе, поэтому

Решим систему из (5) и (6) уравнения:

Решая систему (5) и (6), нашли 2 решения:

Искомых касательных 2, их уравнения получим, подставляя в уравнение (4) вместо найденные значения:

Составить уравнение касательной к гиперболе в точке с абсциссой 10.

Из условия известно, что у точки A координаты равны .

1) Найдем , подставив значение в уравнения . И получим

2)Уравнение касательной к данной гиперболе будет иметь вид

Подставим в данное уравнение координаты точки , и получим два уравнения касательной.

Составить уравнение прямой которая, касается параболы и перпендикулярна к прямой .

Для уравнения найдем коэффициенты :

Обратим внимания на то, что нельзя пользоваться формулой , т.к. оно было получено для параболы в виде , а мы имеем параболу .

Составим систему уравнений:

Для нахождения касательной найдем такое, что , т.е. есть только одна точка касания:

Как найти точку касания гиперболы и окружности

Геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от которых до двух заданных точек F ₁ , F ₂ есть величина постоянная, называется гиперболой . Точки F ₁ , F ₂ называются фокуса­ми гиперболы (рис. 1).

Таким образом, для точек А гиперболы с фокусами F ₁ , F ₂ выполняет­ся одно из равенств: AF ₁ — AF ₂ = c , AF ₂ – AF ₁ = c , где c — некоторый заданный отрезок.

Гипербола состоит из двух ветвей, для точек которых выполняется соответственно первое или второе равенс­тво.

Из неравенства треугольника следует, что отрезок c должен быть меньше отрезка F ₁ F ₂ .

Для того чтобы нарисовать гиперболу, потребуется линейка, нить, длина которой меньше длины линейки, а разность длин линейки и нити бы­ла бы меньше, чем расстояние между фокусами. Прикрепим один конец нити к концу линейки, а второй конец к фокусу. Второй конец линейки совмес­тим со вторым фокусом. Натянем нить, прижав ее к линейке острием ка­рандаша (рис. 2). Если поворачивать линейку вокруг фокуса, прижимая к ней карандаш и оставляя нить натянутой, то карандаш будет описывать гиперболу.

Рассмотрим ветвь гиперболы, точки которой удовлетворяют равенству AF ₁ — AF ₂ = c . Она разбивает плоскость на две области – внешнюю, для точек A ‘ которой выполняется неравенство A ‘ F ₁ – A ‘ F ₂ < c , и внутреннюю, для точек A " которой выполняется неравенство A ‘ F ₁ – A ‘ F ₂ > c .

Прямая, проходящая через точку А гиперболы, остальные точки A ‘ которой лежат во внешней области, т. е. удовлетворяют неравенству A ‘ F ₁ – A ‘ F ₂ < c , называется касательной к ги­перболе. Точка А называется точкой касания.

Аналогичным образом определяется касательная для точки, лежащей на другой ветви гиперболы.

Теорема. Пусть А — точка гиперболы с фокусами F ₁ , F ₂ . Тогда касательной к гиперболе, проходящей через точку A , является прямая, содержащая биссектрису угла F ₁ AF ₂ .

Доказательство. Докажем, что прямая a , содержащая биссектрису угла F ₁ AF ₂ будет касательной к гипербо­ле (рис. 3). Рассмотрим точку F ‘ на прямой F ₁ A , для которой А F ‘ = А F ₂ . Тогда прямая a будет серединным перпендикуляром к отрезку F ₂ F ‘ . Для произ­вольной точки A ‘ прямой a , отличной от А, имеем

A ‘ F ₂ = A ‘ F ‘ и A ‘ F ₁ – A ‘ F ₂ = A ‘ F ₁ – A ‘ F ‘ < F ₁ F ‘ = AF ₁ – AF ₂ = c .

Следовательно, прямая a является касательной.

Фокальное свойство гиперболы. Если источник света поместить в один из фокусов гиперболы, то лучи, отразив­шись от нее, пойдут так, как будто бы они исходят из другого фокуса.

Пусть A – точка падения луча, исходящего из фокуса F ₁ гиперболы, a – касательная (рис. 3). Тогда углы 1 и 2 равны, так как касательная a содержит биссектрису угла F ₁ AF ₂ . Углы 2 и 3 равны, как вертикальные. Следовательно, углы 1 и 3 равны. Поскольку угол падения луча света в точке A равен углу 3, то угол отражения будет равен углу 1, т.е. луч света после отражения в точке A пойдет в направлении AF ₂ .

Построение касательной к гиперболе. Пусть гипербола задана своими фокусами F ₁ , F ₂ и постоянной c . Используя циркуль и линейку, построим касательную к гиперболе, проходящую через данную точку C .

С центром в точке C и радиусом CF ₂ проведем окружность. С центром в точке F ₁ и радиусом c проведем другую окружность и найдем ее точки пересечения с первой окружностью (рис. 4). Таких точек может быть две F ‘ , F " , одна или ни одной в зависимости от расположения точки C . В первом случае проведем биссектрисы углов F ‘С F ₂ , F "С F ₂ . Соответствующие прямые a ‘ , a " являются серединными перпендикулярами к отрезкам F ‘ F ₂ , F " F ₂ и, значит, будут искомыми касательными к эллипсу. Для построения точек касания проведем прямые F ₁ F ‘ , F ₁ F " и найдем их точки пересечения A ‘ , A " с касательными a ‘ , a " соответственно. Они и будут искомыми.

Во втором случае, когда проведенные окружности имеют одну общую точку (касаются), мы будем иметь одну касательную. Если же окружности не имеют общих точек, то касательных нет.

Лабораторная работа. Укажем способ получения гиперболы из листа бумаги. Вырежем из листа бумаги круг и отметим точку F на оставшейся части листа. Сложим лист так, чтобы эта точка совместилась с какой-нибудь точкой F ‘ окружности вырезанного круга и на бумаге образо­валась линия сгиба. Разогнем лист и снова согнем его, совместив точ­ку с другой точкой окружности. Сделаем так несколько раз. Линии сгибов будут касательными к гиперболе. Граница участка внутри этих сгибов будет иметь форму гиперболы.

1. Изготовьте прибор для построения гиперболы. Нарисуйте гипербо­лу с заданными фокусами F ₁ , F ₂ . Сколько таких гипербол?

2. Найдите геометрическое место точек пересечения пар окружностей с заданными центрами и разностью радиусов.

3. С помощью циркуля постройте несколько точек гиперболы с задан­ными фокусами и разностью расстояний до них.

4. Найдите геометрическое место точек, для которых разность расс­тояний до двух заданных точек F ₁ , F ₂ : а) меньше заданной величины c ; б) больше заданной величины c .

5. Расстояние между фокусами гиперболы равно 6 см, константа c равна 4 см. Чему равно наименьшее расстояние от точек гиперболы до фокусов? Укажите соответствующие точки на гиперболе.

6. Что будет происходить с гиперболой, если фокусы: а) приближаются друг к другу; б) удаляются друг от друга?

7. Найдите геометрическое место центров окружностей, касающихся двух заданных окружностей. Рассмотрите различные случаи касания окруж­ностей.

8. Через точку гиперболы с заданными фокусами проведите касатель­ную к гиперболе.

9. Для гиперболы с заданными фокусами F ₁ , F ₂ и разностью расстоя­ний до них с найдите точки, касательные в которых перпендикулярны пря­мой F ₁ F ₂ .

10. Через точку вне гиперболы с заданными фокусами и разностью расстояний до них проведите касательную к этой гиперболе.

11. Докажите, что эллипс и гипербола с общими фокусами в точках пересечения имеют перпендикулярные касательные.

12. Даны фокусы F ₁ , F ₂ гиперболы и разность расстояний до них с. Докажите, что для произвольной точки С на окружности с центром в F ₁ и радиусом с серединный перпендикуляр к отрезку F ₂ C будет касательной к гиперболе, если он пересекается с прямой F ₂ C . Найдите точку касания.

13. Даны два фокуса и касательная к гиперболе. Постройте постоянную c и нарисуйте гиперболу.

14. Даны две касательные, фокус и постоянная c . Постройте второй фокус гиперболы.

15. Даны фокусы F ₁ и F ₂ гиперболы. Световой луч исходит из фокуса F ₁ и отражается от гиперболы в точке A . Постройте отраженный луч.