Что такое биквадратное уравнение

Как решать биквадратное уравнение: видео

В прошлых уроках мы научились решать квадратные уравнения. Для этого потребовалось ввести новый математический объект — дискриминант. Если вы не помните, что это такое, рекомендую вернуться к уроку «Как решать квадратные уравнения».

Для начала определение, что вообще такое биквадратное уравнение — это любое выражение, где переменная присутствует только в 4-ой и во 2-ой степени.

Как считать такие биквадратные конструкции? Схема состоит из пяти шагов. Все шаги очень легкие и очень быстрые:

1)вводим новую переменную $<^<2>>=t$. В этом случае, возведя обе части этого уравнения в квадрат, мы получим

3)находим решение для полученного уравнении и находим переменные $<_<1>>$ и $<_<2>>$, если корней будет два.

4)выполняем обратную замену, т. е. вспоминаем, что такое $t$, получаем две конструкции: $<^<2>>=<_<1>>$ и $<^<2>>=<_<2>>$.

5)решаем полученные уравнения и находим иксы.

Реальные задачи

Пример № 1

Давайте посмотрим, как эта схема работает на настоящих биквадратных уравнениях.

Решаем первую задачу:

Вводим новую переменную и переписываем:

Это обычное квадратное уравнение, посчитаем его с помощью дискриминанта:

Это хорошее число. Корень равен 3.

Теперь находим значение $t$:

Но будьте внимательны, мы нашли только $t$ — это не решение, это только третий шаг. Переходим к четвертому шагу — вспоминаем, что такое $t$ и решаем:

Вот мы и решили первую часть. Переходим ко второму значению $t$:

Итого у нас вышло четыре ответа: 2; -2; 1; -1, т.е. биквадратное уравнение может иметь до четырех корней.

Пример № 2

Переходим ко второму примеру:

Тут я не буду подробно все расписывать. Давайте решать так, как бы мы делали это в классе.

Тогда у нас выйдет:

Корень из дискриминанта равен 7. Найдем $t$:

Вспоминаем, что такое $t$:

Вот и все. У нас снова четыре ответа: 4; -4; 3; -3.

Пример № 3

Переходим к последнему биквадратному уравнению:

Опять же вводим замену:

Давайте умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дробных коэффициентов:

Корень из дискриминанта равен трем:

Считаем иксы. Вспоминаем, что такое $t$:

Второй вариант чуть посложнее:

Мы получили снова четыре корня:

Вот так решаются все биквадратные уравнения. Конечно, это не самый быстрый способ, зато он самый надежный. Попробуйте самостоятельно прорешать такие же примеры, как и в этом видео. В ответе значения иксов нужно записывать через точку с запятой — вот так, как я записывал. На этом урок закончен. Удачи!

Биквадратное уравнение. Алгоритм решения и примеры.

Биквадратные уравнения относятся к разделу школьной алгебры. Метод решения таких уравнений довольно простой, нужно использовать замену переменной.
Рассмотрим алгоритм решения:
-Что такое биквадратное уравнение?
-Как решить биквадратное уравнение?
-Метод замены переменной.
-Примеры биквадратного уравнения.
-Нахождение корней биквадратного уравнения.

Формула биквадратного уравнения:

Формулы биквадратного уравнения отличается от квадратного уравнения тем, что у переменной х степени повышатся в два раза.

ax 4 +bx 2 +c=0, где a≠0

Как решаются биквадратные уравнения?

Решение биквадратных уравнений сводится сначала к замене, а потом решению квадратного уравнения:
\(x^<2>=t,\;t\geq0\)
t должно быть положительным числом или равным нулю

Получаем квадратное уравнение и решаем его:
at 2 +bt+c=0,
где x и t — переменная,
a, b, c -числовые коэффициенты.

\(t^<2>-5t+6=0\)
Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:
\(D=b^<2>-4ac=(-5)^<2>-4\times1\times6=25-24=1\)
Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученные числа: \(x^<2>=3\)
Чтобы решить такого вида уравнение, необходимо обе части уравнения занести под квадратный корень.

Пример №2:
Решить биквадратное уравнение.
\(x^<4>-4x^<2>+4=0\)

Получилось полное квадратное уравнение, решаем через дискриминант:
\(D=b^<2>-4ac=(-4)^<2>-4\times1\times4=16-16=0\)
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень, найдем его:
\(t=\frac<-b><2a>=\frac<-(-4)><2\times1>=2\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:

Можно не во всех случаях делать замену. Рассмотрим пример.

Пример №3:
Решить биквадратное уравнение.

Выносим переменную x 2 за скобку,

Приравниваем каждый множитель к нулю

Делим всё уравнение на -4:
Чтобы решить \(x^<2>=4\) такое уравнение, необходимо, обе части уравнения занести под квадратный корень.
\(\begin
&x^<2>=4\\
&x_<2>=2\\
&x_<3>=-2\\
\end\)

Пример №4:
Решите биквадратное уравнение.
\(x^<4>-16=0\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
\(\begin
&x^<2>=4\\
&x_<1>=2\\
&x_<2>=-2
\end\)

Получилось неполное квадратное уравнение решаем его.
\(t^<2>+10=0\)
\(t^<2>=-10\), не подходит условию \(t\geq0\)

Ответ: решения нет.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Биквадратные уравнения

Биквадратное уравнение — уравнение, которое можно привести к виду:

ax 4 + bx 2 + c = 0,

Для решения биквадратных уравнений x 2 заменяется на любую другую букву, например, на y, то есть:

если x 2 = y, то ax 4 + bx 2 + c = ay 2 + by + c = 0.

Следовательно, относительно y, уравнение является квадратным и решается по формуле корней квадратного уравнения, а затем вычисляются корни биквадратного уравнения, если они есть.

Пример. Решить уравнение:

x 4 — 10x 2 + 9 = 0.

Решение: Заменяем x 2 на y, чтобы получить квадратное уравнение:

y 2 — 10y + 9 = 0.

D = b 2 — 4ac = (-10) 2 — 4 · 1 · 9 = 100 — 36 = 64, D > 0.

y₁ = (10 + 8) : 2 = 9,

y₂ = (10 — 8) : 2 = 1.

Теперь надо решить уравнения:

x 2 = 9 и x 2 = 1.

1) x 2 = 9; x₁ = 3, x₂ = -3;

2) x 2 = 1; x₃ = 1, x₄ = -1.

Видеоурок по математике «Биквадратные уравнения. Уравнения, приводимые к квадратным»

Биквадратное уравнение введением новой переменной игрек равной икс квадрат приводится к квадратному уравнению относительно игрек.

Теперь давайте вспомним, что называется степенью уравнения.

Давайте повторим алгоритм решения биквадратных уравнений и уравнений, приводимых к квадратным.